тест-обучение

Обучающие тесты по математике

7.08.1. Куб разности двух выражений

Алгебра 7 класс. Тест 8. Вариант 1.

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

1. Возвести в куб: (3a-b)3.

A) 3a3-27a2b+27ab2-b3; B) 27a3-18a2b+9ab2-b3; C) 27a3-27a2b+9ab2-b3; D) 27a3-27a2b+27ab2-b3; E) 27a3-27a2b+9ab2-3b3.

2. Записать без скобок: (2x-y)3.

A) 2x3-12x2y-6xy2-y3; B) 8x3-12x2y+6xy2-y3; C) 8x3-4x2y+4xy2-y3; D) 8x3-16x2y+16xy2-y3; E) 4x3-12x2y+24xy2-y3.

3. Представить в виде многочлена: (2a-3b)3.

A) 2a3-36a2b+54ab2-3b3; B) 8a3+36a2b+54ab2+27b3; C) 8a-36a2b+54ab2-27b; D) 4a3-18a2b+54ab2-27b3; E) 8a3-36a2b+54ab2-27b3.

4. Разложить многочлен на множители: (a-4)3.

A) a3-12a2+48a-64; B) a3-4a2+12a-64; C) a3-6a2+28a-64; D) a3+12a2+48a+64; E) a3-4a2+16a-64.

5. Записать в виде куба двучлена: 1-3a+3a2-a3.

A) (1+a)3; B) (3-a)3; C) (1-2a)3; D) (1-a)3; E) (1-0,5a)3.

6. Представить многочлен в виде степени: m3-3m2n2+3mn4-n6.

A) (m2-n2)3;  B) (m2-n)3;  C) (m-n)3;  D) (m-n2)3;  E) (3m-n2)3.

7. Упростить: 8k3-60k2+150k-125 и вычислить при k=3.

A) 0; B) -1; C) 1; D) 2; E) -2.

8. Найти значение выражения 64-144x+108x2-27x3 при х=2.

A) -6; B) 6; C) 0; D) 8; E) -8.

9. Решить уравнение: 2x(2x-1)2+(3-2x)3=28x2+1.

A) 0,5; B) -0,5; C) 1; D) -1; E) 2.

10. Какому промежутку принадлежит корень уравнения: 2(x-2)3-x(2x2+5)=3-12x2.

A) (-∞; -5); B) (-3; 0); C) (1; 3); D) (10; +∞); E) (5; 8).

11. Упростить:

test7-8-1-11

A) 2+a; B) a-2; C) 2-a; D) 4-a; E) a+4.

12. Сократить дробь:

test7-8-1-12

Сверить ответы!

7.07.1. Куб суммы двух выражений

Алгебра  7 класс. Тест 7. Вариант 1.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

1. Применить формулу куба суммы. (x+2y)3.

A) x3+6x2y+12xy2; B) x3+6x2y+12xy2+8x3; C) x3+12x2y+12xy2+8x3; D) x3+6x2y+6xy2+8x3; E) x3+6x2y+12xy2+2x3.

2. Записать в виде многочлена (a+3)3.

A) a3+9a2+18a+27; B) a3+9a2+27a+27; C) a3+9a+27a2+27; D) a3+9a2+27a+9; E) a3+3a2+27a+27.

3. Выполните действие: (3b+2a)3.

A) 27b3+54ab2+36a2b+8a3; B) 3b3+54ab2+36a2b+2a3; C) 27b3+12ab2+36a2b+8a3; D) 27b3+54ab2+24a2b+4a3; E) 9b3+24ab2+18a2b+8a3.

4. Разложить многочлен на множители: 125+75a+15a2+a3.

A) (5+2a)3; B) (3+a)3; C) (5+a)3; D) (2+a)3; E) (1+4a)3.

5. Записать в виде куба двучлена: m3+12m2+48m+64.

A) (m+2)3; B) (2m+1)3; C) (m+3)3; D) (m+4)3; E) (m+1)3.

6. Представить многочлен в виде степени: c6+3c4d2+3c2d4+d6.

A) (c+d2)3; B) (c2+d)3; C) (c+d)3; D) (c2+d2)6; E) (c2+d2)3.

7. Упростить и найти значение выражения x3+6x2+12x+8 при х=-2.

A) -2; B) 1; C) 3; D) 2; E) 0.

8. Вычислить 8m3+60m2+150m+125 при m=-1.

A) 27; B) 21; C) 9; D) 54; E) 18.

9. Решить уравнение: x(x-3)2-(x+1)3+9x2=5.

A) -1; B) 2; C) 1; D) 0; E) -2.

10. Определить промежуток, которому принадлежит корень уравнения: (2x+1)3-x(8x2+12x)=13.

A) (-∞; -10); B) (-5; 0); C) (10; 16); D) (20; +∞); E) (0; 8).

11. Сократить дробь:

test7-7-1-11

A) x+3; B) 2x+1; C) x+5; D) x+2; E) 3x+1.

12. Упростить:

test7-7-1-12

Сверить ответы!

 

7.06.1. Формула квадрата разности

Алгебра 7 класс. Тест 6. Вариант 1.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

1. Продолжить равенство: (a-3b)2=a2-6ab+…

A) 3b2; B) 6b2; C) 9b; D) b2; E) 9b2.

2. Записать в виде многочлена: (3a-4)2.

A) 9a2-24a+8; B) 3a2-24a+16; C) 9a2-24a+16; D) 9a2-12a+16; E) 9a2-24a-16.

3. Представить в виде квадрата двучлена: 4x2-4x+1.

A) (2x-2)2; B) (2x-1)2; C) (2x+1)2; D) (x-2)2; E) (4x-1)2.

4. Замените (*) одночленом так, чтобы получилось верное равенство:

(5m-2n)2=25m2+(*)+4n2.

A) -20mn; B) 20mn; C) -10mn; D) 10mn; E) -40mn.

5. Записать в виде степени двучлена:

test7-6-1-5

6. Раскрыть скобки и упростить: (6x-5y)2+(x-2y)2.

A) 37x2-32xy+29y2; B) 35x2-64xy+29y2; C) 37x2-64xy+39y2; D) 37x2-64xy+29y2; E) 37x2+64xy+29y2.

7. Записать в виде многочлена стандартного вида: (0,5-3a)2-(2,5-2a)2.

A) 2,5a2+7a-4; B) 5a2+10a-6; C) 5a2+7,5a-6; D) 5a2+7a-6; E) 25a2+7,5a-6,25.

8. Примените формулу квадрата разности двух выражений: (3a2-4b3)2.

A) 3a4-24a2b3+4b6; B) 9a2-24a2b3+16b3; C) 9a4-12a2b3+16b6; D) 9a4+24a2b3+16b6; E) 9a4-24a2b3+16b6.

9. Приведите подобные слагаемые и запишите результат в виде квадрата двучлена: 53x2-70xy+60y2+11x2-42xy.

A) (8x-7y)2; B) (64x-49y)2; C) (8x+7y)2; D) (7x-8y)2; E) (8x-7y)2.

10. Найти корни уравнения: x(x-3)-(x-2)2=0.

A) 0; 4; B) -2,5; C) 4; D) -4; E) 2.

11. Решить уравнение: (0,3-2x)2-4x(x-0,8)=0.

A) -0,45; B) 0,045; C) -0,045; D) -0,145; E) 4,5.

12. Сократить дробь:

test7-6-1-12

Сверить ответы!

ЕНТ-2014, вариант 0025

По вашим просьбам!

3. Вычислить:

0025-3

4. Решить неравенство: (x-1)2(x-24)<0.

Решаем методом интервалов. На числовой прямой отмечаем нули функции у=(x-1)2(x-24). Это значения х=1 и х=24, причем, х=1 — корень четной кратности, поэтому при определении знаков функции на промежутках, в точке х=1 знак менять не будем.

0025-4х∈(-∞; 1)U(1; 24).

 

 

8. Найти сторону треугольника, лежащую против угла 135°, если две другие стороны равны 3 см и 0025-8

По теореме косинусов квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Формула:  a2=b2+c2-2bc∙cosA.

У нас cosA=cos135°=cos(180°-45°)=-cos45°.

0025-8-1

14.  Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если ее второй член равен 6, а знаменатель равен (-2).

Формула суммы nпервых членов геометрической прогрессии:

0025-14

19. При каком значении m векторы

0025-19

20. Упростите выражение:

0025-20

22. Требуется найти 1,5xo – 2,3yo, если (xo; yo) — решение системы:

0025-22

Смотрим на второе уравнение. Произведение этих двух множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Предположим, что x2 – 49 = 0. Тогда под корнем окажется выражение  (-4y2) и извлечь арифметический квадратный корень получится только если у=0, а иначе под корнем будет отрицательное число. Таким образом, yo =0. Из равенства x2 – 49 = 0 следует, что xo=-7 или xo=7. Подставив значение yo =0 в первое уравнение, убеждаемся, что xo=7. Решение данной системы: (7; 0). Находим значение выражения 1,5x– 2,3yo. Получаем:

1,5·7-2,3·0=10,5.

23. Решите неравенство: cos2x-0,5sinx>1

Запишем данное неравенство в виде: 1-cos2x+0,5sinx<0. Применим основное тригонометрическое тождество и получаем равносильное неравенство:

sin2x+0,5sinx<0. Сделаем замену: sinx=z. Неравенство  z2+0,5z<0 решаете или с помощью параболы или методом интервалов, разложив на множители:  z(z+0,5)<0. Получаем:  -0,5<z<0. Возвращаемся к первоначальной переменной:

-0,5<sinx<0. Покажем решение с помощью графиков:  y=sinx, y=-0,5 и y=0 (ось Ох). Выберем те значения х, при которых точки синусоиды будут заключены между прямыми y=-0,5 и y=0.

0025-23

24. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно 14. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и середину бокового ребра, не проходящего через данную сторону.

Пусть дана правильная призма  ABCA1B1C1, каждое ребро которой равно 14. К — середина ребра AA1, не проходящего через сторону ВС нижнего основания призмы. Требуется найти площадь треугольника ВКС — сечения призмы. В треугольнике АВС проведем высоту АD (она же медиана) и точку D соединим с точкой К.  На основании ТТП (теоремы о трех перпендикулярах) КD будет перпендикулярна ВС. Следовательно, KD является высотой треугольника ВКС. Площадь этого треугольника равна половине произведения основания ВС на высоту KD. Нам известно, что ВС=14. Длину  KD найдем из прямоугольного треугольника КАD по теореме Пифагора У нас катет АК=7 — половина ребра AA1, второй катет АD =AB·sin60°.

0025-24

25. Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Каков возраст отца и сына?

Понятно, что отец старше сына на 25 лет. Пусть сыну х лет. Тогда отцу (х+25) лет. Зная, что вместе им 65 лет, составим уравнение:

х+х+25=65 ⇒ 2х=40 ⇒ х=20. Возраст сына 20 лет, а отца 20+25=45 лет.

Желаю вам, дорогие выпускники, всяческих успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0024

По вашим просьбам!

13. Решите уравнение 3-4cos2x=0. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 3π].

Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos2α. Получаем равносильное уравнение:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Делим обе части равенства на (-2) и получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

0024-13

14. Найдите b5 геометрической прогрессии, если  b4=25 и b6=16.

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов: 

(bn)2=bn-1∙bn+1. У нас (b5)2=b4∙b6   ⇒ (b5)2=25·16 ⇒ b5=±5·4 ⇒ b5=±20.

15. Найдите производную функции: f(x)=tgx-ctgx.

0024-15

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=x2-12x+27

на отрезке [3; 7].

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a; b], нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Найдем значения функции при х=3 и при х=7, т.е. на концах отрезка.

y(3)=32-12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=72-12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Находим производную данной функции: y’(x)=(x2-12x+27)’ =2x-12=2(x-6); критическая точка х=6 принадлежит данному промежутку [3; 7]. Найдем значение функции при х=6.

y(6)=62-12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. А теперь выбираем из трех полученных значений: 0; -8 и -9 наибольшее и наименьшее: унаиб.=0; унаим.=-9.

17. Найдите общий вид первообразных для функции:

0024-17

Данный промежуток – это область определения данной функции. Ответы должны начинаться с F(x), а не с f(x) – ведь мы ищем первообразную. По определению функция F(x) является первообразной для функции f(x), если выполняется равенство: F’(x)=f(x). Так что можно просто находить производные предложенных ответов, пока не получится данная функция. Строгое решение – это вычисление интеграла от данной функции. Применяем формулы:

0024-17-1

19. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану BD треугольника АВС, если его вершины А(-6; 2), В(6; 6) С(2; -6).

Для составления уравнения прямой нужно знать координаты 2-х точек этой прямой, а нам известны координаты только точки В. Так как медиана BD делит противолежащую сторону пополам, то точка D является серединой отрезка АС. Координаты середины отрезка есть полусуммы соответственных координат концов отрезка. Найдем координаты точки D.

0024-19-1

20. Вычислить:

0024-20-1

24. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна

0024-24

Эта задача — обратная к задаче № 24 из варианта 0021.

0024-24-

25. Найдите закономерность и вставьте недостающее число: 1; 4; 9; 16; …

Очевидно, что это число 25, так как нам дана последовательность квадратов натуральных чисел:

12; 22; 32; 42; 52; …

Всем удачи и успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0023

По вашим просьбам!

6. Упростить тригонометрическое выражение:

0023-6

17. Найти положительное число, которое в сумме с обратным ему числом, дают наименьшее значение.

0023-17

18. Решите уравнение:

0023-18

20. Раскройте модуль:

0023-20

21. Упростите выражение:

0023-21

Сначала выполним действия в скобках. 1) Разложим знаменатели дробей в скобках на множители по формулам сокращенного умножения:  a2-b2=(a-b)(a+b)  и  (a+b)2=a2+2ab+b2. 2) Приведем дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю. 3) Выполним сложение получившихся дробей. 4) Заменим деление на получившуюся в скобках дробь умножением на дробь, обратную делителю. 5) Выполним умножение и при возможности сократим получившуюся дробь.

0023-21-1

22. Решить неравенство: cos(3π/2+2x)+3sin2x<2.

Применяем правило для формул приведения: 1) перед приведенной функцией ставим знак приводимой. Так как у нас угол (3π/2+2x) находится в 4 четверти, а косинус в 4 четверти положителен, то знак не поменяется. 2) если в записи аргумента π/2 взято нечетное число раз, то функцию меняем на кофункцию. У нас π/2 взято 3 раза — нечетное число, поэтому косинус поменяется на синус. Получаем равносильное данному неравенство:

sin2x+3sin2x<2. Приводим подобные слагаемые:  4sin2x<2. Разделим обе части неравенства на 4:

sin2x<½. Пусть 2х=t. Осталось решить простейшее неравенство sint<½. Изобразим в одной системе координат tOy графики функций y=sint и у=½ и определим промежуток значений аргумента, при которых синусоида лежит ниже прямой у=½.

0023-22

23. В наклонном параллелепипеде перпендикулярное к основанию сечение, площадь которого 340 см2, проходит через диагональ лежащего в основании прямоугольника со сторонами 8 см и 15 см. Вычислите объем параллелепипеда.

0023-23

24. Найдите модуль вектора а, если модуль вектора b равен 19, модуль суммы этих векторов — 20, а модуль разности — 18.

Похожие задания были и в прошлом году. Посмотрите видео решение № 24 варианта 0009 из сборника ЕНТ-2013. 

а затем краткое решение этого задания.

0023-24

Всем желаю удачи и успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0022

По вашим просьбам!

6. Упростить выражение:

0022-6

7. Найдите область определения функции:

0022-7

15.  Найдите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 5.

Первое натуральное число, которое при на 8  дает остаток 5 – это 13. Можно записать: 13=8∙1+5. Далее прибавляем 8 к  13-ти и получаем 21. Можно записать: 21=8∙2+5; 29=8∙3+5; 37=8∙4+5… . Таким образом, в общем виде: 8n+5.

18. Вычислите интеграл:

0022-18

19. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 15°. Найдите ВС, если

0022-19

20. Определить значение выражения:

0022-20

21. Упростите выражение:

0022-21

22. Решить неравенство: 5cos2x-2sinxcosx+4sin2x>0.

Разделим обе части неравенства на cos2x. Так как cos2x>0, то знак неравенства сохранится. Получаем равносильное неравенство:

5-2tgx+4tg2x>0 или  4tg2x-2tgx+5>0. Сделаем замену:  tgx=y. Решим квадратичное неравенство:

4y2-2y+5>0. Найдем решения квадратного уравнения:

4y2-2y+5=0. Дискриминант D1=12-4∙5=-19<0. Следовательно, корней нет. При этом трехчлен 4y2-2y+5 при любом значении у будет принимать только положительные значения. Таким образом, у∈(-∞; +∞), а значит и данное неравенство будет справедливо при любом действительном значении аргумента х.

23. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 25, а площадь боковой поверхности 75. Найти объем пирамиды.

0022-23-1

24. При каких значениях p угол между векторами

0022-24

25. На открытие школы подарили компьютеры и принтеры в количестве 80 штук. Каждый кабинет информатики получил по 8 компьютеров и 2 принтера. Сколько всего принтеров и компьютеров привезли в школу?

Каждый кабинет информатики получил по 8 компьютеров и 2 принтера. Это означает, что каждый кабинет информатики получил 8+2=10 аппаратов. Получается, что всего в школе 80:10=8 кабинетов. Следовательно, привезли 8·8=64 компьютера и 8·2=16 принтеров.

Удачи!

 

ЕНТ-2014, вариант 0021

По вашим просьбам!

5. Решите неравенство:

0021-5

6. Упростите выражение:

0021-6

17. f(x)=6x2+8x+5, F(-1)=3. Найдите F(-2).

0021-17

Найдем С, зная, что F(-1) = 3.

3 = 2 ∙ (-1)3 + 4 ∙ (-1)2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 – 5 + C;

C = 6.

Таким образом первообразная F(x) = 2x3 + 4x2 + 5x + 6. Найдем F(-2).

F(-2) = 2∙(-2)3+4∙(-2)2+5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

0021-20

Решение основано на основном свойстве дроби, позволяющим умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же, не равное нулю число. Чтобы избавиться от знаков радикала в знаменателе дроби, обычно используют ФСУ (формулы сокращенного умножения). Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов.

0021-20-1

21. Упростить выражение:

0021-21

Решим этот пример двумя способами. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b)2. Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.

0021-21-1

2) Возведем первый множитель в квадрат и внесем его под знак арифметического квадратного корня второго множителя.

0021-21-2

Решайте удобным для себя способом!

 22. Найдите (х1∙у12∙у2), где (хn; yn) – решения системы уравнений:

0021-22

Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то допустимыми значениями переменной у служат все числа, удовлетворяющие неравенству y≥0. Так как произведение в первом уравнении системы равно отрицательному числу, то должно выполняться условие: x<0. Выразим х из первого уравнения и подставим его значение во второе уравнение. Решим получившееся уравнение относительно у, а затем найдем значения х, соответствующие полученным ранее значениям у.

0021-22-1

23. Решить неравенство: 7sin2x+cos2x>5sinx.

Так как по  основному тригонометрическому тождеству: sin2x+cos2x=1, то представив данное неравенство в виде 6sin2x+ sin2x +cos2x>5sinx и применив основное тригонометрическое тождество, получаем:  6sin2x+ 1>5sinx.  Решаем неравенство:

6sin2x-5sinx+1 >0.  Сделаем замену:    sinx=y  и получим квадратичное неравенство:

6y2-5y+1>0. Решим это неравенство методом интервалов, разложив левую часть на множители. Для этого найдем корни полного квадратного уравнения:

6y2-5y+1=0.  Дискриминант  D=b2-4ac=52-4∙6∙1=25-24=1. Тогда получаем у1   и  у2:

0021-23

24. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник, площадь которого равна 0021-24Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если ее объем равен 300 см3.

Пусть нам дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, в основании которой лежит правильный Δ АВС, его площадь нам известна. Применив формулу площади равностороннего треугольника, мы найдем сторону нашего треугольника АВС. Так как объем прямой призмы, вычисляется по формуле V=Sосн.∙ H, и нам также известен, то можно найти Н — высоту призмы. Боковое ребро призмы будет равно высоте призмы: AA1=H. Зная сторону основания и длину бокового ребра призмы можно найти площадь ее боковой поверхности по формуле: Sбок.=Pосн.∙ H.

0021-24-

25. На школьной викторине было предложено 20 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из участников, если он отвечал на все вопросы и набрал 86 очков?

Пусть участник дал х правильных ответов. Тогда неправильных у него (20-х) ответов. Зная, что за каждый правильный ответ ему начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков и при этом он набрал 86 очков, составим уравнение:

12х-10·(20-х)=86;

12х-200+10х=86;

22х=286 ⇒ х=286:22 ⇒ х=13. Участник дал 13 правильных ответов.

Я желаю вам дать 25 правильных ответов на тест по математике на ЕНТ!

 

ЕНТ-2014, вариант 0020

По вашим просьбам!

12. Решите уравнение:

0020-12

13. Решите уравнение: sinx+tg(x/2)=0. Применим формулу для тангенса половинного аргумента. Тогда равенство примет вид:

0020-13

Умножим обе части равенства на sinx≠0 и получаем: sin2x+1-cosx=0. Применим основное тригонометрическое тождество:

sin2x+cos2x=1, из которого следует, что sin2x=1- cos2x. Получаем равносильное уравнение:

1- cos2x+1-cosx=0, а после упрощения:

cos2x+cosx-2=0. Сделаем замену: cosx=y. Получаем приведенное квадратное уравнение относительно переменной у:

y2+y-2=0. Решаем и находим корни: y1=-2 и y2=1. Возвращаемся к первоначальной переменной:

1) cosx=-2. Это уравнение решений не имеет, так как  |cosx|≤1.

2) cosx=1. Это частный случай. Получаем x=2πk, k∈ Z.

20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

0020-20

21. Известно, что

0020-21

22. Пусть (х1; у1), (х2; у2) — решение системы:

0020-22

23. Решите неравенство: sinx+cos2x≥1.  Это уравнение было и в прошлом году. Смотрите здесь тоже 23 задание.

24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро 6. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

0020-24Пусть шар с центром в точке О1 и радиусом МО1 описан около правильной пирамиды MABCD с высотой МО=3 и боковым ребром МА=6. Требуется найти радиус шара МО1. Рассмотрим ΔМАМ1, в котором сторона ММ1 — диаметр шара. Тогда ∠МАМ1=90°. Найдем гипотенузу ММ1, если известны катет МА и проекция этого катета МО на гипотенузу. Помните? Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Нам в этой задаче пригодится только подчеркнутая часть правила.

Записываем равенство: МА2=МО∙ММ1. Подставляем свои данные: 62=3∙ ММ1. Отсюда ММ1=36:3=12. Мы нашли диаметр шара, следовательно, радиус МО1=6.

25. Петя старше Коли, который старше Миши, Маша старше Коли, а Даша младше Пети, но старше Маши. Кто третий по возрасту?

Будем считать: старше — это больше. Петя старше Коли, который старше Миши запишем так: Петя>Коля>Миша. Даша младше Пети, но старше Маши запишем так: Маша<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Даша>Маша. Так как Маша старше Коли, то получаем:  Петя>Даша>Маша>Коля. И окончательно:  Петя>Даша>Маша>Коля>Миша. Таким образом, третий по возрасту — Маша.

Желаю успешной подготовки к ЕНТ!

ЕНТ-2014, вариант 0019

По вашим просьбам!

3. Вычислить:

0019-3-1

Решение. Применим свойства степени, а затем основное логарифмическое тождество.

0019-3

5. Определите верное решение неравенства:

0019-5

7. Найдите функцию, обратную данной: y=x5-1. Чтобы найти функцию, обратную данной нужно: 1) выразить х через у; 2) вместо х написать у, а вместо у записать х

0019-9

12. Решите уравнение: log3(2x+5)-log36=1-log3(x+7).

Преобразуем равенство к виду: log3(2x+5)+log3(x+7)=log33+log36 и применим формулу логарифма произведения: loga(xy)=logax+logay. Получаем равенство:

log3((2x+5)(x+7))=log3(3·6) ⇒ (2x+5)(x+7)=18 ⇒ 2x2+5x+14x+35=18 ⇒ 2x2+19x+17=0.

Решаете квадратное уравнение и получаете корни x1=-8,5; x2=-1. Значение х=-8,5 не подойдет, так как под знаком логарифма могут находиться только положительные числа. Значение х=-1 входит в область допустимых значений данного уравнения.

16. Чему равна производная функции

0019-16

17. Найдите положительное значение точки максимума функции:

0019-17

18. Площадь фигуры, ограниченной линиями у=5/х, у=6-х, равна…

Построим графики данных функций: гиперболу у=5/х и прямую у=6-х. Покажем область между этими линиями и применим формулу для нахождения площади криволинейной трапеции.

0019-18

 20. Разложить на множители: 9-a2+2ab-b2. Применим формулы: 1) (a-b)2=a2-2ab+b2; 2) x2-y2=(x+y)(x-y).

9-a2+2ab-b2 = 9-(a2-2ab+b2) = 32-(a-b)2 = (3+a-b)(3-a+b).

23. Два шара с радиусами 5 см и 12 см пересекаются так, что расстояние между их центрами 13 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности. Линия пересечения поверхностей двух шаров есть окружность, и задача заключается в том, чтобы найти радиус этой окружности.

0019-23

24. Вычислить длину вектора

0019-24

25. Асель разрезала лист бумаги на 10 частей. Затем один из кусочков она разрезала еще на 10 частей. Потом она поступила так еще с тремя листочками. Сколько листочков у нее станет?

Из большого листа у Асель получилось 10 (назовем средних), 6 из них она не трогала, а каждый из остальных 4-х  средних Асель разрезала на 10 маленьких и получилось 4·10=40 маленьких листочков. А всего? 6 средних плюс 40 маленьких. Получается 46 листочков.

Удачи и успехов!

Страница 4 из 12« Первая...23456...10...Последняя »
Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: a@tayak.ru Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
Наверх