тест-обучение Обучающие тесты по математике
Рубрика "ЕНТ-2014"

ЕНТ-2014, вариант 0015

По вашим просьбам!

4. Найти наибольшее целое решение неравенства:

0015-4

Умножим обе части неравенства на 15 — наименьший общий знаменатель данных дробей. Получаем равносильное неравенство:

3·(x-2)-5·(2x+3)>15. Раскрываем скобки: 3x-6-10x-15>15 и упрощаем:

3x-10x>15+6+15. Получаем -7x>36. Делим обе части неравенство на отрицательный коэффициент при х, поэтому знак неравенства меняем на противоположный:

x<-36/7. Выделим целую часть и покажем решения неравенства на числовой прямой.

0015-4-1

Наибольшее целое число из заштрихованного промежутка — это число -6.

5. Определите верное решение неравенства: log2(x-4)≤3.

Представим число 3 в виде логарифма с основанием 2.

log2(x-4)≤ log223 ; отсюда  log2(x-4)≤log28. Так как логарифмическая функция по основанию 2 является возрастающей на множестве всех положительных чисел, то последнее неравенство будет выполняться при условии, что х-4≤8, но в то же время: х-4>0. Из первого условия следует: х≤12, а из второго, что х>4. Общим будет значение х∈(4; 12].

7. Укажите функцию, график которой изображен на рисунке.

На рисунке мы видим параболу, которую можно задать уравнением вида: y=a(x-m)2+n, где (m; n) — координаты вершины параболы. На рисунке вершина параболы — точка (2; 1). Следовательно, m=2; n=1. А что по поводу значения коэффициента а? Смотрим на ответы: везде коэффициент перед скобкой равен единице. Ну и прекрасно — меньше забот! Получили формулу: y=(x-2)2+1.

11. Длина прямоугольного участка 120 м, а ширина составляет 75% длины. Вспахано 35% этого участка, тогда не вспахано:

По условию ширина составляет 75% от 120 метров — длины участка. Это 3/4 от длины, т.е. 120:4·3=90 метров. Площадь прямоугольного участка равна произведению длины участка на его ширину, значит, составляет 120 м·90 м= 10800 м2. Вспахано 35%, следовательно не вспахано 100%-35%=65%. Нам осталось найти 65% от 10800. Обращаем проценты в десятичную дробь: 65%=0,65 и умножаем эту дробь на 10800.

0,65·10800=7020. Отвечаем на вопрос задачи: не вспахано 7020 м2.

12. Решите уравнение:

0015-12

К правой части равенства применим основное логарифмическое тождество:

0015-12-1

Мы получили равные степени по основанию 2, следовательно, и показатели этих степеней будут равны. Получается квадратное уравнение: x2+x=2 или  x2+x-2=0. По теореме Виета подбираем корни: x1=-2; x2=1.

14. Решите уравнение: sin2x-cos2x=cos(x/2).

По формуле косинуса двойного угла: cos2α=cos2α-sin2α, тогда данное равенство преобразуется к виду:

-cos2х=cos(x/2) ⇒ -cos2х-cos(x/2)=0  ⇒ cos2х+cos(x/2)=0. Сумму косинусов преобразуем в произведение, используя формулу:

0015-14

17. Найдите сумму ординат точек экстремума функции f(x)=x3/(x2-3).

Вы, конечно, знаете, что экстремумы — это минимумы и максимумы функции, возможные только в критических точках. Классическое решение этого задания: 1) найти производную данной функции; 2) найти критические точки и отметить их на числовой прямой; 3) определить знаки производной на промежутках, определенных критическими точками; 4) выяснить, какие из критических точек являются точками минимума и какие точками максимума; 5) найти значения самой функции в этих точках минимума и максимума — это и будут ординаты точек экстремума; 6) сложить эти значения ординат. Но в этом конкретном задании все гораздо проще! Функция нам дана нечетная, т.е. для всех возможных значений х выполняется равенство: f(-x)=f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Что это значит, и чем это нам поможет? Рассуждаем: если эта функция имеет максимум в точке с абсциссой а, то в симметричной ей точке с абсциссой (-а) она будет иметь минимум. Опять же значения функции в этих точках а и также будут являться противоположными числами. А чему равна сумма противоположных чисел? Правильно: нулю. Вывод: если вам нужно найти сумму ординат точек экстремума нечетной функции, то ответ: 0.

21. Найдите сумму корней уравнения: x-2-16x-1-80=0.

Сделаем замену: x-1=y. Получим уравнение: y2-16y-80=0. Находим корни: y1=-4 и y2=20.

Тогда  x-1=-4  или   x-1=20.

0015-21

22. Решить систему неравенств:

0015-22

В одной системе координат построим графики функций y=sinx, y=cosx и y= 1/6. Определим промежуток значений х, при которых график синуса лежит выше, а график косинуса ниже прямой y= 1/6.

0015-22-1

24. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если А(5; 4), В(0; 3), С(4; 7), D(9; 8).

Площадь параллелограмма найдем по формуле: S=absinA, где a=АD и b=AB — стороны параллелограмма, А — угол между этими сторонами. Используем векторы: найдем координаты и модули векторов, выражающих стороны АD и AB параллелограмма, косинус угла между этими векторами. Затем найдем синус этого угла, и в формулу площади параллелограмма подставим все нужные значения.

0015-24

25. Электронные часы показывают время в часах и минутах (от 00:00 до 23:59). Сколько раз за сутки можно увидеть на табло 4 цифры 2, 0, 1, 9 (в любом порядке). Так как нет, например 91 минуты или 29 часов, то комбинаторика нам не поможет. Просто будем перечислять все возможные в реальности показания времени.

1) 01:29; 2) 02:19; 3) 09:12; 4) 09:21; 5) 10:29; 6) 12:09; 7) 19:02; 8) 19:20; 9) 20:19; 10) 21:09. Других значений из этих 4-х цифр быть не может.

Друзья, повторяйте формулы. Желаю успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0014

По вашим просьбам!

6. Вычислите значение выражения: sin930°.

Зная, что наименьший положительный период синуса равен 2π (или 360°), преобразуем данное выражение:

sin930° = sin(360° ∙ 2 + 210°) = sin210°. Заменим 210° на сумму (180°+30°) и применим формулу приведения: sin(180°+α)=-sinα. 

Получаем: sin210°= sin(180°+30°)=-sin30° = -1/2.

10. Найдите значение выражения х+у, где (х; у) — решение системы в целых числах:

0014-10

Из второго уравнения выразим х и подставим это значение в первое уравнение системы. Решим полученное уравнение с переменной у. Это уравнение — квадратное, имеет два решения у — дробное и целое. Берем целое, подставляем его вместо у во второе уравнение данной системы и получаем тоже целое решение для х. Вот как это запишется:

0014-10-1

11. Имеется 50 г раствора, содержащего 8% соли. Надо получить 5%-й раствор. Масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору, равна:

х г — отвечаем мы на вопрос задачи. В 50 г раствора содержалось  8% от 50 г или 0,08·50=4 грамма соли. В новом 5%-ном растворе массой (50+х) г содержится 0,05·(50+х) граммов соли. Но так как при добавлении пресной воды соли не прибавилось и не убавилось, то получаем равенство: 0,05·(50+х)=4. Делим обе части на 0,05.

50+х=4:0,05  ⇒ 50+х=400:5 ⇒ 50+х=80 ⇒ х=30. Нужно добавить 30 г пресной воды.

12. Решить уравнение:

0014-12

13. Решите уравнение:

0014-13

Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу: (a+b)2=a2+2ab+b2 .

0014-13-2

14. Решить уравнение: cos22x=1.

Понизим степень косинуса, применив формулу: 1+cos2α=2cos2α.

Для удобства умножим обе части данного равенства на 2.

2cos22x=2  ⇒ 1+cos4x=2 ⇒ cos4x=1.

Применим частную формулу для решения простейшего уравнения cost=1.

Отсюда t=2πn, nZ. В нашем примере 4х=2πn ⇒ х= πn/2, где n∈Z.

15. Найдите пятый член геометрической прогрессии, в которой b3+b4=36, b2+b3=18.

Используем формулу общего члена геометрической прогрессии:  bn=b1∙qn-1 .

Тогда b2=b1∙q; b3=b1∙q2; b4=b1∙q3. Получаем равенства:

b1∙q2+b1∙q3=36 и b1∙q+b1∙q2=18. В каждом равенстве вынесем за скобки общий множитель:

b1∙q2(1+q)=36 и b1∙q(1+q)=18. Разделим первое равенство на второе. Получим:

q=2. Подставим это значение в любое из уравнений, например, во второе и найдем b1.

b1∙2(1+2)=18 ⇒ b1∙6=18 ⇒ b1=3. Тогда b5=b1∙q4=3∙24=3∙16=48.

16. Найдите  f ‘(x), если f(x)=ln(tgx).

0014-16

17. Требуется узнать, в какой момент времени остановится материальная точка, движущаяся прямолинейно по закону:

0014-17-

В тот момент времени, когда точка остановится, ее скорость станет равной нулю. А скорость движения материальной точки есть производная ее пути по времени, т.е. v(t)=S’(t). Упростим данную функцию, затем найдем ее производную и приравняем к нулю. Из получившегося уравнения найдем значение t.

0014-17-1

18. Найдите множество первообразных для функции:

0014-18

0014-18-1

20. Найдите значение выражения: (36,27(3)-6,2(3)):0,2. Этот пример был и в прошлом году. Решение смотрите здесь.

Желаю успехов в учебе!

ЕНТ-2014, вариант 0013

По вашим просьбам!

7. Укажите функцию, которая определена на всей числовой прямой.

Из предложенных ответов выбираем ту функцию, которая существует всегда, т.е. можно вместо х подставить любое число, и выражение в правой части равенства не потеряет смысла. Этому условию удовлетворяет только функция А) — можно брать любое число из промежутка (-∞; +∞), и выражение (3х2+4) всегда будет иметь смысл.

Все остальные ответы не подойдут. Смотрите сами: в ответе В) нельзя брать отрицательные числа — корень не извлечешь; в ответе С) нельзя брать х=-5 — знаменатель обратится в нуль, а на нуль делить нельзя; в ответе D) не подойдет х=0 — тоже знаменатель обратится в нуль; в ответе Е) нельзя брать отрицательные числа, так как под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

8. Одна сторона прямоугольника на 42% больше другой. Площадь прямоугольника 568 см2. Найдите меньшую из сторон. Если в процентах, то меньшая из сторон составляет 100%, а большая 142%. Обозначим меньшую из сторон через х. Тогда большая 1,42х. (Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь, а затем умножить эту дробь на данное число. Так 142%=1,42 и умножая 1,42 на х мы получили 1,42х.) Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину: S=ab. Получаем равенство:

568=х·1,42х ⇒ 1,42х2=568 ⇒х2=56800:142⇒ х2=400⇒х=20 см — меньшая сторона прямоугольника.

10. Найти число (-13х+2)2+х, где х — корень уравнения (7х-5)/(х-1)=2.

Умножаем обе части равенства на (х-1), учитывая, что х≠1. Получаем:

7х-5=2(х-1) ⇒ 7х-5=2х-2 ⇒ 7х-2х=-2+5 ⇒ 5х=3 ⇒ х=3:5=0,6. Теперь значение х=0,6 подставим в выражение (-13х+2)2+х. Получаем: (-13·0,6+2)2+0,6=(-7,8+2)2+0,6=(-5,8)2+0,6=33,64+0,6=34,24.

11. Длина прямоугольника 40 дм, площадь 200 дм2. Сколько процентов составляет ширина от длины?

Найдем ширину прямоугольника. Так как площадь прямоугольника S=ab, где a — длина, b — ширина, то ширина  b=S:a=200:40=5 (дм). Требуется найти, сколько процентов составляет ширина от длины, т.е. сколько процентов составляет число 5 от числа 40. Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого нужно первое число разделить на другое и результат умножить на 100%. Выполняем действия: (5:40)·100%=0,125·100%=12,5%.

15. Задана функция f(x) = (x2 – x) cos2x. Найдите f ‘(0).

Применим правило дифференцирования произведения: (u v)’ = u’ v + u v’  и формулы: 1) x’ = 1; 2) (xn)’ = nxn-1; 3) (cosx)’ = -sinx. Заметим, что функция cos2x – сложная.

Определяем ее одним словом – это степень. Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции найдем производную от степени и домножим ее на производную основания этой степени по формуле:

(un)’ = nun-1 u’.

Решение. f ‘(x) = (x2 – x)’ cos2x + (x2 – x) (cos2x)’ =

= (2x -1) cos2x + (x2 – x) 2cosx (-sinx)= (2x -1) cos2x – (x2 – x) sin2x.

Находим f ‘(0) = (0 – 1) cos20 – 0 = -1 1 = -1.

16. Из предложенных ответов выбери наибольшее и наименьшее значения для функции

0013-16

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a; b], нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, который принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

0013-16-1

Итак, мы нашли всего два значения: 0 и 9.  Из них и выбираем: max=9, min=0.

17. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x2+x+6 и осью Ох.

0013-17-

Смотрите видео решение задания 17.  Чтобы видимость была четче — установите знак шестеренки на отметке 360.

21. Какое целое число заключено между числами

0013-21

22. Решите уравнение:

0013-22

Возведем обе части равенства в четвертую степень, чтобы избавиться от радикала.

xlgx+7 = (10lgx+1)4 ⇒ xlgx+7 = 104lgx+4. Заметили, что переменная находится и в основании и в показателе степени? Такие уравнения называются показательно-логарифмическими. Для решения показательно-логарифмических уравнений данного вида логарифмируют обе части равенства по любому основанию. Так как у нас имеется десятичный логарифм, то прологарифмируем последнее равенство по основанию 10. Как это сделать? Просто перед левой и правой частью уравнения xlgx+7 = 104lgx+4  припишем знак десятичного логарифма lg.

lgxlgx+7 = lg104lgx+4. По свойству логарифма степени получаем:

(lgx+7)∙lgx = (4lgx+4)∙lg10 ⇒ (lgx+7)∙lgx = (4lgx+4)∙1. Раскроем скобки и упростим равенство, приравняв все к нулю.

lg2x+7lgx=4lgx+4 ⇒ lg2x+7lgx-4lgx-4=0 ⇒ lg2x+3lgx-4=0. Сделаем замену:

lgx=y ⇒  y2+3y-4=0. Находим корни квадратного уравнения: y1=-4, y2=1. Тогда, если lgx=-4, то  x=10-4, если lgx=1, то x=10.

23. Решите уравнение: sinx+sin5x+cosx+cos5x=0.

Сумму синусов представим в виде удвоенного произведения синуса полусуммы на косинус полуразности, а сумму косинусов — в виде удвоенного произведения косинуса полусуммы на косинус полуразности углов х и . Получаем:

2sin3xcos2x+2cos3xcos2x=0  ⇒  2cos2x(sin3x+cos3x)=0. Отсюда следует, что или cos2x=0 или sin3x+cos3x=0. Решим каждое из уравнений.

1) cos2x=0 ⇒ 2x=π/2+πk  ⇒ x=π/4+πk/2, k∈Z.

2) sin3x+cos3x=0 ⇒ sin3x=-cos3x. Разделим обе части равенства на cos3x≠0, получим:

tg3x=-1 ⇒ 3x=-π/4+πn ⇒ x=-π/12+πn/3, n∈Z.

Для решения простейших тригонометрических уравнений применили формулы:

1) cost=0 ⇒ t=π/2+πk, k∈Z. 2) tgt=-a ⇒ t=-arctga+πn, n∈Z. 3) tg(π/4)=1.

24 Высота конуса равна √3 см, образующая равна 2 см. Найдите радиус описанного шара.

0013-24

25. В 2008 году в феврале было 29 дней. Известно, что такое явление бывает один раз в 4 года (високосный год). Найдите количество високосных годов с 2001 года по 2065 год. Год будет високосным, если двузначное число, записанное двумя последними цифрами в записи года делится на 4.

Первый високосный год в заданном промежутке с 2001 года по 2065 год случился в 2004 году, а последний был в 2064 году. На языке математики нас просят найти число членов арифметической прогрессии: 2004, 2008, 2012,…, 2064. Первый член прогрессии a1=2004, знаменатель d=4, n-й член an=2064. По формуле n-го члена арифметической прогрессии an= a1+(n-1)d, подставив данные получаем:

2064=2004+(n-1)·4  ⇒ (n-1)·4 = 2064-2004 ⇒ (n-1)·4 =60 ⇒ n-1 = 15, отсюда n=16. Следовательно, количество високосных годов равно 16.

Желаю вам успешной подготовки к ЕНТ.

ЕНТ-2014, вариант 0012

По вашим просьбам!

2. При сушке свежие грибы теряют 96% веса. Сколько свежих грибов нужно засушить, чтобы получилось 5 кг сушеных грибов? Из условия следует, что 5 кг составляют 100%-96%=4% первоначального веса. Первоначальный вес 100% больше, чем 4 % в 25 раз, следовательно, нужно и 5 кг умножить на 25 и получится 125 кг свежих грибов нужно было засушить. Можно было решать пропорцией, записав:

5 кг   —  4%

х кг   —  100%  ⇒  х=(5·100):4=125 (кг).

12. Решите уравнение: 1+cosx=sinx+sinx·cosx. Перенесем члены из правой части в левую и сгруппируем слагаемые:

(1+cosx)-(sinx+sinx·cosx)=0;

(1+cosx)-sinx(1+cosx)=0;

(1+cosx)(1-sinx)=0 ⇒ 1+cosx=0 или 1-sinx=0. Решаем каждое уравнение отдельно.

1) 1+cosx=0  ⇒ cosx=-1  ⇒ х=π+2πn, n∈Z.

2) 1-sinx=0 ⇒ sinx=1 ⇒ x=π/2+2πk, k∈Z.

14. Найдите значение производной f’(x) при

0012-14

16. Вычислить интеграл:

0012-16

17. В параллелограмме ABCD проведен отрезок СК из вершины острого угла С так, что отсекает на большей стороне ВА отрезок, равный меньшей стороне ВС и образует угол КСD, равный 20°. Найдите углы параллелограмма.

0012-17ΔВСК — равнобедренный по построению — по условию ВК=ВС, следовательно,  углы при основании этого равнобедренного треугольника будут равны, т.е. ∠СКВ=∠ВСК=20°. Далее, ∠КСD=∠СКВ=20°, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей СК. Получается, что ∠КСD=∠ВСК, т.е. СК — биссектриса угла С, ∠С=40°, ∠В=180°-40°=140°. Углы параллелограмма, прилежащие к одной его стороне в сумме составляют 180°.

18. К двум, касающимся друг друга окружностям, проведена касательная, с расстоянием между точками касания 4 корень из 5 см. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 4 см. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

0012-18

19. Даны векторы:

0012-19

20. Исключите иррациональность в знаменателе дроби:

0012-20

Приведем дроби к общему знаменателю и упростим получившееся выражение.

0012-20-1

21. Выполнить действия:

0012-21

22. Решите уравнение:

0012-22

24. Апофема правильной треугольной пирамиды равна m и образует с плоскостью основания угол α. Найти объем пирамиды.

0012-24

25. В ящике 10 красных шаров и 10 белых. Сколько шаров надо вынуть из ящика наугад, чтобы среди них были два шара одного цвета?

Заметим, что вероятности вынуть красный шар и белый шар, равны, так как равны количества этих шаров в ящике. Вытащим два шара. Какими они могут быть? 1) красный и красный; 2) красный и белый; 3) белый и белый. Достаем третий шар и в любом случае получаем два шара из трех одного цвета (а может и все три). Ответ: 3 шара надо вынуть, чтобы среди них были два шара одного цвета.

Удачи, успехов!  

ЕНТ-2014, вариант 0011

По вашим просьбам!

7. Найдите наименьший положительный период функции: y=2cos(0,2x+1).

Применим правило: если функция f периодическая и имеет период Т, то функция y=Af(kx+b) где A, k и  b постоянны, а  k≠0, также периодическая, причем, ее период To = T : |k|. У нас Т=2π — это наименьший положительный период функции косинуса, k=0,2. Находим To = 2π:0,2=20π:2=10π.

9. Расстояние от точки, равноудаленной от вершин квадрата, до его плоскости, равно 9 дм. Найдите расстояние от этой точки до сторон квадрата, если сторона квадрата равна 8 дм.

0011-9

10. Решите уравнение: 10=|5x+5x2|.

Так как |10|=10 и |-10|=10, то возможны 2 случая: 1) 5x2+5x=10  и 2) 5x2+5x=-10. Разделим каждое из равенств на 5 и решим  полученные квадратные уравнения:

1) x2+x-2=0, корни по теореме Виета x1=-2, x2=1. 2) x2+x+2=0. Дискриминант отрицателен — корней нет.

11. Решите уравнение:

0011-11

К правой части равенства применяем основное логарифмическое тождество:

0011-11-1

Получаем равенство:

0011-11-2

Решаем квадратное уравнение x2-3x-4=0 и находим корни: x1=-1, x2=4.

13. Решить уравнение и найти сумму его корней на указанном промежутке.

0011-13

22. Решить неравенство:

0011-22-

Тогда неравенство примет вид: tgt < 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.

0011-22-1

24. Прямая y=ax+b перпендикулярна прямой у=2х+3 и проходит через точку С(4; 5). Составьте ее уравнение. Прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2 взаимно перпендикулярны, если выполнено условие  k1∙k2=-1. Отсюда следует, что а·2=-1. Искомая прямая будет иметь вид: у=(-1/2)·х+b. Значение b мы найдем, если в уравнение нашей прямой вместо х и у подставим координаты точки С.

5=(-1/2)·4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Тогда получим уравнение: у=(-1/2)х+7.

25. Четверо рыбаков А, В, С и D хвастались своим уловом:

1. D поймал больше С;

2. Сумма улова А и В равна сумме улова С и D;

3. А и D вместе поймали меньше, чем В и С вместе. Запишите улов рыбаков в убывающем порядке.

Имеем: 1) D>C; 2) A+B=C+D; 3) A+D<B+C. Выразим А из 2-го равенства: А=С+D-B и подставим в 3-е. Получим С+D-B+D<B+C ⇒2D<2B ⇒ D<B. Выразим В из 2-го равенства и также подставим в 3-е. B=C+D-A. Тогда A+D<C+D-A+C⇒2A<2C ⇒A<C. Итак, A<C<D<B, поэтому, по убыванию улов рыбаков запишется так: B, D, C, A.

ЕНТ-2014, вариант 0010

По вашим просьбам!

3. Найти множество значений функции:

0010-3

8. Укажите функцию, график которой изображен на рисунке. Прямая задается уравнением вида: y=kx+b, где b — ордината точки пересечения прямой с осью Оу, следовательно, b=-3. Уравнение принимает вид: y=kx-3.Чтобы найти угловой коэффициент k — подставим в последнее равенство координаты точки графика (-3; 0). Получаем: 0=k·(-3)-3, отсюда 3k=-3, k=-1. Искомое уравнение: у=-х-3.

12. Найдите произведение корней уравнения:

0010-12

15. Прямая у=х-2 касается графика функции y=f(x) в точке x0=-1. Найдите f(-1).

Точка касания принадлежит и касательной у=х-2, и графику функции y=f(x). Абсцисса точки касания равна -1, а ординату найдем, подставив значение х=-1 в уравнение касательной.

у=-1-2 и получаем у=-3.

16. Найдите угол между касательной к графику функции y=sin2x+cos2x в точке (0; 0) и осью Ох.

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в точке xo

равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой xo . Поэтому запишем равенство:

tgα=f’(xo). Найдем производную данной функции: y’=2cos2x-2sin2x.

f’(xo)=2cos0-2sin0=2. Следовательно, tgα=2, отсюда α=arctg2.

17. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его стороны равны 16 см, 17 см, 17 см. Делаем вывод, что основанием равнобедренного треугольника является сторона, равная 16 см. Найдем высоту, проведенную к этой стороне, а затем и искомую площадь треугольника.

0010-17

18. Найдите периметр треугольника, если две его стороны равны 6 и 3 корня из двух, а угол между ними равен 45°.

0010-18

23. При каких а верно неравенство:

0010-23

25. В коробке лежат 4 цветных карандаша и 10 простых. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее трех простых?

Так как мы  можем взять подряд 4 карандаша, и все они могут оказаться цветными, то нужно взять еще 3 карандаша, которые, уж наверняка, окажутся простыми. Следовательно, всего придется взять 7 карандашей, чтобы среди них оказалось не менее трех простых карандашей.

Успешной вам подготовки, друзья!

ЕНТ-2014, вариант 0009

По вашим просьбам!

8. Найдите наименьшее целое число, входящее в область определения функции:

0009-8

11. Два экскаватора, работая одновременно, вырыли котлован за 24 дня. Первый экскаватор, работая один, мог бы выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее, чем второй. За сколько дней первый экскаватор мог выполнить эту работу? Задачи на работу решаются так же, как задачи на движение. Так же составляется таблица, в которой три графы: скорость (выполнения работы), время и весь объем работ (эквивалент графы расстояние в задачах на движение). Обозначим всю работу за единицу и ответим на вопрос задачи: первый экскаватор может выполнить эту работу за х дней. Дальнейшие рассуждения удобно показать в таблице.

0009-11

12. Найдите (х12 + х22), где х1 и х2 – корни уравнения: log0,25(x2 – 3x) = -1.

По определению логарифма: x2 – 3x = 0,25-1 ⇒ x2 – 3x =4 или x2 – 3x – 4 = 0.

Корни: x1 =-1, x2 = 4. Тогда  х12 + х22 = (-1)2 + 42 = 1 + 16 = 17.

13. Найти значение выражения (xo+yo), где (xo; yo) — решение системы уравнений:

0009-13

В первом уравнении разложим (х-у) на множители как разность квадратов по формуле a2-b2=(a-b)(a+b), а затем разделим первое уравнение на второе. Полученную более простую систему уравнений решим способом сложения.

0009-13-1

Находим сумму xo+yo = 49+9=58.

14. Решите уравнение: sinx∙sin7x=sin3x∙sin5x. Используем формулу:

0009-14

18. Касательная к окружности удалена от концов диаметра на расстоянии 3 см и 15 см. Найдите площадь круга.

0009-18Нам дан круг с центром в точке О и радиусом ОА. Прямая DC касается окружности в точке К. Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной. ОК – является радиусом окружности. Отрезки АD, OK и BC перпендикулярны касательной DC. По условию АD=3 см, BC=15 см. ОК – средняя линия трапеции АВСD, OK=(AD+BC):2=(3+15):2=9 (см). Мы нашли радиус круга R=OK=9 см. Площадь круга найдем по формуле: S=πR2.

S=π∙92 ⇒ S=81π см2.

0009-19Из прямоугольного треугольника СВD катет ВС=ВD∙tg60°. DC – наклонная к плоскости АВС, ВС – проекция этой наклонной. По условию АС перпендикуляр к DC (∠ACD=90°), тогда на основании ТТП (теоремы о трех перпендикулярах) АС будет перпендикулярно ВС, т.е. треугольник АВС – прямоугольный, и в задаче требуется найти его гипотенузу АВ. По теореме Пифагора: АВ2=АС2+ВС2.

20. 12 портных при пошиве школьной формы израсходовали 460,8 метров ткани, выполнив задание на 320%. На сколько метров ткани больше израсходовала каждая портниха. Предполагается, что все они израсходовали одинаковое количество лишних метров с точностью до 1 см, что не факт! Обозначим плановое количество ткани через х метров. Это соответствует 100 процентам, а израсходованные 460,8 метров соответствуют 320 процентам. Записываем обычно так:

0009-20

Рассуждаем: нужно было израсходовать 144 метра, а израсходовали 460,8 метров. Перерасход составляет 460,8-144=316,8 метров на 12 портных. Следовательно, перерасход каждой портнихи составил 316,8:12=26,4 метров.

22. Решить тригонометрическое неравенство:

0009-22-1

Но можно (после упрощений) решать и графическим способом.

0009-22

23. Вычислите интеграл:

0009-23

24. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки (6; 0) и (0; 8).

0009-24Изобразите эту окружность в прямоугольной системе координат, и вы поймете, что она проходит через вершины прямоугольного треугольника АОВ. Следовательно, центр окружности – середина гипотенузы АВ. У нас катеты 6 и 8, значит, гипотенуза равна 10 (можете воспользоваться теоремой Пифагора), отсюда радиус окружности АС=5.

Координаты точки С(3; 4), так как перпендикуляры из этой точки, проведенные к осям являются средними линиями треугольника и равны  половинам противолежащих катетов. Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид:

 (x-a)2+(y-b)2=R2. Подставляем полученные данные:

(х-3)2+(у-4)2=52 или (х-3)2+(у-4)2=25.

Успехов вам! 

ЕНТ-2014, вариант 0008

По вашим просьбам!

7. В арифметической прогрессии разность равна (-7), а двенадцатый член равен 46. Найдите количество положительных членов.

Дано: {an} – арифметическая прогрессия, d=-7, a12=46. Требуется найти количество положительных членов прогрессии. Применим формулу n – го члена арифметической прогрессии:

an=a1+(n-1)d.  Тогда а121+11d. Подставляем значения d=-7 и a12=46.

46 = а1+11∙(-7) ⇒ 46=а1 – 77  ⇒ а1 = 123. Найдем первый отрицательный член данной прогрессии:

an<0 или a1+(n-1)d<0. Решаем неравенство:

123+(n-1)∙(-7)<0 ⇒ 123-7n+7<0  ⇒  130-7n<0  ⇒ 7n>130.

0008-7

Следовательно, первый отрицательный член будет с номером n=19.

Тогда положительных членов 18.

8. Укажите график функции, заданной формулой y=x2-2x.

Выделим из правой части полный квадрат двучлена. Зачем? Чтобы представить функцию в виде: y=(x-m)2+n, где  O’(m; n) — координаты вершины параболы.

Итак, y= x2-2x+1-1= (x2-2x+1)-1=(x-1)2-1. Следовательно, вершина нашей параболы должна находиться в точке с координатами (1; -1). Смотрим рисунки — подходит парабола D).

11. По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и поэтому закончила пахоту за 12 дней. Найдите площадь поля.

Пусть по плану бригада должна была вспахивать х га в день. Тогда площадь всего поля 14х га. Но бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, т.е. (х+5) га   и закончила работу за 12 дней. Тогда площадь поля равна 12(х+5).

Получается равенство: 14х=12(х+5). Раскроем скобки.

14х=12х+60;  находим х=30 — столько бригада должна была вспахивать по плану. Тогда площадь поля равна 14·30=420 (га).

13. Решать незачем — подставляйте по порядку предложенные ответы. Подставим вместо х значение 2. Получаем верное равенство: 2=2. Ответ: А).

14. Решите уравнение:

0008-14

15. Вычислите производную функции

0008-15

16. Найдите производную f(x) = (x2 – 36)1/2.

0008-16

19. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания, если образующая наклонена к основанию под углом 45°.

Нам понадобится формула площади боковой поверхности конуса S=πRl   и формула площади круга (основание конуса — круг)  S=πR2, где R — радиус основания конуса, l — образующая.

0008-19

20. В семье четверо детей. Трое из них соответственно на 2, 6 8 лет старше самого младшего, причем возраст каждого ребенка в годах выражается простым числом. Сколько лет старшему.

Простым называют число, которое делится только на единицу и на само себя. Не мудрим, а просто перебираем предложенные ответы. Идем по порядку. Если старшему 7 лет, то младшему 7-8=-1. Невозможно. Если старшему 11 лет, то остальным 9, 5 и 3 года соответственно. 9 — составное число, поэтому ответ В) также не подойдет. Если старшему 17 лет (ответ С), то остальным 15, 11 и 9 и числа 15 и 9 — не простые. Проверяем ответ D. Если старшему 13 лет, то остальным 11, 7 и 5 лет — все эти числа простые. Походит!

21. Вычислить:

0008-21

22. Решить систему тригонометрических неравенств. Смотрите решение №23 в варианте ЕНТ-2013, вариант 0001 - совершенно аналогично, только внимательно поставьте скобки.

23. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Задание аналогичное заданию 23 из варианта 0006. Мы составляем уравнение заданной графиком кривой — параболы.  Имеем  квадратичную функцию, которая может быть задана уравнением вида: y=a(x-m)2+n, где O’(m; n) — вершина параболы. На рисунке вершина параболы находится в точке (-2; 0). Тогда уравнение кривой примет вид: y=a(x+2)2. Осталось определить коэффициент а. Для этого подставим координаты точки (0; 4) в наше равенство и получаем а=1. Теперь мы знаем, что подынтегральная функция f(x)=(x+2)2. Границы интегрирования а=-3; b=0. Площадь заштрихованной фигуры:

0008-23

25. Автомобиль проехал 300 километров. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч. Вторую половину пути — со скоростью 60 км/ч. Чему равна средняя скорость движения?

Чтобы найти среднюю скорость движения нужно весь пройденный путь разделить на все затраченное на этот путь время. Итак, первую половину пути (это 150 км) автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следовательно затратил 150:100=1,5 (ч). Вторую половину пути (это тоже 150 км) автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, значит затратил 150:60=2,5 (ч). На весь путь протяженностью 300 км автомобиль затратил 1,5+2,5=4 часа. Средняя скорость его движения составит 300:4=75 (км/ч).

Успешной вам подготовки к ЕНТ!

ЕНТ-2014, вариант 0007

По вашим просьбам!

1. Исключите иррациональность в знаменателе:

0007-1

3. Решите показательное уравнение:

0007-3

4. Решить неравенство:

0007-4

Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа и всегда выражается неотрицательным числом, поэтому, данное неравенство будет верным для всех х, удовлетворяющих условию: 2-х≥0. Отсюда получаем: х≤2. Записываем ответ в виде числового промежутка: (-∞; 2].

5. Решить неравенство: 7x > -1.

По определению: показательной называют функцию вида y = ax, где а >0, a≠1, x — любое число. Областью значений показательной функции служит множество всех положительных чисел, так как положительное число в любой степени будет положительным. Вот поэтому 7x >0 при любом х, и тем более 7x > -1 , т.е. неравенство верно при всех х ∈ (-∞; +∞).

6. Преобразовать в произведение:

0007-6

Применим формулу суммы синусов: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

0007-6-1

8. Известно, что f(x) = -15х+3. При каких значениях х,  f(x)=0?

Подставим вместо  f(x) число 0 и решаем уравнение:

-15х+3=0  ⇒  -15х=-3  ⇒  х=3:15  ⇒  х = 1/5.

11. В первом и втором сплавах медь и цинк находятся в соотношении 5:2 и 3:4. Сколько каждого сплава нужно взять, чтобы получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка.

Понимаем, что в новом сплаве будет 14 кг меди и 14 кг цинка. Подобные задачи решаются все одинаково: составляют уравнение, в левой и правой частях которого одно и то же количество вещества (возьмем медь), записанное по-разному (исходят из конкретного условия задачи). У нас 14 кг меди в новом сплаве будет составлено из меди обоих данных сплавов. Пусть масса первого сплава х кг, тогда масса второго сплава равна (28-х)кг. В первом сплаве 5 частей меди и 2 части цинка, следовательно меди будет (5/7) от х кг. Чтобы найти дробь от числа нужно эту дробь умножить на данное число. Во втором сплаве 3 части меди и 4 части цинка, т.е. меди содержится (3/7) от (28-х) кг. Итак:

0007-11

12. Решите уравнение: log28x = -1.

По определению логарифма:

8х = 2-1  ⇒  2 = 2-1  ⇒   3х = -1   ⇒   х = -1/3.

15. Найдите производную функции f(x) = -ln cosx2.

0007-15

20. Найти значение выражения:

0007-20

Модуль числа может выражаться только неотрицательным числом. Если под знаком модуля находится отрицательное выражение, то при раскрытии модульных скобок все слагаемые записывают с противоположными знаками.

0007-20-1

22. Решите систему неравенств:

0007-22

Вначале решаем каждое неравенство по отдельности.

0007-22-3

Обратите внимание, что наименьшим общим периодом для данных функций будет 2π, поэтому и слева и справа приписали 2πn.  Ответ С).

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3-|x-3| и прямой у=0.

График данной функции будет состоять из двух полупрямых, выходящих из одной точки. Запишем уравнения прямых. При x≥3 мы раскрываем модульные скобки и получаем: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. При x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

0007-23Треугольник, ограниченный графиком функции и отрезком оси Ох — фигура, площадь которой нужно найти. Конечно, обойдемся здесь без интегралов. Найдем площадь треугольника как половину произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Основание у нас равно 6 единичным отрезкам, а высота, проведенная к этому основанию равна 3 единичным отрезкам. Площадь будет равна 9 кв. ед.

24. Найдите косинус угла А треугольника с вершинами в точках А(1; 4), В(-2; 3), С(4; 2).

Чтобы найти координаты вектора, заданного  координатами его концов нужно из координат конца вычесть координаты начала. 

Угол А образуют векторы:

0007-24

25. В коробке лежат 23 шара: красные, белые и черные. Белых шаров в 11 раз больше, чем красных. Сколько черных шаров?

Пусть в коробке лежит х красных шаров. Тогда белых 11х шаров.

Красных и белых х+11х=12х шаров. Следовательно, черных шаров 23-12х. Так как это целое число шаров, то возможно лишь значение х=1. Получается: 1 красный шар, 11 белых шаров и 11 черных шаров.

Удачи!

ЕНТ-2014, вариант 0004

По вашим просьбам!

14. Решите уравнение:

0004-14

Применим формулу для суммы косинусов двух углов:

0004-14-1

0004-14-2

15. Требуется найти производную функции 7-cosx.

Применим формулу для производной показательной функции: (ax)’ = a∙ lna.

Учтем, что показатель функции — сложный.

(7-cosx)’ = 7-cosx ∙ln7 ∙(-cosx)’ = 7-cosx ∙ln7 ∙ sinx.

17. Найдите периметр треугольника АВС.

Неизвестную сторону ВС найдем по теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

ВС2 = АВ2 + АС2 – 2 ∙АВ∙АС∙cosA.

0004-17

19. Найдите расстояние между точками К и С, если ABCD — прямоугольник, КА перпендикулярна плоскости (АВС) и АВ=6, KD=8.

Соединим точки К и С и получим ΔCDK — прямоугольный, так как на основании теоремы о трех перпендикулярах (ТТП) прямая CD, проведенная через основание наклонной KD перпендикулярно ее проекции AD, будет перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, угол CDK — прямой. В прямоугольном ΔCDK известны катеты CD=AB=6 и KD=8. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза КС=10.

21. Требуется упростить выражение, т.е. сократить дробь. Нужно разложить числитель a4+3a2+2 на множители.

Пусть a2 = y, тогда получим квадратный трехчлен y2+3y+2. Приравняем его к нулю и найдем корни квадратного уравнения: y1=-2, y2=-1. Отсюда следует: y2+3y+2=(у+2)(у+1). Следовательно, числитель данной дроби можно представить как (a2+2)(a2+1). Сокращаем дробь на (a2+2) и получаем a2+1.

22. Решение данного тригонометрического неравенства смотрите здесь! Этот пример был и в прошлом году.

23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

0004-23

24. Определите длину медианы АМ треугольника с вершинами А(-2; 8), В(6; 2) и С(2; -6). Найдем координаты точки М — середины стороны ВС. Абсцисса точки М есть полусумма абсцисс точек В и С. Ордината точки М есть полусумма ординат точек В и С. Получаем М(4; -2). Теперь находим длину отрезка АМ.

0004-24

25. В концерте принимали участие ребята из вокального кружка. Известно, что Маша выступила 3 раза, Саша — 5 раз, Дима — 4 раза, а Толя — 2 раза. Три ребенка не принимали участие в концерте, а остальные выступили по одному разу. Сколько ребят посещают кружок, если известно, что всего было 45 номеров?

Четверо ребят: Маша, Саша, Дима и Толя показали 3+5+4+2=14 номеров, а остальные 45-14=31 номеров показали 31 участник (по одному номеру показал каждый из 31 -го). Следовательно, в кружке 4+31 и плюс трое не выступавших, т.е. всего 38 ребят.

Желаю успехов! Помните: дорогу осилит идущий!

Страница 2 из 3123
Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
Наверх