тест-обучение

Обучающие тесты по математике

Ответы к тестам по алгебре для 11 класса

Тест 11.1.1. Повторение темы «Производная и ее применения».  EACBACAEECAE

Вернуться к тесту 11.1.1.

Тест 11.2.1. Первообразная. CECADABBCEDB

Вернуться к тесту 11.2.1.

Тест 11.3.1. Интеграл. ECABADBCEABC

Вернуться к тесту 11.3.1.

Тест 11.4.1. Площадь криволинейной трапеции. DEACBECDDEAB

Вернуться к тесту 11.4.1.

 

 

11.1.1. Повторение темы «Производная и ее применения»

Алгебра. 11 класс.     Тест 1. Вариант 1.

1. Найдите приращение функции f в точке xo, если

2013-09-15_113927

A) 2,05; B) -0,205; C) 0,204; D) 4,205; E) 0,205.

2. Найдите приращения  Δх и Δу в точке xo, если

2013-09-15_114551

A) Δх=0,125; Δу=0,1; B) Δх=0,125; Δу=-0,1; C) Δх=0,25; Δу=0,1;

D) Δх=-0,5; Δу=0,5; E) Δх=0,125; Δу=2,5.

3. Найти производную функции

2013-09-15_124830

4. Найти производную функции: y = sin(4x+1) – cos2x.

A) 4cos(4x+1)+sinx;  B) 4cos(4x+1)+sin2x; C) cos(4x+1)+sin2x; D) 4cos(4x+1)-sin2x;

E) 4cos(4x+1)+cos2x.

5. Найти критические точки функции f(x)=4-2x+5x2.

A) 0,2; B) -0,2; C) 5; D) -5; E) 0; 0,2.

6. Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=3x2-5x, проходящей через его точку с абсциссой xo=-2.

A) y=17x-12; B) y=-17x+12; C) y=-17x-12; D) y=7x-12; E) y=x+12;

7. Под каким углом и в какой точке пересекается с осью Ох график функции f(x)=x2-3x+2?

A) 135° в точке (1; 0); 45° в точке (2; 0); B) 135° в точке (-1; 0); 45° в точке (-2; 0); C) 135° в точке (2; 0); 45° в точке (1; 0); D) 45° в точке (1; 0); 135° в точке (2; 0);

E) 135° в точке (1; 0); -45° в точке (2; 0).

8. Найти тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М(1; 3) графика функции  f(x)=x2+2x.

A) 1; B) -1; C) 8; D) 6; E) 4.

9. Точка движется прямолинейно по закону  x(t)=2t3+t-1. В какой момент времени ускорение будет равно 3cм/с2?

A) 0,3 c; B) 0,2 c; C) 2 c; D) 5 c; E) 0,25 c.

10. Найти промежутки возрастания функции y=x3-6x2-15x-2.

A) (-∞; 1]U[5; +∞); B) (-∞; -5]U[1; +∞); C) (-∞; -1]U[5; +∞); D) (-∞; -1)U(5; +∞); E) [1; 5].

11. Найти промежутки убывания функции y=7+75x-x3.

A) (-∞; -5]U[5; +∞); B) (-∞; -5]; C) [5; +∞); D) [-5; 5]; E) (-∞; +∞);

12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

2013-09-15_151547

A) ymin = 4; ymax = 8; B) ymin = 5; ymax = 8,5; C) ymin = 4; ymax = 5; 

D) ymin = 0; ymax = 8,5; E) ymin = 4; ymax = 8,5;

Сверить ответы!

10.01.1. Повторение тригонометрии за 9 класс

Алгебра. 10 класс.     Тест 1. Вариант 1.

1. Выберите из следующего списка углы, которым может соответствовать радиус-вектор, находящийся во II четверти.

410°, 179°, 560°, -200°, 3800°, 720°, 480°.

А) 410°, 179°, 560°; В) -200°, 3800°, 720°, 480°; С) -200°, 3800°, 480°; D) 179°, -200°, 480; Е) 179°, -200°.

2. Выразите углы α=40° и β=700° через радианную меру.

2013-09-12_100333

2013-09-12_100758

А) α = 135°, β = 450°; В) α = 105°, β = 550°; С) α = 135°, β = 650°; D) α = 120°, β = 405°; Е) α = 235°, β = 4500°.

4. Найдите значение выражения: 2cos30°+2cos60°- tg60°.

A) 0;  B) 2;  C) 1; D) -1; E) 3.

2013-09-12_102107

A) 1; B) 0; C) 2; D) 3; E) 4.

6. Упростить: cos2α-cos4α+sin4α.

A) 1; B) 0; C) sin2α; D) cos2α; E) sin2α.

7. Упростите выражение:

2013-09-12_103353

A) 1; B) sinβ+cosβ; C) cosβ-sinβ; D) sinβ-cosβ;  E) 2sinβ.

2013-09-12_104006

A) 4; B) 8; C) 2; D) 6; E) 1.

9. Найдите cosα  и  tgα, если sinα=-0,6; π<α<3π/2.

A) cosα=-0,8;  tgα=0,75; B) cosα=0,8;  tgα=0,65; C) cosα=-0,8;  tgα=0,5; D) cosα=-0,6;  tgα=-0,75;  E) cosα=-0,8;  tgα=0,25.

2013-09-12_150928

11. Упростить: sin2(180°-α)+sin2(270°-α).

A) 1; B) 0; C) 2sin2α; D) 2cos2α; E) 4sin2α.

12. Преобразовать выражение:

2013-09-12_152108

A) 1; B) 0; C) 2sin2α; D) cos2α; E) sin2α.

Сверить ответы!

Ответы к тестам по алгебре для 10 класса

Тест 10.01.1. Повторение тригонометрии в 9 классе. DBACCEDCAEAD

Вернуться к тесту 10.01.1.

Тест 10.02.1. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. BECEEAABDBCD

Вернуться к тесту 10.02.1.

Тест 10.03.1. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. ACDACEEDBEAA

Вернуться к тесту 10.03.1.

Тест 10.05.1. Обратные тригонометрические функции. AEDECBBEDACA

Вернуться к тесту 10.05.1.

Тест 10.06.1. Решение простейших тригонометрических уравнений. BECDBACDEACB

Вернуться к тесту 10.06.1.

Тест 10.07.1. Решение простейших тригонометрических уравнений. Частные случаи. BABEEEDBADBE

Вернуться к тесту 10.07.1.

 

Ответы к тестам по алгебре для 9 класса.

Тест 9.1.1. Повторение алгебры за 8 класс. BABCDBBADACA

Вернуться к тесту 9.1.1.

Тест 9.2.1. Уравнения, неравенства и их системы. ACBDEEACCBEA

Вернуться к тесту 9.2.1.

Тест 9.3.1. Числовая последовательность и способы ее задания. BAADECDBEACD

Вернуться к тесту 9.3.1.

Тест 9.4.1. Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии. EDABCCBBEACA

Вернуться к тесту 9.4.1.

Тест 9.5.1. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. BCADEEACBBDA

Вернуться к тесту 9.5.1.

Тест 9.6.1. Свойства арифметической прогрессии. ECAABDCABCCE

Вернуться к тесту 9.6.1.

Тест 9.7.1. Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Свойства геометрической прогрессии. ADBCBDCCAEEE

Вернуться к тесту 9.7.1.

Тест 9.8.1. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. ECBAAEDDBCAB

Вернуться к тесту 9.8.1.

 

 

 

 

 

 

 

9.1.1. Повторение алгебры за 8 класс.

Алгебра. 9 класс.          Тест 1. Вариант 1.

1. Вычислить:

2013-09-11_092732

А) 27,8; В) -27,8; С) -24,2; D) 24,2; Е) 29,8.

2. Упростить:

2013-09-11_093044

2013-09-11_113940

3. Упростить:

2013-09-11_094058

А) 60m; B) 0; C) 5m; D) 1; E) m.

4. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

2013-09-11_114749

5. Сократить дробь:

2013-09-11_100738

6. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

2013-09-11_102745

7. Решить уравнение: 2x2-7x=0.

А) 0; В) 0; 3,5; С) 0; 2/7; D) -3,5; 0; Е) 3,5.

8. Решить уравнение: 25x2-9=0.

А) -0,6; 0,6; В) -0,6; С) 0,6; D) ≈±2,8; Е) 0.

9. Решить уравнение: 10x2-3x-7=0.

А) -0,7; 2; В) -1; -0,7; С) -1; 0,7; D) -0,7; 1; Е) корней нет.

10. Найти x12+x22,  если x1  и x2 — корни квадратного уравнения x2-7x-2=0.

А) 53; В) 54; С) 52; D) 50; Е) 51.

11. Решить неравенство: 5x2+3x-2≤0.

А) (-0,4; 1]; B) (-1; 0,4); C) [-1; 0,4]; D) [-0,4; 1]; E) (-∞; -1].

12. Решить неравенство: х(х-1)(х+5)(х-7)>0.

A) (-∞; -5)U(0; 1)U(7; +∞); B) (-∞; -5)U(0; 1); C) (0; 1)U(7; +∞); D) (-∞; 7); E) (-5; 0)U(1; 7).

Сверить ответы!

 

Ответы к тестам по алгебре для 8 класса

Тест 8.01.1. Множества чисел. BDBCCAEACBDE

Вернуться к тесту 8.01.1.

Тест 8.02.1. Арифметический квадратный корень и его свойства. BCABDECEAAAD

Вернуться к тесту 8.02.1.

Тест 8.03.1. Функция арифметического квадратного корня из икс, ее свойства и график. DACDECEABCDE

Вернуться к тесту 8.03.1.

Тест 8.05.1. Неполные квадратные уравнения. ACDECBBADEEC

Вернуться к тесту 8.05.1.

Тест 8.06.1. Решение квадратных уравнений по общей формуле. ECDBABEDCDCE

Вернуться к тесту 8.06.1.

Тест 8.07.1. Решение квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом. BAEECAACDEAC

Вернуться к тесту 8.07.1.

Тест 8.08.1. Частные случаи решения полных квадратных уравнений. Метод коэффициентов. DACEABCEDACB

Вернуться к тесту 8.08.1.

Тест 8.09.1. Решение приведённых квадратных уравнений по теореме Виета. AEEDBCDAECDD

Вернуться к тесту 8.09.1.

 

 

 

 

8.01.1. Множества чисел.

Алгебра. 8 класс.              Тест 1. Вариант 1.

1. Числа, употребляемые при счете предметов, называются …

А) целыми; В) натуральными; C) действительными; D) рациональными; E) иррациональными.

2. Натуральные числа, числа им противоположные, и число нуль образуют множество …

А) натуральных чисел N; В) действительных чисел R; С) иррациональных чисел I; D) целых чисел Z; Е) рациональных чисел Q.

3. Числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное, образуют множество …

А) целых чисел Z; В) рациональных чисел Q; С) дробных чисел ; D) натуральных чисел N;  Е) иррациональных чисел I.

4. Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода.

Представьте в виде обыкновенной дроби число 19,27(7).

2013-09-07_071339

5. Решить уравнение 48·(0,(3)+0,5х)-8=14х и в ответе указать число 3xo – 2,

где xo - корень уравнения.

А) 0,8; В) -0,8; С) -4,4; D) 4,4; Е) 0,4.

6. Решить систему линейных уравнений и указать в ответе число xo + yo, где   (xo; yo) — решение данной системы уравнений.

2013-09-07_085320

А) -1; В) -5; С) 1; D) 5; Е) -6.

7. Решить неравенство.

2013-09-07_091305

А) [-5; 3); B) (5; 8); C) (-8; -5]; D) [5; 8]; E) (5; 8].

8. Решить систему линейных неравенств.

2013-09-07_092058

А) (-2,8; 3,5); B) (-3,5; -2,8); C) (2,8; 3,5); D) (-3,5; 2,8); E) (-∞; -2,8).

9. Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь является … числом.

А) рациональным; В) целым; С) иррациональным; D) натуральным; Е) отрицательным.

10. Множество действительных чисел R состоит из всех …

А) положительных и отрицательных чисел; В) рациональных и иррациональных чисел; С) целых и дробных чисел; D) натуральных и иррациональных чисел; Е) целых и иррациональных чисел.

11. Какие из данных чисел являются иррациональными?

2013-09-07_094225

12. Найдите верные высказывания:

2013-09-07_095659

А) все верные; В) все неверные; С) 1), 2) и 3); D) 2), 3) и 5); Е) 2), 3) и 4).

Сверить ответы!

 

ЕНТ-2013, вариант 0020.

testovik-ent-2013-20Дорогие друзья! Я очень надеюсь, что смогла вам помочь разобраться в решении отдельных заданий (разумеется, в основном, вы с этими заданиями отлично справляетесь и сами!). Вы учились целых 11 лет, и вы подтвердите свои знания на экзаменах! Иначе и быть не может, не должно! Я желаю вам успешной сдачи ЕНТ, пусть вам «попадется» легкий вариант. Буду рада, если вы оставите свои комментарии на страницах моего сайта.

Андрющенко Татьяна Яковлевна.

1. Исключите иррациональность в знаменателе:

ent20-1

2. Решите уравнение:

ent20-2

3. Найти решение неравенства: 2x2+x-3<0. Решать можно как с помощью графика, так и методом интервалов. Вспомним оба способа.

а) Находим нули функции у=2x2+x-3, т.е. решаем квадратное уравнение 2x2+x-3=0. Применим метод коэффициентов, так как выполнено условие a+b+c=0 (2+1-3=0). Согласно методу коэффициентов x1=1; x2=c/a=-3/2=-1,5. Ветви параболы, пересекающей ось Ох в точках (-1,5; 0) и (1; 0) направлены вверх, значит, функция у=2x2+x-3 примет отрицательные значения в промежутке (-1,5; 1).

б) Тоже надо найти корни квадратного уравнения 2x2+x-3=0. Конечно, вы можете находить корни так, как привыкли это делать. Корни найдены. x1=1; x2=-1,5. Разложим квадратный трехчлен на линейные множители по формуле: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Получаем: 2(х-1)(х+1,5)<0.

На числовой прямой берем точки -1,5 и 1 и выясняем знаки на одном из полученных промежутков (для этого подставляем какое-либо число из выбранного промежутка в выражение 2(х-1)(х+1,5) — я подставляла 0 ). 

ent20-3

4. Решите неравенство:

ent20-4

5. Упростите выражение:

ent20-5d

6. Найдите области значения следующей функции:  y=x-|x|. Изобразим график этой функции. Для этого нужно освободиться от модульных скобок согласно определению модуля числа а:

|a|=a, при условии, что a≥0  и  |a|=-a, если a<0.

ent20-6Если x≥0, то  получаем функцию: y=x-x=0. Прямая у=0 — это ось абсцисс Ох.

Если x<0, то функция y=x- (-x)=2x.  График функции у=2х — прямая. Начертили график.  Множество значений функции ує(-∞; 0], иначе, можно записать: у≤0.

7. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn), если b1=16; q=3/4. Решаем. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

ent20-7

8. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике соответственно равны 11,2 см и 22,4 см. Определите меньший из острых углов. Мы заметили, что катет в два раза меньше гипотенузы. Делаем вывод: катет лежит против угла в 30°. Катет, противолежащий углу в 30°, в два раза меньше гипотенузы.

9. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6 см и боковое ребро 30 см.

ent20-9Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 30 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана сторона квадрата,  можно  найти диагональ квадрата, а затем из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора:

MO2=MC2-OC2.   

10. Решите уравнение:

ent20-10

11. Для облицовки стен бассейна используется белая, желтая и черная плитка в отношении 1:1,3:2,7. Взяли 150 плиток. Сколько среди них должно быть плиток белого и желтого цвета вместе? Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда взяли х штук белых плиток, 1,3х штук желтых и 2,7х — черных плиток. Зная, что всего взяли 150 штук, составим уравнение: х+1,3х+2,7х=150, считаем иксы в левой части и получаем: 5х=150, отсюда х=30. Белых и желтых плиток вместе взяли х+1,3х=2,3х. Так как х=30, то белых и желтых плиток получается 2,3·30=69 штук.

12. Требуется найти сумму корней показательного уравнения:

ent20-12

13. Чему равно выражение log5log4log381? Решаем. log5log4log381=log5log44=log51=0.

14. Найдите х/у, где (х; у) — решение системы:

ent20-14

15. Смотрим на правую часть данного тригонометрического уравнения: она отрицательна. Данное уравнение решений не имеет, так как квадрат любого числа не может быть равен отрицательному числу. Ответ: нет корней.

16. Дана функция:

ent20-16

17. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3x2 и прямой у=2х+1. Построим графики этих функций.  Найдем площадь заштрихованной фигуры.

ent20-17

18. Сколько сторон имеет правильный n-угольник, если его каждый угол равен 135°? 

Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника определяется из формулы: S=180°·(n-2), где n - количество углов (сторон) выпуклого n-угольника.  

Зная, что каждый угол данного n-угольника равен 135°, составим уравнение:

180°·(n-2)=135°·n. Раскроем скобки. 180n-360=135n ⇒ 180n-135n=360 ⇒ 45n=360, разделим обе части равенства на 45 и получаем число углов (сторон) n=8.

19. Образующая, высота и радиус большего основания усеченного конуса соответственно равны 26 см, 24 см, 22 см. Вычислите боковую поверхность этого конуса. Решаем. Боковую поверхность усеченного конуса вычисляют по формуле: S=π(R+r)l, где  R — радиус большего основания конуса (по условию R=22 см), r — радиус меньшего основания конуса (неизвестен), l — образующая конуса (по условию l=26 см). Потребуется найти радиус меньшего основания конуса. Рассмотрим усеченный конус с осевым сечением AA1B1B, образующей AA1 и высотой OO1 (по условию OO1=24 см).

ent20-19

20. Решите уравнение:

ent20-20

21. Найдите значение выражения.

ent20-21

22. Решить неравенство:  2sin2x-4sinxcosx+9cos2x>0.  Решаем. Разделим обе части неравенства на cos2x. Так как cos2x>0, то знак неравенства не изменится. Получаем:

2tg2x-4tgx+9>0;  делаем замену: пусть tgx=y. Получаем неравенство: 2y2-4y+9>0. Это неравенство будет верным при любом значении у. Убедимся — найдем дискриминант квадратного уравнения 2y2-4y+9=0.

D=b2-4ac=16-4∙2∙9=16-72=-56<0, что означает- корней нет, т. е. график уравнения (парабола) не пересечет ось Ох. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, при любом значении у мы будем получать только положительные значения f(y). Все еще сомневаетесь? Тогда найдите координаты вершины параболы O’(m; n), где m=-b/(2a)=4:4=1; n=f(m)=f(1)=2-4+9=7. O’(1; 7) — это самая нижняя точка графика. Все остальные точки лежат выше.  Итак, у -любое число. Мы делали замену tgx=y. Значит, и х может быть любым числом. Ответ: (-∞; +∞).

23. В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым членами равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

ent20-23

24. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма, построенного на векторах

ent20-24

25. У деда 9 сыновей, у каждого его сына по 4 сына, а у каждого внука деда по 3 дочери. Сколько правнучек у деда? Рассуждаем. Если у каждого сына по 4 своих сына, то у деда 9·4=36 внуков. Так как у каждого внука по 3 дочери, то правнучек у деда 36·3=108.

 

ЕНТ-2013, вариант 0019.

Дорогие выпускники! Поздравляю вас с окончанием учебного года — последнего в вашей школьной жизни! Желаю вам успешной сдачи экзаменов и поступления в выбранный вами ВУЗ! Перед вами открыты все дороги, помните, что любая из них начинается с одного шага. Сделайте правильный шаг! Я желаю вам здоровья, счастья и удачи! Татьяна Яковлевна. Порешаем?!

1. Число х увеличили на 15%, получили 34,5. Отсюда следует, что х равно: Решаем. Было число х — это 100%, увеличили на 15%, стало 115% или 1,15х. Зная, что получили 34,5, составим уравнение:

1,15х=34,5. Делим обе части на 1,15 и получаем х=34,5:1,15=3450:115=30.

2. Решите уравнение: 14(2х-3)-5(х+4)=2(3х+5)+5х. Решаем. Раскрываем скобки:

28х-42-5х-20=6х+10+5х. Слагаемые с переменной х соберем в левой части равенства, а свободные члены — в правой:

28х-5х-6х-5х=10+42+20; приводим подобные слагаемые.

12х=72. Делим обе части на 12 и получаем х=6.

3. Решите неравенство: 4x-2x2-5≥0.

Преобразуем левую часть неравенства: -2x2+4x-5≥0. Умножим на (-1) и не забудем поменять знак неравенства на противоположный: 2x2-4x+5≤0. Рассмотрим функцию у=2x2-4x+5. Имеем a=2, b=-4, c=5. Графиком этой функции будет служить парабола с вершиной в точке  O’(m; n), где m=-b/(2a)=4/4=1, n=y(m)=y(1)=2∙1-4∙1+5=2-4+5=3. Мы нашли координаты вершины параболы O’(1; 3). Ветви параболы будут направлены вверх, следовательно, парабола не пересечет ось Ох и при любом значении х точки параболы будут лежать выше оси Ох (уравнение оси Ох: у=0). Таким образом неравенство 2x2-4x+5≤0 не будет иметь решений.

4. Вычислить: cos80°·cos20°+sin80°·sin20°. Применим формулу косинуса разности двух углов. Тогда:

cos80°·cos20°+sin80°·sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=1/2.

5. Найдите область значений функции у=3-5cosx. Всегда идут от основной функции. У нас это косинус х. Что мы знаем об области значений функции y=cosx, т. е о том, какие значения может принимать у?

Для функции синуса и косинуса область значений Е(у)=[-1; 1]. Запишем это в виде двойного неравенства:

-1≤cosx≤1. Теперь «оценим» значение -cosx.

-1≤-cosx≤1. Умножаем почленно на 5.

-5≤-5cosx≤5. Ко всем частям двойного неравенства прибавим число 3.

-5+3≤3-5cosx≤5+3. Получаем: -2≤3-5cosx≤8. Таким образом, область значений данной функции Е(y)=[-2; 8].

6. Вычислите интеграл:

ent19-6

7. Если центры вписанной и описанной около треугольника окружностей совпадают, то он: конечно, правильный (равносторонний), так как только у правильного многоугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

8. Радиус основания конуса равен 2 см. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите площадь осевого сечения конуса.

ent19-8Пусть нам дан конус с осевым сечением МАВ, угол АМВ — прямой. МО — высота конуса, радиус основания конуса ОА=ОВ=2 см. Площадь прямоугольного треугольника МАВ равна половине произведения основания АВ на высоту МО.

АВ=4 см, МО=ОА=2см (медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы).

9. В круг вписан квадрат ABCD, у которого известны вершины: B(9; 9) и D(-1; 3). Найдите центр окружности. Решаем. Центр вписанного (и описанного) в круг квадрата есть точка пересечения диагоналей квадрата, в этой точке диагонали делятся пополам. Найдем координаты точки О -центра круга и середины диагонали BD. О((9-1):2; (9+3):2) (координаты середины отрезка — это полусуммы соответственных координат концов отрезка). О(4; 6).

10. Решить уравнение:

ent19-10

11. Решаем. Отвечаем на вопрос задачи: на странице х строк и в каждой строке у букв. Получается, что всего на странице ху букв. Если количество строк и количество букв в строке увеличить на 2, то всего будет (х+2)(у+2) букв. Зная, что в этом случае число букв увеличится на 150, составим первое уравнение системы: 1) (х+2)(у+2)-ху=150. Если же убавить число букв в строке на 3, а число строк на странице на 5, то на странице будет (х-5)(у-3) букв. Зная, что число всех букв в этом случае уменьшится на 280, составим второе уравнение системы: 2) ху-(х-5)(у-3)=280. Упростим каждое из уравнений системы.

1) (х+2)(у+2)-ху=150. Раскроем скобки: ху+2у+2х+4-ху=150, отсюда 2х+2у=146, разделим почленно на 2 и получим:

х+у=73. Можно здесь и остановиться. Смотрите ответы: х-это количество строк, у-количество букв в строке. В каждом из предложенных ответов по два числа, и только ответ С) 35 строк; 38 букв удовлетворяет последнему равенству х+у=73. А если решать дальше, то что будем делать? Упрощаем  уравнение 2) ху-(х-5)(у-3)=280. Получаем ху-ху+3х+5у-15=280, отсюда 3х+5у=295. Из 1) уравнения выразим у=73-х и подставим в уравнение 3х+5у=295. Получим:

3х+5(73-х)=295. Тогда зх+365-5х=295 или -2х=-70, отсюда х=35.

у=73-35=38. Ответ: 35 строк и 38 букв.

12. Решить систему уравнений:

ent19-12

Ну, а если дальше решать, то выражайте х через у, получается х=2+у и подставляйте во второе уравнение. Получится:

22+y-2y=3 ⇒ 22∙2y-2y=3 ⇒ 2y(4-1)=3 ⇒ 2y=1, отсюда y=0. Находим x=2+0=2. Ответ: (2; 0).

13. Решить уравнение:

ent19-13

14. Требуется решить иррациональное уравнение. Возведем обе части равенства в квадрат. Получим:

x-2=64-16x+x2, после упрощения: x2-17x+66=0. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета x1=6, x2=11. Анализируем ответы. Значение х=11 не подойдет, так как правая часть данного уравнения становится отрицательной, а арифметический квадратный корень не может выражаться отрицательным числом. Ответ: 6.

15. Решите уравнение: cos2x=cosx-1. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 2π]. Решаем. Запишем данное неравенство в виде: 1+cos2x-cosx=0 и применим формулу: 1+cos2α=2cos2α. Тогда получим:

2cos2x-cosx=0; вынесем общий множитель за скобки:

cosx(2cosx-1)=0, отсюда или  cosx=0 или 2cosx-1=0. Решим каждое из этих уравнений.

ent19-15

16. В каких точках касательная к графику функции y=f(x) образует с осю Ох угол 45°, если

ent19-16

17. Найдите первообразную для функции f(x)=cos2x. Преобразуем данную функцию, понизив ее порядок по формуле:  1+cos2α=2cos2α.

ent19-17

 18. Стороны прямоугольника пропорциональны числам 3 и 4, а его площадь равна 192 см2. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника. Решаем.

ent19-18Диаметром круга будет служить диагональ АС прямоугольника ABCD, соответственно, радиус круга ОА равен половине АС. Обозначим одну часть через х. Тогда стороны прямоугольника равны и . Зная, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S=ab (a и b — стороны прямоугольника) и равна 192 см2, составим уравнение: 3х·4х=192, тогда 12x2=192, делим на 12, получаем x2=16, отсюда x=4. Итак, одна часть равна 4 см, тогда стороны прямоугольника 3·4=12 см и 4·4=16 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора   AC2=AB2+BC2=122+162=144+256=400, отсюда АС=20 см. (Можно было найти короче и устно: 3, 4 и 5 — пифагорова «тройка» чисел, получается, что на гипотенузу приходится 5 частей, одна часть равна 4 см, значит, гипотенуза составляет 5·4=20 см.).  АС=20 см, поэтому, радиус круга ОА=10 см, и площадь круга S=πR2=π∙102=100π (см2).

19. В правильной четырехугольной пирамиде длина бокового ребра равна 25 см, а площадь основания 800 см2. Найдите высоту пирамиды.

ent19-19Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 25 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана площадь квадрата, которую можно подставить в формулу  S=(1/2)d2, где d — диагональ квадрата. Получаем равенство:  800=(1/2)d2, умножаем обе части на 2 и получаем: d2=1600, отсюда диагональ АС=d=40 см. ОС=20 см. Из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора следует: MO2=MC2-OC2; MO2=252-202=625-400=225, тогда MO=15 см.

20. Найдите значение выражения:

ent19-20

21. Упростите выражение:

ent19-21

22. Решить неравенство:

ent19-22

23. Решить неравенство:

ent19-23

24. Знаменатель геометрической прогрессии 1/3, четвертый член 1/54, а сумма всех членов 121/162. Найти число членов прогрессии. Решаем.

ent19-24

25. Имеется монета. Сколько нужно таких монет, чтобы их можно было расположить вокруг данной монеты так, чтобы все они касались данной монеты и попарно друг друга?

ent19-25Не мудрствуя лукаво, возьмем монетки одного достоинства (например, по 5 тенге) и расположим их, как сказано в условии. Их будет 6. Монетки — не калькулятор и не сотовый телефон — можно взять с собой на экзамен!

 

Страница 10 из 13« Первая...89101112...Последняя »
Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
Наверх