тест-обучение

Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2014, вариант 0006

По вашим просьбам!

8. Нечетной является функция:

Функция fназывается  нечетной, если вместе с каждым значением переменной  х из области определения функции значение (-х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(-x)=-f(x).

Из предложенных ответов только С) y=x – x3  отвечает этому требованию. Проверка:

y(-x)= -x – (-x)3 = -x +x3=-(x – x3)= -y(x).

10. Решите уравнение:

0006-10

11. Цену товара сначала снизили на 20%, а затем новую цену снизили еще на 25%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Пусть товар стоил х тенге. Это 100%. После снижения цены на 20% осталось 80% стоимости или 0,8х (чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь, а затем эту дробь умножить на данное число).

Вот поэтому 80% от числа х — это 0,8х.) Далее товар снизили еще на 25%. (Понимаем, что на 25% от настоящей в данный момент цены!) Находим 25% от числа 0,8х. Для этого обращаем 25% в дробь (получаем 0,25) и умножаем эту дробь на число 0,8х (так считаем: 0,25·0,8х=0,2х). Таким образом после второго снижения товар стал стоить 0,8х-0,2х=0,6х. Смотрите: стоил х тенге, стал стоить 0,6х тенге. Снижение на 0,4х — это 40% от первоначальной цены.

15. Найдите f ‘(x), если

0006-15

18. Определите косинус наибольшего угла треугольника, если стороны равны 7 см, 11 см и 14 см.

Наибольший угол треугольника лежит против наибольшей стороны. Пусть нам дан ΔАВС со сторонами АВ=7 см, АС=11 см и ВС=14 см. Наибольшим будет угол А. Для нахождения косинуса угла А, используем теорему косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 

0006-18

19. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 4. Найти площадь большего диагонального сечения.

0006-19Основанием правильной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 служит правильный шестиугольник ABCDEF, сторона которого АВ равна радиусу R окружности c центром в точке О, описанной около этого правильного шестиугольника. Большая диагональ ВЕ является диаметром описанной окружности и равна ВЕ= 2R = 8. Искомая площадь большего диагонального сечения – это площадь прямоугольника ВВ1Е1Е  и равна произведению ВЕ∙ВВ1=8∙4=32.

20. Составили 3 букета роз. Количество всех роз не превышает 25. Количество роз в каждом букете выражается простым числом. Причем в одном букете на две розы больше, а в другом на 6 роз больше, чем в букете с наименьшим количеством роз. Сколько роз в самом большом букете? Число роз в каждом букете выражается простым числом. Это число нечетное, обозначим количество роз в самом маленьком букете через 2k+1. Тогда во втором букете будет (2k+1)+2=2k+3 розы, а в третьем букете (2k+1)+6=2k+7 роз. Всего в трех букетах 2k+1+2k+3+2k+7=6k+11 роз, и это количество не превышает 25. Получаем неравенство: 6k+11≤25 или 6k≤14. Какое натуральное число можно взять вместо k? Только 1 или 2. Если брать k=1, то количество роз в большем букете будет равно 9, но число 9 не является простым, следовательно, k≠1. Значит, k=2. Тогда в трех букетах соответственно 5, 7 и 11 роз. Ответ: в самом большом букете 11 роз.

21. На заводе 28 рабочих должны были выполнить задание в течение 30 дней. Однако, для выполнения этого задания оставили 75% рабочих, остальных перевели на другую работу. Задание было выполнено позже намеченного срока на: …

Выясним, сколько рабочих выполняли работу. 75% от 28 рабочих — это 0,75·28=21 человек. Итак, 28 рабочих выполнили бы задание за 30 дней, а 21 рабочий выполнил задание за х дней. Зависимость обратная: меньше рабочих — больше дней. Составим пропорцию. 28:21=х:30. Отсюда по основному свойству пропорции: х=28·30:21⇒х=40. Должны были закончить работу за 30 дней, а закончили за 40 дней, следовательно, задание было выполнено позже намеченного срока на 10 дней.

22. Решите систему тригонометрических неравенств… смотрите здесь задание №23 было в ЕНТ-2013 Учтите, что знак второго неравенства в данном варианте 0006 не строгий, поэтому, ответ Е)!

23. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Формулу нахождения площади криволинейной трапеции мы знаем. В чем может быть затруднение? Функция нам задана не формулой, а графиком. График — парабола. Вывод: функция квадратичная и может быть задана уравнением вида: y=a(x-m)2+n, где O’(m; n) — вершина параболы. На рисунке вершина параболы находится в точке (-2; 0). Тогда уравнение кривой примет вид: y=a(x+2)2. Осталось определить коэффициент а. Для этого подставим координаты точки (0; 4) в наше равенство и получаем а=1. Теперь мы знаем, что подынтегральная функция f(x)=(x+2)2. Границы интегрирования а=-2; b=0. Площадь заштрихованной фигуры:

0006-23-1

24. Диаметр окружности МК, где М(-1; -4) и К(7; 2). Найдите ординаты точек пересечения окружности с осью Оу.

Составим уравнение окружности и, подставив в него х=0, найдем значения у.

Уравнение окружности с центром в точке А(a; b) и радиусом R имеет вид:

(x-a)2 + (y-b)2 = R(*). Координаты точки А — это координаты середины отрезка МК — диаметра окружности. Длина радиуса R — это длина отрезка МА или АК.

0006-24

Подставим координаты центра окружности и ее радиуса в уравнение (*). Получаем уравнение окружности:

(x-3)2 + (y+1)2 = 25. Точки пересечения этой окружности с осью Оу имеют абсциссу х=0. Подставим это значение в уравнение окружности. (0-3)2 + (y+1)2 = 25 ⇒ 9 + (y+1)2 = 25  ⇒  (y+1)2 = 16. Отсюда у+1=4 или у+1=-4, т.е. у=3 или у=-5.

25. Кубический метр разрезали на кубические сантиметры и поставили друг на друга. Какой высоты получилась башня?

В одном метре 100 сантиметров, в одном кубическом метре 1003 кубических сантиметров. Это 1000000 кубических сантиметров или 1000000 кубиков. Поставим их друг на друга. Получается башня высотой 1000000 см. Это 10000 метров или 10 километров.

Успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0005

По вашим просьбам!

2. Решите систему уравнений:

0005-3

Совет: не решайте уравнения и системы уравнений, если можно подставить ответы и сделать проверку!

3. Вычислить:

0005-3-1

6. Упростить выражение:

0005-6

9. Длина трех измерений в прямоугольном параллелепипеде равна 6 см, 6 см и 7 см. Определите длину диагонали параллелепипеда.  Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров:

d2=a2+b2+c2. Подставляем наши данные: d2=62+62+72=36+36+49=121. Извлекаем арифметический квадратный корень и получаем: длина диагонали d=11.

11. На изготовление 20 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 60 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Пусть второй рабочий делает в час х деталей. Тогда первый рабочий делает в час (х+4) детали.

0005-11

Умножим обе части равенства на х(х+4)≠0 и получим равносильное уравнение:

15(х+4)-5х=2х(х+4) ⇒ 15х+60-5х=2х2+8х ⇒2х2-2х-60=0. Делим на 2.

х2-х-30=0, находим корни х1=-5 и х2=6. Отрицательное значение не подойдет по условию задачи.

Ответ: 6 деталей в час делает второй рабочий.

12. Решите уравнение: log2(22x+2x)=log4144.

Так как 4=22 и 144=122, то  log4144=log212. Данное уравнение запишется в виде:

log2(22x+2x)= log212 и будет равносильно уравнению: 22x+2x=12. Пусть 2x=y. Тогда получаем приведенное квадратное уравнение:

y2+y-12=0, корни которого y1=-4 и y2=3. Возвращаемся к переменной х. Так как 2x≠-4, то 2x=3  ⇒ x=log23.

13. Решите уравнение:

0005-13

14. Решите уравнение:

2014-10-19_210100

15. Найти производную функции:

2014-10-19_210213

16. В каких точках касательная к графику функции у = х3/3 – 3х образует с осью Ох угол, равный π/4.

Используем геометрический смысл производной: численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной в данной точке: f’(xo) = tgα. Нам нужно найти значение хо, а дано нам значение α.

2014-10-19_213254

х2 – 3 = 1 ⇒ х2 = 4 ⇒ х = ±2. Получается, что в двух точках: с абсциссой х = -2 и с абсциссой х = 2 касательная к графику образует с осью Ох нужный угол. Найдем ординату каждой из точек:

2014-10-19_213401

17. Периметр ромба равен 160 см, а радиус вписанной окружности равен 15 см. Найдите синус острого угла ромба.

0005-17Все стороны ромба равны, поэтому АВ=160:4=40 см. Диаметр вписанной окружности ромба равен высоте ромба. Так как радиус ОМ=15 см, то ВК=2·ОМ=30 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АКВ. Синус угла А есть отношение противолежащего углу катета ВК к гипотенузе АВ. Находим sinA=BK:AB=30:40=0,75.

 

18. Вычислите площадь треугольника, зная, что его стороны равны 9 см, 40 см и 41 см.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным. Всегда проверяйте, равен ли квадрат большей стороны сумме квадратов двух других сторон – этим вы можете значительно облегчить себе решение задачи. У нас: 412=92+402 (1681=1681). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S=(9∙40):2=180 (см2).

Справка. Прямоугольными являются треугольники со сторонами: 1) 3, 4, 5; 2) 5, 12, 13; 3) 8, 15, 17; 4) 7, 24, 25; 5) 9, 40, 41; 6) 20, 21, 29.

19. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость, причем концы его находятся на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

0005-19-1Пусть отрезок АВ=10 см пересекает плоскость α в точке О. При этом АА1=3 см, ВВ1=2 см – это расстояния от точек  А и В до плоскости α. ∠АОА1 – угол между прямой АВ и плоскостью α (это угол между наклонной АВ к плоскости α и ее проекцией на данную плоскость). Проведем ВС параллельно плоскости α (параллельно ОА1) до пересечения с продолжением АА1. Тогда АС= 3+2=5 см.  Замечаем, что ∠АВС=∠АОА1. В прямоугольном треугольнике АСВ катет АС, равный 5 см, в два раза меньше гипотенузы АВ, равной 10 см, следовательно, ∠АВС=30°. (Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы).

22. Решите неравенство: cos2x+5cosx+3≥0.

Применим тождество: 1+cos2α=2cos2α. Для этого перепишем данное неравенство в виде:

1+cos2x+5cosx+2≥0. Упростим: 2cos2x+5cosx+2≥0. Сделаем замену: cosx=y, тогда получим квадратичное неравенство относительно у:

2y2+5y+2≥0. Корнями  квадратного трехчлена 2y2+5y+2=0 будут значения y1=-2 и y2=-0,5. Тогда решениями неравенства  2y2+5y+2≥0 служат значения y ≤-2 и y ≥ -0,5. Так как у нас y=cosx, а по определению |cosx|≤1, то остается  лишь решить простейшее неравенство cosx≥-0,5. Можно решать его графическим способом или с помощью тригонометрического круга, но лучше всего воспользоваться формулой:

cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn < t < arccosa+2πn, nZ.

Тогда получаем: -arccos(-0,5)+2πn ≤ x ≤ arccos(-0,5)+2πn;

-(π – arccos0,5)+2πn ≤ x ≤ (π – arccos0,5)+2πn;

-(π – π/3)+2πn ≤ x ≤ (π – π/3)+2πn; окончательно:

-2π/3+2πn ≤ x ≤ 2π/3+2πn, n∈Z.

23. Найти общий вид первообразных для функции  f(x)=5cos2x +7x.

Упростим данную функцию, понизив степень косинуса по формуле: 1+cos2x=2cos2x. Тогда функция примет вид:

0005-23

Мы ищем первообразную для последней функции f(x), поэтому просто из предложенных функций (ответов А-Е) найдем такую, производная которой будет равна  нашей функции. Очевидно, что это ответ D).

Строгое же решение основано на определении неопределенного интеграла: ∫f(x)dx=F(x)+C. Вычислим неопределенный интеграл:

0005-23-

24. Вычислите длину вектора

0005-24

если даны координаты векторов

0005-24-1

Прежде всего упростим данное равенство: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

0005-24-2

Далее рассуждаем так: если для того, чтобы получить вектор а нужно взять восемь векторов  m плюс один вектор n, то и для получения абсциссы вектора а нужно взять восемь абсцисс вектора  m  плюс одну абсциссу вектора n. Аналогично, для получения  ординаты вектора а нужно взять восемь ординат вектора   плюс одну ординату вектора n.

0005-24-3

Длина  вектора, заданного своими координатами, равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.

0005-24-4

25. Сколько целых чисел, принадлежащих числовому множеству {0; 1; 2; …; 2000; 2001}, имеют сумму цифр, равную двум?

Вот если бы вас просили указать точное количество таких чисел — тогда пришлось бы повозиться, а так… попробуйте написать числа, удовлетворяющие условию. Запись таких чисел или состоит из «двоек» и «нулей» или из двух «единиц». Согласны? Например, 2; 11; 20; 101; 110; 200 и так далее. Сумма цифр каждого из данных чисел равна двум. Значит, какой ответ выбираем? Правильно: таких чисел явно более 5.

Успехов вам! Решайте больше. Что непонятно — спрашивайте!

ЕНТ-2014, вариант 0002

По вашим просьбам!

1. Требуется упростить выражение. Запишем каждый множитель данного выражения в виде степени с основанием 3.

0002-1

2. Решить уравнение: 2у5+8у3=0.

Выносим общий множитель за скобки: 2у32+4)=0. Это произведение будет равно нулю, если множитель у3=0, т.е. если у=0, так как выражение в скобках у2+4>0 при любом значении у.

3. Решить систему показательных уравнений:

0002-3

5. Решить неравенство:

0002-5

0002-5-1

7. В арифметической прогрессии d=2, n=50, Sn=2650. Найдите первый и n-й члены.

Сумма nпервых членов арифметической прогрессии определяется по формуле: 

0002-7

2650 = (а1 + 49) ∙ 50, отсюда а1 + 49 = 2650 : 50 или а1 + 49 = 53 ⇒ а1 = 4.Формула n-го члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n — 1)d. Тогда  а50 = 4 +(50 – 1)∙2 = 4 + 49∙2 = 4 + 98 = 102.

8. Найдите функцию, обратную данной:

0002-8

1) Выразим х через у. Для этого возведем обе части данного равенства в квадрат. Получаем у2=х-3, отсюда х=у2+3. 2) Вместо х напишем у, а вместо у напишем х. Получаем функцию, обратную данной: у=х2+3.

9. Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота 5 см. Найдите диагональ осевого сечения.

0002-9Пусть нам дан цилиндр с осевым сечением AA1B1B. Это сечение представляет собой прямоугольник, диагональ которого  AB1  требуется найти. AB1  — гипотенуза прямоугольного треугольника ABB1, в котором известны катеты АВ = 2·6=12 см и BB1=5 см. По теореме Пифагора получаем:

AB12 =AB2+BB12 ⇒ AB12 =122+52=144+25=169 ⇒ AB1=13cм.

10. Решить систему уравнений:

0002-10

Необходимо избавиться от знака модуля. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Так как х=0 не является корнем первого уравнения, то возможны значения х:

1) х > 0  и  2) x < 0. Раскрываем модульные скобки в каждом из этих случаев.

0002-10-1

11. Одно из трех чисел равно 32 и оно составляет 0,4 их суммы, а второе число составляет 0,2 суммы. Найдите второе и третье число.

Итак, пусть первое число равно 32, второе - х, а третье - у.

Зная, что число 32 составляет 0,4 от суммы всех чисел, составим первое уравнение системы: 0,4·(32+х+у)=32. (Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить эту дробь на данное число). Упростим, разделив обе части равенства на 0,4. Тогда первое уравнение примет вид: 32+х+у=80 (*). Зная, что второе число х составляет 0,2 от суммы всех чисел, составим второе уравнение системы: 0,2·(32+х+у)=х. Разделим обе части этого равенства на 0,2, получаем уравнение: 32+х+у=5х (**).  Вычтем из  (*) равенство (**). Получаем: 0=80-5х.  Отсюда х=16. Подставим это значение в любое из уравнений, например в (*). Тогда 32+16+у=80. Отсюда у=32. Ответ: 16 и 32.

13. Решить систему уравнений:

0002-13

14. Решить тригонометрическое уравнение:

0002-14

15. На графике функции у=х2+х-5 взята точка А. Касательная к графику, проведенная через точку А, наклонена к оси Ох под углом, тангенс которого равен 5. Найдите абсциссу точки А.

Используем геометрический смысл производной: f’(xo)=tgα, где x- абсцисса точки касания (точки А). Производная данной функции y’=2x+1. По условию  tgα=5. Получаем равенство: 2хо+1=5, отсюда хо=2.

16. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону: x(t) = 3t2 + t – 1 (см) в момент времени  t = 3 с.

Скорость – это производная пути по времени: v(t) = x’(t).

Находим скорость v(t) = x’(t) = (3t2 + t – 1)’ = 6t + 1. Подставим t = 3. Получаем:

v(3) = 6 3 + 1 = 18 + 1 = 19 (cм/с).

17. Каким должен быть радиус окружности, чтобы длина ее была в два раза больше суммы длин окружностей с радиусами 11 см и 47 см.

Длины данных окружностей с радиусами 11 см и 47 см соответственно равны 22π см и 94π см (нашли по формуле длины окружности: С=2πR). Складываем эти длины и получаем С=116π см. Длина новой окружности в два раза больше, значит равна 2·116π см. Если записать это выражение так: 2π·116 см, то становится понятным, что искомый радиус должен быть равен 116 см.

18. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон проходит через центр окружности, а две другие удалены от него на 6 см и четыре корня из трех см. Найдите площадь треугольника.

0002-18

19. Площадь ромба, лежащего в основании пирамиды, равна 600 см2, а площадь круга, вписанного в ромб, равна 100 см2. Определите объем пирамиды, если высоты ее боковых граней равны 26 см.

Так как высоты боковых граней равны, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанного в ромб круга, так как стороны ромба должны быть равноудалены от и от центра круга. Точка О — центр круга является точкой пересечения диагоналей ромба.

0002-19

20. Сократите дробь:

0002-20

Можно догадаться, что в числителе дроби формула разности квадратов двух выражений: a2-b2=(a-b)(a+b). Применив эту формулу мы представим числитель в виде произведения двух множителей, причем, один из них будет таким же, как знаменатель, что позволит нам сократить дробь.

0002-20-

21. Разложите на множители: a2b2-4a3b4+ab+abc-4a2b3c+c.

Эти 6 слагаемых нужно сгруппировать так, чтобы из каждой группы можно было вынести за скобки общий множитель и при этом, в скобках должны получаться одинаковые выражения; затем это одинаковое выражение в  скобках еще раз выносят за скобки. Попробуем сгруппировать по три слагаемых:

a2b2-4a3b4+ab+abc-4a2b3c+c = (a2b2-4a3b4+ab)+(abc-4a2b3c+c). Из каждой скобки выносим общий множитель:

ab(ab-4a2b3+1)+c(ab-4a2b3+1). Вот у нас получились одинаковые выражения в скобках, т.е. одинаковые множитель, который выносим за скобки и окончательно получаем:

(ab-4a2b3+1)(ab+c).

22. Решить неравенство: 2sin2x+5cosx<4.

Так как sin2x+cos2x=1, то заменим sin2x =1 – cos2x, тогда неравенство примет вид:

2(1 – cos2x) + 5cosx<4. Раскроем скобки и перенесем 4 в левую часть неравенства:

2-2cos2x+5cosx-4<0.  Приведем подобные слагаемые: -2cos2x+5cosx-2<0. Умножим обе части неравенства на (-1), при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

2cos2x — 5cosx +2 > 0. Сделаем замену переменной: пусть cosx=y,  тогда получаем:

2y2-5y+2>0. Найдем корни квадратного уравнения  2y2-5y+2=0.

Дискриминант  D=b2-4ac=52-4∙2∙2=25-16=9=32. Тогда y1=0,5; y2=2. Решениями неравенства 2y2-5y+2>0 будут значения у, удовлетворяющие условиям: y<0,5 или y>2.

Но так как y=cosx, а известно, что |cosx|≤1, то остается y<0,5, т.е. нам остается решить простейшее неравенство  cosx<0,5.  Изобразим графики функций у=cosx и y=0,5 и определим те значения х, при которых точки кривой  у=cosx лежат ниже прямой у=0,5.

0002-22

24. Преобразуйте выражение:

0002-24

Определите его значение, если углы между парами данных единичных векторов равны 60°.

Прежде всего раскроем скобки, выполнив умножение. Приведем подобные слагаемые. Используем свойства: 1) квадрат вектора равен квадрату модуля (длины) этого вектора; 2) скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними.

0002-24-

Решайте, готовьтесь. Желаю успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0003

По вашим просьбам.

6. Упростить выражение:

2014-04-22_220013

Так как кофункции углов, дополняющих друг друга до 90°, равны, то sin50° в числителе дроби заменим на cos40° и применим к числителю формулу синуса двойного аргумента. Получим в числителе 5sin80°. Заменим sin80° на cos10°, что позволит нам сократить дробь.

0003-6

Применили формулы: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. В арифметической прогрессии, разность которой 12, а восьмой член 54, найти количество отрицательных членов.

План решения. Составим формулу общего члена данной прогрессии и узнаем, при каких значениях n будут получаться отрицательные члены. Для этого нам нужно будет найти первый член прогрессии.

Имеем d=12, a8=54. По формуле an=a1+(n-1)∙d  запишем:

a8=a1+7d. Подставим имеющиеся данные.  54=a1+7∙12;

54=a1+84;

a1=-30. Подставим это значение в формулу an=a1+(n-1)∙d

an=-30+(n-1)∙12 или an=-30+12n-12. Упрощаем:  an=12n-42.

Мы ищем количество отрицательных членов, поэтому, нам нужно решить неравенство:

an<0, т.е.  неравенство: 12n-42<0;

12n<42   ⇒  n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Найдите области значения следующей функции: y=x-|x|.

0003-8Раскроем модульные скобки. Если х≥0, то у=х-х ⇒ у=0. Графиком будет служить ось Ох справа от начала отсчета. Если х<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

 

9. Найдите площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, если его образующая равна 18 см, а площадь основания равна 36 см2.

0003-9Дан конус с осевым сечением МАВ. Образующая ВМ=18, Sосн.=36π. Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: Sбок. =πRl, где l – образующая и по условию равна 18 см, R – радиус основания найдем по формуле: Sкр.= πR2. У нас Sкр.= Sосн.= 36π. Отсюда πR2=36π ⇒ R=6.

Тогда Sбок. =π∙6∙18 ⇒ Sбок. =108π см2.

12. Решаем логарифмическое уравнение. Дробь равна 1, если ее числитель равен знаменателю, т.е.

lg(x2+5x+4)=2lgx при lgx≠0. Применяем к правой части равенства свойство степени числа под знаком логарифма: lg(x2+5x+4)=lgx2, Эти десятичные логарифмы равны, следовательно равны и числа под знаками логарифмов, поэтому:

x2+5x+4=x2, отсюда 5x=-4; получаем x=-0,8. Однако, это значение брать нельзя, так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, поэтому данное уравнение решений не имеет. Примечание. Не стоит в начале решения находить ОДЗ (потратите время!), лучше делать проверку (как мы сейчас) в конце.

13. Найдите значение выражения (хо – уо), где  (хо; уо) – решение системы уравнений:

0003-13

14. Решить уравнение:

0003-14

Если вы разделите на 2 и числитель и знаменатель дроби, то узнаете формулу тангенса двойного угла. Получится простое уравнение: tg4x=1.

0003-14-

15. Найдите производную функции: f(x)=(6x2-4x)5.

Нам дана сложная функция. Определяем ее одним словом – это степень. Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции найдем производную от степени и домножим ее на производную основания этой степени по формуле:

(un)’ = nun-1 u’.

f ‘(x)= 5(6x2-4x)4 (6x2-4x)’ = 5(6x2-4x)4 (12x-4)= 5(6x2-4x)4 4(3x-1)=20(3x-1)(6x2-4x)4.

16. Требуется найти f ‘(1), если функция

0003-16

17. В равностороннем треугольнике сумма всех биссектрис равна 33√3 см. Найдите площадь треугольника.

0003-17Биссектриса равностороннего треугольника является и медианой и высотой. Таким образом, длина высоты BD данного треугольника равна

2014-10-18_201649

Найдем сторону АВ из прямоугольного Δ АВD. Так как sin60° = BD : AB, то AB = BD : sin60°.

2014-10-18_201845

18. Круг вписан в равносторонний треугольник, высота которого равна 12 см. Найдите площадь круга.

0003-18Круг (О; ОD) вписан в равносторонний Δ АВС. Высота BD также является биссектрисой и медианой, и центр окружности — точка О лежит на BD.

О – точка пересечения высот, биссектрис и медиан делит медиану BD в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, OD=(1/3)BD=12:3=4. Радиус круга R=OD=4 см. Площадь круга S=πR2=π∙42 ⇒ S=16π см2.

 

19. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 9 см, а сторона основания 8 см. Найдите высоту пирамиды.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат ABCD, основанием высоты МО служит центр квадрата.

0003-19

20. Упростить:

0003-20

В числителе квадрат разности — свернем.

Знаменатель разложим на множители, применяя метод группировки слагаемых.

0003-20-1

21. Вычислить:

0003-21

Для того, чтобы можно было извлечь арифметический квадратный корень — подкоренное выражение должно представлять собой полный квадрат. Представим выражение под знаком корня в виде квадрата разности двух выражений по формуле:

a2-2ab+b2=(a-b)2, считая что a2+b2=10.

0003-21-1

22. Решите неравенство:

0003-22-

Представим левую часть неравенства в виде произведения. Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности этих углов:

0003-22-1

Получаем:

0003-22-2

Решим это неравенство графически. Выбираем те точки графика y=cost, которые лежат выше прямой и определяем абсциссы этих точек (показаны штриховкой).

0003-22-3

23. Найдите все первообразные для функции:  h(x)=cos2x.

Преобразуем данную функцию, понизив ее степень с помощью формулы:

1+cos2α=2cos2α. Получаем функцию:

0003-23

24. Найдите координаты вектора

0003-24

25. Вставьте вместо звездочек арифметические знаки так, чтобы получилось верное равенство: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

Рассуждаем: должно получиться число 25 (31 – 6 = 25). Как же получить это число из двух «троек» и двух «четверок» с помощью знаков действий?

Конечно же это: 3 3 + 4 4 = 9 + 16 = 25. Ответ Е).

Удачи!  

ЕНТ-2014, вариант 0001

Решение варианта 0001.

1. Сокращаем дробь, используя формулы разности квадратов (в числителе) и квадрата разности (в знаменателе) двух выражений.

2014-04-12_100511

2. Решить уравнение: |7+2x|=43.

Так как |43|=43  и |-43|=43, то 7+2х=43 или 7+2х=-43. В первом случае получаем: 2х=43-7, отсюда 2х=36, х=18. Во втором случае 2х=-43-7. тогда 2х=-50, отсюда х=-25.

3. Уменьшить число 72 на 12,5%.

Можно рассуждать так: число 72 составляет 100%. Если мы уменьшим его на 12,5%, то в нем останется 100%-12,5%=87,5%. Находим 87,5% от числа 72. Чтобы найти проценты от числа — проценты обращаем в дробь, а затем умножаем эту дробь на данное число. Действуем: 1) 82,5%=0,875; 2) 72·0,875=63.

Можно решать с помощью пропорции:

72 — 100%

х —  12,5%

2014-04-12_101844

Следовательно, 72 уменьшили на 9. Получаем: 72-9=63. Выбирай удобный для себя способ решения подобных задач!

4. Надеюсь, ты не собираешься решать эту систему? Ну и правильно! Подставь предложенные ответы. Начинай всегда с А).

Подставляем в первое уравнение вместо х=-1, вместо у=3. Получаем:

3-5+3 = 9 ⇒ 3-2 ≠ 9. Понимаем, что при отрицательном значении х будет получаться «тройка» в отрицательной степени, но никак не число 9. Следовательно, ответы В), С)  также не подойдут. Ответ D) даст в первом уравнении большую степень числа 3, поэтому, тоже не подойдет! Остается ответ Е). Действительно,

2014-04-12_103444

5. Решите неравенство:

0001-5n

Решаем неравенство методом интервалов. Знаем, что и частное и произведение чисел (12-х) и (х+11) будут иметь одинаковые знаки. Поэтому можно находить решение неравенства (12-х)(х+11)>0.

0001-5

Получаем: (-11; 12).

6. Решить неравенство:

2014-04-12_105649

Числитель при любом значении х будет положительным. Почему?

А представьте себе график логарифмической функции с основанием, большим единицы. Смотрите рисунок (здесь основание логарифма равно 2). При любом значении аргумента, большего 1, график располагается выше оси Ох. У нас  под знаком логарифма при любом х будет содержаться число, большее 3. Следовательно, значения логарифма будут всегда положительны. Значит, чтобы данная дробь была отрицательной, необходимо, чтобы знаменатель 4x2-16x был отрицательным.

Решаем неравенство 4x2-16x<0 методом интервалов.

4х(х-4)<0. Нули х=0 и х=4 отмечаем пустыми точками на числовой прямой и определяем знак выражения на одном из промежутков. Возьму число 5∈(4; +∞).

0001-6

Ответ: (0; 4).

7. Упростить: (sinαcosβ+cosαsinβ)2 + (cosαcosβ-sinαsinβ)2.

В скобках нам даны формулы синуса суммы — в первых скобках и косинуса суммы — во вторых скобках. Применяем эти формулы, затем основное тригонометрическое тождество и получаем:

(sinαcosβ+cosαsinβ)2 + (cosαcosβ-sinαsinβ)2 = sin2(α+β)+cos2(α+β)=1.

8. При каких значениях график функции у=3/х расположен выше оси абсцисс?

А что за функция? Обратная пропорциональность: у=k/x. Что является графиком обратной пропорциональности? Гипербола, состоящая из двух ветвей. При k>0 (у нас k=3) ветви располагаются в 1-ой и 3-ей координатных четвертях. Нам нужна та ветвь, которая выше оси Ох, т.е. в 1-ой четверти, а именно при положительных значениях х. Ответ: (0; +∞).

9. Найдите длину образующей усеченного конуса, если радиусы оснований равны 2 см и 10 см, а его высота 15 см.

0001-9Проведем B1K перпендикулярно АВ, B1K=OO1=15см, ОК=O1B1=2 см. Определим гипотенузу В1В из прямоугольного треугольника В1КВ по теореме Пифагора: В1В2 = В1К2 + ВК2.

В1В2 =152 + 82 = 225+64=289 ⇒ В1В=17 см.

 

10. Требуется решить уравнение. Конечно, мы его решать не будем. Смотрим на знаменатель. Так как на нуль делить нельзя, то значения х=1 и х=3 не подходят. Смотрим на ответы — всюду число 3. Вывод: решений нет, т.е. ответ С).

11. Найдите x2+x, где х — корень уравнения

2014-04-12_130101

Решаем.

2014-04-13_100256

Подставляем значение х в выражение  x2+x. Получаем: 22+2=4+2=6.

12. Здесь решать не нужно. Подумаем, какой из ответов подставить вместо х. Отрицательное значение (-3) брать нельзя, так как под знаком квадратного корня не может быть отрицательных чисел.  Из остальных предложенных положительных ответов надо брать такое, чтобы корень хорошо извлекался. Подходит значение 2 — ответ С).

2014-04-13_101303

13. Вычислить: sin(arcsin(sin(π/6))). Идем с конца.  sin(π/6)=1/2. Далее, arcsin(1/2) — это угол, синус которого равен 1/2, т.е. это угол π/6. И, наконец, находим sin(π/6). Ответ: 1/2.

14. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если a11=23; a21=43. Формула нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии:

2014-04-13_102217

Мы знаем только n=10 — количество членов, сумму которых требуется найти. Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии из условия: a11=23; a21=43. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

an=a1+(n-1)d. Получим систему уравнений с двумя неизвестными a1 и d.

2014-04-13_103954

2014-04-13_104600

S10 = (2∙3 + 9∙2)∙5 = 24∙5 = 120.

15. Найдите производную функции f(x)=4e-2x.

Применим формулу (ex)’=ex, и не забудем, что у нашей функции сложный показатель (-2х). Получаем:

f’(x)=4e-2x ·(-2)=-8e-2x.

16. Найдите тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку М(0; 5), к графику функции y=x2-3x+5.

Подставляем координаты точки в данное уравнение, чтобы убедиться в том, что парабола y=x2-3x+5 пройдет через точку М. Это важно! Если бы точка не принадлежала графику данной функции, то ход решения был бы другим. Теперь вспоминаем, что  геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке. tgα=f’(xo). Находим производную данной функции и подставим в нее х=0.

y’=(x2-3x+5)’=2x-3; y’(xo)=y’(0)=2∙0-3=-3. Следовательно, tgα=-3.

17. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника делит его на два треугольника, площади которых соответственно 6 см2 и 54 см2. Найти гипотенузу треугольника.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.

По условию S1=6, S2=54. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, значит, произведение катетов — это удвоенная площадь. Имеем:

bc∙h=2S1=12; ac∙h=2S2=108. Перемножим эти равенства:

bc∙h∙ac∙h =12∙108 ⇒ h2∙ ac∙ bc=12∙108. Заменим произведение ac∙ b на  h2 . Получаем:

h2∙h2 =12∙108 ⇒ h4=(2∙6)∙(2∙6∙9) ⇒ h4=2∙2∙3∙2∙2∙3∙3∙3=24∙34 ⇒ h=2∙3=6.

Тогда из равенства bc∙h=2S1=12 получаем, что bc=12:6=2; а из равенства ac∙h=2S2=108 находим ac=108:6=18. Искомая гипотенуза c=bc+ac =2+18=20 (см).

18. В треугольнике АВС  ∠С=90°, ∠А=15°, CD — биссектриса. Найдите  AD, если

2014-04-13_115106

Нам потребуется знание теоремы синусов. В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

0001-18

Здесь по формуле приведения sin120°=sin(180°-60°)=sin60°.

19. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.

Нам дан прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат со стороной 12 см (квадратный корень из числа 144). Высота параллелепипеда 14 см. Требуется найти диагональ параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров: d2=a2+b2+c2У нас a=b=12, c=14. Подставляем данные.

d2=122+122+142;

d2=144+144+196;

d2=484;

d=22 см.

20. Вычислить:

2014-04-13_190140

Выделим из подкоренного выражения полный квадрат двучлена. Для этого представим 8 в виде суммы квадратов арифметических квадратных корней из чисел 5 и 3.

2014-04-13_191246

21. Вычислите:

2014-04-13_191801

Приведем данные степени к основанию 2 и применим свойства возведения степени в степень, умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.

2014-04-14_214755

22. Решить неравенство:

2014-04-14_215155

Так как косинус в четвертой степени положителен, а π/2 взято нечетное число раз (3 раза), то данное неравенство равносильно следующему:

2014-04-14_2205180001-22

Здесь мы нашли решение с помощью круга. В более сложных случаях при решениях тригонометрических неравенств или их систем надежнее использовать графики. Посмотрите видео «Решение тригонометрических неравенств».

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

2014-04-14_222905

Построим графики данных функций и покажем штриховкой фигуру, площадь которой требуется найти.

0001-232014-04-15_095204

2014-04-15_105416

Не секрет, что некоторые задания ЕНТ повторяются из года в год. Смотрите видео решение задания 23 здесь.

24. Даны векторы

2014-04-15_105736

Найдите значения х и у, чтобы имело место равенство:

2014-04-15_110022

Рассуждаем так: если для того, чтобы получить вектор с нужно взять разность х векторов а и у векторов b, то и для получения абсциссы вектора с нужно взять разность х абсцисс вектора а и у абсцисс вектора b; а для получения ординаты вектора с нужно взять разность х ординат вектора а и у ординат вектора b. Задача сводится к решению системы линейных уравнений:

2014-04-15_110746

Разделим обе части второго уравнения на 3 и сложим почленно оба равенства:

2014-04-15_111315

25. А, В, С — разные цифры. При этом

2014-04-15_111557

Найти А·В·С.

По сути нам предлагают извлечь арифметический квадратный корень из числа 119025, а затем перемножить цифры этого числа. На экзаменах у вас не будет калькулятора, значит, надо научиться извлекать квадратные корни вручную. Посмотрите видео — запомните алгоритм извлечения квадратного корня из любого числа!

Вы можете перейти на мой канал (нажмите на надпись YouTube). Подпишитесь, чтобы его не потерять!

Уверена, что вы поняли и уже извлекли из числа 119025 корень. Это число 345. Тогда в ответе надо записать: 3·4·5=60. Удачи!

5.3.1. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби

Математика. 5 класс.   Тест 3. Вариант 1.

1. Знаменатель обыкновенной дроби показывает, на сколько равных долей делили, а числитель показывает, сколько таких долей взяли. Каким обыкновенным дробям соответствуют закрашенные области окружностей а) б) в) ?

t5-3-1

2013-10-31_113142

2.  Записать частное в виде дроби: а) 7 : 8; б) 5 : 11; в) 9 : 10. Дробная черта означает знак деления.

2013-10-31_115709

3. При делении каких чисел получились следующие дроби:

2013-10-31_124653

A) а) 2:5; б) 7:9; в) 6:11; B) а) 2:5; б) 8:9; в) 6:11; C) а) 2:5; б) 7:9; в) 5:11; D) а) 5:2; б) 9:7; в) 11:6; E) а) 5:2; б) 7:9; в) 11:6.

4. Привести к знаменателю 12 следующие дроби:

2013-10-31_114440

5.  Привести к знаменателю 36 следующие дроби:

2013-10-31_135617

6. Сформулировать основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если: 1) ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же  натуральное число; 2) к ее числителю и знаменателю прибавить одно и то же натуральное число; 3) из ее числителя и знаменателя вычесть одно и то же натуральное число; 4) ее числитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число; 5) ее знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

A) 5); B) 4); C)  3); D) 2); E) 1).

7. Сократить дроби:

2013-10-31_141842

8. Замените звездочку числом так, чтобы равенство было верным.

2013-10-31_142615

A) а) 7; б) 33; в) 5; B) а) 5; б) 2; в) 5; C) а) 7; б) 22; в) 6;

D) а) 8; б) 9; в) 5; E) а) 7; б) 22; в) 5.

9. Сократить дробь:

2013-10-31_144324

10. Решить уравнение: 8х+11=15.

2013-10-31_144429

11. Сократить дробь:

t5-3-2

2013-10-31_145257

12. Записать частное двух выражений 33-15  и  52-7 в виде обыкновенной дроби.

2013-10-31_145752

Сверить ответы.

 

ЕНТ-2013, вариант 0020.

testovik-ent-2013-20Дорогие друзья! Я очень надеюсь, что смогла вам помочь разобраться в решении отдельных заданий (разумеется, в основном, вы с этими заданиями отлично справляетесь и сами!). Вы учились целых 11 лет, и вы подтвердите свои знания на экзаменах! Иначе и быть не может, не должно! Я желаю вам успешной сдачи ЕНТ, пусть вам «попадется» легкий вариант. Буду рада, если вы оставите свои комментарии на страницах моего сайта.

Андрющенко Татьяна Яковлевна.

1. Исключите иррациональность в знаменателе:

ent20-1

2. Решите уравнение:

ent20-2

3. Найти решение неравенства: 2x2+x-3<0. Решать можно как с помощью графика, так и методом интервалов. Вспомним оба способа.

а) Находим нули функции у=2x2+x-3, т.е. решаем квадратное уравнение 2x2+x-3=0. Применим метод коэффициентов, так как выполнено условие a+b+c=0 (2+1-3=0). Согласно методу коэффициентов x1=1; x2=c/a=-3/2=-1,5. Ветви параболы, пересекающей ось Ох в точках (-1,5; 0) и (1; 0) направлены вверх, значит, функция у=2x2+x-3 примет отрицательные значения в промежутке (-1,5; 1).

б) Тоже надо найти корни квадратного уравнения 2x2+x-3=0. Конечно, вы можете находить корни так, как привыкли это делать. Корни найдены. x1=1; x2=-1,5. Разложим квадратный трехчлен на линейные множители по формуле: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Получаем: 2(х-1)(х+1,5)<0.

На числовой прямой берем точки -1,5 и 1 и выясняем знаки на одном из полученных промежутков (для этого подставляем какое-либо число из выбранного промежутка в выражение 2(х-1)(х+1,5) — я подставляла 0 ). 

ent20-3

4. Решите неравенство:

ent20-4

5. Упростите выражение:

ent20-5d

6. Найдите области значения следующей функции:  y=x-|x|. Изобразим график этой функции. Для этого нужно освободиться от модульных скобок согласно определению модуля числа а:

|a|=a, при условии, что a≥0  и  |a|=-a, если a<0.

ent20-6Если x≥0, то  получаем функцию: y=x-x=0. Прямая у=0 — это ось абсцисс Ох.

Если x<0, то функция y=x- (-x)=2x.  График функции у=2х — прямая. Начертили график.  Множество значений функции ує(-∞; 0], иначе, можно записать: у≤0.

7. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn), если b1=16; q=3/4. Решаем. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

ent20-7

8. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике соответственно равны 11,2 см и 22,4 см. Определите меньший из острых углов. Мы заметили, что катет в два раза меньше гипотенузы. Делаем вывод: катет лежит против угла в 30°. Катет, противолежащий углу в 30°, в два раза меньше гипотенузы.

9. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6 см и боковое ребро 30 см.

ent20-9Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 30 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана сторона квадрата,  можно  найти диагональ квадрата, а затем из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора:

MO2=MC2-OC2.   

10. Решите уравнение:

ent20-10

11. Для облицовки стен бассейна используется белая, желтая и черная плитка в отношении 1:1,3:2,7. Взяли 150 плиток. Сколько среди них должно быть плиток белого и желтого цвета вместе? Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда взяли х штук белых плиток, 1,3х штук желтых и 2,7х — черных плиток. Зная, что всего взяли 150 штук, составим уравнение: х+1,3х+2,7х=150, считаем иксы в левой части и получаем: 5х=150, отсюда х=30. Белых и желтых плиток вместе взяли х+1,3х=2,3х. Так как х=30, то белых и желтых плиток получается 2,3·30=69 штук.

12. Требуется найти сумму корней показательного уравнения:

ent20-12

13. Чему равно выражение log5log4log381? Решаем. log5log4log381=log5log44=log51=0.

14. Найдите х/у, где (х; у) — решение системы:

ent20-14

15. Смотрим на правую часть данного тригонометрического уравнения: она отрицательна. Данное уравнение решений не имеет, так как квадрат любого числа не может быть равен отрицательному числу. Ответ: нет корней.

16. Дана функция:

ent20-16

17. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3x2 и прямой у=2х+1. Построим графики этих функций.  Найдем площадь заштрихованной фигуры.

ent20-17

18. Сколько сторон имеет правильный n-угольник, если его каждый угол равен 135°? 

Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника определяется из формулы: S=180°·(n-2), где n - количество углов (сторон) выпуклого n-угольника.  

Зная, что каждый угол данного n-угольника равен 135°, составим уравнение:

180°·(n-2)=135°·n. Раскроем скобки. 180n-360=135n ⇒ 180n-135n=360 ⇒ 45n=360, разделим обе части равенства на 45 и получаем число углов (сторон) n=8.

19. Образующая, высота и радиус большего основания усеченного конуса соответственно равны 26 см, 24 см, 22 см. Вычислите боковую поверхность этого конуса. Решаем. Боковую поверхность усеченного конуса вычисляют по формуле: S=π(R+r)l, где  R — радиус большего основания конуса (по условию R=22 см), r — радиус меньшего основания конуса (неизвестен), l — образующая конуса (по условию l=26 см). Потребуется найти радиус меньшего основания конуса. Рассмотрим усеченный конус с осевым сечением AA1B1B, образующей AA1 и высотой OO1 (по условию OO1=24 см).

ent20-19

20. Решите уравнение:

ent20-20

21. Найдите значение выражения.

ent20-21

22. Решить неравенство:  2sin2x-4sinxcosx+9cos2x>0.  Решаем. Разделим обе части неравенства на cos2x. Так как cos2x>0, то знак неравенства не изменится. Получаем:

2tg2x-4tgx+9>0;  делаем замену: пусть tgx=y. Получаем неравенство: 2y2-4y+9>0. Это неравенство будет верным при любом значении у. Убедимся — найдем дискриминант квадратного уравнения 2y2-4y+9=0.

D=b2-4ac=16-4∙2∙9=16-72=-56<0, что означает- корней нет, т. е. график уравнения (парабола) не пересечет ось Ох. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, при любом значении у мы будем получать только положительные значения f(y). Все еще сомневаетесь? Тогда найдите координаты вершины параболы O’(m; n), где m=-b/(2a)=4:4=1; n=f(m)=f(1)=2-4+9=7. O’(1; 7) — это самая нижняя точка графика. Все остальные точки лежат выше.  Итак, у -любое число. Мы делали замену tgx=y. Значит, и х может быть любым числом. Ответ: (-∞; +∞).

23. В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым членами равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

ent20-23

24. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма, построенного на векторах

ent20-24

25. У деда 9 сыновей, у каждого его сына по 4 сына, а у каждого внука деда по 3 дочери. Сколько правнучек у деда? Рассуждаем. Если у каждого сына по 4 своих сына, то у деда 9·4=36 внуков. Так как у каждого внука по 3 дочери, то правнучек у деда 36·3=108.

 

ЕНТ-2013, вариант 0019.

Дорогие выпускники! Поздравляю вас с окончанием учебного года — последнего в вашей школьной жизни! Желаю вам успешной сдачи экзаменов и поступления в выбранный вами ВУЗ! Перед вами открыты все дороги, помните, что любая из них начинается с одного шага. Сделайте правильный шаг! Я желаю вам здоровья, счастья и удачи! Татьяна Яковлевна. Порешаем?!

1. Число х увеличили на 15%, получили 34,5. Отсюда следует, что х равно: Решаем. Было число х — это 100%, увеличили на 15%, стало 115% или 1,15х. Зная, что получили 34,5, составим уравнение:

1,15х=34,5. Делим обе части на 1,15 и получаем х=34,5:1,15=3450:115=30.

2. Решите уравнение: 14(2х-3)-5(х+4)=2(3х+5)+5х. Решаем. Раскрываем скобки:

28х-42-5х-20=6х+10+5х. Слагаемые с переменной х соберем в левой части равенства, а свободные члены — в правой:

28х-5х-6х-5х=10+42+20; приводим подобные слагаемые.

12х=72. Делим обе части на 12 и получаем х=6.

3. Решите неравенство: 4x-2x2-5≥0.

Преобразуем левую часть неравенства: -2x2+4x-5≥0. Умножим на (-1) и не забудем поменять знак неравенства на противоположный: 2x2-4x+5≤0. Рассмотрим функцию у=2x2-4x+5. Имеем a=2, b=-4, c=5. Графиком этой функции будет служить парабола с вершиной в точке  O’(m; n), где m=-b/(2a)=4/4=1, n=y(m)=y(1)=2∙1-4∙1+5=2-4+5=3. Мы нашли координаты вершины параболы O’(1; 3). Ветви параболы будут направлены вверх, следовательно, парабола не пересечет ось Ох и при любом значении х точки параболы будут лежать выше оси Ох (уравнение оси Ох: у=0). Таким образом неравенство 2x2-4x+5≤0 не будет иметь решений.

4. Вычислить: cos80°·cos20°+sin80°·sin20°. Применим формулу косинуса разности двух углов. Тогда:

cos80°·cos20°+sin80°·sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=1/2.

5. Найдите область значений функции у=3-5cosx. Всегда идут от основной функции. У нас это косинус х. Что мы знаем об области значений функции y=cosx, т. е о том, какие значения может принимать у?

Для функции синуса и косинуса область значений Е(у)=[-1; 1]. Запишем это в виде двойного неравенства:

-1≤cosx≤1. Теперь «оценим» значение -cosx.

-1≤-cosx≤1. Умножаем почленно на 5.

-5≤-5cosx≤5. Ко всем частям двойного неравенства прибавим число 3.

-5+3≤3-5cosx≤5+3. Получаем: -2≤3-5cosx≤8. Таким образом, область значений данной функции Е(y)=[-2; 8].

6. Вычислите интеграл:

ent19-6

7. Если центры вписанной и описанной около треугольника окружностей совпадают, то он: конечно, правильный (равносторонний), так как только у правильного многоугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

8. Радиус основания конуса равен 2 см. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите площадь осевого сечения конуса.

ent19-8Пусть нам дан конус с осевым сечением МАВ, угол АМВ — прямой. МО — высота конуса, радиус основания конуса ОА=ОВ=2 см. Площадь прямоугольного треугольника МАВ равна половине произведения основания АВ на высоту МО.

АВ=4 см, МО=ОА=2см (медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы).

9. В круг вписан квадрат ABCD, у которого известны вершины: B(9; 9) и D(-1; 3). Найдите центр окружности. Решаем. Центр вписанного (и описанного) в круг квадрата есть точка пересечения диагоналей квадрата, в этой точке диагонали делятся пополам. Найдем координаты точки О -центра круга и середины диагонали BD. О((9-1):2; (9+3):2) (координаты середины отрезка — это полусуммы соответственных координат концов отрезка). О(4; 6).

10. Решить уравнение:

ent19-10

11. Решаем. Отвечаем на вопрос задачи: на странице х строк и в каждой строке у букв. Получается, что всего на странице ху букв. Если количество строк и количество букв в строке увеличить на 2, то всего будет (х+2)(у+2) букв. Зная, что в этом случае число букв увеличится на 150, составим первое уравнение системы: 1) (х+2)(у+2)-ху=150. Если же убавить число букв в строке на 3, а число строк на странице на 5, то на странице будет (х-5)(у-3) букв. Зная, что число всех букв в этом случае уменьшится на 280, составим второе уравнение системы: 2) ху-(х-5)(у-3)=280. Упростим каждое из уравнений системы.

1) (х+2)(у+2)-ху=150. Раскроем скобки: ху+2у+2х+4-ху=150, отсюда 2х+2у=146, разделим почленно на 2 и получим:

х+у=73. Можно здесь и остановиться. Смотрите ответы: х-это количество строк, у-количество букв в строке. В каждом из предложенных ответов по два числа, и только ответ С) 35 строк; 38 букв удовлетворяет последнему равенству х+у=73. А если решать дальше, то что будем делать? Упрощаем  уравнение 2) ху-(х-5)(у-3)=280. Получаем ху-ху+3х+5у-15=280, отсюда 3х+5у=295. Из 1) уравнения выразим у=73-х и подставим в уравнение 3х+5у=295. Получим:

3х+5(73-х)=295. Тогда зх+365-5х=295 или -2х=-70, отсюда х=35.

у=73-35=38. Ответ: 35 строк и 38 букв.

12. Решить систему уравнений:

ent19-12

Ну, а если дальше решать, то выражайте х через у, получается х=2+у и подставляйте во второе уравнение. Получится:

22+y-2y=3 ⇒ 22∙2y-2y=3 ⇒ 2y(4-1)=3 ⇒ 2y=1, отсюда y=0. Находим x=2+0=2. Ответ: (2; 0).

13. Решить уравнение:

ent19-13

14. Требуется решить иррациональное уравнение. Возведем обе части равенства в квадрат. Получим:

x-2=64-16x+x2, после упрощения: x2-17x+66=0. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета x1=6, x2=11. Анализируем ответы. Значение х=11 не подойдет, так как правая часть данного уравнения становится отрицательной, а арифметический квадратный корень не может выражаться отрицательным числом. Ответ: 6.

15. Решите уравнение: cos2x=cosx-1. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 2π]. Решаем. Запишем данное неравенство в виде: 1+cos2x-cosx=0 и применим формулу: 1+cos2α=2cos2α. Тогда получим:

2cos2x-cosx=0; вынесем общий множитель за скобки:

cosx(2cosx-1)=0, отсюда или  cosx=0 или 2cosx-1=0. Решим каждое из этих уравнений.

ent19-15

16. В каких точках касательная к графику функции y=f(x) образует с осю Ох угол 45°, если

ent19-16

17. Найдите первообразную для функции f(x)=cos2x. Преобразуем данную функцию, понизив ее порядок по формуле:  1+cos2α=2cos2α.

ent19-17

 18. Стороны прямоугольника пропорциональны числам 3 и 4, а его площадь равна 192 см2. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника. Решаем.

ent19-18Диаметром круга будет служить диагональ АС прямоугольника ABCD, соответственно, радиус круга ОА равен половине АС. Обозначим одну часть через х. Тогда стороны прямоугольника равны и . Зная, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S=ab (a и b — стороны прямоугольника) и равна 192 см2, составим уравнение: 3х·4х=192, тогда 12x2=192, делим на 12, получаем x2=16, отсюда x=4. Итак, одна часть равна 4 см, тогда стороны прямоугольника 3·4=12 см и 4·4=16 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора   AC2=AB2+BC2=122+162=144+256=400, отсюда АС=20 см. (Можно было найти короче и устно: 3, 4 и 5 — пифагорова «тройка» чисел, получается, что на гипотенузу приходится 5 частей, одна часть равна 4 см, значит, гипотенуза составляет 5·4=20 см.).  АС=20 см, поэтому, радиус круга ОА=10 см, и площадь круга S=πR2=π∙102=100π (см2).

19. В правильной четырехугольной пирамиде длина бокового ребра равна 25 см, а площадь основания 800 см2. Найдите высоту пирамиды.

ent19-19Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 25 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана площадь квадрата, которую можно подставить в формулу  S=(1/2)d2, где d — диагональ квадрата. Получаем равенство:  800=(1/2)d2, умножаем обе части на 2 и получаем: d2=1600, отсюда диагональ АС=d=40 см. ОС=20 см. Из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора следует: MO2=MC2-OC2; MO2=252-202=625-400=225, тогда MO=15 см.

20. Найдите значение выражения:

ent19-20

21. Упростите выражение:

ent19-21

22. Решить неравенство:

ent19-22

23. Решить неравенство:

ent19-23

24. Знаменатель геометрической прогрессии 1/3, четвертый член 1/54, а сумма всех членов 121/162. Найти число членов прогрессии. Решаем.

ent19-24

25. Имеется монета. Сколько нужно таких монет, чтобы их можно было расположить вокруг данной монеты так, чтобы все они касались данной монеты и попарно друг друга?

ent19-25Не мудрствуя лукаво, возьмем монетки одного достоинства (например, по 5 тенге) и расположим их, как сказано в условии. Их будет 6. Монетки — не калькулятор и не сотовый телефон — можно взять с собой на экзамен!

 

ЕНТ-2013, вариант 0018.

testovik-ent-2013-11Дорогие выпускники! Началась последняя неделя вашей школьной жизни, и вас закружила суматоха подготовки к Празднику Последнего Звонка! Учителя перестали задавать домашние задания… ах, как славно! НЕ РАССЛАБЛЯЙТЕСЬ — ВПЕРЕДИ ЕНТ! Давно замечено: «Забудешь математику на 2 дня — она тебя забудет на неделю, забудешь ее на неделю — она тебя «кинет» на месяц… » и т. д. Оно вам надо? НЕТ и НЕТ! Помните: чтобы решить — надо решать, и другого не дано. Поэтому — ни дня без теста! Если вы уже все перерешали — обменивайтесь тестовиками с одноклассниками и, кроме того, повторяйте материал по темам. День — тригонометрию, другой день стереометрию и т. д. Как повторять? Да просто проговорите вслух все формулы, поверьте: нужная сама «всплывет» в нужный момент! Желаю вам обрести «второе дыхание» с этой минуты и до окончания экзаменов. Я в вас верю! Татьяна Яковлевна.

P.S. Варианты 0019 и 0020 на подходе!

1. Найдите неизвестный член пропорции: -9,7:(-0,97)=х:(-0,75). Решаем. Можно, конечно, воспользоваться основным свойством пропорции: чтобы найти неизвестный средний член пропорции нужно произведение ее крайних членов разделить на известный средний член пропорции. Но, посмотрев на предложенные числа, выполним деление в левой части равенства:

970:97=х:(0,75) ⇒ 10=х:(-0,75). Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное:

х=-0,75·10  ⇒ х=-7,5.

2. Решаем систему уравнений методом сложения. Для этого второе уравнение умножаем почленно на (-7) и складываем с первым. Получаем 11у=-22, отсюда получаем у= -2 и подставляем во второе уравнение:

х-2·(-2)=5 ⇒ х=1. Ответ: (1; -2).

3. Тест включает 30 заданий: 10 — по арифметике, 15 — по алгебре, остальные по геометрии. В каком отношении находятся в тесте арифметические, алгебраические и геометрические задания? Решаем. Узнаем, сколько заданий по геометрии:

30-10-15=5 — заданий по геометрии. Теперь составляем отношение: 10:15:5. Сокращаем отношение на 5 и получаем: 2:3:1.

4. Существует определение: говорят, что a<b, если разность a-b<0. Ищем в ответах отрицательное число. Это ответ D) -5.

5. Найдите наименьшее целое решение неравенства 97-x≤27.  Решаем. Представим обе части неравенства в виде степеней числа 3. Получаем:

32(7-x)≤33. Так как показательная функция с основанием 3 является возрастающей, то, опуская основания степени, сохраним знак неравенства: 2(7-x)≤3,

раскрываем скобки: 14-2x≤3. Упрощаем: -2x≤-11 и делим обе части неравенства на (-2), при этом знак неравенства меняется на противоположный: x≥5,5. Наименьшее целое число, принадлежащее промежутку [5,5; +∞) - это число 6.

6. Вычислите: sin15°·cos15°. Применим формулу sin2α=2sinαcosα.

sin15°·cos15°=(1/2)sin30°=(1/2)·(1/2)=1/4.

7. Найдите значение производной функции y(xo), если y(x)=3lnx-x2, xo=1. Решаем. Найдем производную функции y(x) и подставим вместо х значение xo=1.

ent18-7

8. Углы параллелограмма пропорциональны числам 9 и 3. Чему равна разность двух углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма? Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда углы параллелограмма и . Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне, равна 180°, составим уравнение:

9х+3х=180, отсюда 12х=180. Делим обе части на 12 и получаем х=15. Требуется найти разность углов параллелограмма. В частях это 9х-3х=6х. Так как х=15, то искомая разность углов равна 6·15°=90°.

9. Радиусы двух шаров относятся как 2:3. Как относятся их площади поверхности? Отвечаем. 1) Все шары подобны. 2) Площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров. Площади поверхностей будут относиться как

22:32, т. е. как 4:9.

10. При каких значениях k уравнение 2x2+kx+18=0 имеет один корень? Решаем. Квадратное уравнение имеет единственный корень (два равных корня), если дискриминант D=0. Составляем выражение D=b2-4ac. Для наших значений a=2, b=k, c=18 получаем D=k2-4∙2∙18=k2-144. Так как должно выполняться условие D=0, то получим уравнение k2-144=0, отсюда k2=144, в результате k=±12.

11. Решим первое уравнение системы. Так как 25=52, то опустив основания степени и приравняв показатели, получаем равенство: |x-1|=2. Тогда либо х-1=2⇒х=3, либо х-1=-2⇒х=-1 (модули чисел 2 и (-2) равны двум). Полученные значения х подставляем во второе уравнение системы (х+у=3). Если х=3, то у=0; если х=-1, то у=4. Решением системы будут пары значений х и у: (3; 0) и (-1; 4).

12. Найдите произведение корней уравнения:

ent18-12

13. Данное уравнение не имеет корней, так как квадрат любого числа (у нас квадрат суммы синуса и косинуса) не может быть равен отрицательному числу.

14. Последовательность, заданная формулой an=5+2n, является арифметической прогрессией. Найдите сумму ее первых двенадцати членов. Решаем. Воспользуемся следующей формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии:

ent18-14

15. Найдите область определения функции:

ent18-15

16. Найдите производную функции y(x)=sinex. Решаем. Нам дан синус. Производная синуса - это косинус. Так как аргумент у синуса был сложный, то находим производную ex и умножаем на косинус. Итак, y’(x)=cosex∙(ex)’=ex∙cosex.

17. Найти площадь круга, если длина окружности равна 8π см. Решаем. Чтобы найти площадь круга по формуле S=πR2, нам нужно знать радиус круга R. Длина окружности, вычисляемая по формуле С=2πR, по условию, равна 8π. Тогда радиус круга R=8π:2π=4 (см). Искомая площадь круга S=π∙42=16π (см2).

18. Задача на пирамиду. Основание пирамиды MABCD - прямоугольник ABCD. МА перпендикулярно (АВС). Если АС=5 см, угол MDA равен 60°, то найдите МА и объем пирамиды.

ent18-18s

19. Найдите координаты точек пересечения прямой у=-х+9 и данной окружности. Решаем. Подставим значение у в уравнение окружности. (x-6)2+(-x+9-6)2=32∙5. Упростим: (x-6)2+(3-x)2=45; раскроем скобки: x2-12x+36+9-6x+x2=45; перенесем число 45 в левую часть (не забыв поменять знак) и приведем подобные слагаемые:  2x2-18x=0. Решаем полученное неполное квадратное уравнение 2x(x-9)=0. Получаем: x=0 и x=9. Тогда, подставив эти значения в уравнение прямой у=-х+9, получаем: y=9  и y=0. Точки пересечения прямой и окружности: (0; 9) и (9; 0).

20. Вычислить:

ent18-20

21. Найдите значение выражения:

ent18-21

22. Решить уравнение:

ent18-22

23. Решить уравнение: sinx+sin5x+cosx+cos5x=0. Решаем. Сгруппируем слагаемые: (sin5x+sinx)+(cos5x+cosx)=0 и применим формулы преобразования суммы синусов и суммы косинусов в произведение.

ent18-23

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3-|x-3| и прямой у=0. Решаем. Прямая у=0 - это ось Ох. Построим график функции y=3-|x-3|. Для этого нам нужно освободиться от модульных скобок, и освобождаться мы будем по определению модуля числа а|a|=a, если a≥0; |a|=-a, если a<0.

1) Если х-3≥0, т.е. если х≥3, то функция примет вид: у=3-(х-3)=3-х+3=-х+6. Следовательно, на промежутке [3; +∞) нужно строить прямую у=-х+6.

2) Если х-3<0, т.е. если x<3, то функция примет вид: у=3+(х-3)=3+х-3=х. Следовательно, на промежутке (-∞; 3] нужно строить прямую у=х.

ent18-24

25. Человек говорит: «Я прожил 50 лет, 50 месяцев, 50 недель, 50 дней и 50 часов». Сколько ему лет? Рассуждаем. Мы знаем, что год состоит из 12 месяцев, поэтому от 50 месяцев возьмем 48 месяцев = 4 года и добавим к 50 годам, получается 54 года. А сколько осталось? 2 месяца (от 50 месяцев) плюс 50 недель плюс 50 дней плюс 50 часов. Потянет это на один год? Да, так как год состоит примерно из 52 недель (52 недели умножим на 7 дней и получим 364 дня). Добавим к 54 годам еще один год. Ответ: человеку 55 лет.

ЕНТ-2013, вариант 0017.

1. Спрашивают, во сколько раз 4 кг больше, чем 200 г. Так как 4 кг=4000 г, то делим 4000 г на 200 г и получаем 20. Ответ: соотношение 4 кг к 200 г равно 20.

2. На собрании рабочих цеха присутствовало 69 человек, что составляло 92% всех рабочих цеха. Сколько рабочих присутствовало на собрании? Решаем. Найдем число по его процентам, т. е. найдем общее количество рабочих цеха, зная, что 92% всех рабочих — это число 69. Чтобы найти число по его процентам, нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное число на эту дробь. 92%=0,92.

69:0,92=6900:92=75. Всего в цехе 75 рабочих, следовательно отсутствовало 75-69=6 человек.

3. Вычислить:

ent17-3

4. Решить уравнение: logx(x2+5x-5)=2. Решаем. Запишем число 2 в виде логарифма по основанию х.

logx(x2+5x-5)=logxx2 ⇒ x2+5x-5=x2 ⇒  5x=5 ⇒ x=1. Не подойдет, так как основание логарифма не должно быть равно единице. Корней нет.

5. Решим неравенство. Умножим обе части данного неравенства на 14 — наименьший общий знаменатель данных дробей и получим неравенство:

2(7х+1)-2x>11x-3; раскроем скобки:

14x+2-2x>11x-3. Соберем слагаемые с переменной в левой, а свободные слагаемые — в правой части неравенства:

14x-2x-11x>-3-2  ⇒  x>-5.

6. Решить неравенство:

ent17-6-1

7. Понизим порядок выражения, применив формулу:  1+cos2α=2cos2α. Тогда данное выражение преобразуется к виду:

1+cosα-cosα=1.

8. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=tgx в точке xo=π/4. Решаем. Значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой xo равна тангенсу угла наклона касательной к графику данной функции в точке xo. tgα=f ‘(xo). В этом заключается геометрический смысл производной. Найдем производную данной функции, а затем подставим в нее значение xo=π/4.

ent17-8

9. Периметр трапеции равен 36, а сумма непараллельных сторон равна 12, тогда средняя линия трапеции равна:

полусумме оснований трапеции, т. е. равна (36-12):2=12.

10. Найдите значение выражения x1∙y1+x2∙y2, где (х; у) — решение системы двух уравнений:

1) (х-1)(у+10)=9  и 2) х-у=11. Решаем. Выразим х через у из 2) уравнения. Получим:

х=11+у. Подставим это значение в 1) уравнение. Получим:

(11+у-1)(у+10)=9 ⇒ (10+у)(у+10)=9 ⇒ (y+10)2=9. Это возможно, если у+10=-3 ⇒ у=-13 или если у+10=3 ⇒ у=-7. Каждое из этих значений подставим в равенство х=11+у и найдем х.

При у=-13 получаем х=11-13=-2. При у=-7 получим х=11-7=4. Решение системы: пары чисел (-2; -13) и (4; -7). Тогда

x1∙y1+x2∙y2=-2·(-13)+4·(-7)=26-28=-2.

11. Решить систему уравнений:

ent17-11

12. Решить уравнение: sin5xsin3x-sin23x=0. Решаем. Вынесем общий множитель sin3x за скобки.

ent17-12

13. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой четвертый член равен (-16), а первый член равен 2.

ent17-13

14. Найдите область определения функции y=log2(x2-x)+lgx.  Нужно найти все значения переменной х, при которых функция имеет смысл. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то необходимо, чтобы выполнялись  условия:  x>0 и x2-x>0. Решаем последнее неравенство x2-x>0. Выносим х за скобки. Получаем: х(x-1)>0. Произведение двух чисел положительно, если сомножители имеют одинаковые знаки. Так как x>0, то и второй множитель х-1>0, отсюда x>1. Общее решение: «больше большего» — это x>1. Область определения D(y)=(1; +∞).

15. Найдите производную функции:

ent17-15

16. К двум касающимся друг друга окружностям, проведена касательная прямая, с расстоянием между точками касания 20 см. Определите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 5 см.

ent17-16

17. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота равна 2 см. Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания. Решаем. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD высота МО=2 см (О — центр вписанной и описанной окружности около квадрата ABCD), сторона квадрата AD=CD=4 см. Построим угол α — наклона боковой грани (MCD) к плоскости основания (ABCD). Углом между двумя плоскостями называется угол между двумя полупрямыми, перпендикулярными линии пересечения данных плоскостей.  

ent17-17

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП). Прямая (CD), проведенная на плоскости через основание наклонной (МК) перпендикулярно ее проекции (ОК) будет перпендикулярна и самой наклонной (CD  перпендикулярна MK).

18. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания, если угол между высотой конуса и образующей равен 45°. Решаем. Дан конус с осевым сечением МАВ, МО — высота конуса. Угол ОМВ=45° — это угол между высотой конуса МО и образующей МВ.

ent17-18

19. Даны модуль суммы и модуль разности двух векторов, а также модуль одного из векторов, требуется найти модуль другого вектора.

ent17-19sait

20. Сумма 135+115 оканчивается цифрой 4. Как рассуждаем? Судим по последней цифре степеней числа 3 (3;  9; 7; 1; 3), следовательно, 135 оканчивается на «3«. Степени числа 1 оканчиваются на «1«.

21. Выполнить действия:

ent17-21

22. Требуется найти

ent17-22

23. Решить систему тригонометрических неравенств:

ent17-23

24. Найти площадь заштрихованной фигуры. Фигура ограничена параболой сверху, осью Ох снизу и прямыми х=0 и х=3 слева и справа. Найдем уравнение параболы. Вершина параболы находится в точке (1; 1), следовательно, функция имеет вид:      y=a(x-m)2+n,  где m и  n – координаты вершины O1(m; n), подставим координаты вершины и получим: y=a(x-1)2+1.  Чтобы определить значение а, подставим в последнее уравнение координаты точки графика (0; 2). Получаем:  2=a(0-1)2+1⇒ a=1 и функция задается уравнением:  y=(x-1)2+1. Раскроем скобки  y=x2-2x+1+1  или y=x2-2x+2. Площадь фигуры находим по формуле:

ent17-24

25. Ира, Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша больше, чем Витя. Кто собрал грибов больше? Рассуждаем. Наташа подходит безоговорочно. Алеша собрал больше Вити, но и Ира собрала не меньше всех (может быть, больше Алеши!). Получается, что Наташа и Ира собрали грибов больше, чем Алеша и Витя.

 

Страница 3 из 512345
Архивы
Математика в видео.
Наверх