тест-обучение Обучающие тесты по математике
Рубрика "ЕНТ-2014"

ЕНТ-2014, вариант 0025

По вашим просьбам!

3. Вычислить:

0025-3

4. Решить неравенство: (x-1)2(x-24)<0.

Решаем методом интервалов. На числовой прямой отмечаем нули функции у=(x-1)2(x-24). Это значения х=1 и х=24, причем, х=1 — корень четной кратности, поэтому при определении знаков функции на промежутках, в точке х=1 знак менять не будем.

0025-4х∈(-∞; 1)U(1; 24).

 

 

8. Найти сторону треугольника, лежащую против угла 135°, если две другие стороны равны 3 см и 0025-8

По теореме косинусов квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Формула:  a2=b2+c2-2bc∙cosA.

У нас cosA=cos135°=cos(180°-45°)=-cos45°.

0025-8-1

14.  Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если ее второй член равен 6, а знаменатель равен (-2).

Формула суммы nпервых членов геометрической прогрессии:

0025-14

19. При каком значении m векторы

0025-19

20. Упростите выражение:

0025-20

22. Требуется найти 1,5xo – 2,3yo, если (xo; yo) — решение системы:

0025-22

Смотрим на второе уравнение. Произведение этих двух множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Предположим, что x2 – 49 = 0. Тогда под корнем окажется выражение  (-4y2) и извлечь арифметический квадратный корень получится только если у=0, а иначе под корнем будет отрицательное число. Таким образом, yo =0. Из равенства x2 – 49 = 0 следует, что xo=-7 или xo=7. Подставив значение yo =0 в первое уравнение, убеждаемся, что xo=7. Решение данной системы: (7; 0). Находим значение выражения 1,5x– 2,3yo. Получаем:

1,5·7-2,3·0=10,5.

23. Решите неравенство: cos2x-0,5sinx>1

Запишем данное неравенство в виде: 1-cos2x+0,5sinx<0. Применим основное тригонометрическое тождество и получаем равносильное неравенство:

sin2x+0,5sinx<0. Сделаем замену: sinx=z. Неравенство  z2+0,5z<0 решаете или с помощью параболы или методом интервалов, разложив на множители:  z(z+0,5)<0. Получаем:  -0,5<z<0. Возвращаемся к первоначальной переменной:

-0,5<sinx<0. Покажем решение с помощью графиков:  y=sinx, y=-0,5 и y=0 (ось Ох). Выберем те значения х, при которых точки синусоиды будут заключены между прямыми y=-0,5 и y=0.

0025-23

24. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно 14. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и середину бокового ребра, не проходящего через данную сторону.

Пусть дана правильная призма  ABCA1B1C1, каждое ребро которой равно 14. К — середина ребра AA1, не проходящего через сторону ВС нижнего основания призмы. Требуется найти площадь треугольника ВКС — сечения призмы. В треугольнике АВС проведем высоту АD (она же медиана) и точку D соединим с точкой К.  На основании ТТП (теоремы о трех перпендикулярах) КD будет перпендикулярна ВС. Следовательно, KD является высотой треугольника ВКС. Площадь этого треугольника равна половине произведения основания ВС на высоту KD. Нам известно, что ВС=14. Длину  KD найдем из прямоугольного треугольника КАD по теореме Пифагора У нас катет АК=7 — половина ребра AA1, второй катет АD =AB·sin60°.

0025-24

25. Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Каков возраст отца и сына?

Понятно, что отец старше сына на 25 лет. Пусть сыну х лет. Тогда отцу (х+25) лет. Зная, что вместе им 65 лет, составим уравнение:

х+х+25=65 ⇒ 2х=40 ⇒ х=20. Возраст сына 20 лет, а отца 20+25=45 лет.

Желаю вам, дорогие выпускники, всяческих успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0024

По вашим просьбам!

13. Решите уравнение 3-4cos2x=0. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 3π].

Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos2α. Получаем равносильное уравнение:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Делим обе части равенства на (-2) и получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

0024-13

14. Найдите b5 геометрической прогрессии, если  b4=25 и b6=16.

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов: 

(bn)2=bn-1∙bn+1. У нас (b5)2=b4∙b6   ⇒ (b5)2=25·16 ⇒ b5=±5·4 ⇒ b5=±20.

15. Найдите производную функции: f(x)=tgx-ctgx.

0024-15

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=x2-12x+27

на отрезке [3; 7].

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a; b], нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Найдем значения функции при х=3 и при х=7, т.е. на концах отрезка.

y(3)=32-12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=72-12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Находим производную данной функции: y’(x)=(x2-12x+27)’ =2x-12=2(x-6); критическая точка х=6 принадлежит данному промежутку [3; 7]. Найдем значение функции при х=6.

y(6)=62-12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. А теперь выбираем из трех полученных значений: 0; -8 и -9 наибольшее и наименьшее: унаиб.=0; унаим.=-9.

17. Найдите общий вид первообразных для функции:

0024-17

Данный промежуток – это область определения данной функции. Ответы должны начинаться с F(x), а не с f(x) – ведь мы ищем первообразную. По определению функция F(x) является первообразной для функции f(x), если выполняется равенство: F’(x)=f(x). Так что можно просто находить производные предложенных ответов, пока не получится данная функция. Строгое решение – это вычисление интеграла от данной функции. Применяем формулы:

0024-17-1

19. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану BD треугольника АВС, если его вершины А(-6; 2), В(6; 6) С(2; -6).

Для составления уравнения прямой нужно знать координаты 2-х точек этой прямой, а нам известны координаты только точки В. Так как медиана BD делит противолежащую сторону пополам, то точка D является серединой отрезка АС. Координаты середины отрезка есть полусуммы соответственных координат концов отрезка. Найдем координаты точки D.

0024-19-1

20. Вычислить:

0024-20-1

24. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна

0024-24

Эта задача — обратная к задаче № 24 из варианта 0021.

0024-24-

25. Найдите закономерность и вставьте недостающее число: 1; 4; 9; 16; …

Очевидно, что это число 25, так как нам дана последовательность квадратов натуральных чисел:

12; 22; 32; 42; 52; …

Всем удачи и успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0023

По вашим просьбам!

6. Упростить тригонометрическое выражение:

0023-6

17. Найти положительное число, которое в сумме с обратным ему числом, дают наименьшее значение.

0023-17

18. Решите уравнение:

0023-18

20. Раскройте модуль:

0023-20

21. Упростите выражение:

0023-21

Сначала выполним действия в скобках. 1) Разложим знаменатели дробей в скобках на множители по формулам сокращенного умножения:  a2-b2=(a-b)(a+b)  и  (a+b)2=a2+2ab+b2. 2) Приведем дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю. 3) Выполним сложение получившихся дробей. 4) Заменим деление на получившуюся в скобках дробь умножением на дробь, обратную делителю. 5) Выполним умножение и при возможности сократим получившуюся дробь.

0023-21-1

22. Решить неравенство: cos(3π/2+2x)+3sin2x<2.

Применяем правило для формул приведения: 1) перед приведенной функцией ставим знак приводимой. Так как у нас угол (3π/2+2x) находится в 4 четверти, а косинус в 4 четверти положителен, то знак не поменяется. 2) если в записи аргумента π/2 взято нечетное число раз, то функцию меняем на кофункцию. У нас π/2 взято 3 раза — нечетное число, поэтому косинус поменяется на синус. Получаем равносильное данному неравенство:

sin2x+3sin2x<2. Приводим подобные слагаемые:  4sin2x<2. Разделим обе части неравенства на 4:

sin2x<½. Пусть 2х=t. Осталось решить простейшее неравенство sint<½. Изобразим в одной системе координат tOy графики функций y=sint и у=½ и определим промежуток значений аргумента, при которых синусоида лежит ниже прямой у=½.

0023-22

23. В наклонном параллелепипеде перпендикулярное к основанию сечение, площадь которого 340 см2, проходит через диагональ лежащего в основании прямоугольника со сторонами 8 см и 15 см. Вычислите объем параллелепипеда.

0023-23

24. Найдите модуль вектора а, если модуль вектора b равен 19, модуль суммы этих векторов — 20, а модуль разности — 18.

Похожие задания были и в прошлом году. Посмотрите видео решение № 24 варианта 0009 из сборника ЕНТ-2013. 

а затем краткое решение этого задания.

0023-24

Всем желаю удачи и успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0022

По вашим просьбам!

6. Упростить выражение:

0022-6

7. Найдите область определения функции:

0022-7

15.  Найдите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 5.

Первое натуральное число, которое при на 8  дает остаток 5 – это 13. Можно записать: 13=8∙1+5. Далее прибавляем 8 к  13-ти и получаем 21. Можно записать: 21=8∙2+5; 29=8∙3+5; 37=8∙4+5… . Таким образом, в общем виде: 8n+5.

18. Вычислите интеграл:

0022-18

19. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 15°. Найдите ВС, если

0022-19

20. Определить значение выражения:

0022-20

21. Упростите выражение:

0022-21

22. Решить неравенство: 5cos2x-2sinxcosx+4sin2x>0.

Разделим обе части неравенства на cos2x. Так как cos2x>0, то знак неравенства сохранится. Получаем равносильное неравенство:

5-2tgx+4tg2x>0 или  4tg2x-2tgx+5>0. Сделаем замену:  tgx=y. Решим квадратичное неравенство:

4y2-2y+5>0. Найдем решения квадратного уравнения:

4y2-2y+5=0. Дискриминант D1=12-4∙5=-19<0. Следовательно, корней нет. При этом трехчлен 4y2-2y+5 при любом значении у будет принимать только положительные значения. Таким образом, у∈(-∞; +∞), а значит и данное неравенство будет справедливо при любом действительном значении аргумента х.

23. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 25, а площадь боковой поверхности 75. Найти объем пирамиды.

0022-23-1

24. При каких значениях p угол между векторами

0022-24

25. На открытие школы подарили компьютеры и принтеры в количестве 80 штук. Каждый кабинет информатики получил по 8 компьютеров и 2 принтера. Сколько всего принтеров и компьютеров привезли в школу?

Каждый кабинет информатики получил по 8 компьютеров и 2 принтера. Это означает, что каждый кабинет информатики получил 8+2=10 аппаратов. Получается, что всего в школе 80:10=8 кабинетов. Следовательно, привезли 8·8=64 компьютера и 8·2=16 принтеров.

Удачи!

 

ЕНТ-2014, вариант 0021

По вашим просьбам!

5. Решите неравенство:

0021-5

6. Упростите выражение:

0021-6

17. f(x)=6x2+8x+5, F(-1)=3. Найдите F(-2).

0021-17

Найдем С, зная, что F(-1) = 3.

3 = 2 ∙ (-1)3 + 4 ∙ (-1)2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 – 5 + C;

C = 6.

Таким образом первообразная F(x) = 2x3 + 4x2 + 5x + 6. Найдем F(-2).

F(-2) = 2∙(-2)3+4∙(-2)2+5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

0021-20

Решение основано на основном свойстве дроби, позволяющим умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же, не равное нулю число. Чтобы избавиться от знаков радикала в знаменателе дроби, обычно используют ФСУ (формулы сокращенного умножения). Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов.

0021-20-1

21. Упростить выражение:

0021-21

Решим этот пример двумя способами. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b)2. Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.

0021-21-1

2) Возведем первый множитель в квадрат и внесем его под знак арифметического квадратного корня второго множителя.

0021-21-2

Решайте удобным для себя способом!

 22. Найдите (х1∙у12∙у2), где (хn; yn) – решения системы уравнений:

0021-22

Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то допустимыми значениями переменной у служат все числа, удовлетворяющие неравенству y≥0. Так как произведение в первом уравнении системы равно отрицательному числу, то должно выполняться условие: x<0. Выразим х из первого уравнения и подставим его значение во второе уравнение. Решим получившееся уравнение относительно у, а затем найдем значения х, соответствующие полученным ранее значениям у.

0021-22-1

23. Решить неравенство: 7sin2x+cos2x>5sinx.

Так как по  основному тригонометрическому тождеству: sin2x+cos2x=1, то представив данное неравенство в виде 6sin2x+ sin2x +cos2x>5sinx и применив основное тригонометрическое тождество, получаем:  6sin2x+ 1>5sinx.  Решаем неравенство:

6sin2x-5sinx+1 >0.  Сделаем замену:    sinx=y  и получим квадратичное неравенство:

6y2-5y+1>0. Решим это неравенство методом интервалов, разложив левую часть на множители. Для этого найдем корни полного квадратного уравнения:

6y2-5y+1=0.  Дискриминант  D=b2-4ac=52-4∙6∙1=25-24=1. Тогда получаем у1   и  у2:

0021-23

24. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник, площадь которого равна 0021-24Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если ее объем равен 300 см3.

Пусть нам дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, в основании которой лежит правильный Δ АВС, его площадь нам известна. Применив формулу площади равностороннего треугольника, мы найдем сторону нашего треугольника АВС. Так как объем прямой призмы, вычисляется по формуле V=Sосн.∙ H, и нам также известен, то можно найти Н — высоту призмы. Боковое ребро призмы будет равно высоте призмы: AA1=H. Зная сторону основания и длину бокового ребра призмы можно найти площадь ее боковой поверхности по формуле: Sбок.=Pосн.∙ H.

0021-24-

25. На школьной викторине было предложено 20 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из участников, если он отвечал на все вопросы и набрал 86 очков?

Пусть участник дал х правильных ответов. Тогда неправильных у него (20-х) ответов. Зная, что за каждый правильный ответ ему начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков и при этом он набрал 86 очков, составим уравнение:

12х-10·(20-х)=86;

12х-200+10х=86;

22х=286 ⇒ х=286:22 ⇒ х=13. Участник дал 13 правильных ответов.

Я желаю вам дать 25 правильных ответов на тест по математике на ЕНТ!

 

ЕНТ-2014, вариант 0020

По вашим просьбам!

12. Решите уравнение:

0020-12

13. Решите уравнение: sinx+tg(x/2)=0. Применим формулу для тангенса половинного аргумента. Тогда равенство примет вид:

0020-13

Умножим обе части равенства на sinx≠0 и получаем: sin2x+1-cosx=0. Применим основное тригонометрическое тождество:

sin2x+cos2x=1, из которого следует, что sin2x=1- cos2x. Получаем равносильное уравнение:

1- cos2x+1-cosx=0, а после упрощения:

cos2x+cosx-2=0. Сделаем замену: cosx=y. Получаем приведенное квадратное уравнение относительно переменной у:

y2+y-2=0. Решаем и находим корни: y1=-2 и y2=1. Возвращаемся к первоначальной переменной:

1) cosx=-2. Это уравнение решений не имеет, так как  |cosx|≤1.

2) cosx=1. Это частный случай. Получаем x=2πk, k∈ Z.

20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

0020-20

21. Известно, что

0020-21

22. Пусть (х1; у1), (х2; у2) — решение системы:

0020-22

23. Решите неравенство: sinx+cos2x≥1.  Это уравнение было и в прошлом году. Смотрите здесь тоже 23 задание.

24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро 6. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

0020-24Пусть шар с центром в точке О1 и радиусом МО1 описан около правильной пирамиды MABCD с высотой МО=3 и боковым ребром МА=6. Требуется найти радиус шара МО1. Рассмотрим ΔМАМ1, в котором сторона ММ1 — диаметр шара. Тогда ∠МАМ1=90°. Найдем гипотенузу ММ1, если известны катет МА и проекция этого катета МО на гипотенузу. Помните? Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Нам в этой задаче пригодится только подчеркнутая часть правила.

Записываем равенство: МА2=МО∙ММ1. Подставляем свои данные: 62=3∙ ММ1. Отсюда ММ1=36:3=12. Мы нашли диаметр шара, следовательно, радиус МО1=6.

25. Петя старше Коли, который старше Миши, Маша старше Коли, а Даша младше Пети, но старше Маши. Кто третий по возрасту?

Будем считать: старше — это больше. Петя старше Коли, который старше Миши запишем так: Петя>Коля>Миша. Даша младше Пети, но старше Маши запишем так: Маша<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Даша>Маша. Так как Маша старше Коли, то получаем:  Петя>Даша>Маша>Коля. И окончательно:  Петя>Даша>Маша>Коля>Миша. Таким образом, третий по возрасту — Маша.

Желаю успешной подготовки к ЕНТ!

ЕНТ-2014, вариант 0019

По вашим просьбам!

3. Вычислить:

0019-3-1

Решение. Применим свойства степени, а затем основное логарифмическое тождество.

0019-3

5. Определите верное решение неравенства:

0019-5

7. Найдите функцию, обратную данной: y=x5-1. Чтобы найти функцию, обратную данной нужно: 1) выразить х через у; 2) вместо х написать у, а вместо у записать х

0019-9

12. Решите уравнение: log3(2x+5)-log36=1-log3(x+7).

Преобразуем равенство к виду: log3(2x+5)+log3(x+7)=log33+log36 и применим формулу логарифма произведения: loga(xy)=logax+logay. Получаем равенство:

log3((2x+5)(x+7))=log3(3·6) ⇒ (2x+5)(x+7)=18 ⇒ 2x2+5x+14x+35=18 ⇒ 2x2+19x+17=0.

Решаете квадратное уравнение и получаете корни x1=-8,5; x2=-1. Значение х=-8,5 не подойдет, так как под знаком логарифма могут находиться только положительные числа. Значение х=-1 входит в область допустимых значений данного уравнения.

16. Чему равна производная функции

0019-16

17. Найдите положительное значение точки максимума функции:

0019-17

18. Площадь фигуры, ограниченной линиями у=5/х, у=6-х, равна…

Построим графики данных функций: гиперболу у=5/х и прямую у=6-х. Покажем область между этими линиями и применим формулу для нахождения площади криволинейной трапеции.

0019-18

 20. Разложить на множители: 9-a2+2ab-b2. Применим формулы: 1) (a-b)2=a2-2ab+b2; 2) x2-y2=(x+y)(x-y).

9-a2+2ab-b2 = 9-(a2-2ab+b2) = 32-(a-b)2 = (3+a-b)(3-a+b).

23. Два шара с радиусами 5 см и 12 см пересекаются так, что расстояние между их центрами 13 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности. Линия пересечения поверхностей двух шаров есть окружность, и задача заключается в том, чтобы найти радиус этой окружности.

0019-23

24. Вычислить длину вектора

0019-24

25. Асель разрезала лист бумаги на 10 частей. Затем один из кусочков она разрезала еще на 10 частей. Потом она поступила так еще с тремя листочками. Сколько листочков у нее станет?

Из большого листа у Асель получилось 10 (назовем средних), 6 из них она не трогала, а каждый из остальных 4-х  средних Асель разрезала на 10 маленьких и получилось 4·10=40 маленьких листочков. А всего? 6 средних плюс 40 маленьких. Получается 46 листочков.

Удачи и успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0018

По вашим просьбам!

5. Найдите наибольшее целое решение неравенства 0,53x+2>8.

Представим левую и правую части неравенства в виде степени с основанием 2.

2-3x-2>23. Так как показательная функция с основанием 2  является возрастающей, то опуская основания степеней, знак неравенства сохраним. Получаем:

-3х-2>3  ⇒ -3x>3+2  ⇒ -3x>5 ⇒ x<-5:3.

0018-5

x=-2 есть наибольшее целое решение данного неравенства.

9. Отрезок АВ пересекает плоскость в точке М и делится ею пропорционально числам 8:5. Найдите длины АМ и МВ, если длина проекции отрезка на плоскость равна 52 см, а точка А отстоит от плоскости на расстоянии, равном 24 см.

0018-9

Итак, АМ:ВМ=8:5. Это означает, что отрезок АМ содержит 8 частей, а отрезок ВМ содержит 5 таких же частей. Проекция отрезка АВ на плоскость α есть сумма проекций отрезков АМ и МВ на эту плоскость, т.е отрезок B1A1=52 см по условию. Если мы проведем ВК параллельно B1Aдо пересечения с продолжением АA1, то очевидно, что ВК=B1A1=52 см. Так как точка А отстоит от плоскости на расстоянии 24 см, то длина отрезка АA1=24 см.

Пусть A1К=х. Из подобия треугольников АВК и АМA1 следует:

АК:АA1=АВ:АМ ⇒(24+х):24=(8+5):8 ⇒ (24+х):24=13:8. По основному свойству пропорций:

(24+х)·8=24·13. Разделим обе части равенства на 8. Получим:

24+х=3·13, отсюда х=39-24=15. Так как A1К=х=15 см, то АК=24 см+15 см=39 см. Из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора  AB2 =AK2+BK2. Подставляем значения АК=39 и ВК=52. Получаем:

AB2=392+522=(13∙3)2+(13∙4)2=132∙32+132∙42=132∙(32+42)=132∙(9+16)= 132∙25=132∙52. Отсюда АВ=13·5=65 (см). Так как на весь отрезок АВ приходится 13 частей (по условию АМ:МВ=8:5), то на одну часть приходится 65 см:13=5 см.

Тогда длина отрезка АМ=8·5 см=40 см, а длина отрезка МВ=5·5 см=25 см.

11. Даны 3 последовательных натуральных числа. Произведение этих чисел в 2 раза больше третьего числа. Найдите эти числа.

Если мы обозначим через х первое из трех натуральных последовательных чисел, то каждое следующее будет на 1 больше, т.е. второе число будет равно (х+1),

а третье (х+2). Зная, что произведение всех трех чисел в 2 раза больше третьего числа, составим уравнение:

х·(х+1)·(х+2)=2(х+2). Можно разделить обе части равенства на (х+2), так как это число (третье искомое число) точно не равно нулю. Получим равенство: х·(х+1)=2. Можно, конечно, раскрыть скобки и перенести все слагаемые в левую часть, а затем решить квадратное уравнение, но подумайте: произведение каких двух натуральных последовательных чисел равно двум? Ну, разумеется: 1 и 2.

Тогда искомые числа: 1, 2 и 3.

12. Решите уравнение:

0018-12

16. Производная функции:

0018-16

17. Составьте уравнение касательной к графику функции у=cos2x в точке xo= π/4.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой xo имеет вид: y=f(xo)+f’(xo)∙(x-xo).  Находим f(xo)=f(π/4)=cos(π/2)=0. Находим производную данной функции: f ‘(x)= -2sin2x. Тогда f’(xo)=f’(π/4)=-2sin(π/2)=-2·1=-2. Полученные значения f(xo) и f’(xo) подставляем в уравнение касательной.

у=0-2·(х-π/4) ⇒ у=-2х+π/2.

23. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна

0018-23

0018-23-1

24. Даны векторы

0018-24

В последнее равенство подставим абсциссы всех данных векторов и получим первое уравнение системы: 7=-2х-4у или 2х+4у=-7. Теперь подставим соответствующие ординаты данных векторов и получим второе уравнение системы: 2=2х+у или 2х+у=2. Из 1-го уравнения 2х+4у=-7 вычтем 2-ое уравнение 2х+у=2. Получаем уравнение: 3у=-9, отсюда у=-3. Подставим значение у=-3 в уравнение 2х+у=2. Получаем 2х=5, отсюда х=2,5.

25. Эта задача была и в прошлом году. Смотрите здесь! Это тоже 25 задание.

ЕНТ-2014, вариант 0017

По вашим просьбам!

5. Решите неравенство:

0017-5

6. Упростить выражение: cos(π/2-α)+sin(π-α). По формулам приведения

cos(π/2-α)=sinα, sin(π-α)=sinα. Тогда:

cos(π/2-α)+sin(π-α)=sinα+sinα=2sinα.

7. Найти область определения функции:

0017-7

9. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой 16 см2  и 4 см2, а высота равна 3 см.

Здесь нам нужна лишь формула объема усеченной пирамиды:

0017-9-1

11. Лодка за одно и то же время может проплыть 36 км по течению реки или 20 км против течения реки. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначим собственную скорость лодки через х и составим таблицу.

0017-11

Уравнение представляет собой пропорцию, по основному свойству которой произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции. Отсюда:

36·(х-2)=20·(х+2)  ⇒ 36х-72=20х+40 ⇒ 36х-20х=40+72  ⇒ 16х=112 ⇒ х=112:16 ⇒ х=7.

Собственная скорость лодки 7 км/ч.

14. В геометрической прогрессии (un):  u1=1/9; u7=81. Найдите (u4)2+u3.

Найдем  знаменатель q данной геометрической прогрессии. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: un=u1∙qn-1.  Тогда u7=u1∙q6. Подставим наши данные:

81=(1/9)∙q6 ⇒ q6=81∙9 ⇒ q6=34∙32 ⇒ q6=36. Отсюда q=3. Найдем uи u3. по формуле n-го члена геометрической прогрессии:

u4=u1∙q3=(1/9)∙33=(1/9)∙27=3; u3=u1∙q2=(1/9)∙32=1. Искомое значение выражения (u4)2+u3=32+1=9+1=10.

19. Найдите длину диагонали прямоугольника ABCD  с вершинами А(0; 1), В(4; 3), С(5; 1) и D(1; -1).

Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD равны между собой. Найдем длину диагонали АС. Применим формулу расстояния между двумя точками А(0; 1) и С(5; 1):

0017-19

20. Найдите log763, если  log73=a.

Представим 63 в виде произведения 7·9 или 7∙32.

Тогда log763=log7(7∙32)=log77+log732=1+2log73=1+2a.   Мы применили формулы:

loga(xy)=logax+logay,  logaa=1, logabk=k∙logab.

22. Пусть (ao; bo) — решение системы

0017-22-1

Теперь подставим значение b=-2 в равенство x2 + box – 3 = 0. Получаем:

x2 - 2x – 3 = 0. Корни этого приведенного квадратного уравнения x1=-1; x2=3. Больший корень х=3 будет принадлежать промежутку (-3; 5).

25. a, b, c и d — разные числа, принадлежащие промежутку [0; +∞). При этом: a-b=d и a·b·c=0. Какое из чисел равно нулю?

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Рассуждаем: так как a·b·c=0, то либо a=0, либо b=0, либо c=0. Если a=0, то равенство a-b=d примет вид: -b=d, т.е. числа b и d должны быть противоположными, а это невозможно, так как  по условию все числа неотрицательны. Значит, a≠0. Если b=0, то равенство  a-b=d примет вид: a=d, что также невозможно — ведь все числа по условию разные! Поэтому b≠0. Остается только c=0.

ЕНТ-2014, вариант 0016

По вашим просьбам!

6. Найти tgα, если sinα=-4/5, 180°<α<270°.

Зная sinα,  применим основное тригонометрическое тождество и найдем cosα. Так как угол α находится в третьей четверти, то cosα будет отрицательным числом.

0016-6

9. Диаметры основания усеченного конуса 3 м, 6 м, а высота 4 м. Определите образующую усеченного конуса.

Пусть нам дан конус с осевым сечением AA1B1B и высотой OO1=4 м. Диаметры оснований A1B1=3 м, AB=6 м. Требуется найти образующую BB1. Проведем из точки B1 перпендикуляр к АВ. Точку пересечения перпендикуляра с АВ обозначим через К.

0016-9

11. В первый день туристы прошли 30% всего пути, а во второй — на 4 км больше, чем в первый. Сколько процентов пути осталось пройти туристам, если весь путь равен 20 км?

Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь, а затем эту дробь умножить на данное число.

В первый день туристы прошли 30% от 20 км — это 0,3·20=6 (км). Во второй день туристы прошли на 4 км больше, т.е. 6+4=10 (км). Туристам осталось пройти 20-(6+10)=4 (км). Требуется узнать, сколько процентов осталось пройти туристам, иначе говоря, требуется узнать, сколько процентов составляют 4 км от 20 км. Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно первое число разделить на другое и результат умножить на 100%.

(4:20)·100%=0,2·100%=20%.

12. Найдите наименьший целый корень уравнения: log6(x2-2x)=1-log62.

1) Представим единицу в правой части равенства в виде логарифма по основанию 6. 2) Применим формулу логарифма частного к правой части. 3) Потенцируем, т.е. опускаем значки логарифма и решаем получившееся квадратное уравнение. Смотрим этот план решения по шагам:

1) log6(x2-2x)=log66-log62;

2) log6(x2-2x)=log6(6:2)  ⇒ log6(x2-2x)=log63;

3) x2-2x=3  ⇒ x2-2x-3 =0  ⇒ x1=-1, x2=3. Наименьший корень х=-1.

18. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а площадь 120cм2.  Найдите меньший катет.

Классическое решение этой задачи: обозначаем катеты через х и у и составляем систему уравнений. Так как гипотенуза равна 26 см, то на основании теоремы Пифагора получаем первое уравнение системы: x2+y2=262. Зная, что площадь прямоугольного треугольника (равна половине произведения катетов) равна 120 cм2, составляем второе уравнение системы: (1/2)ху=120 или ху=240. Далее, выражают одну переменную через другую из второго уравнения, значение этой переменной подставляют в первое уравнение, из решения которого и находят одну переменную, а затем по ней и другую переменную. Это долго и не нужно! Почему?  ВАМ СЛЕДУЕТ ЗНАТЬ: в подобных задачах на прямоугольный треугольник возможны лишь несколько значений катетов и гипотенузы: 1) 3, 4, 5; 2) 5, 12, 13; 3) 8, 15, 17; 4) 7, 24, 25; 5) 20, 21, 29. Понятно, что, например, в группе 1) будет не только треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5, но и треугольники со сторонами в 2 раза больше ( 6, 8, 10), или в 3 раза  больше (9, 12, 15) и т.д. Поэтому, смотрим на значение гипотенузы в условии задачи. Значение 26=2·13 и относится к группе 2) 5, 12 и 13. Следовательно, катеты у такого треугольника с гипотенузой 26 должны быть: 2·5=10 (см) и 2·12=24 (см). Вот вам и вся задача! В ответе указываем меньший катет, т.е. 10 см.

19. Если точки А(2; 0) и В(-2; 6) являются концами диаметра окружности, то ее уравнение имеет вид:

Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид:

 (x-a)2+(y-b)2=R2. Координаты центра окружности — это координаты середины отрезка АВ, которые находятся, как полусумма соответственных координат концов отрезка АВ. Тогда а=(2-2):2=0 и b=(0+6):2=3. Теперь уравнение окружности запишется в виде:

(x-0)2+(y-3)2=R2 или x2+(y-3)2=R2. Остается найти радиус R. Зная, что окружность проходит через точку А(2; 0) — подставим ее координаты в последнее уравнение:

22+(0-3)2=R2, отсюда 4+9=R2, т.е. R2=13.

Окончательно, искомое уравнение имеет вид: x2+(y-3)2=13.

20. Пирожные разложили по трем коробкам. Количество всех пирожных больше 25, но меньше 45. Количество пирожных в каждой коробке выражается простым числом. Причем, в одной коробке на 2 пирожных больше, а в другой на 6 пирожных больше, чем в коробке с наименьшим количеством пирожных. Сколько пирожных во всех коробках?

 Простым называют число, которое делится только на единицу и на само себя. Мы все же привыкли к задачам с переменной, поэтому, обозначим наименьшее количество пирожных в первой, например, коробке через х. Тогда в другой коробке будет (х+2) пирожных, а в третьей (х+6) пирожных.

Во всех трех коробках будет х+(х+2)+(х+6) или (3х+8) пирожных. По условию это число больше 25, но меньше 45. Запишем двойное неравенство:

25<3x+8<45; вычитаем из всех частей неравенства число 8.

17<3x<37. Помним, что х — простое число. Подбирайте х.

Если х=7, то 17<21<37, но  х+2=9 — не простое число. Вывод: не подойдет.

Если х=11, то 17<33<37 и х+2=13 — простое число, х+6=17 — простое число. Вывод: подходит. Общее количество пирожных составит: 11+13+17=41.

21. Цинк составляет 70% сплава, остальное олово. Цинка в сплаве на 220 грамм больше, чем олова. Найти массу сплава.

Пусть масса сплава х граммов. Тогда цинка в сплаве 70% от х или 0,7х. Остальное — олово. Значит, олова х-0,7х=0,3х граммов. Зная, что цинка в сплаве на 220 грамм больше, составим уравнение: 0,7х-0,3х=220. Отсюда 0,4х=220. Находим х=220:0,4=2200:4=550. Ответ: масса сплава 550 г.

23. Решить систему неравенств:

ent17-23

24. Высота правильного тетраэдра равна 6. Вычислите полную поверхность тетраэдра. Тетраэдром называют правильную треугольную пирамиду, все ребра которой равны между собой. Нам дан тетраэдр МАВС, высота которого МО=6.

0016-24

25. В коробку вмещается 40 больших кубиков или 65 маленьких кубиков. Если в эту коробку положить 24 больших кубика, то сколько маленьких кубиков еще поместится в коробку?

Так как  40 больших кубиков занимают столько же места, сколько 65 маленьких, то 8 больших кубиков (40:5=8) займут столько же места, сколько 13 маленьких кубиков (65:5=13). Соответственно, 24 больших кубика (24=8·3) займут столько же места, сколько  13·3=39 маленьких кубиков, следовательно, раз в коробку вмещается 65 кубиков, то еще поместятся 65-39=26 маленьких кубиков.

Желаю успехов в подготовке к ЕНТ!

Страница 1 из 3123
Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
Наверх