тест-обучение Обучающие тесты по математике
Рубрика "ЕНТ-2013"

ЕНТ-2013, вариант 0020.

testovik-ent-2013-20Дорогие друзья! Я очень надеюсь, что смогла вам помочь разобраться в решении отдельных заданий (разумеется, в основном, вы с этими заданиями отлично справляетесь и сами!). Вы учились целых 11 лет, и вы подтвердите свои знания на экзаменах! Иначе и быть не может, не должно! Я желаю вам успешной сдачи ЕНТ, пусть вам «попадется» легкий вариант. Буду рада, если вы оставите свои комментарии на страницах моего сайта.

Андрющенко Татьяна Яковлевна.

1. Исключите иррациональность в знаменателе:

ent20-1

2. Решите уравнение:

ent20-2

3. Найти решение неравенства: 2x2+x-3<0. Решать можно как с помощью графика, так и методом интервалов. Вспомним оба способа.

а) Находим нули функции у=2x2+x-3, т.е. решаем квадратное уравнение 2x2+x-3=0. Применим метод коэффициентов, так как выполнено условие a+b+c=0 (2+1-3=0). Согласно методу коэффициентов x1=1; x2=c/a=-3/2=-1,5. Ветви параболы, пересекающей ось Ох в точках (-1,5; 0) и (1; 0) направлены вверх, значит, функция у=2x2+x-3 примет отрицательные значения в промежутке (-1,5; 1).

б) Тоже надо найти корни квадратного уравнения 2x2+x-3=0. Конечно, вы можете находить корни так, как привыкли это делать. Корни найдены. x1=1; x2=-1,5. Разложим квадратный трехчлен на линейные множители по формуле: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Получаем: 2(х-1)(х+1,5)<0.

На числовой прямой берем точки -1,5 и 1 и выясняем знаки на одном из полученных промежутков (для этого подставляем какое-либо число из выбранного промежутка в выражение 2(х-1)(х+1,5) — я подставляла 0 ). 

ent20-3

4. Решите неравенство:

ent20-4

5. Упростите выражение:

ent20-5d

6. Найдите области значения следующей функции:  y=x-|x|. Изобразим график этой функции. Для этого нужно освободиться от модульных скобок согласно определению модуля числа а:

|a|=a, при условии, что a≥0  и  |a|=-a, если a<0.

ent20-6Если x≥0, то  получаем функцию: y=x-x=0. Прямая у=0 — это ось абсцисс Ох.

Если x<0, то функция y=x- (-x)=2x.  График функции у=2х — прямая. Начертили график.  Множество значений функции ує(-∞; 0], иначе, можно записать: у≤0.

7. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn), если b1=16; q=3/4. Решаем. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

ent20-7

8. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике соответственно равны 11,2 см и 22,4 см. Определите меньший из острых углов. Мы заметили, что катет в два раза меньше гипотенузы. Делаем вывод: катет лежит против угла в 30°. Катет, противолежащий углу в 30°, в два раза меньше гипотенузы.

9. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6 см и боковое ребро 30 см.

ent20-9Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 30 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана сторона квадрата,  можно  найти диагональ квадрата, а затем из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора:

MO2=MC2-OC2.   

10. Решите уравнение:

ent20-10

11. Для облицовки стен бассейна используется белая, желтая и черная плитка в отношении 1:1,3:2,7. Взяли 150 плиток. Сколько среди них должно быть плиток белого и желтого цвета вместе? Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда взяли х штук белых плиток, 1,3х штук желтых и 2,7х — черных плиток. Зная, что всего взяли 150 штук, составим уравнение: х+1,3х+2,7х=150, считаем иксы в левой части и получаем: 5х=150, отсюда х=30. Белых и желтых плиток вместе взяли х+1,3х=2,3х. Так как х=30, то белых и желтых плиток получается 2,3·30=69 штук.

12. Требуется найти сумму корней показательного уравнения:

ent20-12

13. Чему равно выражение log5log4log381? Решаем. log5log4log381=log5log44=log51=0.

14. Найдите х/у, где (х; у) — решение системы:

ent20-14

15. Смотрим на правую часть данного тригонометрического уравнения: она отрицательна. Данное уравнение решений не имеет, так как квадрат любого числа не может быть равен отрицательному числу. Ответ: нет корней.

16. Дана функция:

ent20-16

17. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3x2 и прямой у=2х+1. Построим графики этих функций.  Найдем площадь заштрихованной фигуры.

ent20-17

18. Сколько сторон имеет правильный n-угольник, если его каждый угол равен 135°? 

Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника определяется из формулы: S=180°·(n-2), где n - количество углов (сторон) выпуклого n-угольника.  

Зная, что каждый угол данного n-угольника равен 135°, составим уравнение:

180°·(n-2)=135°·n. Раскроем скобки. 180n-360=135n ⇒ 180n-135n=360 ⇒ 45n=360, разделим обе части равенства на 45 и получаем число углов (сторон) n=8.

19. Образующая, высота и радиус большего основания усеченного конуса соответственно равны 26 см, 24 см, 22 см. Вычислите боковую поверхность этого конуса. Решаем. Боковую поверхность усеченного конуса вычисляют по формуле: S=π(R+r)l, где  R — радиус большего основания конуса (по условию R=22 см), r — радиус меньшего основания конуса (неизвестен), l — образующая конуса (по условию l=26 см). Потребуется найти радиус меньшего основания конуса. Рассмотрим усеченный конус с осевым сечением AA1B1B, образующей AA1 и высотой OO1 (по условию OO1=24 см).

ent20-19

20. Решите уравнение:

ent20-20

21. Найдите значение выражения.

ent20-21

22. Решить неравенство:  2sin2x-4sinxcosx+9cos2x>0.  Решаем. Разделим обе части неравенства на cos2x. Так как cos2x>0, то знак неравенства не изменится. Получаем:

2tg2x-4tgx+9>0;  делаем замену: пусть tgx=y. Получаем неравенство: 2y2-4y+9>0. Это неравенство будет верным при любом значении у. Убедимся — найдем дискриминант квадратного уравнения 2y2-4y+9=0.

D=b2-4ac=16-4∙2∙9=16-72=-56<0, что означает- корней нет, т. е. график уравнения (парабола) не пересечет ось Ох. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, при любом значении у мы будем получать только положительные значения f(y). Все еще сомневаетесь? Тогда найдите координаты вершины параболы O’(m; n), где m=-b/(2a)=4:4=1; n=f(m)=f(1)=2-4+9=7. O’(1; 7) — это самая нижняя точка графика. Все остальные точки лежат выше.  Итак, у -любое число. Мы делали замену tgx=y. Значит, и х может быть любым числом. Ответ: (-∞; +∞).

23. В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым членами равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

ent20-23

24. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма, построенного на векторах

ent20-24

25. У деда 9 сыновей, у каждого его сына по 4 сына, а у каждого внука деда по 3 дочери. Сколько правнучек у деда? Рассуждаем. Если у каждого сына по 4 своих сына, то у деда 9·4=36 внуков. Так как у каждого внука по 3 дочери, то правнучек у деда 36·3=108.

 

ЕНТ-2013, вариант 0019.

Дорогие выпускники! Поздравляю вас с окончанием учебного года — последнего в вашей школьной жизни! Желаю вам успешной сдачи экзаменов и поступления в выбранный вами ВУЗ! Перед вами открыты все дороги, помните, что любая из них начинается с одного шага. Сделайте правильный шаг! Я желаю вам здоровья, счастья и удачи! Татьяна Яковлевна. Порешаем?!

1. Число х увеличили на 15%, получили 34,5. Отсюда следует, что х равно: Решаем. Было число х — это 100%, увеличили на 15%, стало 115% или 1,15х. Зная, что получили 34,5, составим уравнение:

1,15х=34,5. Делим обе части на 1,15 и получаем х=34,5:1,15=3450:115=30.

2. Решите уравнение: 14(2х-3)-5(х+4)=2(3х+5)+5х. Решаем. Раскрываем скобки:

28х-42-5х-20=6х+10+5х. Слагаемые с переменной х соберем в левой части равенства, а свободные члены — в правой:

28х-5х-6х-5х=10+42+20; приводим подобные слагаемые.

12х=72. Делим обе части на 12 и получаем х=6.

3. Решите неравенство: 4x-2x2-5≥0.

Преобразуем левую часть неравенства: -2x2+4x-5≥0. Умножим на (-1) и не забудем поменять знак неравенства на противоположный: 2x2-4x+5≤0. Рассмотрим функцию у=2x2-4x+5. Имеем a=2, b=-4, c=5. Графиком этой функции будет служить парабола с вершиной в точке  O’(m; n), где m=-b/(2a)=4/4=1, n=y(m)=y(1)=2∙1-4∙1+5=2-4+5=3. Мы нашли координаты вершины параболы O’(1; 3). Ветви параболы будут направлены вверх, следовательно, парабола не пересечет ось Ох и при любом значении х точки параболы будут лежать выше оси Ох (уравнение оси Ох: у=0). Таким образом неравенство 2x2-4x+5≤0 не будет иметь решений.

4. Вычислить: cos80°·cos20°+sin80°·sin20°. Применим формулу косинуса разности двух углов. Тогда:

cos80°·cos20°+sin80°·sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=1/2.

5. Найдите область значений функции у=3-5cosx. Всегда идут от основной функции. У нас это косинус х. Что мы знаем об области значений функции y=cosx, т. е о том, какие значения может принимать у?

Для функции синуса и косинуса область значений Е(у)=[-1; 1]. Запишем это в виде двойного неравенства:

-1≤cosx≤1. Теперь «оценим» значение -cosx.

-1≤-cosx≤1. Умножаем почленно на 5.

-5≤-5cosx≤5. Ко всем частям двойного неравенства прибавим число 3.

-5+3≤3-5cosx≤5+3. Получаем: -2≤3-5cosx≤8. Таким образом, область значений данной функции Е(y)=[-2; 8].

6. Вычислите интеграл:

ent19-6

7. Если центры вписанной и описанной около треугольника окружностей совпадают, то он: конечно, правильный (равносторонний), так как только у правильного многоугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

8. Радиус основания конуса равен 2 см. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите площадь осевого сечения конуса.

ent19-8Пусть нам дан конус с осевым сечением МАВ, угол АМВ — прямой. МО — высота конуса, радиус основания конуса ОА=ОВ=2 см. Площадь прямоугольного треугольника МАВ равна половине произведения основания АВ на высоту МО.

АВ=4 см, МО=ОА=2см (медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы).

9. В круг вписан квадрат ABCD, у которого известны вершины: B(9; 9) и D(-1; 3). Найдите центр окружности. Решаем. Центр вписанного (и описанного) в круг квадрата есть точка пересечения диагоналей квадрата, в этой точке диагонали делятся пополам. Найдем координаты точки О -центра круга и середины диагонали BD. О((9-1):2; (9+3):2) (координаты середины отрезка — это полусуммы соответственных координат концов отрезка). О(4; 6).

10. Решить уравнение:

ent19-10

11. Решаем. Отвечаем на вопрос задачи: на странице х строк и в каждой строке у букв. Получается, что всего на странице ху букв. Если количество строк и количество букв в строке увеличить на 2, то всего будет (х+2)(у+2) букв. Зная, что в этом случае число букв увеличится на 150, составим первое уравнение системы: 1) (х+2)(у+2)-ху=150. Если же убавить число букв в строке на 3, а число строк на странице на 5, то на странице будет (х-5)(у-3) букв. Зная, что число всех букв в этом случае уменьшится на 280, составим второе уравнение системы: 2) ху-(х-5)(у-3)=280. Упростим каждое из уравнений системы.

1) (х+2)(у+2)-ху=150. Раскроем скобки: ху+2у+2х+4-ху=150, отсюда 2х+2у=146, разделим почленно на 2 и получим:

х+у=73. Можно здесь и остановиться. Смотрите ответы: х-это количество строк, у-количество букв в строке. В каждом из предложенных ответов по два числа, и только ответ С) 35 строк; 38 букв удовлетворяет последнему равенству х+у=73. А если решать дальше, то что будем делать? Упрощаем  уравнение 2) ху-(х-5)(у-3)=280. Получаем ху-ху+3х+5у-15=280, отсюда 3х+5у=295. Из 1) уравнения выразим у=73-х и подставим в уравнение 3х+5у=295. Получим:

3х+5(73-х)=295. Тогда зх+365-5х=295 или -2х=-70, отсюда х=35.

у=73-35=38. Ответ: 35 строк и 38 букв.

12. Решить систему уравнений:

ent19-12

Ну, а если дальше решать, то выражайте х через у, получается х=2+у и подставляйте во второе уравнение. Получится:

22+y-2y=3 ⇒ 22∙2y-2y=3 ⇒ 2y(4-1)=3 ⇒ 2y=1, отсюда y=0. Находим x=2+0=2. Ответ: (2; 0).

13. Решить уравнение:

ent19-13

14. Требуется решить иррациональное уравнение. Возведем обе части равенства в квадрат. Получим:

x-2=64-16x+x2, после упрощения: x2-17x+66=0. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета x1=6, x2=11. Анализируем ответы. Значение х=11 не подойдет, так как правая часть данного уравнения становится отрицательной, а арифметический квадратный корень не может выражаться отрицательным числом. Ответ: 6.

15. Решите уравнение: cos2x=cosx-1. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 2π]. Решаем. Запишем данное неравенство в виде: 1+cos2x-cosx=0 и применим формулу: 1+cos2α=2cos2α. Тогда получим:

2cos2x-cosx=0; вынесем общий множитель за скобки:

cosx(2cosx-1)=0, отсюда или  cosx=0 или 2cosx-1=0. Решим каждое из этих уравнений.

ent19-15

16. В каких точках касательная к графику функции y=f(x) образует с осю Ох угол 45°, если

ent19-16

17. Найдите первообразную для функции f(x)=cos2x. Преобразуем данную функцию, понизив ее порядок по формуле:  1+cos2α=2cos2α.

ent19-17

 18. Стороны прямоугольника пропорциональны числам 3 и 4, а его площадь равна 192 см2. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника. Решаем.

ent19-18Диаметром круга будет служить диагональ АС прямоугольника ABCD, соответственно, радиус круга ОА равен половине АС. Обозначим одну часть через х. Тогда стороны прямоугольника равны и . Зная, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S=ab (a и b — стороны прямоугольника) и равна 192 см2, составим уравнение: 3х·4х=192, тогда 12x2=192, делим на 12, получаем x2=16, отсюда x=4. Итак, одна часть равна 4 см, тогда стороны прямоугольника 3·4=12 см и 4·4=16 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора   AC2=AB2+BC2=122+162=144+256=400, отсюда АС=20 см. (Можно было найти короче и устно: 3, 4 и 5 — пифагорова «тройка» чисел, получается, что на гипотенузу приходится 5 частей, одна часть равна 4 см, значит, гипотенуза составляет 5·4=20 см.).  АС=20 см, поэтому, радиус круга ОА=10 см, и площадь круга S=πR2=π∙102=100π (см2).

19. В правильной четырехугольной пирамиде длина бокового ребра равна 25 см, а площадь основания 800 см2. Найдите высоту пирамиды.

ent19-19Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 25 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана площадь квадрата, которую можно подставить в формулу  S=(1/2)d2, где d — диагональ квадрата. Получаем равенство:  800=(1/2)d2, умножаем обе части на 2 и получаем: d2=1600, отсюда диагональ АС=d=40 см. ОС=20 см. Из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора следует: MO2=MC2-OC2; MO2=252-202=625-400=225, тогда MO=15 см.

20. Найдите значение выражения:

ent19-20

21. Упростите выражение:

ent19-21

22. Решить неравенство:

ent19-22

23. Решить неравенство:

ent19-23

24. Знаменатель геометрической прогрессии 1/3, четвертый член 1/54, а сумма всех членов 121/162. Найти число членов прогрессии. Решаем.

ent19-24

25. Имеется монета. Сколько нужно таких монет, чтобы их можно было расположить вокруг данной монеты так, чтобы все они касались данной монеты и попарно друг друга?

ent19-25Не мудрствуя лукаво, возьмем монетки одного достоинства (например, по 5 тенге) и расположим их, как сказано в условии. Их будет 6. Монетки — не калькулятор и не сотовый телефон — можно взять с собой на экзамен!

 

ЕНТ-2013, вариант 0018.

testovik-ent-2013-11Дорогие выпускники! Началась последняя неделя вашей школьной жизни, и вас закружила суматоха подготовки к Празднику Последнего Звонка! Учителя перестали задавать домашние задания… ах, как славно! НЕ РАССЛАБЛЯЙТЕСЬ — ВПЕРЕДИ ЕНТ! Давно замечено: «Забудешь математику на 2 дня — она тебя забудет на неделю, забудешь ее на неделю — она тебя «кинет» на месяц… » и т. д. Оно вам надо? НЕТ и НЕТ! Помните: чтобы решить — надо решать, и другого не дано. Поэтому — ни дня без теста! Если вы уже все перерешали — обменивайтесь тестовиками с одноклассниками и, кроме того, повторяйте материал по темам. День — тригонометрию, другой день стереометрию и т. д. Как повторять? Да просто проговорите вслух все формулы, поверьте: нужная сама «всплывет» в нужный момент! Желаю вам обрести «второе дыхание» с этой минуты и до окончания экзаменов. Я в вас верю! Татьяна Яковлевна.

P.S. Варианты 0019 и 0020 на подходе!

1. Найдите неизвестный член пропорции: -9,7:(-0,97)=х:(-0,75). Решаем. Можно, конечно, воспользоваться основным свойством пропорции: чтобы найти неизвестный средний член пропорции нужно произведение ее крайних членов разделить на известный средний член пропорции. Но, посмотрев на предложенные числа, выполним деление в левой части равенства:

970:97=х:(0,75) ⇒ 10=х:(-0,75). Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное:

х=-0,75·10  ⇒ х=-7,5.

2. Решаем систему уравнений методом сложения. Для этого второе уравнение умножаем почленно на (-7) и складываем с первым. Получаем 11у=-22, отсюда получаем у= -2 и подставляем во второе уравнение:

х-2·(-2)=5 ⇒ х=1. Ответ: (1; -2).

3. Тест включает 30 заданий: 10 — по арифметике, 15 — по алгебре, остальные по геометрии. В каком отношении находятся в тесте арифметические, алгебраические и геометрические задания? Решаем. Узнаем, сколько заданий по геометрии:

30-10-15=5 — заданий по геометрии. Теперь составляем отношение: 10:15:5. Сокращаем отношение на 5 и получаем: 2:3:1.

4. Существует определение: говорят, что a<b, если разность a-b<0. Ищем в ответах отрицательное число. Это ответ D) -5.

5. Найдите наименьшее целое решение неравенства 97-x≤27.  Решаем. Представим обе части неравенства в виде степеней числа 3. Получаем:

32(7-x)≤33. Так как показательная функция с основанием 3 является возрастающей, то, опуская основания степени, сохраним знак неравенства: 2(7-x)≤3,

раскрываем скобки: 14-2x≤3. Упрощаем: -2x≤-11 и делим обе части неравенства на (-2), при этом знак неравенства меняется на противоположный: x≥5,5. Наименьшее целое число, принадлежащее промежутку [5,5; +∞) - это число 6.

6. Вычислите: sin15°·cos15°. Применим формулу sin2α=2sinαcosα.

sin15°·cos15°=(1/2)sin30°=(1/2)·(1/2)=1/4.

7. Найдите значение производной функции y(xo), если y(x)=3lnx-x2, xo=1. Решаем. Найдем производную функции y(x) и подставим вместо х значение xo=1.

ent18-7

8. Углы параллелограмма пропорциональны числам 9 и 3. Чему равна разность двух углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма? Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда углы параллелограмма и . Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне, равна 180°, составим уравнение:

9х+3х=180, отсюда 12х=180. Делим обе части на 12 и получаем х=15. Требуется найти разность углов параллелограмма. В частях это 9х-3х=6х. Так как х=15, то искомая разность углов равна 6·15°=90°.

9. Радиусы двух шаров относятся как 2:3. Как относятся их площади поверхности? Отвечаем. 1) Все шары подобны. 2) Площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров. Площади поверхностей будут относиться как

22:32, т. е. как 4:9.

10. При каких значениях k уравнение 2x2+kx+18=0 имеет один корень? Решаем. Квадратное уравнение имеет единственный корень (два равных корня), если дискриминант D=0. Составляем выражение D=b2-4ac. Для наших значений a=2, b=k, c=18 получаем D=k2-4∙2∙18=k2-144. Так как должно выполняться условие D=0, то получим уравнение k2-144=0, отсюда k2=144, в результате k=±12.

11. Решим первое уравнение системы. Так как 25=52, то опустив основания степени и приравняв показатели, получаем равенство: |x-1|=2. Тогда либо х-1=2⇒х=3, либо х-1=-2⇒х=-1 (модули чисел 2 и (-2) равны двум). Полученные значения х подставляем во второе уравнение системы (х+у=3). Если х=3, то у=0; если х=-1, то у=4. Решением системы будут пары значений х и у: (3; 0) и (-1; 4).

12. Найдите произведение корней уравнения:

ent18-12

13. Данное уравнение не имеет корней, так как квадрат любого числа (у нас квадрат суммы синуса и косинуса) не может быть равен отрицательному числу.

14. Последовательность, заданная формулой an=5+2n, является арифметической прогрессией. Найдите сумму ее первых двенадцати членов. Решаем. Воспользуемся следующей формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии:

ent18-14

15. Найдите область определения функции:

ent18-15

16. Найдите производную функции y(x)=sinex. Решаем. Нам дан синус. Производная синуса - это косинус. Так как аргумент у синуса был сложный, то находим производную ex и умножаем на косинус. Итак, y’(x)=cosex∙(ex)’=ex∙cosex.

17. Найти площадь круга, если длина окружности равна 8π см. Решаем. Чтобы найти площадь круга по формуле S=πR2, нам нужно знать радиус круга R. Длина окружности, вычисляемая по формуле С=2πR, по условию, равна 8π. Тогда радиус круга R=8π:2π=4 (см). Искомая площадь круга S=π∙42=16π (см2).

18. Задача на пирамиду. Основание пирамиды MABCD - прямоугольник ABCD. МА перпендикулярно (АВС). Если АС=5 см, угол MDA равен 60°, то найдите МА и объем пирамиды.

ent18-18s

19. Найдите координаты точек пересечения прямой у=-х+9 и данной окружности. Решаем. Подставим значение у в уравнение окружности. (x-6)2+(-x+9-6)2=32∙5. Упростим: (x-6)2+(3-x)2=45; раскроем скобки: x2-12x+36+9-6x+x2=45; перенесем число 45 в левую часть (не забыв поменять знак) и приведем подобные слагаемые:  2x2-18x=0. Решаем полученное неполное квадратное уравнение 2x(x-9)=0. Получаем: x=0 и x=9. Тогда, подставив эти значения в уравнение прямой у=-х+9, получаем: y=9  и y=0. Точки пересечения прямой и окружности: (0; 9) и (9; 0).

20. Вычислить:

ent18-20

21. Найдите значение выражения:

ent18-21

22. Решить уравнение:

ent18-22

23. Решить уравнение: sinx+sin5x+cosx+cos5x=0. Решаем. Сгруппируем слагаемые: (sin5x+sinx)+(cos5x+cosx)=0 и применим формулы преобразования суммы синусов и суммы косинусов в произведение.

ent18-23

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3-|x-3| и прямой у=0. Решаем. Прямая у=0 - это ось Ох. Построим график функции y=3-|x-3|. Для этого нам нужно освободиться от модульных скобок, и освобождаться мы будем по определению модуля числа а|a|=a, если a≥0; |a|=-a, если a<0.

1) Если х-3≥0, т.е. если х≥3, то функция примет вид: у=3-(х-3)=3-х+3=-х+6. Следовательно, на промежутке [3; +∞) нужно строить прямую у=-х+6.

2) Если х-3<0, т.е. если x<3, то функция примет вид: у=3+(х-3)=3+х-3=х. Следовательно, на промежутке (-∞; 3] нужно строить прямую у=х.

ent18-24

25. Человек говорит: «Я прожил 50 лет, 50 месяцев, 50 недель, 50 дней и 50 часов». Сколько ему лет? Рассуждаем. Мы знаем, что год состоит из 12 месяцев, поэтому от 50 месяцев возьмем 48 месяцев = 4 года и добавим к 50 годам, получается 54 года. А сколько осталось? 2 месяца (от 50 месяцев) плюс 50 недель плюс 50 дней плюс 50 часов. Потянет это на один год? Да, так как год состоит примерно из 52 недель (52 недели умножим на 7 дней и получим 364 дня). Добавим к 54 годам еще один год. Ответ: человеку 55 лет.

ЕНТ-2013, вариант 0017.

1. Спрашивают, во сколько раз 4 кг больше, чем 200 г. Так как 4 кг=4000 г, то делим 4000 г на 200 г и получаем 20. Ответ: соотношение 4 кг к 200 г равно 20.

2. На собрании рабочих цеха присутствовало 69 человек, что составляло 92% всех рабочих цеха. Сколько рабочих присутствовало на собрании? Решаем. Найдем число по его процентам, т. е. найдем общее количество рабочих цеха, зная, что 92% всех рабочих — это число 69. Чтобы найти число по его процентам, нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное число на эту дробь. 92%=0,92.

69:0,92=6900:92=75. Всего в цехе 75 рабочих, следовательно отсутствовало 75-69=6 человек.

3. Вычислить:

ent17-3

4. Решить уравнение: logx(x2+5x-5)=2. Решаем. Запишем число 2 в виде логарифма по основанию х.

logx(x2+5x-5)=logxx2 ⇒ x2+5x-5=x2 ⇒  5x=5 ⇒ x=1. Не подойдет, так как основание логарифма не должно быть равно единице. Корней нет.

5. Решим неравенство. Умножим обе части данного неравенства на 14 — наименьший общий знаменатель данных дробей и получим неравенство:

2(7х+1)-2x>11x-3; раскроем скобки:

14x+2-2x>11x-3. Соберем слагаемые с переменной в левой, а свободные слагаемые — в правой части неравенства:

14x-2x-11x>-3-2  ⇒  x>-5.

6. Решить неравенство:

ent17-6-1

7. Понизим порядок выражения, применив формулу:  1+cos2α=2cos2α. Тогда данное выражение преобразуется к виду:

1+cosα-cosα=1.

8. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=tgx в точке xo=π/4. Решаем. Значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой xo равна тангенсу угла наклона касательной к графику данной функции в точке xo. tgα=f ‘(xo). В этом заключается геометрический смысл производной. Найдем производную данной функции, а затем подставим в нее значение xo=π/4.

ent17-8

9. Периметр трапеции равен 36, а сумма непараллельных сторон равна 12, тогда средняя линия трапеции равна:

полусумме оснований трапеции, т. е. равна (36-12):2=12.

10. Найдите значение выражения x1∙y1+x2∙y2, где (х; у) — решение системы двух уравнений:

1) (х-1)(у+10)=9  и 2) х-у=11. Решаем. Выразим х через у из 2) уравнения. Получим:

х=11+у. Подставим это значение в 1) уравнение. Получим:

(11+у-1)(у+10)=9 ⇒ (10+у)(у+10)=9 ⇒ (y+10)2=9. Это возможно, если у+10=-3 ⇒ у=-13 или если у+10=3 ⇒ у=-7. Каждое из этих значений подставим в равенство х=11+у и найдем х.

При у=-13 получаем х=11-13=-2. При у=-7 получим х=11-7=4. Решение системы: пары чисел (-2; -13) и (4; -7). Тогда

x1∙y1+x2∙y2=-2·(-13)+4·(-7)=26-28=-2.

11. Решить систему уравнений:

ent17-11

12. Решить уравнение: sin5xsin3x-sin23x=0. Решаем. Вынесем общий множитель sin3x за скобки.

ent17-12

13. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой четвертый член равен (-16), а первый член равен 2.

ent17-13

14. Найдите область определения функции y=log2(x2-x)+lgx.  Нужно найти все значения переменной х, при которых функция имеет смысл. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то необходимо, чтобы выполнялись  условия:  x>0 и x2-x>0. Решаем последнее неравенство x2-x>0. Выносим х за скобки. Получаем: х(x-1)>0. Произведение двух чисел положительно, если сомножители имеют одинаковые знаки. Так как x>0, то и второй множитель х-1>0, отсюда x>1. Общее решение: «больше большего» — это x>1. Область определения D(y)=(1; +∞).

15. Найдите производную функции:

ent17-15

16. К двум касающимся друг друга окружностям, проведена касательная прямая, с расстоянием между точками касания 20 см. Определите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 5 см.

ent17-16

17. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота равна 2 см. Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания. Решаем. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD высота МО=2 см (О — центр вписанной и описанной окружности около квадрата ABCD), сторона квадрата AD=CD=4 см. Построим угол α — наклона боковой грани (MCD) к плоскости основания (ABCD). Углом между двумя плоскостями называется угол между двумя полупрямыми, перпендикулярными линии пересечения данных плоскостей.  

ent17-17

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП). Прямая (CD), проведенная на плоскости через основание наклонной (МК) перпендикулярно ее проекции (ОК) будет перпендикулярна и самой наклонной (CD  перпендикулярна MK).

18. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания, если угол между высотой конуса и образующей равен 45°. Решаем. Дан конус с осевым сечением МАВ, МО — высота конуса. Угол ОМВ=45° — это угол между высотой конуса МО и образующей МВ.

ent17-18

19. Даны модуль суммы и модуль разности двух векторов, а также модуль одного из векторов, требуется найти модуль другого вектора.

ent17-19sait

20. Сумма 135+115 оканчивается цифрой 4. Как рассуждаем? Судим по последней цифре степеней числа 3 (3;  9; 7; 1; 3), следовательно, 135 оканчивается на «3«. Степени числа 1 оканчиваются на «1«.

21. Выполнить действия:

ent17-21

22. Требуется найти

ent17-22

23. Решить систему тригонометрических неравенств:

ent17-23

24. Найти площадь заштрихованной фигуры. Фигура ограничена параболой сверху, осью Ох снизу и прямыми х=0 и х=3 слева и справа. Найдем уравнение параболы. Вершина параболы находится в точке (1; 1), следовательно, функция имеет вид:      y=a(x-m)2+n,  где m и  n – координаты вершины O1(m; n), подставим координаты вершины и получим: y=a(x-1)2+1.  Чтобы определить значение а, подставим в последнее уравнение координаты точки графика (0; 2). Получаем:  2=a(0-1)2+1⇒ a=1 и функция задается уравнением:  y=(x-1)2+1. Раскроем скобки  y=x2-2x+1+1  или y=x2-2x+2. Площадь фигуры находим по формуле:

ent17-24

25. Ира, Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша больше, чем Витя. Кто собрал грибов больше? Рассуждаем. Наташа подходит безоговорочно. Алеша собрал больше Вити, но и Ира собрала не меньше всех (может быть, больше Алеши!). Получается, что Наташа и Ира собрали грибов больше, чем Алеша и Витя.

 

ЕНТ-2013, вариант 0016.

1. Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на линейные множители:

ax2+bx+c=a(x-x1)∙(x-x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0, а также

 теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0.

  Сумма корней: x1+x2=-p; произведение корней: x1∙x2=q.

У нас: x2+6x+8=0, тогда  x1+x2=-6; x1∙x2=8.

Корни: x1=-4, x2=-2. Тогда: x2+6x+8=(х+4)(х+2).

2. Решим уравнение: log7(4x2-18x+13)-log7(2x-8)=0. 

Перепишем равенство в виде: log7(4x2-18x+13)=log7(2x-8). Потенцируем ( убираем значки логарифмов), рассуждая так: логарифмы равны, основания логарифмов одинаковое, значит, и числа под знаками логарифмов будут равны. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то будем иметь в виду,

что 4x2-18x+13>0 и 2x-8>0. Теперь нужно решить уравнение:

4x2-18x+13=2x-8. Переносим слагаемые из правой части равенства в левую и приводим подобные члены.

4x2-20x+21=0. Это полное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом.

a=4; b=-20; c=21. Используем формулы решения полного квадратного уравнения для четного второго коэффициента:

ent16-2

Ни один из найденных корней квадратного уравнения не является корнем данного логарифмического уравнения, так как не удовлетворяет условию  2x-8>0. Ответ: корней нет. Справка: вы могли бы не решать, а делать проверку, подставляя предложенные ответы — наверняка бы заметили, что при любых предложенных значениях х выражение под знаком логарифма log7(2x-8) будет отрицательным, что недопустимо!

3. Решить уравнение:

ent16-3

4. Дано неравенство: -3≤x<1,5. Ответ: [-3; 1,5). Так как значение -3 удовлетворяет неравенству, то на числовой прямой точка, соответствующая числу -3 будет закрашенной, а точка, соответствующая числу 1,5 будет пустой — не закрашенной (выколотой).

ent16-4

5. По синусу угла α  во второй четверти нужно найти cosα. Во второй четверти косинус имеет знак «, поэтому:

ent16-5

6. Найдем q — знаменатель геометрической прогрессии, а затем четвертый член умножим на q.

ent16-6

7. Вспомним определение нечетной функции. Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение () также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(- x)=- f(x)Подойдет под это определение только функция в ответе В).

8. Площадь ромба равна 8, высота 2, тогда сторона ромба равна площади ромба, деленной на высоту: а=8:2=4. (Формула площади ромба: Sp.=a∙h).

9. Помним, что если векторы складывают, то складывают и их соответственные координаты; если умножают число на вектор, то это число умножают на каждую координату вектора.

ent16-9

10. Будем считать, что нам даны значения корней x1 и х2. А по теореме Виета:

x1+ х2=-p; x1· х2=q. Считаем и получаем:

-p=6 ⇒ p=-6; q=32-2=7. Приведенное квадратное уравнение имеет вид: x2+px+q=0, подставляем найденные значения  p и q и получаем ответ: x2-6x+7=0.

11. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определите, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что из первой трубы в час вытекает на 50% больше, чем из второй. Решаем. Пусть из второй трубы вытекает х воды в час. Это количество воды примем за 100%. Из первой трубы вытекает воды на 50% больше, чем из второй — это 150% или 1,5х в час. Две трубы за один час нальют х+1,5х=2,5х воды. Зная, что две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов, составим уравнение: 2,5х·6=1. За единицу принимаем вместимость бассейна (объем бассейна).

15х=1  ⇒  х=1:15. Это означает, что за один час через вторую трубу бассейн наполнится на 1/15 часть, т. е. за 15 часов бассейн наполнится через вторую трубу. Через первую трубу в час нальется в 1,5 раз больше, следовательно, для наполнения всего бассейна через первую трубу, потребуется в 1,5 раз меньше времени, т. е. 15:1,5=10 часов.

12. Нужно решить иррациональное уравнение. Возведем обе части равенства в квадрат, а единицу представим в виде степени:

1=20. Опускаем основания степеней и приравниваем показатели:

x2-7x=0 ⇒ x(x-7)=0 ⇒ x=0 или x=7. Подходят оба эти значения.

13.  Решить иррациональное уравнение. Это уравнение решений не имеет — смотрите сами: если число 12 перенести в правую часть (получаем 15-12=3), умножаем обе части на (-1) и оказывается,что арифметический квадратный корень будет равен (-3), а это невозможно!

14. Решить уравнение: tgx·(cosx+2)=0. Решаем. Так как cosx+2≠0 ни при каком значении х (так как |cosx|≤1), то равенство будет верным, если tgx=0, отсюда х=πn, nєZ.

15. Выражение в правой части равенства будет иметь смысл, если: 1) x≠0 (знаменатель дроби отличен от нуля); 2) 7x+1≥0 ⇒ 7x≥-1  ⇒  x≥-1/7 (подкоренное выражение в числителе дроби неотрицательно). Область определения D(y)=[-1/7; 0)U(0; +∞). Ответ записан в виде Е) [-1/7; +∞), x≠0.

16. Найти производную функции: f(x)=e3sinx.  Решаем.

f ‘(x)=(e3sinx)’= e3sinx∙(3sinx)’=3cosx∙ e3sinx.

17. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его каждый угол равен 150°Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника определяется из формулы: S=180°·(n-2), где- количество углов (сторон) выпуклого n-угольника.  

Зная, что каждый угол данного n-угольника равен 150°, составим уравнение:

180°·(n-2)=150°·n. Раскроем скобки. 180n-360=150n ⇒ 180n-150n=360 ⇒ 30n=360, разделим обе части равенства на 30 и получаем число углов (сторон) n=12.

18. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 3см3, а высота равна 1 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Решаем. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат ABCD, а вершина пирамиды M проектируется в точку O — пересечение диагоналей квадрата (O - это центр описанной и вписанной в квадрат окружности). МО — высота пирамиды.

ent16-18

19. Известна площадь осевого сечения цилиндра. Требуется найти площадь его боковой поверхности. Решаем. Дан цилиндр с осевым сечением  АА1В1В.

ent16-19

 20. Выполним действия.

ent16-20

21.  Вычислим:

ent16-21

22. Решить систему логарифмических неравенств:

ent16-22

23. Смотрите вариант 0001 — 23. Только со скобками будьте внимательны (знак «» — скобка квадратная, знак «<» — скобка круглая).

24. Найти общий вид первообразных для функции:

ent16-24

25.  Известно, что 3a2=2b3.  Число а увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилось число b? Выясним чему равно число b — как оно зависит от а? Для этого выразим число b через а.

ent16-25

ЕНТ-2013, вариант 0015.

1. Вычисляем:

ent15-1-1

2. Вычислить:

ent15-2

3. Так как 0=log21, то, убрав значки логарифмов, получаем:

(3х-5):4=1, отсюда 3х-5=4; 3х=9; х=3.

4. Решаем каждое неравенство по отдельности:

1) 7+2x>5+x ⇒ x>-2.

2) 2-3x≥2x-8 ⇒ -5x≥-10 ⇒ x≤2. Получили -2<x≤2. Ответ: (-2; 2].

5. Найти область определения функции: y=log5(2-3x). Областью определения функции служит множество таких значений переменной, при которых выражение в правой части функции имеет смысл. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то должно выполняться условие:

2-3x>0 ⇒ -3x>-2. Разделим обе части неравенства на (-3), изменив при этом знак неравенства на противоположный. Получаем x<2/3. Ответ: (-∞; 2/3).

6. Применим основное тригонометрическое тождество: sin2α+cos2α=1, тогда:

ent15-6

7. Чтобы найти первые пять членов данной последовательности с общим членом bn=4-5n, нужно в эту формулу подставлять по очереди числа 1; 2; 3; 4 и 5.

b1=4-5∙1=4-5=-1. Уже можно было бы прекратить вычисления, так как только один ответ D) начинается с числа -1. Ну уж ладно, продолжим — сейчас то у нас времени побольше!

b2=4-5∙2=4-10=-6;

b3=4-5∙3=4-15=-11;

b4=4-5∙4=4-20=-16;

b5=4-5∙5=4-25=-21. Ответ: -1; -6; -11; -16; -21.

8. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее. Находим значения функции y(x)=sinx+x на концах отрезка [0; π].

y(0)=sin0+0=0;

y(π)=sinπ+π=0+π=π. Найдем производную y ‘(x)=(sinx+x)’=cosx+1. Находим критические точки функции:

y ‘(x)=0 ⇒ cosx+1=0 ⇒ cosx=-1 ⇒ x=π+2πn, nєZ. В данный промежуток [0; π] входит только х=π. Значение у(π) мы уже находили. Итак, наибольшее значение унаиб., наименьшее значение унаим.=0.

9. Представили себе эти точки, подсчитали, что 5+7=12 и поняли: 12-ти частям (из 24-х) соответствует полуокружность. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 90°. Но можно, конечно,  порешать и подольше — традиционным методом.

Обозначим одну часть через х. Тогда градусные меры дуг между точками деления окружности будут равны 5х, 7х и 12х. Вся окружность составляет 360°, Получаем уравнение:

5х+7х+12х=360° ⇒ 24х=360°, делим обе части на 24 и получаем х=15°. Тогда наибольшая из дуг равна 12·15°=180°, а вписанный угол (наибольший угол треугольника), который опирается на эту дугу равен половине градусной меры дуги, т. е. равен 180°:2=90°.

10. Решите относительно х уравнение: 4+ах=3х+1. Уравнение с параметром решают так, как если  вместо параметра а было бы число. Соберем слагаемые, содержащие переменную х в левой части равенства, а свободные члены — в правой.

ent15-10

11. Через каждый час расстояние  между поездами становится на (70+80) км больше, поэтому, через 600:(70+80) часов, т. е. через 4 часа расстояние между ними будет равным 600 км. (70 км/ч + 80 км/ч=150 км/ч — это скорость удаления).

12. Дано уравнение: 22x-6∙2x+8=0. Требуется найти сумму его корней. Решаем. Сделаем замену переменной: пусть 2x=у. Тогда уравнение примет вид: y2-6y+8=0.  Находим корни по теореме Виета:

y1=2, y2=4. Возвращаемся к переменной х:

1) 2x=2 ⇒ x=1; 2) 2x=4 ⇒ x=2.  Сумма корней 1+2=3.

13. Возведем обе части равенства в квадрат:

x2+5=4+2x;

x2-2x+1=0 ⇒ (x-1)2=0 ⇒ x-1=0 ⇒ x=1.

14. Найдем значение выражения:

ent15-14

15. Чтобы выражение в правой части равенства имело смысл, должны выполняться условия:

1) х-3≥0  ⇒ х≥3 (под знаком арифметического квадратного корня может быть только неотрицательное число);

2) х+5>0  ⇒ х>-5 (под знаком логарифма могут быть только положительные числа).

Общее решение: х≥3 (выбрали «больше большего»).

Область определения данной функции есть промежуток значений [3; +∞).

 16. Требуется записать уравнение касательной к графику функции f(x)=-x2-4x+2  в точке с абсциссой x0=-1. Решаем. Запишем уравнение касательной в общем виде:

y=f(x0)+f ‘(x0)∙(x-x0). Выполним необходимые вычисления:

f(x0)=f(-1)=-(-1)2-4∙(-1)+2=-1+4+2=5;

f ‘(x)=(-x2-4x+2)’=-2x-4;

f ‘(x0)=f ‘(-1)=-2∙(-1)-4=2-4=-2.   Подставляем нужные значения в уравнение  касательной:

у=5-2·(х+1). Раскроем скобки и упростим:

у=5-2х-2 или у=-2х+3.

17. Известны стороны параллелограмма и угол между этими сторонами. Нужно найти диагональ, лежащую против данного угла. Любой отрезок находится из треугольника. Искомая диагональ является неизвестной стороной в треугольнике со сторонами 2 см и 3 см и углом 60° между ними. Применим теорему косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

ent15-17

18. Пусть дан конус с осевым сечением МАВ, радиус основания конуса АО=4 см, высота МО=8 см. Конус пересечен плоскостью (круг с центром в точке O1 и радиусом А1О1), параллельной основанию и находящейся на расстоянии 5 см от его вершины (МО1=5 см).  Требуется найти площадь сечения, т. е. нам нужно найти площадь круга с центром в точке O1 и радиусом А1О1. Площадь круга находится по формуле: S=πr2, где r — радиус круга. Нужно найти радиус круга r=А1О1.

ent15-18-1

19. В конус с высотой 15 см и радиусом 10 см вписан цилиндр с высотой 12 см. Найдите объем цилиндра.

ent15-19

20. Турист прошел за первый день 40% маршрута, во второй день 45% остатка, после чего ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день. Весь маршрут составляет: ОТВЕЧАЕМх км. Тогда в первый день он прошел 40% от х — это 0,4х км (чтобы найти проценты от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь и умножить на данное число). Остаток составит х-0,4х=0,6х (км). Во второй день  он прошел 45% от 0,6х — это 0,45·0,6х=0,27х (км). Складываем путь, пройденный за два дня: 0,4х+0,27х=0,67х (км). Туристу осталось пройти х-0,67х=0,33х (км). Зная, что ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день, составим уравнение:

0,33х-0,27х=6  ⇒ 0,06х=6  ⇒ х=6:0,06=600:6=100 (км).

Ответ: весь путь составляет 100 км.

21. Упростим выражение:

ent15-21

Для этого нам понадобилось знание следующих формул:

1) a3+b3=(a+b)∙(a2-ab+b2). У нас: a3+27=a3+33=(a+3)∙(a2-3a+9).

2) a2-b2=(a+b)∙(a-b). У нас: a2-9=a2-32=(a+3)∙(a-3).

3) ax2+bx+c=a(x-x1)∙(x-x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

4) Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0.

  Сумма корней: x1+x2=-p; произведение корней: x1∙x2=q.

У нас: x2+3x-10=0, тогда  x1+x2=-3; x1∙x2=-10. Корни: x1=-5, x2=2.

Разложили на множители: x2+3x-10=(x+5)(x-2).

22. Решить неравенство: sin2x-3sinxcosx+2cos2x<0. Решаем. Разделим обе части неравенства на cos2x,  (где cos2x>0).

Получаем: tg2x-3tgx+2<0. Сделаем замену: tgx=y, тогда получим неравенство: y2-3y+2<0. По теореме Виета найдем корни приведенного квадратного уравнения: y2-3y+2=0. Получаем: y1=1, y2=2. Тогда y2-3y+2<0 при yє(1; 2), это значит, что tgx є(1; 2).  Если tgx=1, то x=π/4+πn. Если tgx=2, то x=arctg2+πn, nєZ. Ответ: π/4+πn<x<arctg2+πn, nєZ.

23. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью Ох, сверху графиком функции y=f(x), а слева и справа прямыми х=а и х=b,  находят по формуле:  ent15-23У нас a=-3, b=0, а функция y=f(x) пока не  определена. График — парабола, вершина которой находится в точке (-2; 0), следовательно, уравнение данной квадратичной функции имеет вид:

y=a(x+2)2.  Подставим координаты (0; 4) в это равенство:

4=a(0+2)2 ⇒ a=1.  Итак, наша функция: y=(x+2)2. Находим площадь заштрихованной фигуры.

ent15-23-1

24. Прямая у=ах+b перпендикулярна прямой у=0,5х-4 и проходит через точку С(2; 6). Составьте ее уравнение. Решаем. Так как прямые взаимно перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно (-1), т. е. а·0,5=-1, отсюда а=-1:0,5=-10:5=-2. Вид нашей прямой: у=-2х+b. Чтобы определить значение b, подставим в это уравнение координаты данной точки С(2; 6).

6=-2·2+b ⇒ b=6+4=10. Получаем: у=-2х+10.

25. Так как в году 12 месяцев, то к 45 месяцам добавим еще 3 месяца — это 3·(≈4,5)≈ 27 недель. Тогда человеку 45+4=49 полных лет.

ЕНТ-2013, вариант 0014.

1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

ent14-1

2. Преобразуем выражение под знаком логарифма и применим формулу логарифма частного.

ent14-2

3. Решить уравнение: 2∙log9(7x-1)=3. Решаем. Разделим обе части равенства на 2.

log9(7x-1)=1,5. По определению логарифма 7х-1=91,5.   Так как 91,5=(32)1,5=33=27, то получаем равенство:

7х-1=27  ⇒ 7х=28 ⇒ х=4.

4. По определению модуля условию удовлетворяют такие значения переменной под знаком модуля (справа и слева от нуля), расстояние от которых до нуля не менее, чем значение арифметического квадратного корня из трех. Ответ: С).

5. Представим число 5 в виде логарифма по основанию 2. Получаем:

log2x≤log232  (32=25). Опускаем значки логарифмов, сохраняя знак неравенства (логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей). Итак, х≤32 и х>0 (под знаком логарифма могут быть только положительные числа), а также х>17 (было по условию). Общее решение системы неравенств: 17<x≤32 или xє(17; 32].

6. Применим основное тригонометрическое тождество: sin2α+cos2α=1, тогда:

ent14-6

7.  Вместо n поочередно в данную формулу подставляем значения: 1; 2; 3; 4; 5 и выполняем действия. Ответ: 0; 0; 0; 0; 0.

8. Для нахождения функции, обратной данной, нужно: 1) выразить х через у; 2) вместо х написать у, а вместо у написать х. 1) Возведем обе части данного равенства в квадрат и выразим х.

y2=x-3 ⇒ x=y2+3.

2) y=x2+3 — функция, обратная данной.

9. Такое возможно только в прямоугольном треугольнике: углы 45°, 45° и 90°. Но если не догадались — решайте, как обычно, т. е одну часть обозначьте через х. Тогда углы в данном треугольнике будут равны х; х и . Так как сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, можно составить уравнение:

х+х+2х=180 ⇒ 4х=180, а х=180:4=45. Получаем углы: 45°, 45° и 90°.

10. Решим систему методом сложения: умножим первое равенство на (-2), а второе на 3 и сложим их почленно. Получаем 11у=22, отсюда у=2. Подставляем значение у=2 в любое из уравнений, например, в уравнение 4х+7у=2 и находим х.

4х+7·2=2 ⇒ 4х=-12 ⇒ х=-3. Ответ: (-3; 2).

11. Имеется 90 г. раствора, содержащего 20% соли. Нужно получить 9%-ый раствор. Какова масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору? Решаем. В 90 граммах 20%-го раствора содержится 0,2·90=18 граммов соли. (Чтобы найти проценты от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число). Пусть х граммов — масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору, чтобы получить 9%-ый раствор. В (х+90) граммах 9%-го раствора содержится 0,09·(х+90) граммов соли. А так как соли не прибавилось и не убавилось — получаем равенство:

0,09·(х+90)=18 х+90=18:0,09 х+90=1800:9 х+90=200 х=110.

12. Складываем данные равенства почленно, получаем: 2∙3x=54, отсюда 3x=27, а х=3. Если в уравнение 3x+2y=31  подставить вместо 3x значение 27, то получаем: 2y=4, отсюда у=2. Решением системы является пара чисел (3; 2). В ответе требуется найти разность 3х-2у. Подставляем: 3·3-2·2=9-4=5. 

13. Найдите значение выражения х+у, где (х; у) — решение системы:

ent14-13

14. Решить уравнение:

ent14-14

15. Так как координаты точки пересечения графиков данных функций удовлетворяют каждому уравнению, то справедливо равенство: 4x2+3x+6=3x2-3x-3.  Соберем все слагаемые в левой части равенства и приведем подобные члены. Получаем:

x2+6x+9=0. Свернем полный квадрат двучлена:

(x+3)2=0 ⇒ x=-3. Подставим значение х во второе уравнение (можно было подставить и в первое уравнение) и вычислим значение y(-3)=3∙(-3)2-3∙(-3)-3=27+9-3=33.

Ответ: (-3; 33).

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

y(x)=2x2-9x+10 на отрезке  [0; 2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее. Находим значения функции на концах отрезка.

y(0)=10; y(2)=2∙22-9∙2+10=2∙4-18+10=0. Найдем производную:

y ‘(x)=(2x2-9x+10)’=4x-9 ⇒ x=9:4=2,25 — критическая точка функции.

2,25∉[0; 2]. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции будут на концах отрезка:

унаиб.=10, унаим.=0.

17. Найдем сумму оснований трапеции: из периметра вычтем сумму боковых сторон. Тогда сумма оснований a+b=66-(17+19)=66-36=30. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, т. е. равна 30:2=15.

18. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1200 см3.

ent14-18

19. Радиус основания конуса равен 4 см. Через середину высоты проведена плоскость параллельно основанию. Найдите площадь полученного сечения. Задача аналогична задаче 17 из варианта 0012.

Радиус сечения в 2 раза меньше радиуса основания, следовательно, площадь сечения в 4 раза меньше площади основания конуса. Можно найти площадь основания конуса и разделить ее на 4.

Sосн.=πR2=π∙42=16π (см2). Тогда Sсеч.= 16π:4=4π(см2).

20. Вы знаете, что модуль положительного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Выясняете, какой знак имеет выражение в модульных скобках, а затем действуете по правилу.

ent14-20

21. Решить уравнение: |x+3|+|2x-1|=8. Решаем. Так как х+3=0 при х=-3, а 2х-1=0 при х=0,5, то корни данного уравнения нужно искать на каждом из интервалов: I (x<-3); II (-3≤x<0,5); III (x≥0,5). На каждом из этих интервалов модульные скобки раскрываются по правилу, а затем решается полученное уравнение. Корень (если он будет) должен принадлежать рассматриваемому интервалу.

ent14-21

22. Смотрите вариант 0001, задание 23. То же самое, только там неравенства строгие были, поэтому скобки круглые, а в данной системе неравенства нестрогие, и ответ С) дан в виде закрытого числового промежутка (скобки квадратные).

23. Для функции f(x)=6x2+2 найти первообразную F(x), график которой проходит через точку М(-1; 2). Решаем. Первообразная F(x)=2x3+2x+C. (Проверим — должно выполняться равенство: F ‘(x)=f(x)). Так как график первообразной проходит через точку М, то координаты этой точки должны удовлетворять равенству:  F(x)=2x3+2x+C. Подставим значения х=-1 и у=2  в это равенство и найдем С.

2=2∙(-1)3+2∙(-1)+C. Выполним действия:

2=-2-2+C   C=6. Тогда искомое уравнение первообразной: F(x)=2x3+2x+6.

24. Даны модули двух векторов и угол между ними. Требуется найти модуль разности этих векторов. Решаем.

ent14-24

25. По условию, в коробку вмещается 60 красных кубиков (60k) или 72 синих кубика (72s).  Получается, что 60k=72s. Разделим почленно на 12 обе части равенства и получим: 5k=6s. Это означает: 5 красных кубиков занимают столько же места, сколько 6 синих кубиков. Возвращаемся к задаче. В коробку положили 45 красных кубиков, значит, осталось места на 15 красных кубиков. Так как 5k=6s, то 15k=3·5k=3·6s=18s. Ответ: еще поместится 18 синих кубиков.

ЕНТ-2013, вариант 0013.

testovik-ent-2013-131. Данный одночлен требуется привести к стандартному виду, т.е. записать выражение в виде произведения числового множителя на буквенные (с их степенями), записанными в алфавитном порядке.

ent13-1

2. Вычислим: log2log2log2216=log2log216=log24=2.

3. Решить уравнение:

ent13-2

4. Данное неравенство верно при любых допустимых значениях переменной х, т.е. при хє[0; +∞). Арифметический квадратный корень - это неотрицательное число.

5. Заменяем косинус и синус данных углов их числовыми значениями и получаем: 0-(-1)=1.

6. Поставим в формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеющиеся данные. У нас S=0,5; q=0,25.

ent13-6

7. Вычислим определенный интеграл:

ent13-7

8. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата. Представили себе вписанную в квадрат окружность, которая касается всех сторон квадрата, диаметр окружности равен стороне квадрата. По условию сторона квадрата равна 12 см, значит, радиус вписанной окружности r=12:2=6(см).

9. При умножении вектора на скаляр (на число), мы каждую координату вектора умножаем на это число.

ent13-9

10. Не решайте такие системы, а подставляйте предложенные ответы (начиная с ответа А)) в то уравнение, которое проще. В данном случае, пары значений х и у лучше подставлять во 2-ое уравнение.  Так как х+у=5, то подойдут лишь пары значений (3; 2) и (2; 3) (ответ D)).

11. Обозначим первоначальную стоимость товара через х. Это 100%. После первого снижения на 20%, осталось 80% первоначальной стоимости, это 0,8х. После второго снижения на 25% товар стал стоить 75% от последней цены, т. е. 0,75·0,8х=0,6х. Сравниваем: было х, стало 0,6х, т. е. было 100%, остал0сь  60%. Вывод: первоначальную цену товара снизили на 40%.

12. Смотрим ответы. Так как под знаком логарифма могут быть лишь положительные числа, то ответы В), D) и Е) сразу отпадают. Выбирать придется между ответами А) и С). Первому уравнению системы удовлетворяют и пары (1; 4), (4; 1) (ответ А)) и пары (2; 3), (3; 2) (ответ С)). Подставляем пару (1; 4) во 2-ое уравнение системы. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, а логарифм четырех по основанию шесть не равен единице. Это означает, что ответ А) не подходит. Ответ: С).

13. А вот здесь уже придется решать данную систему уравнений.

ent13-13

14. Решим уравнение: sin2x=-cos2x. Разделим обе части равенства на cos2x, получаем tg2x=-1. Применяем формулу для решения уравнений вида tgt=-a (a>0). t=-arctga+πn, nєZ.

2x=-arctg1+πn, nєZ;

2x=-π/4+πn, nєZ; разделим обе части равенства на 2.

x=-π/8+(πn)/2,  nєZ.

15. Нам дана функция y=4x-x2.  Можно записать ее в виде: y=-x2+4x. Это квадратичная функция, ее графиком служит парабола, ветви которой направлены вниз. Какая парабола наша: В) или Е). Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение: -x2+4x=0   ⇒   –x(x-4)=0. Отсюда получаем: х=0 и х=4. Ответ: Е).

16. Если производная функции положительна в некотором промежутке, то функция возрастает на всем этом промежутке. Найдем производную данной функции.

f '(x)=-3x2+3x=-3x(x-1). Методом интервалов определяем, что f '(x)>0 на промежутке  [0; 1], следовательно, данная функция возрастает на все этом промежутке.

17. Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию: S=(a·h)/2. Отсюда следует: a·h=2S. Равные основания данных треугольников обозначим через а, высоту меньшего — через h, тогда высота другого треугольника будет равна h+5. Площади этих треугольников известны. Составим равенства:

a·h=2·120    и   a·(h+5)=2·180. Разделим второе равенство на первое. Получаем: (h+5):h=3:2. Произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов.

Отсюда 3h=2h+10 ⇒ h=10.

18. Можно бы и начертить эту пирамиду, вот только мы не знаем, в какую точку проектировать вершину пирамиды. Обычно, нам говорят, например, что вершина проектируется в точку пересечения диагоналей основания или, что из какой-т0 вершины основания проведена высота пирамиды… А, вообще говоря, нужен ли нам этот чертеж? Мы знаем формулу объема пирамиды: Vпир.=(1/3)Sосн.∙H. Здесь площадь основания — это площадь параллелограмма, которую можно найти как половину произведения диагоналей параллелограмма на синус угла между диагоналями. Высота пирамиды равна меньшей стороне параллелограмма. Рассмотрим параллелограмм ABCD — основание данной пирамиды.

ent13-18

19. Задача. Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник с диагональю 4 см и углом 60° между диагоналями. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объем пирамиды.

Решаем. Условие: «боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°» означает, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания (точку, равноудаленную от вершин основания), т. е. в точку пересечения диагоналей прямоугольника.

ent13-19s

Смотреть видео решение 19 задания. Задача на пирамиду.

20. Найдем значение выражения:

ent13-20

21. Решить уравнение:  |4-x|+|x-2|=2. 

ent13-21

22. Имеем произведение двух множителей. Второй множитель представляет собой арифметический квадратный корень, значит, всегда неотрицателен, если существует. Если подкоренное выражение 9-x2>0, то арифметический квадратный корень существует и положителен при хє(-3; 3) (нашли, решив неравенство (3-x)(3+x)>0). Следовательно, должно выполняться условие sinx>0 (оба множителя должны иметь одинаковые знаки), отсюда получаем хє(0; π).  Находим пересечение промежутков (-3; 3) и (0; π).

Ответ: (0; 3).

23. Решим тригонометрическое неравенство: синус заменим на косинус по формуле приведения.

ent13-23

24.  Подведем переменную 2t под знак дифференциала и вычислим определенный интеграл:

ent13-24

25. В шахматном кружке занимаются 20 мальчиков и 15 девочек. Каждую неделю в группу приходят два новых мальчика и три новых девочки. Выберите верное утверждение. Смотрим на ответы: разброс от 2 недель до 6 недель. Составим таблицу, чтобы было понятно, как меняется количество мальчиков и девочек каждую неделю.

ent13-25

Теперь очевидно, что подходит ответ Е), а именно: через 5 недель количество мальчиков и девочек сравняется.

ЕНТ-2013, вариант 0012.

1. К произведению степеней применяем формулу: am∙an=am+n. Скобки в показателях степеней открываем по формулам:

(a+b)2=a2+2ab+b2 и (a-b)2=a2-2ab+b2.

ent12-1

2. Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час.

48 деталей ———— х%

240 деталей ——— 100%. Зависимость прямая, поэтому, х=(48·100):240=20%.

3. Решить уравнение: log3(log5x)=0. Решаем.

log3(log5x)=log31. Потенцируем:

log5x=1. По определению логарифма: x=51, тогда x=5.

4. Решим неравенство с модулем: |3x-1|<2. Рассуждаем: модуль числа 3х-1 — это  длина отрезка  от нуля до числа 3х-1, по условию  меньше двух единичных отрезков (<2), причем этот отрезок можно отложить как вправо, так  и влево от нуля. Следовательно, само число 3х-1 должно удовлетворять условию:

-2<3x-1<2. Прибавим ко всем частям двойного неравенства 1. Получаем:

-1<3x<3. Делим все части неравенства на 3.

-1/3<x<1   или   (-1/3; 1).

5. Решить неравенство: log5(x+1)≤2. Решаем. Представим правую часть (число 2) в виде логарифма по основанию 5. Получаем:

log5(x+1)≤log552   или  log5(x+1)≤log525. Логарифмическая функция с основанием 2>1 является возрастающей, поэтому, опускаем значки логарифмов и сохраняем знак неравенства:

x+1≤25, учитываем, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа, значит:

x+1>0. Решаем каждое неравенство и получаем:

x≤24  и x>-1. Ответ: (-1; 24].

6. Применим тождество: 1-cos2α=2sin2α.

ent12-6

7. Мы просто решим данное уравнение вида cost=a. Формула: t=±arccosa+2πn, nєZ. Будем подставлять вместо n такие целые значения, чтобы tє[700°; 1050°], а затем из всех подходящих значений выберем наибольшее.

ent12-7

8. Скорость есть производная пути по времени: v(t)=S’(t).

ent12-8

9. Представим себе эти квадраты (или начертим), и нам станет ясно, что искомая диагональ будет в 2 раза больше стороны данного квадрата и, значит, будет равна 2 метрам.

ent12-9

10. Решим данную систему уравнений.

ent12-10

11. Решим уравнение: 5x-4,8=0,2x.

ent12-11

12. Вычислить:

ent12-12

13. По условию: a4-a1=6  и a5+a7=30. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)∙d.

Тогда a4-a1=a1+3d-a1=3d=6, отсюда находим d=2.

a5+a7=a1+4d+a1+6d=2a1+10d=2a1+10∙2=2a1+20=30,  тогда a1=10:2=5. Искомую сумму первых десяти членов данной прогрессии (an) найдем по формуле:

ent12-13

14. Найдем промежутки возрастания функции:

y=x2-2x+3. Найдем производную данной функции: y’=2x-2=2∙(x-1). Критическая точка:

ent12-14Так как y’>0 на промежутке [1; +∞), то данная функция возрастает на всем этом промежутке.

 

15. Любые исследования функции следует начинать с нахождения области определения функции. Областью определения данной функции служит множество всех действительных чисел, кроме нуля. Найдем производную и критические точки функции.

ent12-15

16. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Так как тупой угол по условию равен 135°, то острый угол равен 180°-135°=45°, а если мы проведем высоту из вершины тупого угла, то получим равнобедренный прямоугольный треугольник (острые углы по 45°). Обозначим высоту трапеции через х. Тогда большее основание будет равно , а меньшее основание равно х.

ent12-16

17. Так как секущая плоскость проведена через середину высоты конуса параллельно его основанию, то диаметр круга, получившегося в сечении, является средней линией осевого сечения конуса и равен половине диаметра основания конуса, а радиус сечения r равен половине радиуса основания конуса, т.е. равен 5 см. Тогда площадь сечения S=πr2=π∙52=25π (см2).

18. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех его линейных размеров. Формула: V=abc, где a — длина, b — ширина, c — высота прямоугольного параллелепипеда. По условию высота с=13 см, ширина на 5 см меньше длины, значит, b=a-5. Получается равенство: 1092=a·(a-5)·13. Делим обе части равенства на 13 и получим:

84=а·(а-5). Раскроем скобки и перенесем все в левую часть, получим квадратное уравнение:

a2-5a-84=0. По теореме Виета находим корни a1=-7, a2=12. Длина параллелепипеда равна a=12 см, тогда ширина b=12-5=7 см. Получается, что наименьшей из сторон будет ширина b=7 см.

19. Потребуется знание двух способов сложения двух векторов на плоскости: 1) сумма двух векторов на плоскости, имеющих общее начало, есть вектор, имеющий то же начало и совпадающий по длине с диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах, как на сторонах. Вторая диагональ параллелограмма — вектор, равный разности данных векторов. 2) чтобы сложить два вектора на плоскости по правилу треугольника, нужно отложить первый вектор, а из его конца отложить второй вектор, результат (сумма этих двух векторов) — это вектор с началом в начале первого вектора и концом — в конце второго вектора.

ent12-19

20. Купив 9 рыбок по х тенге, Бауыржан потратил 9х тенге. Цена одной рыбки снижается на 25%, т.е будет стоить 75% от х. Это 0,75х тенге за одну рыбку. Бауыржан купит 9х:0,75х=900:75=12 (рыбок).

21. Вы видите, что  в числителях и знаменателях дробей повторяется одно и то же выражение x2-x. Сделаем замену: пусть x2-x=у. Решим получившееся уравнение:

ent12-21

22. Решаем систему методом сложения.

ent12-22

23. Решить неравенство:

ent12-23

24. Площадь заштрихованной фигуры найдем как сумму площадей двух прямоугольных треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. У верхнего треугольника катеты 1 и 1, а у нижнего треугольника катеты равны 1 и 2.

ent12-24

25. Так как количество дырок удваивается с каждым сложением листа, то их будет 2·2·2=8. (складывали три раза).

ЕНТ-2013, вариант 0011.

testovik-ent-2013-11Друзья, на экзаменах у вас не будет калькулятора. Вы умеете вручную извлекать квадратные корни? Если нет, то смотрите видео:

«Извлечение квадратного корня из целого числа».

«Извлечение квадратного корня из десятичной дроби».

1. Токарю нужно было сделать 120 деталей. Примем их за 100%. Он перевыполнил план на 10%. 10% от 120 — это 12 деталей (одна десятая всего плана), следовательно, токарь сделал 120+12=132 детали. 

Можно было составить пропорцию:

120 деталей ———100%

х деталей ———-110%

х=(120·110):100=132 (детали) — то же самое, только возни больше.

2. Решить уравнение.

ent11-2

3. Скорость велосипедиста Vв.=S:tв.=36:3=12(км/ч).  Скорость пешехода Vп.=S:tп=36:6=6(км/ч). Велосипедист и пешеход одновременно начали движение навстречу друг другу. Их скорость сближения равна (12+6=18) км/ч, значит, они встретятся через 36:18=2(часа).

4. Умножаем обе части неравенства на 6, получаем:

3·(x+1)-2·(x-1)>6x;

3x+3-2x+2>6x;

3x-2x-6x>-2-3;

-5x>-5   |:(-5)

x<1.

5. Решить неравенство: 2∙log2x<3. Применим формулу: k∙logab=logabk.

ent11-5

6. cos(π-α)=-cosα=-(-3/4)=3/4. Угол (π-α) находится во 2-й четверти, косинус во 2-й четверти имеет знак «-» (поменяли знак); в записи аргумента π/2 взято четное число раз (π=2·(π/2)), поэтому, косинус на кофункцию не поменяли.

7. Решить уравнение:

ent11-7

8. На рисунке изображен график прямой пропорциональности, которая задается формулой у=kx. Чтобы определить коэффициент k, подставим в это уравнение координаты данной точки (2; -3):

-3=k·2  ⇒ k=-3:2=-1,5.  Следовательно, функция задана равенством: у=-1,5х.

9. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, поэтому данный угол 110° может быть только при вершине данного равнобедренного треугольника. Сумма углов при основании равна 180°-110°=70°, тогда каждый из углов при основании этого равнобедренного треугольника равен 70°:2=35°.

10. Решить уравнение: |6x2+10x|=4. Решаем. Возможен любой из вариантов:

1) 6x2+10x=-4                                   2) 6x2+10x=4;

3x2+5x+2=0;                                      3x2+5x-2=0;

a=3, b=5, c=2.                                      a=3, b=5, c=-2.

Частный случай.                              Общий случай квадратного уравнения.

a-b+c=0;                                                  D=b2-4ac=52-4∙3∙(-2)=  =25+24=49=72.

x1=-1, x2=-c/a=-2/3.                      x1=(-5-7)/6=-2, x2=(-5+7)/6=1/3.

11. Вычисляем x=log749-0,5log28=2-0,5∙3=2-1,5=0,5. Тогда:

ent11-11

12. Вычислим:

ent11-12

13. Дано:  арифметическая прогрессия, в которой  a11=23, a21=43.  Требуется найти a50. Решаем. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+(n-1)∙d,  где a1 -  первый член,   d- разность арифметической прогрессии.

Тогда a50=a1+49d.  Нужно найти a и  d. У нас имеются: a11=a1+10d=23  и  a21=a1+20d=43. Вычтем из второго равенства первое. Получим: 10d=20, откуда  d=2. Подставим вместо d число 2 в равенство: a1+10d=23 и найдем a1=3. Теперь значения a и  d подставляем в выражение a50=a1+49d. Получаем: a50=3+49·2=3+98=101.

14. Дана функция котангенса: y=ctg2x. Аргументом может быть любое число, кроме чисел вида πn, так как котангенс нуля не существует, и наименьшим положительным периодом служит Т=π. Итак, 2x≠πn ⇒ x≠πn/2, nєZ. Смотрим ответы. Не подходят: x=5π/2 (n=5); x=π/2 (n=1); x=π (n=2); x=-4π (n=-8). А ответ x=-3π/4 подойдет, так как не является числом вида  x≠πn/2, nєZ.

15. Данная функция представляет собой произведение двух множителей. Найдем производную f ‘(x) по формуле: (u·v)’=u’·v+u·v’, а затем подставим в нее число 5 вместо х и вычислим  f ‘(5).

ent11-15

16. Помните, как вы строили правильный шестиугольник на уроках черчения и геометрии?  Чертили окружность, радиус которой равен стороне правильного шестиугольника (R=a), и делали засечки на окружности  тем же раствором циркуля — получалось 6 засечек. Их потом последовательно соединяли, и получался правильный шестиугольник. Этот шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.

ent11-16

17. Центр шара, описанного около куба лежит на середине диагонали куба. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов линейных размеров прямоугольного параллелепипеда (d2=a2+b2+c2). В случае куба имеем: d2=3a2, тогда диагональ куба, она же  диаметр описанного шара:

ent11-17

18. Найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания, если образующая наклонена под углом 60°. Решаем. Боковая поверхность конуса Sбок.= πrl, где r-радиус основания конуса,  l-образующая конуса. Площадь основания конуса есть площадь круга, определяемая по формуле Sкр.=πr2, r-радиус круга, лежащего в основании конуса.

ent11-18

19. Применим формулу:

ent11-19

20. Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов двух выражений:

a2-b2=(a+b)(a-b), и дробь легко сократится.

ent11-20

21. Решить уравнение: |5-x|-|x+4|=0. Чтобы решить это уравнение нужно освободиться от знаков модуля, а чтобы освободиться от знаков модуля нужно применить определение модуля числа а: |a|=a, если a≥0; |a|=-a, если a<0. Так как 5-х=0 при х=5, а х+4=0 при х=-4, то числа -4 и 5 разбивают множество всех действительных чисел на три области ( I, II и III), в каждой их которых модульные скобки раскрываются, согласно определению модуля, а затем решается полученное уравнение.

ent11-21

Что? Можно было не решать, а подставлять предложенные ответы? Да, в этом примере это было бы разумно, но, учтите, что иногда уравнение с модулями имеет ответ в виде числового промежутка (как у неравенства), так что вы должны уметь решать такие уравнения!

22. Умножим обе части равенства на 3, а затем возведем обе части в квадрат. Получаем:

9(11-x)=(2x-8)2.  Раскрываем скобки: 99-9x=4x2-32x+64. Приводим подобные слагаемые и получаем квадратное уравнение:  4x2-23x-35=0. Имеем: a=4, b=-23, c=-35. Находим дискриминант:

D=b2-4ac=(-23)2-4∙4∙(-35)=529+560=1089=332.

x1=(23-33):8=-10/8=-5/4; x2=(23+35):8=56:8=7. Значение x1=-5/4 не подойдет, так как при х=-5/4 правая часть данного равенства становится отрицательной. Ответ: 7.

23. Решить неравенство: cos2x+cosx>0. Прибавим и вычтем единицу:

1+cos2x+cosx-1>0.  Так как есть тождество: 1+cos2α=2cos2α, то  получаем:

2cos2x+cosx-1>0. Сделаем замену: cosx=y. Тогда имеем: 2y2+y-1>0. Найдем корни квадратного уравнения 2y2+y-1=0. У нас a=2, b=1, c=-1 подчиняются равенству: a-b+c=0 (частный случай), отсюдаy1=-1, y2=-c/a=1/2.

Решениями квадратного неравенства 2y2+y-1>0 будут значения yє(-∞; -1)U(1/2; +∞). Возвращаемся к переменной х. Так как cosx∉(-∞; -1), а  cosxє(1/2; +∞) означает, что cosx>1/2, то осталось решить последнее неравенство. Применим формулу для решения неравенств вида:

cost>a (-1<t<1). Формула:  -arccosa+2πn<t<arccosa+2πn, nєZ.

ent11-23

24. Проинтегрируем f(x) и найдем первообразную F(x). Так как интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых, то:

ent11-24

25. Мы видим, что каждое из чисел: 4,  2 и 3 преобразуется в куб числа:

4→64; 2→8; 3→27. Следовательно, и число х должно перейти в куб числа х. Получается, что  x3=x. А когда это возможно? Только в случае х=1. В ответе нужно указать 5х. Получаем 5·1=5.

Страница 1 из 212
Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
Наверх