тест-обучение

Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2013, вариант 0016.

1. Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на линейные множители:

ax2+bx+c=a(x-x1)∙(x-x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0, а также

 теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0.

  Сумма корней: x1+x2=-p; произведение корней: x1∙x2=q.

У нас: x2+6x+8=0, тогда  x1+x2=-6; x1∙x2=8.

Корни: x1=-4, x2=-2. Тогда: x2+6x+8=(х+4)(х+2).

2. Решим уравнение: log7(4x2-18x+13)-log7(2x-8)=0. 

Перепишем равенство в виде: log7(4x2-18x+13)=log7(2x-8). Потенцируем ( убираем значки логарифмов), рассуждая так: логарифмы равны, основания логарифмов одинаковое, значит, и числа под знаками логарифмов будут равны. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то будем иметь в виду,

что 4x2-18x+13>0 и 2x-8>0. Теперь нужно решить уравнение:

4x2-18x+13=2x-8. Переносим слагаемые из правой части равенства в левую и приводим подобные члены.

4x2-20x+21=0. Это полное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом.

a=4; b=-20; c=21. Используем формулы решения полного квадратного уравнения для четного второго коэффициента:

ent16-2

Ни один из найденных корней квадратного уравнения не является корнем данного логарифмического уравнения, так как не удовлетворяет условию  2x-8>0. Ответ: корней нет. Справка: вы могли бы не решать, а делать проверку, подставляя предложенные ответы — наверняка бы заметили, что при любых предложенных значениях х выражение под знаком логарифма log7(2x-8) будет отрицательным, что недопустимо!

3. Решить уравнение:

ent16-3

4. Дано неравенство: -3≤x<1,5. Ответ: [-3; 1,5). Так как значение -3 удовлетворяет неравенству, то на числовой прямой точка, соответствующая числу -3 будет закрашенной, а точка, соответствующая числу 1,5 будет пустой — не закрашенной (выколотой).

ent16-4

5. По синусу угла α  во второй четверти нужно найти cosα. Во второй четверти косинус имеет знак «, поэтому:

ent16-5

6. Найдем q — знаменатель геометрической прогрессии, а затем четвертый член умножим на q.

ent16-6

7. Вспомним определение нечетной функции. Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение () также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(- x)=- f(x)Подойдет под это определение только функция в ответе В).

8. Площадь ромба равна 8, высота 2, тогда сторона ромба равна площади ромба, деленной на высоту: а=8:2=4. (Формула площади ромба: Sp.=a∙h).

9. Помним, что если векторы складывают, то складывают и их соответственные координаты; если умножают число на вектор, то это число умножают на каждую координату вектора.

ent16-9

10. Будем считать, что нам даны значения корней x1 и х2. А по теореме Виета:

x1+ х2=-p; x1· х2=q. Считаем и получаем:

-p=6 ⇒ p=-6; q=32-2=7. Приведенное квадратное уравнение имеет вид: x2+px+q=0, подставляем найденные значения  p и q и получаем ответ: x2-6x+7=0.

11. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определите, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что из первой трубы в час вытекает на 50% больше, чем из второй. Решаем. Пусть из второй трубы вытекает х воды в час. Это количество воды примем за 100%. Из первой трубы вытекает воды на 50% больше, чем из второй — это 150% или 1,5х в час. Две трубы за один час нальют х+1,5х=2,5х воды. Зная, что две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов, составим уравнение: 2,5х·6=1. За единицу принимаем вместимость бассейна (объем бассейна).

15х=1  ⇒  х=1:15. Это означает, что за один час через вторую трубу бассейн наполнится на 1/15 часть, т. е. за 15 часов бассейн наполнится через вторую трубу. Через первую трубу в час нальется в 1,5 раз больше, следовательно, для наполнения всего бассейна через первую трубу, потребуется в 1,5 раз меньше времени, т. е. 15:1,5=10 часов.

12. Нужно решить иррациональное уравнение. Возведем обе части равенства в квадрат, а единицу представим в виде степени:

1=20. Опускаем основания степеней и приравниваем показатели:

x2-7x=0 ⇒ x(x-7)=0 ⇒ x=0 или x=7. Подходят оба эти значения.

13.  Решить иррациональное уравнение. Это уравнение решений не имеет — смотрите сами: если число 12 перенести в правую часть (получаем 15-12=3), умножаем обе части на (-1) и оказывается,что арифметический квадратный корень будет равен (-3), а это невозможно!

14. Решить уравнение: tgx·(cosx+2)=0. Решаем. Так как cosx+2≠0 ни при каком значении х (так как |cosx|≤1), то равенство будет верным, если tgx=0, отсюда х=πn, nєZ.

15. Выражение в правой части равенства будет иметь смысл, если: 1) x≠0 (знаменатель дроби отличен от нуля); 2) 7x+1≥0 ⇒ 7x≥-1  ⇒  x≥-1/7 (подкоренное выражение в числителе дроби неотрицательно). Область определения D(y)=[-1/7; 0)U(0; +∞). Ответ записан в виде Е) [-1/7; +∞), x≠0.

16. Найти производную функции: f(x)=e3sinx.  Решаем.

f ‘(x)=(e3sinx)’= e3sinx∙(3sinx)’=3cosx∙ e3sinx.

17. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его каждый угол равен 150°Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника определяется из формулы: S=180°·(n-2), где- количество углов (сторон) выпуклого n-угольника.  

Зная, что каждый угол данного n-угольника равен 150°, составим уравнение:

180°·(n-2)=150°·n. Раскроем скобки. 180n-360=150n ⇒ 180n-150n=360 ⇒ 30n=360, разделим обе части равенства на 30 и получаем число углов (сторон) n=12.

18. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 3см3, а высота равна 1 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Решаем. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат ABCD, а вершина пирамиды M проектируется в точку O — пересечение диагоналей квадрата (O - это центр описанной и вписанной в квадрат окружности). МО — высота пирамиды.

ent16-18

19. Известна площадь осевого сечения цилиндра. Требуется найти площадь его боковой поверхности. Решаем. Дан цилиндр с осевым сечением  АА1В1В.

ent16-19

 20. Выполним действия.

ent16-20

21.  Вычислим:

ent16-21

22. Решить систему логарифмических неравенств:

ent16-22

23. Смотрите вариант 0001 — 23. Только со скобками будьте внимательны (знак «» — скобка квадратная, знак «<» — скобка круглая).

24. Найти общий вид первообразных для функции:

ent16-24

25.  Известно, что 3a2=2b3.  Число а увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилось число b? Выясним чему равно число b — как оно зависит от а? Для этого выразим число b через а.

ent16-25

ЕНТ-2013, вариант 0015.

1. Вычисляем:

ent15-1-1

2. Вычислить:

ent15-2

3. Так как 0=log21, то, убрав значки логарифмов, получаем:

(3х-5):4=1, отсюда 3х-5=4; 3х=9; х=3.

4. Решаем каждое неравенство по отдельности:

1) 7+2x>5+x ⇒ x>-2.

2) 2-3x≥2x-8 ⇒ -5x≥-10 ⇒ x≤2. Получили -2<x≤2. Ответ: (-2; 2].

5. Найти область определения функции: y=log5(2-3x). Областью определения функции служит множество таких значений переменной, при которых выражение в правой части функции имеет смысл. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то должно выполняться условие:

2-3x>0 ⇒ -3x>-2. Разделим обе части неравенства на (-3), изменив при этом знак неравенства на противоположный. Получаем x<2/3. Ответ: (-∞; 2/3).

6. Применим основное тригонометрическое тождество: sin2α+cos2α=1, тогда:

ent15-6

7. Чтобы найти первые пять членов данной последовательности с общим членом bn=4-5n, нужно в эту формулу подставлять по очереди числа 1; 2; 3; 4 и 5.

b1=4-5∙1=4-5=-1. Уже можно было бы прекратить вычисления, так как только один ответ D) начинается с числа -1. Ну уж ладно, продолжим — сейчас то у нас времени побольше!

b2=4-5∙2=4-10=-6;

b3=4-5∙3=4-15=-11;

b4=4-5∙4=4-20=-16;

b5=4-5∙5=4-25=-21. Ответ: -1; -6; -11; -16; -21.

8. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее. Находим значения функции y(x)=sinx+x на концах отрезка [0; π].

y(0)=sin0+0=0;

y(π)=sinπ+π=0+π=π. Найдем производную y ‘(x)=(sinx+x)’=cosx+1. Находим критические точки функции:

y ‘(x)=0 ⇒ cosx+1=0 ⇒ cosx=-1 ⇒ x=π+2πn, nєZ. В данный промежуток [0; π] входит только х=π. Значение у(π) мы уже находили. Итак, наибольшее значение унаиб., наименьшее значение унаим.=0.

9. Представили себе эти точки, подсчитали, что 5+7=12 и поняли: 12-ти частям (из 24-х) соответствует полуокружность. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 90°. Но можно, конечно,  порешать и подольше — традиционным методом.

Обозначим одну часть через х. Тогда градусные меры дуг между точками деления окружности будут равны 5х, 7х и 12х. Вся окружность составляет 360°, Получаем уравнение:

5х+7х+12х=360° ⇒ 24х=360°, делим обе части на 24 и получаем х=15°. Тогда наибольшая из дуг равна 12·15°=180°, а вписанный угол (наибольший угол треугольника), который опирается на эту дугу равен половине градусной меры дуги, т. е. равен 180°:2=90°.

10. Решите относительно х уравнение: 4+ах=3х+1. Уравнение с параметром решают так, как если  вместо параметра а было бы число. Соберем слагаемые, содержащие переменную х в левой части равенства, а свободные члены — в правой.

ent15-10

11. Через каждый час расстояние  между поездами становится на (70+80) км больше, поэтому, через 600:(70+80) часов, т. е. через 4 часа расстояние между ними будет равным 600 км. (70 км/ч + 80 км/ч=150 км/ч — это скорость удаления).

12. Дано уравнение: 22x-6∙2x+8=0. Требуется найти сумму его корней. Решаем. Сделаем замену переменной: пусть 2x=у. Тогда уравнение примет вид: y2-6y+8=0.  Находим корни по теореме Виета:

y1=2, y2=4. Возвращаемся к переменной х:

1) 2x=2 ⇒ x=1; 2) 2x=4 ⇒ x=2.  Сумма корней 1+2=3.

13. Возведем обе части равенства в квадрат:

x2+5=4+2x;

x2-2x+1=0 ⇒ (x-1)2=0 ⇒ x-1=0 ⇒ x=1.

14. Найдем значение выражения:

ent15-14

15. Чтобы выражение в правой части равенства имело смысл, должны выполняться условия:

1) х-3≥0  ⇒ х≥3 (под знаком арифметического квадратного корня может быть только неотрицательное число);

2) х+5>0  ⇒ х>-5 (под знаком логарифма могут быть только положительные числа).

Общее решение: х≥3 (выбрали «больше большего»).

Область определения данной функции есть промежуток значений [3; +∞).

 16. Требуется записать уравнение касательной к графику функции f(x)=-x2-4x+2  в точке с абсциссой x0=-1. Решаем. Запишем уравнение касательной в общем виде:

y=f(x0)+f ‘(x0)∙(x-x0). Выполним необходимые вычисления:

f(x0)=f(-1)=-(-1)2-4∙(-1)+2=-1+4+2=5;

f ‘(x)=(-x2-4x+2)’=-2x-4;

f ‘(x0)=f ‘(-1)=-2∙(-1)-4=2-4=-2.   Подставляем нужные значения в уравнение  касательной:

у=5-2·(х+1). Раскроем скобки и упростим:

у=5-2х-2 или у=-2х+3.

17. Известны стороны параллелограмма и угол между этими сторонами. Нужно найти диагональ, лежащую против данного угла. Любой отрезок находится из треугольника. Искомая диагональ является неизвестной стороной в треугольнике со сторонами 2 см и 3 см и углом 60° между ними. Применим теорему косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

ent15-17

18. Пусть дан конус с осевым сечением МАВ, радиус основания конуса АО=4 см, высота МО=8 см. Конус пересечен плоскостью (круг с центром в точке O1 и радиусом А1О1), параллельной основанию и находящейся на расстоянии 5 см от его вершины (МО1=5 см).  Требуется найти площадь сечения, т. е. нам нужно найти площадь круга с центром в точке O1 и радиусом А1О1. Площадь круга находится по формуле: S=πr2, где r — радиус круга. Нужно найти радиус круга r=А1О1.

ent15-18-1

19. В конус с высотой 15 см и радиусом 10 см вписан цилиндр с высотой 12 см. Найдите объем цилиндра.

ent15-19

20. Турист прошел за первый день 40% маршрута, во второй день 45% остатка, после чего ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день. Весь маршрут составляет: ОТВЕЧАЕМх км. Тогда в первый день он прошел 40% от х — это 0,4х км (чтобы найти проценты от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь и умножить на данное число). Остаток составит х-0,4х=0,6х (км). Во второй день  он прошел 45% от 0,6х — это 0,45·0,6х=0,27х (км). Складываем путь, пройденный за два дня: 0,4х+0,27х=0,67х (км). Туристу осталось пройти х-0,67х=0,33х (км). Зная, что ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день, составим уравнение:

0,33х-0,27х=6  ⇒ 0,06х=6  ⇒ х=6:0,06=600:6=100 (км).

Ответ: весь путь составляет 100 км.

21. Упростим выражение:

ent15-21

Для этого нам понадобилось знание следующих формул:

1) a3+b3=(a+b)∙(a2-ab+b2). У нас: a3+27=a3+33=(a+3)∙(a2-3a+9).

2) a2-b2=(a+b)∙(a-b). У нас: a2-9=a2-32=(a+3)∙(a-3).

3) ax2+bx+c=a(x-x1)∙(x-x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

4) Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0.

  Сумма корней: x1+x2=-p; произведение корней: x1∙x2=q.

У нас: x2+3x-10=0, тогда  x1+x2=-3; x1∙x2=-10. Корни: x1=-5, x2=2.

Разложили на множители: x2+3x-10=(x+5)(x-2).

22. Решить неравенство: sin2x-3sinxcosx+2cos2x<0. Решаем. Разделим обе части неравенства на cos2x,  (где cos2x>0).

Получаем: tg2x-3tgx+2<0. Сделаем замену: tgx=y, тогда получим неравенство: y2-3y+2<0. По теореме Виета найдем корни приведенного квадратного уравнения: y2-3y+2=0. Получаем: y1=1, y2=2. Тогда y2-3y+2<0 при yє(1; 2), это значит, что tgx є(1; 2).  Если tgx=1, то x=π/4+πn. Если tgx=2, то x=arctg2+πn, nєZ. Ответ: π/4+πn<x<arctg2+πn, nєZ.

23. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью Ох, сверху графиком функции y=f(x), а слева и справа прямыми х=а и х=b,  находят по формуле:  ent15-23У нас a=-3, b=0, а функция y=f(x) пока не  определена. График — парабола, вершина которой находится в точке (-2; 0), следовательно, уравнение данной квадратичной функции имеет вид:

y=a(x+2)2.  Подставим координаты (0; 4) в это равенство:

4=a(0+2)2 ⇒ a=1.  Итак, наша функция: y=(x+2)2. Находим площадь заштрихованной фигуры.

ent15-23-1

24. Прямая у=ах+b перпендикулярна прямой у=0,5х-4 и проходит через точку С(2; 6). Составьте ее уравнение. Решаем. Так как прямые взаимно перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно (-1), т. е. а·0,5=-1, отсюда а=-1:0,5=-10:5=-2. Вид нашей прямой: у=-2х+b. Чтобы определить значение b, подставим в это уравнение координаты данной точки С(2; 6).

6=-2·2+b ⇒ b=6+4=10. Получаем: у=-2х+10.

25. Так как в году 12 месяцев, то к 45 месяцам добавим еще 3 месяца — это 3·(≈4,5)≈ 27 недель. Тогда человеку 45+4=49 полных лет.

ЕНТ-2013, вариант 0014.

1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

ent14-1

2. Преобразуем выражение под знаком логарифма и применим формулу логарифма частного.

ent14-2

3. Решить уравнение: 2∙log9(7x-1)=3. Решаем. Разделим обе части равенства на 2.

log9(7x-1)=1,5. По определению логарифма 7х-1=91,5.   Так как 91,5=(32)1,5=33=27, то получаем равенство:

7х-1=27  ⇒ 7х=28 ⇒ х=4.

4. По определению модуля условию удовлетворяют такие значения переменной под знаком модуля (справа и слева от нуля), расстояние от которых до нуля не менее, чем значение арифметического квадратного корня из трех. Ответ: С).

5. Представим число 5 в виде логарифма по основанию 2. Получаем:

log2x≤log232  (32=25). Опускаем значки логарифмов, сохраняя знак неравенства (логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей). Итак, х≤32 и х>0 (под знаком логарифма могут быть только положительные числа), а также х>17 (было по условию). Общее решение системы неравенств: 17<x≤32 или xє(17; 32].

6. Применим основное тригонометрическое тождество: sin2α+cos2α=1, тогда:

ent14-6

7.  Вместо n поочередно в данную формулу подставляем значения: 1; 2; 3; 4; 5 и выполняем действия. Ответ: 0; 0; 0; 0; 0.

8. Для нахождения функции, обратной данной, нужно: 1) выразить х через у; 2) вместо х написать у, а вместо у написать х. 1) Возведем обе части данного равенства в квадрат и выразим х.

y2=x-3 ⇒ x=y2+3.

2) y=x2+3 — функция, обратная данной.

9. Такое возможно только в прямоугольном треугольнике: углы 45°, 45° и 90°. Но если не догадались — решайте, как обычно, т. е одну часть обозначьте через х. Тогда углы в данном треугольнике будут равны х; х и . Так как сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, можно составить уравнение:

х+х+2х=180 ⇒ 4х=180, а х=180:4=45. Получаем углы: 45°, 45° и 90°.

10. Решим систему методом сложения: умножим первое равенство на (-2), а второе на 3 и сложим их почленно. Получаем 11у=22, отсюда у=2. Подставляем значение у=2 в любое из уравнений, например, в уравнение 4х+7у=2 и находим х.

4х+7·2=2 ⇒ 4х=-12 ⇒ х=-3. Ответ: (-3; 2).

11. Имеется 90 г. раствора, содержащего 20% соли. Нужно получить 9%-ый раствор. Какова масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору? Решаем. В 90 граммах 20%-го раствора содержится 0,2·90=18 граммов соли. (Чтобы найти проценты от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число). Пусть х граммов — масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору, чтобы получить 9%-ый раствор. В (х+90) граммах 9%-го раствора содержится 0,09·(х+90) граммов соли. А так как соли не прибавилось и не убавилось — получаем равенство:

0,09·(х+90)=18 х+90=18:0,09 х+90=1800:9 х+90=200 х=110.

12. Складываем данные равенства почленно, получаем: 2∙3x=54, отсюда 3x=27, а х=3. Если в уравнение 3x+2y=31  подставить вместо 3x значение 27, то получаем: 2y=4, отсюда у=2. Решением системы является пара чисел (3; 2). В ответе требуется найти разность 3х-2у. Подставляем: 3·3-2·2=9-4=5. 

13. Найдите значение выражения х+у, где (х; у) — решение системы:

ent14-13

14. Решить уравнение:

ent14-14

15. Так как координаты точки пересечения графиков данных функций удовлетворяют каждому уравнению, то справедливо равенство: 4x2+3x+6=3x2-3x-3.  Соберем все слагаемые в левой части равенства и приведем подобные члены. Получаем:

x2+6x+9=0. Свернем полный квадрат двучлена:

(x+3)2=0 ⇒ x=-3. Подставим значение х во второе уравнение (можно было подставить и в первое уравнение) и вычислим значение y(-3)=3∙(-3)2-3∙(-3)-3=27+9-3=33.

Ответ: (-3; 33).

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

y(x)=2x2-9x+10 на отрезке  [0; 2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее. Находим значения функции на концах отрезка.

y(0)=10; y(2)=2∙22-9∙2+10=2∙4-18+10=0. Найдем производную:

y ‘(x)=(2x2-9x+10)’=4x-9 ⇒ x=9:4=2,25 — критическая точка функции.

2,25∉[0; 2]. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции будут на концах отрезка:

унаиб.=10, унаим.=0.

17. Найдем сумму оснований трапеции: из периметра вычтем сумму боковых сторон. Тогда сумма оснований a+b=66-(17+19)=66-36=30. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, т. е. равна 30:2=15.

18. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1200 см3.

ent14-18

19. Радиус основания конуса равен 4 см. Через середину высоты проведена плоскость параллельно основанию. Найдите площадь полученного сечения. Задача аналогична задаче 17 из варианта 0012.

Радиус сечения в 2 раза меньше радиуса основания, следовательно, площадь сечения в 4 раза меньше площади основания конуса. Можно найти площадь основания конуса и разделить ее на 4.

Sосн.=πR2=π∙42=16π (см2). Тогда Sсеч.= 16π:4=4π(см2).

20. Вы знаете, что модуль положительного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Выясняете, какой знак имеет выражение в модульных скобках, а затем действуете по правилу.

ent14-20

21. Решить уравнение: |x+3|+|2x-1|=8. Решаем. Так как х+3=0 при х=-3, а 2х-1=0 при х=0,5, то корни данного уравнения нужно искать на каждом из интервалов: I (x<-3); II (-3≤x<0,5); III (x≥0,5). На каждом из этих интервалов модульные скобки раскрываются по правилу, а затем решается полученное уравнение. Корень (если он будет) должен принадлежать рассматриваемому интервалу.

ent14-21

22. Смотрите вариант 0001, задание 23. То же самое, только там неравенства строгие были, поэтому скобки круглые, а в данной системе неравенства нестрогие, и ответ С) дан в виде закрытого числового промежутка (скобки квадратные).

23. Для функции f(x)=6x2+2 найти первообразную F(x), график которой проходит через точку М(-1; 2). Решаем. Первообразная F(x)=2x3+2x+C. (Проверим — должно выполняться равенство: F ‘(x)=f(x)). Так как график первообразной проходит через точку М, то координаты этой точки должны удовлетворять равенству:  F(x)=2x3+2x+C. Подставим значения х=-1 и у=2  в это равенство и найдем С.

2=2∙(-1)3+2∙(-1)+C. Выполним действия:

2=-2-2+C   C=6. Тогда искомое уравнение первообразной: F(x)=2x3+2x+6.

24. Даны модули двух векторов и угол между ними. Требуется найти модуль разности этих векторов. Решаем.

ent14-24

25. По условию, в коробку вмещается 60 красных кубиков (60k) или 72 синих кубика (72s).  Получается, что 60k=72s. Разделим почленно на 12 обе части равенства и получим: 5k=6s. Это означает: 5 красных кубиков занимают столько же места, сколько 6 синих кубиков. Возвращаемся к задаче. В коробку положили 45 красных кубиков, значит, осталось места на 15 красных кубиков. Так как 5k=6s, то 15k=3·5k=3·6s=18s. Ответ: еще поместится 18 синих кубиков.

ЕНТ-2013, вариант 0013.

testovik-ent-2013-131. Данный одночлен требуется привести к стандартному виду, т.е. записать выражение в виде произведения числового множителя на буквенные (с их степенями), записанными в алфавитном порядке.

ent13-1

2. Вычислим: log2log2log2216=log2log216=log24=2.

3. Решить уравнение:

ent13-2

4. Данное неравенство верно при любых допустимых значениях переменной х, т.е. при хє[0; +∞). Арифметический квадратный корень - это неотрицательное число.

5. Заменяем косинус и синус данных углов их числовыми значениями и получаем: 0-(-1)=1.

6. Поставим в формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеющиеся данные. У нас S=0,5; q=0,25.

ent13-6

7. Вычислим определенный интеграл:

ent13-7

8. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата. Представили себе вписанную в квадрат окружность, которая касается всех сторон квадрата, диаметр окружности равен стороне квадрата. По условию сторона квадрата равна 12 см, значит, радиус вписанной окружности r=12:2=6(см).

9. При умножении вектора на скаляр (на число), мы каждую координату вектора умножаем на это число.

ent13-9

10. Не решайте такие системы, а подставляйте предложенные ответы (начиная с ответа А)) в то уравнение, которое проще. В данном случае, пары значений х и у лучше подставлять во 2-ое уравнение.  Так как х+у=5, то подойдут лишь пары значений (3; 2) и (2; 3) (ответ D)).

11. Обозначим первоначальную стоимость товара через х. Это 100%. После первого снижения на 20%, осталось 80% первоначальной стоимости, это 0,8х. После второго снижения на 25% товар стал стоить 75% от последней цены, т. е. 0,75·0,8х=0,6х. Сравниваем: было х, стало 0,6х, т. е. было 100%, остал0сь  60%. Вывод: первоначальную цену товара снизили на 40%.

12. Смотрим ответы. Так как под знаком логарифма могут быть лишь положительные числа, то ответы В), D) и Е) сразу отпадают. Выбирать придется между ответами А) и С). Первому уравнению системы удовлетворяют и пары (1; 4), (4; 1) (ответ А)) и пары (2; 3), (3; 2) (ответ С)). Подставляем пару (1; 4) во 2-ое уравнение системы. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, а логарифм четырех по основанию шесть не равен единице. Это означает, что ответ А) не подходит. Ответ: С).

13. А вот здесь уже придется решать данную систему уравнений.

ent13-13

14. Решим уравнение: sin2x=-cos2x. Разделим обе части равенства на cos2x, получаем tg2x=-1. Применяем формулу для решения уравнений вида tgt=-a (a>0). t=-arctga+πn, nєZ.

2x=-arctg1+πn, nєZ;

2x=-π/4+πn, nєZ; разделим обе части равенства на 2.

x=-π/8+(πn)/2,  nєZ.

15. Нам дана функция y=4x-x2.  Можно записать ее в виде: y=-x2+4x. Это квадратичная функция, ее графиком служит парабола, ветви которой направлены вниз. Какая парабола наша: В) или Е). Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение: -x2+4x=0   ⇒   –x(x-4)=0. Отсюда получаем: х=0 и х=4. Ответ: Е).

16. Если производная функции положительна в некотором промежутке, то функция возрастает на всем этом промежутке. Найдем производную данной функции.

f '(x)=-3x2+3x=-3x(x-1). Методом интервалов определяем, что f '(x)>0 на промежутке  [0; 1], следовательно, данная функция возрастает на все этом промежутке.

17. Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию: S=(a·h)/2. Отсюда следует: a·h=2S. Равные основания данных треугольников обозначим через а, высоту меньшего — через h, тогда высота другого треугольника будет равна h+5. Площади этих треугольников известны. Составим равенства:

a·h=2·120    и   a·(h+5)=2·180. Разделим второе равенство на первое. Получаем: (h+5):h=3:2. Произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов.

Отсюда 3h=2h+10 ⇒ h=10.

18. Можно бы и начертить эту пирамиду, вот только мы не знаем, в какую точку проектировать вершину пирамиды. Обычно, нам говорят, например, что вершина проектируется в точку пересечения диагоналей основания или, что из какой-т0 вершины основания проведена высота пирамиды… А, вообще говоря, нужен ли нам этот чертеж? Мы знаем формулу объема пирамиды: Vпир.=(1/3)Sосн.∙H. Здесь площадь основания — это площадь параллелограмма, которую можно найти как половину произведения диагоналей параллелограмма на синус угла между диагоналями. Высота пирамиды равна меньшей стороне параллелограмма. Рассмотрим параллелограмм ABCD — основание данной пирамиды.

ent13-18

19. Задача. Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник с диагональю 4 см и углом 60° между диагоналями. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объем пирамиды.

Решаем. Условие: «боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°» означает, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания (точку, равноудаленную от вершин основания), т. е. в точку пересечения диагоналей прямоугольника.

ent13-19s

Смотреть видео решение 19 задания. Задача на пирамиду.

20. Найдем значение выражения:

ent13-20

21. Решить уравнение:  |4-x|+|x-2|=2. 

ent13-21

22. Имеем произведение двух множителей. Второй множитель представляет собой арифметический квадратный корень, значит, всегда неотрицателен, если существует. Если подкоренное выражение 9-x2>0, то арифметический квадратный корень существует и положителен при хє(-3; 3) (нашли, решив неравенство (3-x)(3+x)>0). Следовательно, должно выполняться условие sinx>0 (оба множителя должны иметь одинаковые знаки), отсюда получаем хє(0; π).  Находим пересечение промежутков (-3; 3) и (0; π).

Ответ: (0; 3).

23. Решим тригонометрическое неравенство: синус заменим на косинус по формуле приведения.

ent13-23

24.  Подведем переменную 2t под знак дифференциала и вычислим определенный интеграл:

ent13-24

25. В шахматном кружке занимаются 20 мальчиков и 15 девочек. Каждую неделю в группу приходят два новых мальчика и три новых девочки. Выберите верное утверждение. Смотрим на ответы: разброс от 2 недель до 6 недель. Составим таблицу, чтобы было понятно, как меняется количество мальчиков и девочек каждую неделю.

ent13-25

Теперь очевидно, что подходит ответ Е), а именно: через 5 недель количество мальчиков и девочек сравняется.

ЕНТ-2013, вариант 0012.

1. К произведению степеней применяем формулу: am∙an=am+n. Скобки в показателях степеней открываем по формулам:

(a+b)2=a2+2ab+b2 и (a-b)2=a2-2ab+b2.

ent12-1

2. Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час.

48 деталей ———— х%

240 деталей ——— 100%. Зависимость прямая, поэтому, х=(48·100):240=20%.

3. Решить уравнение: log3(log5x)=0. Решаем.

log3(log5x)=log31. Потенцируем:

log5x=1. По определению логарифма: x=51, тогда x=5.

4. Решим неравенство с модулем: |3x-1|<2. Рассуждаем: модуль числа 3х-1 — это  длина отрезка  от нуля до числа 3х-1, по условию  меньше двух единичных отрезков (<2), причем этот отрезок можно отложить как вправо, так  и влево от нуля. Следовательно, само число 3х-1 должно удовлетворять условию:

-2<3x-1<2. Прибавим ко всем частям двойного неравенства 1. Получаем:

-1<3x<3. Делим все части неравенства на 3.

-1/3<x<1   или   (-1/3; 1).

5. Решить неравенство: log5(x+1)≤2. Решаем. Представим правую часть (число 2) в виде логарифма по основанию 5. Получаем:

log5(x+1)≤log552   или  log5(x+1)≤log525. Логарифмическая функция с основанием 2>1 является возрастающей, поэтому, опускаем значки логарифмов и сохраняем знак неравенства:

x+1≤25, учитываем, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа, значит:

x+1>0. Решаем каждое неравенство и получаем:

x≤24  и x>-1. Ответ: (-1; 24].

6. Применим тождество: 1-cos2α=2sin2α.

ent12-6

7. Мы просто решим данное уравнение вида cost=a. Формула: t=±arccosa+2πn, nєZ. Будем подставлять вместо n такие целые значения, чтобы tє[700°; 1050°], а затем из всех подходящих значений выберем наибольшее.

ent12-7

8. Скорость есть производная пути по времени: v(t)=S’(t).

ent12-8

9. Представим себе эти квадраты (или начертим), и нам станет ясно, что искомая диагональ будет в 2 раза больше стороны данного квадрата и, значит, будет равна 2 метрам.

ent12-9

10. Решим данную систему уравнений.

ent12-10

11. Решим уравнение: 5x-4,8=0,2x.

ent12-11

12. Вычислить:

ent12-12

13. По условию: a4-a1=6  и a5+a7=30. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)∙d.

Тогда a4-a1=a1+3d-a1=3d=6, отсюда находим d=2.

a5+a7=a1+4d+a1+6d=2a1+10d=2a1+10∙2=2a1+20=30,  тогда a1=10:2=5. Искомую сумму первых десяти членов данной прогрессии (an) найдем по формуле:

ent12-13

14. Найдем промежутки возрастания функции:

y=x2-2x+3. Найдем производную данной функции: y’=2x-2=2∙(x-1). Критическая точка:

ent12-14Так как y’>0 на промежутке [1; +∞), то данная функция возрастает на всем этом промежутке.

 

15. Любые исследования функции следует начинать с нахождения области определения функции. Областью определения данной функции служит множество всех действительных чисел, кроме нуля. Найдем производную и критические точки функции.

ent12-15

16. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Так как тупой угол по условию равен 135°, то острый угол равен 180°-135°=45°, а если мы проведем высоту из вершины тупого угла, то получим равнобедренный прямоугольный треугольник (острые углы по 45°). Обозначим высоту трапеции через х. Тогда большее основание будет равно , а меньшее основание равно х.

ent12-16

17. Так как секущая плоскость проведена через середину высоты конуса параллельно его основанию, то диаметр круга, получившегося в сечении, является средней линией осевого сечения конуса и равен половине диаметра основания конуса, а радиус сечения r равен половине радиуса основания конуса, т.е. равен 5 см. Тогда площадь сечения S=πr2=π∙52=25π (см2).

18. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех его линейных размеров. Формула: V=abc, где a — длина, b — ширина, c — высота прямоугольного параллелепипеда. По условию высота с=13 см, ширина на 5 см меньше длины, значит, b=a-5. Получается равенство: 1092=a·(a-5)·13. Делим обе части равенства на 13 и получим:

84=а·(а-5). Раскроем скобки и перенесем все в левую часть, получим квадратное уравнение:

a2-5a-84=0. По теореме Виета находим корни a1=-7, a2=12. Длина параллелепипеда равна a=12 см, тогда ширина b=12-5=7 см. Получается, что наименьшей из сторон будет ширина b=7 см.

19. Потребуется знание двух способов сложения двух векторов на плоскости: 1) сумма двух векторов на плоскости, имеющих общее начало, есть вектор, имеющий то же начало и совпадающий по длине с диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах, как на сторонах. Вторая диагональ параллелограмма — вектор, равный разности данных векторов. 2) чтобы сложить два вектора на плоскости по правилу треугольника, нужно отложить первый вектор, а из его конца отложить второй вектор, результат (сумма этих двух векторов) — это вектор с началом в начале первого вектора и концом — в конце второго вектора.

ent12-19

20. Купив 9 рыбок по х тенге, Бауыржан потратил 9х тенге. Цена одной рыбки снижается на 25%, т.е будет стоить 75% от х. Это 0,75х тенге за одну рыбку. Бауыржан купит 9х:0,75х=900:75=12 (рыбок).

21. Вы видите, что  в числителях и знаменателях дробей повторяется одно и то же выражение x2-x. Сделаем замену: пусть x2-x=у. Решим получившееся уравнение:

ent12-21

22. Решаем систему методом сложения.

ent12-22

23. Решить неравенство:

ent12-23

24. Площадь заштрихованной фигуры найдем как сумму площадей двух прямоугольных треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. У верхнего треугольника катеты 1 и 1, а у нижнего треугольника катеты равны 1 и 2.

ent12-24

25. Так как количество дырок удваивается с каждым сложением листа, то их будет 2·2·2=8. (складывали три раза).

ЕНТ-2013, вариант 0011.

testovik-ent-2013-11Друзья, на экзаменах у вас не будет калькулятора. Вы умеете вручную извлекать квадратные корни? Если нет, то смотрите видео:

«Извлечение квадратного корня из целого числа».

«Извлечение квадратного корня из десятичной дроби».

1. Токарю нужно было сделать 120 деталей. Примем их за 100%. Он перевыполнил план на 10%. 10% от 120 — это 12 деталей (одна десятая всего плана), следовательно, токарь сделал 120+12=132 детали. 

Можно было составить пропорцию:

120 деталей ———100%

х деталей ———-110%

х=(120·110):100=132 (детали) — то же самое, только возни больше.

2. Решить уравнение.

ent11-2

3. Скорость велосипедиста Vв.=S:tв.=36:3=12(км/ч).  Скорость пешехода Vп.=S:tп=36:6=6(км/ч). Велосипедист и пешеход одновременно начали движение навстречу друг другу. Их скорость сближения равна (12+6=18) км/ч, значит, они встретятся через 36:18=2(часа).

4. Умножаем обе части неравенства на 6, получаем:

3·(x+1)-2·(x-1)>6x;

3x+3-2x+2>6x;

3x-2x-6x>-2-3;

-5x>-5   |:(-5)

x<1.

5. Решить неравенство: 2∙log2x<3. Применим формулу: k∙logab=logabk.

ent11-5

6. cos(π-α)=-cosα=-(-3/4)=3/4. Угол (π-α) находится во 2-й четверти, косинус во 2-й четверти имеет знак «-» (поменяли знак); в записи аргумента π/2 взято четное число раз (π=2·(π/2)), поэтому, косинус на кофункцию не поменяли.

7. Решить уравнение:

ent11-7

8. На рисунке изображен график прямой пропорциональности, которая задается формулой у=kx. Чтобы определить коэффициент k, подставим в это уравнение координаты данной точки (2; -3):

-3=k·2  ⇒ k=-3:2=-1,5.  Следовательно, функция задана равенством: у=-1,5х.

9. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, поэтому данный угол 110° может быть только при вершине данного равнобедренного треугольника. Сумма углов при основании равна 180°-110°=70°, тогда каждый из углов при основании этого равнобедренного треугольника равен 70°:2=35°.

10. Решить уравнение: |6x2+10x|=4. Решаем. Возможен любой из вариантов:

1) 6x2+10x=-4                                   2) 6x2+10x=4;

3x2+5x+2=0;                                      3x2+5x-2=0;

a=3, b=5, c=2.                                      a=3, b=5, c=-2.

Частный случай.                              Общий случай квадратного уравнения.

a-b+c=0;                                                  D=b2-4ac=52-4∙3∙(-2)=  =25+24=49=72.

x1=-1, x2=-c/a=-2/3.                      x1=(-5-7)/6=-2, x2=(-5+7)/6=1/3.

11. Вычисляем x=log749-0,5log28=2-0,5∙3=2-1,5=0,5. Тогда:

ent11-11

12. Вычислим:

ent11-12

13. Дано:  арифметическая прогрессия, в которой  a11=23, a21=43.  Требуется найти a50. Решаем. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+(n-1)∙d,  где a1 -  первый член,   d- разность арифметической прогрессии.

Тогда a50=a1+49d.  Нужно найти a и  d. У нас имеются: a11=a1+10d=23  и  a21=a1+20d=43. Вычтем из второго равенства первое. Получим: 10d=20, откуда  d=2. Подставим вместо d число 2 в равенство: a1+10d=23 и найдем a1=3. Теперь значения a и  d подставляем в выражение a50=a1+49d. Получаем: a50=3+49·2=3+98=101.

14. Дана функция котангенса: y=ctg2x. Аргументом может быть любое число, кроме чисел вида πn, так как котангенс нуля не существует, и наименьшим положительным периодом служит Т=π. Итак, 2x≠πn ⇒ x≠πn/2, nєZ. Смотрим ответы. Не подходят: x=5π/2 (n=5); x=π/2 (n=1); x=π (n=2); x=-4π (n=-8). А ответ x=-3π/4 подойдет, так как не является числом вида  x≠πn/2, nєZ.

15. Данная функция представляет собой произведение двух множителей. Найдем производную f ‘(x) по формуле: (u·v)’=u’·v+u·v’, а затем подставим в нее число 5 вместо х и вычислим  f ‘(5).

ent11-15

16. Помните, как вы строили правильный шестиугольник на уроках черчения и геометрии?  Чертили окружность, радиус которой равен стороне правильного шестиугольника (R=a), и делали засечки на окружности  тем же раствором циркуля — получалось 6 засечек. Их потом последовательно соединяли, и получался правильный шестиугольник. Этот шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.

ent11-16

17. Центр шара, описанного около куба лежит на середине диагонали куба. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов линейных размеров прямоугольного параллелепипеда (d2=a2+b2+c2). В случае куба имеем: d2=3a2, тогда диагональ куба, она же  диаметр описанного шара:

ent11-17

18. Найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания, если образующая наклонена под углом 60°. Решаем. Боковая поверхность конуса Sбок.= πrl, где r-радиус основания конуса,  l-образующая конуса. Площадь основания конуса есть площадь круга, определяемая по формуле Sкр.=πr2, r-радиус круга, лежащего в основании конуса.

ent11-18

19. Применим формулу:

ent11-19

20. Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов двух выражений:

a2-b2=(a+b)(a-b), и дробь легко сократится.

ent11-20

21. Решить уравнение: |5-x|-|x+4|=0. Чтобы решить это уравнение нужно освободиться от знаков модуля, а чтобы освободиться от знаков модуля нужно применить определение модуля числа а: |a|=a, если a≥0; |a|=-a, если a<0. Так как 5-х=0 при х=5, а х+4=0 при х=-4, то числа -4 и 5 разбивают множество всех действительных чисел на три области ( I, II и III), в каждой их которых модульные скобки раскрываются, согласно определению модуля, а затем решается полученное уравнение.

ent11-21

Что? Можно было не решать, а подставлять предложенные ответы? Да, в этом примере это было бы разумно, но, учтите, что иногда уравнение с модулями имеет ответ в виде числового промежутка (как у неравенства), так что вы должны уметь решать такие уравнения!

22. Умножим обе части равенства на 3, а затем возведем обе части в квадрат. Получаем:

9(11-x)=(2x-8)2.  Раскрываем скобки: 99-9x=4x2-32x+64. Приводим подобные слагаемые и получаем квадратное уравнение:  4x2-23x-35=0. Имеем: a=4, b=-23, c=-35. Находим дискриминант:

D=b2-4ac=(-23)2-4∙4∙(-35)=529+560=1089=332.

x1=(23-33):8=-10/8=-5/4; x2=(23+35):8=56:8=7. Значение x1=-5/4 не подойдет, так как при х=-5/4 правая часть данного равенства становится отрицательной. Ответ: 7.

23. Решить неравенство: cos2x+cosx>0. Прибавим и вычтем единицу:

1+cos2x+cosx-1>0.  Так как есть тождество: 1+cos2α=2cos2α, то  получаем:

2cos2x+cosx-1>0. Сделаем замену: cosx=y. Тогда имеем: 2y2+y-1>0. Найдем корни квадратного уравнения 2y2+y-1=0. У нас a=2, b=1, c=-1 подчиняются равенству: a-b+c=0 (частный случай), отсюдаy1=-1, y2=-c/a=1/2.

Решениями квадратного неравенства 2y2+y-1>0 будут значения yє(-∞; -1)U(1/2; +∞). Возвращаемся к переменной х. Так как cosx∉(-∞; -1), а  cosxє(1/2; +∞) означает, что cosx>1/2, то осталось решить последнее неравенство. Применим формулу для решения неравенств вида:

cost>a (-1<t<1). Формула:  -arccosa+2πn<t<arccosa+2πn, nєZ.

ent11-23

24. Проинтегрируем f(x) и найдем первообразную F(x). Так как интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых, то:

ent11-24

25. Мы видим, что каждое из чисел: 4,  2 и 3 преобразуется в куб числа:

4→64; 2→8; 3→27. Следовательно, и число х должно перейти в куб числа х. Получается, что  x3=x. А когда это возможно? Только в случае х=1. В ответе нужно указать 5х. Получаем 5·1=5.

ЕНТ-2013, вариант 0010.

1. Для упрощения данного выражения разложим на множители числители и знаменатели данных дробей. Применим для этого: а) вынесение общего множителя за скобки; б)  формулу разности квадратов двух выражений. Запишем все под общей дробной чертой и сократим дробь на (а+1) и на (а-b).

ent10-1

2. Решаем данную систему. Разложим левую часть второго уравнения на множители по формуле разности квадратов двух чисел, получаем: (х-у)(х+у)=16. Так как первое равенство утверждает, что х-у=2, то вместо х-у во второе уравнение подставим число 2. Получаем: 2·(х+у)=16 или х+у=8. Складываем и вычитаем почленно два равенства:

х+у=8  и х-у=2;

2х=10 (сложили) и  2у=6 (вычли из первого второе). Получаем: х=5 и у=3. Смотрим ответы. Из указанных промежутков только промежуток (2; 7) (ответ В)) содержит и число 5 (х=5), и число 3 (у=3).

3. Вас спрашивают, какие числа можно брать вместо х, чтобы расстояние от этих чисел до нуля было меньше трех единичных отрезков.

хє(-3; 3). Модулем числа а (|a|) называют расстояние от начала отсчета (от нуля) до точки с координатой а.

4. Упростить выражение:

ent10-4

5. Применяем формулу приведения: 1) угол находится в IV четверти, косинус в IV четверти положителен, поэтому знак не меняем; 2) π/2 взято нечетное число раз (3π/2), поэтому функцию меняем на кофункцию (для косинуса кофункцией будет синус). Уравнение запишется в виде:

sinx-5cosx=0. Так как одновременно и синус и косинус не могут равняться нулю, то можно разделить обе части этого однородного уравнения на cosx.

tgx-5=0;

tgx=5;

x=arctg5+πk, kєZ.

6. Дана арифметическая прогрессия: 2, a2, a3, a4, a5, 17. Между числами 2 и 17 вставлены четыре числа. Требуется найти a3. Имеем: a1=2, a6=17. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии:  an=a1+(n-1)∙d. Тогда a3=a1+2d. Нужно найти d-разность арифметической прогрессии.

a6=a1+5d;  подставляем имеющиеся значения:

17=2+5d; упрощаем: 15=5d; откуда d=3. Искомое значение  a3=a1+2d; подставим значения и получим: a3=2+2∙3=8.

7. Представим данную функцию в виде произведения числового множителя  1/3 на  функцию  1/cos2x. По таблице первообразных или интегралов получаем: F(x)=(1/3)tgx+C.

8. По условию площадь второго равностороннего треугольника в 25 раз больше. Так как площади подобных фигур относятся друг к другу, как квадраты их линейных размеров, то медиана второго треугольника будет больше медианы первого треугольника в 5 раз. Медиана второго треугольника равна 16см·5=80 см.

9. Пусть точка О имеет координаты х и у: О(х; у).

ent10-9

10. Квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Здесь используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=-8).

D1=(b/2)2-ac=(-4)2-k∙k=16-k2. Cоставляем равенство: 16-k2=0. Можно разложить левую часть на множители, получаем:

(4+k)·(4-k)=0, тогда 4+k=0  или  4-k=0. Отсюда k=-4 k=4. Смотрите ответы: ±4; 0. Цените — вам не дают ошибиться! А откуда 0? На самом деле, если k=0, то уравнение примет вид: -8х=0, отсюда х=0.

11. Обозначим скорость, с которой бежал лыжник через х. Составим таблицу.

ent10-11

12. Решим уравнение:  23x+5∙53x+5=0,1.

Так как an∙bn=(ab)n,  то имеем равенство: (2∙5)3x+5=0,1; преобразуем к виду: 103x+5=10-1; Если равны степени и основания степеней, то равны и показатели этих степеней: 3x+5=-1; отсюда 3x=-6; делим обе части на 3 и получаем: x=-2.

13. Решим систему уравнений. Упростим первое уравнение системы, применив формулы: logax+logay=loga(xy)  и  logaa=1. Тогда первое уравнение примет вид: log4(xy)=log44+log49  или  log4(xy)=log436. Так как логарифмы равны, основания логарифмов равны, то и равны числа под знаками логарифмов-получаем: х·у=36. Во втором уравнении представим число 1024 в виде степени с основанием 2. Получаем: 2(x+y)/2=210. Приравниваем показатели степеней с основанием 2.

(х+у)/2=10, отсюда х+у=20.  Выразим у через х. Получаем: у=20-х. Подставим в уравнение х·у=36. Получаем:

х·(20-х)=36. Раскроем скобки:

20x-x2=36. Перенесем слагаемые в правую часть: x2-20x+36=0. Получилось приведенное квадратное уравнение, решать которое нет необходимости — ведь требуется найти x1+x2. По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, следовательно, x1+x2=20.

14. Умножим обе части равенства на арифметический квадратный корень из выражения (х-11). Получаем:

х-11=8, тогда х=8+11=19.

15. Функцию называют четной,если выполняется условие: y(-x)=y(x). Другими словами, если вы вместо х подставите (-х) и после тождественных преобразований получаете ту же функцию, то данная функция является четной. Конечно, это случай Е), так как имеются переменные только в четной степени.

16. Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной функции в этой точке:

ent10-16

17. Найдем площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника АВСК и прямоугольного треугольника СКD, в котором определим катет СК по теореме Пифагора: CK2=CD2-KD2=102-82=100-64=36, отсюда СК=6. Искомая площадь равна:

BC·CK+(CK·KD):2=8·6+(8·6):2=48+24=72.

18. Задача на пирамиду.

ent10-18-1

Смотреть видео решение 18 задачи.

19. Даны два шара, радиусы которых 3 см и 6 см.  Найдем объем каждого шара и вычтем из большего результата меньший. Объем шара вычисляется по формуле:

ent10-19

20. Это пропорция, произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, поэтому, можно записать: (x-4)2=4(x+4)2. Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

|x-4| =2∙|x+4|.  Возможны два случая: x-4=2∙(x+4)  или  x-4=-2∙(x+4).

1) x-4=2∙(x+4); x-4=2x+8;  x-2x=8+4; -x=12; x=-12.

2) x-4=-2∙(x+4); x-4=-2x-8; x+2x=-8+4; 3x=-4; x=-4/3.

21. Применим свойства степени: 1) (am)n=amn   - при возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают; 2) a0=1  - любое число или выражение в нулевой степени равно единице.

ent10-21

22. Ход решения: сделаем замену, решим квадратное неравенство относительно новой переменной, вернемся к переменной х и посчитаем количество целых чисел в найденном промежутке значений х.

ent10-22

23. Тригонометрическое неравенство с тангенсом.

ent10-23s

Смотрите видео решение 23 задания.

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 и x=y2.

Решаем. Выразим у из равенства x=y2, а затем построим графики этих функций.

ent10-24

 

25. Пусть мальчикам по х лет. Тогда папе лет. Зная, что папа сейчас старше на 24 года, составим уравнение:

4х-х=24;

3х=24  |:3;

x=8.

ЕНТ-2013, вариант 0009.

testovik2013-9Дорогие друзья, разбирая задания, не ленитесь повторять теоретический материал, используемый для решения каждого отдельного задания. Знайте: вам  никто не гарантирует на экзамене таких же заданий, но с другими числами, как некоторые думают! А что же будет на ЕНТ? Будут задания на применение тех же правил, формул, теорем, какие использованы в настоящем сборнике для подготовки к ЕНТ-2013!

1. Запишем все под одним знаком корня третьей степени. Применим формулу разности квадратов двух выражений.

ent9-1

2. Слагаемые с переменной соберем в левой части равенства, а свободные члены — в правой.

-9,5у-3у=21-16; приводим подобные слагаемые.

-12,5y=5; разделим обе части равенства на -12,5 — коэффициент при у.

Получаем у=5:(-12,5)=-0,4.

3. Нужно записать двойное неравенство -1≤x≤5 в виде числового промежутка.

Ответ: [-1; 5].

4. Решаем 1-ое неравенство: 72x>49 ⇒ 72x>72. Опускаем основания 7, знак неравенства сохраняем, получаем: 2x>2 ⇒ x>1. Учитываем 2-ое неравенство: x≤6. Ответ: (1; 6].

5. Применяем формулу синуса двойного аргумента: 2sinαcosα=sin2α. 

4sin7°30′·cos7°30′·sin75°=2·(2sin7°30′·cos7°30′)·sin75°=

=2sin15°·sin75°=2sin15°·cos15°=sin30°=1/2.

Применили формулу приведения: sin75°=sin(90°-15°)=cos15°.

6.  Упростим данное равенство, используя формулы приведения. Мнемоническое правило для формул приведения: 1) перед приведенной функцией ставят знак приводимой; 2) если в записи аргумента π/2 взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию.

ent9-6p

7. Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии находят по формуле:

ent9-7

8. Применяем формулу производной степени:  (xn)’=n∙xn-1.

ent9-8

9. Диагональ прямоугольника разделит прямой угол (90°) на два угла, один из которых равен 20° по условию, следовательно, второй угол равен 90°-20°=70°.

10. Решим данную систему уравнений методом подстановки. Выразим х через у из второго уравнения: х=у+3. Подставим в первое уравнение (у+3) вместо х. Получаем: (у+3-2)(у+1)=1. Упростим: (у+1)(у+1)=1 или (у+1)2=1. Отсюда следует, что либо у+1=-1, либо у+1=1. Тогда у1=-2, у2=0. Подставим  каждое из значений в равенство х=у+3. Получаем: x1=y1+3=-2+3=1; x2=y2+3=0+3=3. В задании требуется найти значение выражения x1∙y1+x2∙y2. Подставляем наши результаты:

x1∙y1+x2∙y2=1·(-2)+3·0=-2+0=-2.

11. В задаче спрашивается, сколько деталей по плану должны были изготовить за смену токарь и сколько его ученик. Отвечаем: х — токарь, (65-х) — ученик, так как вместе они должны были изготовить 65 деталей. Токарь перевыполнил задание  на 10%, т.е. сделал не х деталей (100%), а 1,1х деталей (110%). Ученик перевыполнил задание на 20%, т.е. сделал не (65-х) деталей (100%), а 1,2·(65-х) деталей (120%). Зная, что вместе они изготовили 74 детали, составим уравнение:

1,1х+1,2·(65-х)=74. Раскрываем скобки: 1,1х+78-1,2х=74. Слагаемые с переменной х оставим слева, а 78 перенесем с противоположным знаком в правую часть равенства:

1,1х-1,2х=74-78;

-0,1х=-4, отсюда х=-4:(-0,1)=40. Токарь должен был изготовить 40 деталей, а его ученик 65-40=25 деталей.

12. Решить уравнение:

ent9-12-1

13. Сделаем замену: lgx=y. Решим квадратное уравнение y2-2y-3=0. Это приведенное квадратное уравнение, корни находим по теореме Виета: y1=-1, y2=3 (y1+y2=2; y1∙y2=-3). Тогда: 1) lgx=-1,  отсюда x1=10-1=0,1. 2) lgx=3, тогда x2=103=1000. Требуется найти произведение корней.

x1∙x2=0,1∙1000=100.

14. Решить уравнение:

ent9-14

15.  Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел, поэтому, должно выполняться условие: 5x-6-x2>0. Умножим обе части неравенства на (-1) и получим:  x2-5x+6<0. Представляем себе параболу у=x2-5x+6, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось Ох в точках с абсциссами x1=2 и x2=3 (корни квадратного уравнения x2-5x+6=0) и принимает отрицательные значения в промежутке (2; 3).

16. Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке x0, равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику этой функции в данной точке с абсциссой x0.

Имеем равенство: k=tgα=f ‘(x0).   

ent9-16

17. Находим периметр данного треугольника: Р=3+8+7=18(см). Периметр подобного ему треугольника равен 9 см. Что это означает? Если периметр меньше в два раза (18:9=2), то и каждая сторона меньше в 2 раза. Берем меньшую сторону данного треугольника 3 см и делим ее на 2, получаем 1,5 см.

18. Прямоугольник со сторонами 4 см и 12 см свернули в цилиндр с меньшей высотой. Найдите объем полученного цилиндра. Решаем. Объем цилиндра вычисляется по формуле: Vц.=πR2H, где R — радиус основания, H — высота цилиндра.

ent9-18

Видео решение задачи 18 смотреть здесь.

19. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

ent9-19

Смотрите видео решение задачи 19.

20. Будет следующая цепочка вычислений:

ent9-20

21. Мы знаем, что для исключения иррациональности в знаменателе дроби, следует умножить знаменатель и числитель на такое выражение, чтобы  в знаменателе получилась или разность квадратов, или разность (сумма) кубов данных выражений, и, как следствие, «исчез» знак радикала.  Так как у нас в знаменателе сумма кубических корней, то, умножив ее на неполный квадрат разности этих кубических корней, мы получим сумму кубов данных кубических корней, и знаки радикалов «исчезнут»:

ent9-21

22. Решить неравенство:

ent9-22s

Смотрите видео решение 22 задания.

23. Пример на нахождение площади криволинейной трапеции.

ent9-23sait

 Смотрите видео решение 23 задания.

24. Задание на векторы.

ent9-24sait

Смотреть видео решение 24 задания.

25. Итак, a-положительное число, меньшее единицы, b-число, большее единицы. Наименьшим будет частное a:b, так как число а, которое и так является дробью  (0<a<1) еще раздробили (разделили) на b частей.

ЕНТ-2013, вариант 0008.

1.  Решаем.   Применяем формулы: 1) an:am=an-m; 2) (am)n=amn.

ent8-1

2. Решить уравнение: |x-5|=3. Решаем. Так как |-3|=3 и |3|=3, то под знаком модуля могло быть и отрицательное число и положительное число, поэтому:

х-5=-3 или х-5=3. Тогда х=2 или х=8. Ответ: 2; 8.

3. Решаем неравенство: 2x+7>0.

2x>-7. Делим обе части на коэффициент при х:

x>-3,5. Неравенство строгое, ответ хє(-3,5; +∞).

4. Дано логарифмическое неравенство: lg(x+1)>lg(5-x). Решаем. Помним, что при потенцировании у нас уже будет не одно неравенство, так как нужно будет учесть область определения логарифмической функции, а именно: под знаком логарифма могут быть только положительные числа. Потенцируем (убираем значки логарифмов слева и справа), знак неравенства сохраняем, так как логарифмическая функция с основанием 10>1 является возрастающей. Получаем:

ent8-4

5. Воспользуемся основным свойством дроби — разделим числитель и знаменатель данной дроби на cosα. Это позволит нам перейти к  tgα, а затем подставим данное значение  тангенса и произведем вычисления:

ent8-5

6. Решим уравнение: sin2x-sinx=0. Решаем. Вынесем sinx за скобки.

sinx(sinx-1)=0;

sinx=0 или sinx-1=0;

если sinx=0, то x=πn, nєZ.

если  sinx-1=0, то sinx=1, отсюда х=π/2+2πk, kєZ.

7. Дана геометрическая прогрессия с положительными членами. S2=3, S3=7. Требуется найти S7.

Решаем. Геометрическая прогрессия считается определенной, если известны первый член  b1 и знаменатель прогрессии q. Используем формулы n-го члена  и суммы n первых членов геометрической прогрессии. Тогда:

ent8-7

8. Прежде, чем находить производную, упростим данную функцию по формуле косинуса суммы двух углов.

f(x)=cos5xcos4x-sin5xsin4x=cos(5x+4x)=cos9x.

f ‘(x)=(cos9x)’=-sin9x·(9x)’=-9sin9x.

9. У прямоугольного треугольника могут быть неизвестны острые углы, но один угол точно прямой, следовательно, равен 90°.

10. Как решать такие уравнения? Разложим знаменатель каждой дроби на множители, найдем общий знаменатель для всех дробей, применим правило равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями, а затем решим полученное целое уравнение. Обязательно сделаем проверку. А зачем тогда решать, спросите вы, ведь ответы есть — делаем проверку! Да, вы правы, только начинайте подставлять предложенные ответы с А). Но, все же посмотрите решение:

ent8-10

11. Отвечаем на вопрос задачи: надо засушить х кг свежих грибов. Это 100%. Получилось 4 кг сухих грибов. Это всего 2% от того, что было, ведь при сушке грибы потеряли 98% своего веса! Записываем:

ent8-11

12. Решить показательное уравнение.

ent8-12

13. Логарифмическое уравнение.

Вы знаете, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа, следовательно, 2х-1>0 и x-9>0, отсюда получаем: x>0,5 и  x>9. Когда получают решения одного знака «больше», то общим служит решение «больше большего», т.е. x>9. А теперь смотрите ответы – А), С) и Е) сразу отпадают, так как содержат отрицательные числа. Так В) или D)? Подставляем В) х=13.

log55+log52=log510 ⇒  log5(2∙5)=log510 по формуле logax+logay=loga(xy). Ответ получен! А как надо решать такие примеры – смотрите далее.

Преобразуем левую часть равенства по формуле: logax+logay=loga(xy).

ent8-13

14. Решить уравнение.

ent8-14

15. Дана функция y=x2+x-6. Требуется найти: а)  нули функции, т.е. абсциссы точек пересечения графика с осью Ох; б) промежутки возрастания; в) наименьшее значение функции. Решаем.

Представляете себе график этой квадратичной функции? Это парабола, ветви которой направлены вверх. Нули функции:  x1=-3, x2=2 – это корни приведенного квадратного уравнения x2+x-6=0, которые мы нашли по теореме Виета (x1+x2=-1, x1∙x2=-6). Наименьшее значение будет в вершине параболы O’(m, n), где m=-b/(2a)=-1/2=-0,5;  n=y(m)=y(-0,5)=(-0,5)2-0,5-6=0,25-0,5-6=-6,25. До m=-0,5 функция убывает, а при хє[-0,5; +∞) будет возрастать. Можно было промежуток возрастания и экстремум данной функции найти с помощью производной:

ent8-15

16. Прежде, чем что-то находить, упростим данную функцию, применив основное тригонометрическое тождество:

sin2α+cos2α=1, а также значение cos(π/3)=0,5.

ent8-16

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, находят значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат этому отрезку, а затем из полученных результатов выбирают наименьшее и наибольшее значения. Найдем значения функции f(x) на концах отрезка.

ent8-16-1

Скажете, взяли бы сразу f(0).  Зачем дальше было что-то находить? Вы правы, можно было сделать такой вывод и основываясь на ответах, но учтите — функции бывают разные! И как правильно находить наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вы должны знать.

17. Задача про угол между хордой и касательной. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду. Мера центрального угла есть мера дуги, на которую опирается центральный угол. Угол АОВ — центральный, опирается на дугу АВ, градусная мера которой 126°, следовательно, и центральный угол равен 126°. Угол САВ — искомый угол между касательной АС и хордой АВ.

ent8-17

18. Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом, стороны которого перпендикулярны линии пересечения данных плоскостей.  Итак, плоскости α и β пересекаются по прямой с, и угол между ними равен 45°. Из их общей точки О проведены перпендикулярные отрезки ОА и ОВ к прямой с, причем, ОА=ОВ=m. Требуется найти длину АВ. Из построения следует, что угол АОС — линейный угол двугранного угла с общим ребром с, поэтому, угол АОС равен 45°, и задача сводится к нахождению стороны АВ треугольника АОВ. Зная две другие стороны и угол между ними, мы найдем АВ по теореме косинусов: АВ2=ОА2+ОВ2-2ОА∙ОВ∙cos45°.

ent8-18

19. Центр шара, описанного около куба лежит на середине диагонали куба. Диагональ куба — диаметр описанного шара. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров: d2=a2+b2+c2 (a, b и c — ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины). Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, поэтому: d2=3a2.

ent8-19

20. Вычислим: (6,(3)-5,(2))·2=1,(1)·2=2,(2). Здесь такое вычисление было возможным потому, что данные периодические десятичные дроби представимы в виде обыкновенных дробей с равными знаменателями. В общем случае следует перевести каждую периодическую десятичную дробь в обыкновенную, и только потом выполнять указанные действия. Существует правило перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную: бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной,  числитель которой равен разности между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из девяток и нулей, причем, девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода дроби.

21. Упростим: числитель «свернем» — это квадрат разности двух выражений, а знаменатель разложим на множители методом группировки слагаемых.

ent8-21

 22. Решение тригонометрического неравенства вида tgt<a. Короче решать по формуле:

если tgt<a, то -π/2+πn<t<arctg a+πn, nє Z.

ent8-22

23. Построим графики данных линий.

ent8-23

 24. Точки пересечения этих окружностей есть решения системы уравнений: x2+y2-14x-10y+49=0 и x2+y2+4y-21=0. Вычтем второе уравнение из первого. Получаем: -14х-14у+70=0. Делим почленно на (-14), получается: х+у-5=0. Выразим одну переменную через другую, например, у через х.

у=5-х. Подставим это значение 5-х вместо у в уравнение x2+y2+4y-21=0.

x2+(5-x)2+4∙(5-x)-21=0;

x2+25-10x+x2+20-4x-21=0;

2x2-14x+24=0  |:2;

x2-7x+12=0.    По теореме Виета находим корни приведенного квадратного уравнения: x1=3, x2=4.

Если х=3, то у=5-х=5-3=2. Получаем точку (3; 2).

Если х=4, то у=5-4=1. Вторая точка пересечения окружностей (4; 1).

25. Дом с номером 94 расположен на правой стороне улицы (четные номера домов). Задача сводится к нахождению номера n данного n-го члена арифметической прогрессии: 2, 4, 6, …, 94.

У нас a1=2, d=2, an=94. Применяем формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)∙d. Подставляем наши данные:

94=2+(n-1)∙2   ⇒  92=(n-1)∙2  ⇒  n-1=92:2; тогда n-1=46  ⇒  n=47.

ЕНТ-2013, вариант 0007.

testovik-ent-2013-7Дорогие друзья, проверьте свои решения варианта 0007. Пишите свои отзывы в комментариях. Что осталось непонятным? Какие темы вас затрудняют? Решайте, готовьтесь к ЕНТ и не верьте ни в какие шпаргалки и в чудеса. Все в ваших руках, и время еще есть! Повторяйте формулы, не стесняйтесь спрашивать, что непонятно, у своих учителей. Помните: дорогу осилит идущий!

1. Вычисляем:

ent7-1

2. Раскрываем скобки в правой части равенства — умножаем 4 на каждое слагаемое в скобках, получаем:

3у+6=36-2у → 3у+2у=36-6 → 5у=30 → у=30:5 → у=6.

3. Целые решения неравенства 3<x<6 это числа 4 и 5. Их сумма 4+5=9.

4.  Сумма косинусов (в числителе) равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности, т.е.

cos4α+cos2α=2cos3αcosα. Сокращаем дробь на cos3α и остается 2cosα.

5. Решить уравнение: cos(-x)=1. Решаем. Косинус — функция четная, поэтому cos(-x)=cosx =1. Применим частную формулу для косинуса: cost=1 → t=2πn, nЄZ. Получаем: х=2πn, nЄZ.

6. Вычислите первые три члена последовательности, заданной формулой an=2n+3.

Подставляя в эту формулу поочередно вместо n  значения 1, 2 и 3, получаем первые три члена последовательности:

a1=2∙1+3=5; a2=2∙2+3=7; a3=2∙3+3=9.

7. При х=-5 функция f(x)-1-x принимает значение f(-5)=1-(-5)=6.

8. Полезно помнить, что диагональ квадрата со стороной а равна а корней из двух.

ent7-8

9. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, есть число, равное сумме произведений соответственных координат этих векторов.

ent7-9-1

10. По основному свойству пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов) можно записать: (x+5)2=(x-5)2, а это возможно лишь при условии, что х=0.

11. Сколько воды нужно добавить к 40 кг 5%-го раствора соли в воде, чтобы получить 4%-ый раствор? Решаем. Подобные задачи решают так: двумя способами находят или выражают основной продукт раствора (в данном случае это соль) или сплава, получают равенство, из которого находят значение введенной переменной. Итак, отвечаем на вопрос задачи: нужно добавить х кг к 40 кг 5%-го раствора.

В 40 кг 5%-го раствора содержится 0,05·40=2 (кг) соли (чтобы найти процент от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь и умножить эту дробь на данное число).

В (40+х) кг 4%-го раствора содержится 0,04·(40+х) (кг) соли.

Получаем равенство: 0,04·(40+х)=2;

40+х=2:0,04;

40+х=50 → х=10. Нужно добавить 10 кг воды.

12. Решить уравнение: 35x+2=81x-1.

Решаем. Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 3.

35x+2=(34)х-1;

35x+2=34х-4; отсюда 5х+2=4х-4, получаем х=-6.

13. Решить логарифмическое уравнение:

ent7-13

14. Не стоит решать — подставляйте предложенный ответ (всегда начинайте анализировать с ответа А))вместо х. Сразу выясняем, что корень х=-1. 

15. При вычислениях используем формулы: arcsin(-a)=-arcsina; arctg(-a)=-arctga; arccos(-a)=π-arccosa, а также таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов.  

ent7-15

16. Найти производную данной функции:

ent7-16

17. Дана задача. В треугольниках ABD и ADC имеем: AB=AC, BD=DC, / BAC=60°. Вычислить угол DAC. Решаем.

ent7-17

18. Задача на конус.

ent7-18

19. По стороне основания, равной 5 см, и боковому ребру, равному 8 см, найдите объем правильной треугольной призмы.

ent7-19

20. Требуется вычислить: (36,27(3)-6,2(3)):0,2.

Существует правило перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную: бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной, числитель которой равен разности между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из девяток и нулей, причем, девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода дроби.

ent7-20

21. Чтобы упростить данное выражение потребуется знание формул сокращенного умножения (ФСУ):

1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);  2) a2-b2=(a-b)(a+b); 3) (a-b)2=a2-2ab+b2Решаем:

ent7-21

22. Решим первое неравенство и найдем общее решение, удовлетворяющее и первому и второму неравенствам.

ent7-22

23. Решить неравенство:

ent7-23

ent7-23-gДрузья, возможно, вы привыкли решать тригонометрические неравенства с помощью графиков, а не по формулам (что быстрее и удобнее!). Тогда для вас геометрическая иллюстрация этого неравенства. Но все равно, вы должны будете сделать замену переменной на t, найти решения для t, а затем, точно так же, выполнить преобразования в двойном неравенстве, чтобы «добраться» до  аргумента х.

 

24. Вычислить определенный интеграл:

ent7-24Подынтегральная функция есть косинус. Интеграл от косинуса дает синус. Однако, должны совпадать аргумент косинуса и переменная интегрирования, но у нас переменная интегрирования х, а аргумент у косинуса  имеет вид: kx+b, что позволяет подвести эту линейную функцию (kx+b) под знак дифференциала.

ent7-24-i

25. Выбираем ответ С) недостаточно информации: на самом деле, не сказано —  находится  пункт В на прямой АС или нет? Возможно,точки А, В и С образуют треугольник?

Страница 4 из 512345
Архивы
Математика в видео.
Наверх