тест-обучение Обучающие тесты по математике
Рубрика "Алгебра-10"

10.07.1. Решение простейших тригонометрических уравнений. Частные случаи

Алгебра. 10 класс. Тест 07. Вариант 1.

1. Решите уравнение: 2cos x=0.

A) π+2πn, n∈Z;  B) π/2+πn, n∈Z;  C) π+πn, n∈Z;  D) π/2+2πn, n∈Z;  E) 2πn, n∈Z.

2. Решите уравнение: sin x – 1 = 0.

A) π/2+2πn, n∈Z;   B) π+2πn, n∈Z;  C) π/2+πn, n∈Z;  D) 2πn, n∈Z;  E) πn, n∈Z.

3. Решить уравнение: tg3x=0.

2015-11-03_093858

4. Решить уравнение: 2cos(x-π/3)=0.

2015-11-03_094059

2015-11-03_094230

6. Решить уравнение: cos(π+x) =  sin(π/2).

A) 2πn, n∈Z; B) π+πn, n∈Z; C) π/2+2πn, n∈Z; D) πn, n∈Z; E) π+2πn, n∈Z.

7. Решите уравнение: sin 5x sin 4x + cos 5x cos 4x =0.

A) π/9 + πn, n∈Z; B) π/2 + 2πn, n∈Z; C) π/4 + πn, n∈Z; D) π/2 + πn, n∈Z; E) πn, n∈Z.

8. Решить уравнение: cos x+cos 3x=0.

2015-11-03_094920

9. Решите уравнение: 1- cos 2x = 2 sin x.

A) πn; π/2 + 2πn, n∈Z; B) π/2 + 2πn, n∈Z; C) 2πn, n∈Z; D) 2πn; π/2 + πn, n∈Z; E) πn; π/4 + πn, n∈Z.

10. Решить уравнение: 1+cos4x=2cos2x.

2015-11-03_130322

11. Решить уравнение: cos22x = 1.

2015-11-03_094604

12. Решить уравнение: sin2 2x = 1.

A) π/2 + πn; n∈Z; B) π/2 + 2πn; n∈Z; C) π/4 + πn; n∈Z; D) π/4 + 2πn; n∈Z;

E) π/4 + πn/2; n∈Z.

Сверить ответы!

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Частные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

1) sin t = 0; t = πn, nϵZ.

2) sin t = 1; t = π/2 +2πn, nϵZ.

3) sin t = -1; t = — π/2 +2πn, nϵZ.

4) cos t = 0; t = π/2 + πn, nϵZ.

5) cos t = 1; t = 2πn, nϵZ.

6) cos t = -1; t = π +2πn, nϵZ.

7) tg t = 0; t = πn, nϵZ.

8) ctg t = 0; t =  π/2 +πn, nϵZ.

Рекомендации.

4. Обозначить х-π/3 через t и решить уравнение cost=0.

5. Сделать замену: пусть 2x+π/7=t.

6. Использовать формулу приведения cos(π+α)=-cosα.

7. Свернуть выражение с помощью формулы косинуса разности двух углов: cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

8. Заменить сумму косинусов произведением:

2015-11-03_170850

Функция косинуса чётная, поэтому cos(-α)=cosα.

9. Применить формулу: 1-cos2α=2sin2α. (*)

10. Применить формулу: 1+cos2α=2cos2α. (**)

11. Понизить степень выражения в левой части равенства с помощью формулы (**) .

12. Понизить степень выражения в левой части равенства с помощью формулы (*).

10.06.1. Решение простейших тригонометрических уравнений

Алгебра. 10 класс. Тест 06. Вариант 1.

1. Решить уравнение: 2 cos x + 3 = 0.

2015-10-31_081808

2015-10-31_085824

2015-10-31_082626

4. Решите уравнение: cos x +1/2 = 0.

2015-10-31_082903

5. Найдите решение уравнения ctg x=1, принадлежащие интервалу (0; π).

2015-10-31_083130

6. Решите уравнение: 2 sin x = — 1.

2015-10-31_083351

2015-10-31_083529

8. Решить уравнение: 3sin x — 1= 0.

2015-10-31_083920

2015-10-31_084215

2015-10-31_084503

11. Решить уравнение: 2sin 3x – 1 = 0.

2015-10-31_084936

12. Найдите решение уравнения 2cos2x – 1 = 0 на интервале (0; π).

2015-10-31_085153

Сверить ответы!

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ.

Общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

1) sin t = a, (0<a<1); t = (-1)ⁿ •arcsin a + πn, nϵZ.

2) sin t  = — a, (0<a<1); t = (-1)n+1•arcsin a +πn, nϵZ.

3) cos t = a, (0<a<1); t = ±arccos a +2πn, nϵZ.

4) cos t =-a, (0<a<1); t = ±(π-arccos a)+2πn, nϵZ.

5) tg t = a, (a>0); t = arctg a + πn, nϵZ.

6) tg t =-a, (a>0); t = — arctg a + πn, nϵZ.

7) ctg t = a, (a>0); t = arcctg a + πn, nϵZ.

8) ctg t = -a, (a>0); t = π – arcctg a + πn, nϵZ.

10.05.1. Обратные тригонометрические функции

Алгебра. 10 класс. Тест 05. вариант 1.

1. Вычислите:

2015-10-27_132029

2. Вычислите: arcsin(-0,5).

2015-10-27_132223

3. Вычислите: 2 arccos(-1).

A) π; B) 3π ; C) 4π ; D) 2π ; E) -π .

2015-10-27_132500

5. Найдите значение выражения:

2015-10-27_132649

6. Найдите значение выражения:

2015-10-27_132830

2015-10-27_132942

2015-10-27_133109

2015-10-27_133231

10. Найдите значение выражения: sin(arccos 0,6).

2015-10-27_133456

11. Вычислить: sin(2arccos 0,8).

A) 0,8; B) 0,6; C) 0,96; D) 0,48; E) -0,48.

2015-10-27_133925

Сверить ответы!

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ.

π = 180°;

π/2 = 90°;

π/3 = 60°;

π/4 = 45°;

π/6 = 30°.

Обратные тригонометрические функции.

1) Арксинусом числа а (arcsin a) называется угол из промежутка [-  π/2; π/2], синус которого равен а. Примеры:

а) arcsin ( 1/2) = π/6, так как sinπ/6 = 1/2;

б) arcsin(-  1/2  ) =- π/6 , т. к. sin(- π/6 )= — sinπ/6 = — 1/2.

arcsin(-a)=- arcsin a.

2) Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка [0; π], косинус которого равен а. Примеры:

а) arccos( 1/2) = π/3, так как cos π/3 = 1/2;

б) arccos(- 1/2)= 2π/3, так как cos (2π/3) =cos(π — π/3)=

= — cos π/3=-  1/2.

arccos(-a)=π – arccosa.

3) Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (- π/2; π/2), тангенс которого равен а.

Примеры: а) arctg 1 = π/4, так как tg π/4 = 1;

б) arctg(-1)= — π/4, так как tg(- π/4)= — tg π/4 = — 1.

arctg(-a)=- arctg a.

4) Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.

Примеры: а) arcctg 1 = π/4, так как ctg π/4 = 1;

б) arcctg(-1)= 3π/4, так как ctg (3π/4) = ctg(π –  π/4)=

= — ctg π/4= -1.   arcctg(-a)=π – arcctg a.

Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов.

2015-10-30_184932

 

10.03.1. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Алгебра. 10 класс. Тест 03. Вариант 1.

1. Упростить: sin75°sin15°.

А)  0,25; В) 0,5; С) 1; D) -0,5.

2. Упростить: cos40°cos20°.

2015-10-26_194118

3. Преобразовать в сумму: sin(30°+x)cos(30°- x).

2015-10-26_194203

4. Вычислить произведение: sin15°cos75°.

2015-10-26_194620

5. Вычислить: sin 45°cos 15°.

2015-10-26_194854

6. Записать в виде суммы произведение синусов:

2015-10-26_210158

7. Представить в виде суммы произведение косинусов:

2015-10-26_210256

8. Запишите в виде суммы произведение:

2015-10-26_210341

9. Вычислить: sin 15°cos 7° – cos 11°cos 79°.

A) sin 8°; B) 0,5sin 8°; C) cos 22°; D) 0,5cos 22°; E) sin 11°.

10. Упростить выражение: 2cos 20°cos 40° – cos 20°.

А) -0,5; B) 0; C) 1; D) -1; E) 0,5.

11. Вычислить: sin 10°sin 50°sin 70°.

2015-10-26_195138

12.Упростить: 8cos 10°cos 20°cos 40° .

A) ctg10°; B) tg10°; C) –tg10°; D) –ctg10°; E) tg20°.

Сверить ответы!

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

2015-10-27_112246

Формулы приведения:

1) cos(90° — α) = sinα;  2) sin(90° — α) = cosα;

3) cos(180° — α) = -cosα; 4) sin(180° — α) = sinα.

Формула синуса двойного аргумента:

sin2α = 2sinαcosα

В заданиях 11 и 12 используйте подходящую формулу приведения, а затем умножьте (и разделите, чтобы значение выражения не изменилось!) данное произведение на такое выражение, чтобы можно было применять формулу синуса двойного аргумента.

10.02.1. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Алгебра. 10 класс. Тест 02. Вариант 1.

1. Упростить: sin20°+sin40°. Примечание: при затруднении в выполнении теста воспользуйтесь подсказками ниже.

A) sin10°; B) cos10°; C) cos20°; D) sin20°; E) tg10°.

2. Преобразовать в произведение: cos47°+cos73°.

A) cos46°; B) sin46°; C) sin13°; D) cos120°; E) cos13°.

3. Вычислить: cos75° + cos15°.

2015-10-26_162110

4. Разложить на множители: sin40°+sin50°.

2015-10-26_162348

5. Представить в виде произведения: sin 15° + cos 65°.

A) sin 40°cos 25°; B) sin 25°cos 40°; C) 2sin 25 cos 40°;

D) sin 80°; E) 2sin 20°cos 5°.

 6. Представить в виде произведения: cos 40° –  sin 16°.

A) 2sin 17°cos 33; B) 2cos 17°sin 33°; C) 2sin 17°sin 33°;

D) 2cos 17°cos 33°; E)  2sin 56°.

7. Вычислить: cos 85°+ cos 35° –  cos 25°.

A) 0; B) 1; C) cos 40°; D) sin 40°; E) -1.

2015-10-26_164247

A) ctg3α; B) tg3α; C) tg6α; D) ctg6α; E) 1.

2015-10-26_164435

A) 1; B) 0; C) cos 80°; D) -1; E) sin 80°.

2015-10-26_164550

A) tg2α; B) tg4α; C) ctg4α; D) ctg2α; E) cos4α.

2015-10-26_164803

2015-10-26_165021

Сверить ответы!

Используйте формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

2015-10-27_090117

Используйте формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:

2015-10-27_090143

В заданиях 5 и 6 вначале примените формулу приведения:

5) cos(90° — α) = sinα;  6) sin(90° — α) = cosα.

В задании 11 лучше вначале привести данные значения к функциям наименьшего аргумента, используя формулы приведения:

7) sin(180°- α) = sinα  и 8) cos(180°- α) = -cosα.

И не забудьте, что   2015-10-27_090240

10.01.1. Повторение тригонометрии за 9 класс

Алгебра. 10 класс.     Тест 1. Вариант 1.

1. Выберите из следующего списка углы, которым может соответствовать радиус-вектор, находящийся во II четверти.

410°, 179°, 560°, -200°, 3800°, 720°, 480°.

А) 410°, 179°, 560°; В) -200°, 3800°, 720°, 480°; С) -200°, 3800°, 480°; D) 179°, -200°, 480; Е) 179°, -200°.

2. Выразите углы α=40° и β=700° через радианную меру.

2013-09-12_100333

2013-09-12_100758

А) α = 135°, β = 450°; В) α = 105°, β = 550°; С) α = 135°, β = 650°; D) α = 120°, β = 405°; Е) α = 235°, β = 4500°.

4. Найдите значение выражения: 2cos30°+2cos60°- tg60°.

A) 0;  B) 2;  C) 1; D) -1; E) 3.

2013-09-12_102107

A) 1; B) 0; C) 2; D) 3; E) 4.

6. Упростить: cos2α-cos4α+sin4α.

A) 1; B) 0; C) sin2α; D) cos2α; E) sin2α.

7. Упростите выражение:

2013-09-12_103353

A) 1; B) sinβ+cosβ; C) cosβ-sinβ; D) sinβ-cosβ;  E) 2sinβ.

2013-09-12_104006

A) 4; B) 8; C) 2; D) 6; E) 1.

9. Найдите cosα  и  tgα, если sinα=-0,6; π<α<3π/2.

A) cosα=-0,8;  tgα=0,75; B) cosα=0,8;  tgα=0,65; C) cosα=-0,8;  tgα=0,5; D) cosα=-0,6;  tgα=-0,75;  E) cosα=-0,8;  tgα=0,25.

2013-09-12_150928

11. Упростить: sin2(180°-α)+sin2(270°-α).

A) 1; B) 0; C) 2sin2α; D) 2cos2α; E) 4sin2α.

12. Преобразовать выражение:

2013-09-12_152108

A) 1; B) 0; C) 2sin2α; D) cos2α; E) sin2α.

Сверить ответы!

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх