тест-обучение Обучающие тесты по математике
Рубрика "ЕНТ-2014"

ЕНТ-2014, вариант 0006

По вашим просьбам!

8. Нечетной является функция:

Функция fназывается  нечетной, если вместе с каждым значением переменной  х из области определения функции значение (-х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(-x)=-f(x).

Из предложенных ответов только С) y=x – x3  отвечает этому требованию. Проверка:

y(-x)= -x – (-x)3 = -x +x3=-(x – x3)= -y(x).

10. Решите уравнение:

0006-10

11. Цену товара сначала снизили на 20%, а затем новую цену снизили еще на 25%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Пусть товар стоил х тенге. Это 100%. После снижения цены на 20% осталось 80% стоимости или 0,8х (чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь, а затем эту дробь умножить на данное число).

Вот поэтому 80% от числа х — это 0,8х.) Далее товар снизили еще на 25%. (Понимаем, что на 25% от настоящей в данный момент цены!) Находим 25% от числа 0,8х. Для этого обращаем 25% в дробь (получаем 0,25) и умножаем эту дробь на число 0,8х (так считаем: 0,25·0,8х=0,2х). Таким образом после второго снижения товар стал стоить 0,8х-0,2х=0,6х. Смотрите: стоил х тенге, стал стоить 0,6х тенге. Снижение на 0,4х — это 40% от первоначальной цены.

15. Найдите f ‘(x), если

0006-15

18. Определите косинус наибольшего угла треугольника, если стороны равны 7 см, 11 см и 14 см.

Наибольший угол треугольника лежит против наибольшей стороны. Пусть нам дан ΔАВС со сторонами АВ=7 см, АС=11 см и ВС=14 см. Наибольшим будет угол А. Для нахождения косинуса угла А, используем теорему косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 

0006-18

19. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 4. Найти площадь большего диагонального сечения.

0006-19Основанием правильной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 служит правильный шестиугольник ABCDEF, сторона которого АВ равна радиусу R окружности c центром в точке О, описанной около этого правильного шестиугольника. Большая диагональ ВЕ является диаметром описанной окружности и равна ВЕ= 2R = 8. Искомая площадь большего диагонального сечения – это площадь прямоугольника ВВ1Е1Е  и равна произведению ВЕ∙ВВ1=8∙4=32.

20. Составили 3 букета роз. Количество всех роз не превышает 25. Количество роз в каждом букете выражается простым числом. Причем в одном букете на две розы больше, а в другом на 6 роз больше, чем в букете с наименьшим количеством роз. Сколько роз в самом большом букете? Число роз в каждом букете выражается простым числом. Это число нечетное, обозначим количество роз в самом маленьком букете через 2k+1. Тогда во втором букете будет (2k+1)+2=2k+3 розы, а в третьем букете (2k+1)+6=2k+7 роз. Всего в трех букетах 2k+1+2k+3+2k+7=6k+11 роз, и это количество не превышает 25. Получаем неравенство: 6k+11≤25 или 6k≤14. Какое натуральное число можно взять вместо k? Только 1 или 2. Если брать k=1, то количество роз в большем букете будет равно 9, но число 9 не является простым, следовательно, k≠1. Значит, k=2. Тогда в трех букетах соответственно 5, 7 и 11 роз. Ответ: в самом большом букете 11 роз.

21. На заводе 28 рабочих должны были выполнить задание в течение 30 дней. Однако, для выполнения этого задания оставили 75% рабочих, остальных перевели на другую работу. Задание было выполнено позже намеченного срока на: …

Выясним, сколько рабочих выполняли работу. 75% от 28 рабочих — это 0,75·28=21 человек. Итак, 28 рабочих выполнили бы задание за 30 дней, а 21 рабочий выполнил задание за х дней. Зависимость обратная: меньше рабочих — больше дней. Составим пропорцию. 28:21=х:30. Отсюда по основному свойству пропорции: х=28·30:21⇒х=40. Должны были закончить работу за 30 дней, а закончили за 40 дней, следовательно, задание было выполнено позже намеченного срока на 10 дней.

22. Решите систему тригонометрических неравенств… смотрите здесь задание №23 было в ЕНТ-2013 Учтите, что знак второго неравенства в данном варианте 0006 не строгий, поэтому, ответ Е)!

23. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Формулу нахождения площади криволинейной трапеции мы знаем. В чем может быть затруднение? Функция нам задана не формулой, а графиком. График — парабола. Вывод: функция квадратичная и может быть задана уравнением вида: y=a(x-m)2+n, где O’(m; n) — вершина параболы. На рисунке вершина параболы находится в точке (-2; 0). Тогда уравнение кривой примет вид: y=a(x+2)2. Осталось определить коэффициент а. Для этого подставим координаты точки (0; 4) в наше равенство и получаем а=1. Теперь мы знаем, что подынтегральная функция f(x)=(x+2)2. Границы интегрирования а=-2; b=0. Площадь заштрихованной фигуры:

0006-23-1

24. Диаметр окружности МК, где М(-1; -4) и К(7; 2). Найдите ординаты точек пересечения окружности с осью Оу.

Составим уравнение окружности и, подставив в него х=0, найдем значения у.

Уравнение окружности с центром в точке А(a; b) и радиусом R имеет вид:

(x-a)2 + (y-b)2 = R(*). Координаты точки А — это координаты середины отрезка МК — диаметра окружности. Длина радиуса R — это длина отрезка МА или АК.

0006-24

Подставим координаты центра окружности и ее радиуса в уравнение (*). Получаем уравнение окружности:

(x-3)2 + (y+1)2 = 25. Точки пересечения этой окружности с осью Оу имеют абсциссу х=0. Подставим это значение в уравнение окружности. (0-3)2 + (y+1)2 = 25 ⇒ 9 + (y+1)2 = 25  ⇒  (y+1)2 = 16. Отсюда у+1=4 или у+1=-4, т.е. у=3 или у=-5.

25. Кубический метр разрезали на кубические сантиметры и поставили друг на друга. Какой высоты получилась башня?

В одном метре 100 сантиметров, в одном кубическом метре 1003 кубических сантиметров. Это 1000000 кубических сантиметров или 1000000 кубиков. Поставим их друг на друга. Получается башня высотой 1000000 см. Это 10000 метров или 10 километров.

Успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0005

По вашим просьбам!

2. Решите систему уравнений:

0005-3

Совет: не решайте уравнения и системы уравнений, если можно подставить ответы и сделать проверку!

3. Вычислить:

0005-3-1

6. Упростить выражение:

0005-6

9. Длина трех измерений в прямоугольном параллелепипеде равна 6 см, 6 см и 7 см. Определите длину диагонали параллелепипеда.  Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров:

d2=a2+b2+c2. Подставляем наши данные: d2=62+62+72=36+36+49=121. Извлекаем арифметический квадратный корень и получаем: длина диагонали d=11.

11. На изготовление 20 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 60 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Пусть второй рабочий делает в час х деталей. Тогда первый рабочий делает в час (х+4) детали.

0005-11

Умножим обе части равенства на х(х+4)≠0 и получим равносильное уравнение:

15(х+4)-5х=2х(х+4) ⇒ 15х+60-5х=2х2+8х ⇒2х2-2х-60=0. Делим на 2.

х2-х-30=0, находим корни х1=-5 и х2=6. Отрицательное значение не подойдет по условию задачи.

Ответ: 6 деталей в час делает второй рабочий.

12. Решите уравнение: log2(22x+2x)=log4144.

Так как 4=22 и 144=122, то  log4144=log212. Данное уравнение запишется в виде:

log2(22x+2x)= log212 и будет равносильно уравнению: 22x+2x=12. Пусть 2x=y. Тогда получаем приведенное квадратное уравнение:

y2+y-12=0, корни которого y1=-4 и y2=3. Возвращаемся к переменной х. Так как 2x≠-4, то 2x=3  ⇒ x=log23.

13. Решите уравнение:

0005-13

14. Решите уравнение:

2014-10-19_210100

15. Найти производную функции:

2014-10-19_210213

16. В каких точках касательная к графику функции у = х3/3 – 3х образует с осью Ох угол, равный π/4.

Используем геометрический смысл производной: численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной в данной точке: f’(xo) = tgα. Нам нужно найти значение хо, а дано нам значение α.

2014-10-19_213254

х2 – 3 = 1 ⇒ х2 = 4 ⇒ х = ±2. Получается, что в двух точках: с абсциссой х = -2 и с абсциссой х = 2 касательная к графику образует с осью Ох нужный угол. Найдем ординату каждой из точек:

2014-10-19_213401

17. Периметр ромба равен 160 см, а радиус вписанной окружности равен 15 см. Найдите синус острого угла ромба.

0005-17Все стороны ромба равны, поэтому АВ=160:4=40 см. Диаметр вписанной окружности ромба равен высоте ромба. Так как радиус ОМ=15 см, то ВК=2·ОМ=30 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АКВ. Синус угла А есть отношение противолежащего углу катета ВК к гипотенузе АВ. Находим sinA=BK:AB=30:40=0,75.

 

18. Вычислите площадь треугольника, зная, что его стороны равны 9 см, 40 см и 41 см.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным. Всегда проверяйте, равен ли квадрат большей стороны сумме квадратов двух других сторон – этим вы можете значительно облегчить себе решение задачи. У нас: 412=92+402 (1681=1681). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S=(9∙40):2=180 (см2).

Справка. Прямоугольными являются треугольники со сторонами: 1) 3, 4, 5; 2) 5, 12, 13; 3) 8, 15, 17; 4) 7, 24, 25; 5) 9, 40, 41; 6) 20, 21, 29.

19. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость, причем концы его находятся на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

0005-19-1Пусть отрезок АВ=10 см пересекает плоскость α в точке О. При этом АА1=3 см, ВВ1=2 см – это расстояния от точек  А и В до плоскости α. ∠АОА1 – угол между прямой АВ и плоскостью α (это угол между наклонной АВ к плоскости α и ее проекцией на данную плоскость). Проведем ВС параллельно плоскости α (параллельно ОА1) до пересечения с продолжением АА1. Тогда АС= 3+2=5 см.  Замечаем, что ∠АВС=∠АОА1. В прямоугольном треугольнике АСВ катет АС, равный 5 см, в два раза меньше гипотенузы АВ, равной 10 см, следовательно, ∠АВС=30°. (Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы).

22. Решите неравенство: cos2x+5cosx+3≥0.

Применим тождество: 1+cos2α=2cos2α. Для этого перепишем данное неравенство в виде:

1+cos2x+5cosx+2≥0. Упростим: 2cos2x+5cosx+2≥0. Сделаем замену: cosx=y, тогда получим квадратичное неравенство относительно у:

2y2+5y+2≥0. Корнями  квадратного трехчлена 2y2+5y+2=0 будут значения y1=-2 и y2=-0,5. Тогда решениями неравенства  2y2+5y+2≥0 служат значения y ≤-2 и y ≥ -0,5. Так как у нас y=cosx, а по определению |cosx|≤1, то остается  лишь решить простейшее неравенство cosx≥-0,5. Можно решать его графическим способом или с помощью тригонометрического круга, но лучше всего воспользоваться формулой:

cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn < t < arccosa+2πn, nZ.

Тогда получаем: -arccos(-0,5)+2πn ≤ x ≤ arccos(-0,5)+2πn;

-(π – arccos0,5)+2πn ≤ x ≤ (π – arccos0,5)+2πn;

-(π – π/3)+2πn ≤ x ≤ (π – π/3)+2πn; окончательно:

-2π/3+2πn ≤ x ≤ 2π/3+2πn, n∈Z.

23. Найти общий вид первообразных для функции  f(x)=5cos2x +7x.

Упростим данную функцию, понизив степень косинуса по формуле: 1+cos2x=2cos2x. Тогда функция примет вид:

0005-23

Мы ищем первообразную для последней функции f(x), поэтому просто из предложенных функций (ответов А-Е) найдем такую, производная которой будет равна  нашей функции. Очевидно, что это ответ D).

Строгое же решение основано на определении неопределенного интеграла: ∫f(x)dx=F(x)+C. Вычислим неопределенный интеграл:

0005-23-

24. Вычислите длину вектора

0005-24

если даны координаты векторов

0005-24-1

Прежде всего упростим данное равенство: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

0005-24-2

Далее рассуждаем так: если для того, чтобы получить вектор а нужно взять восемь векторов  m плюс один вектор n, то и для получения абсциссы вектора а нужно взять восемь абсцисс вектора  m  плюс одну абсциссу вектора n. Аналогично, для получения  ординаты вектора а нужно взять восемь ординат вектора   плюс одну ординату вектора n.

0005-24-3

Длина  вектора, заданного своими координатами, равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.

0005-24-4

25. Сколько целых чисел, принадлежащих числовому множеству {0; 1; 2; …; 2000; 2001}, имеют сумму цифр, равную двум?

Вот если бы вас просили указать точное количество таких чисел — тогда пришлось бы повозиться, а так… попробуйте написать числа, удовлетворяющие условию. Запись таких чисел или состоит из «двоек» и «нулей» или из двух «единиц». Согласны? Например, 2; 11; 20; 101; 110; 200 и так далее. Сумма цифр каждого из данных чисел равна двум. Значит, какой ответ выбираем? Правильно: таких чисел явно более 5.

Успехов вам! Решайте больше. Что непонятно — спрашивайте!

ЕНТ-2014, вариант 0002

По вашим просьбам!

1. Требуется упростить выражение. Запишем каждый множитель данного выражения в виде степени с основанием 3.

0002-1

2. Решить уравнение: 2у5+8у3=0.

Выносим общий множитель за скобки: 2у32+4)=0. Это произведение будет равно нулю, если множитель у3=0, т.е. если у=0, так как выражение в скобках у2+4>0 при любом значении у.

3. Решить систему показательных уравнений:

0002-3

5. Решить неравенство:

0002-5

0002-5-1

7. В арифметической прогрессии d=2, n=50, Sn=2650. Найдите первый и n-й члены.

Сумма nпервых членов арифметической прогрессии определяется по формуле: 

0002-7

2650 = (а1 + 49) ∙ 50, отсюда а1 + 49 = 2650 : 50 или а1 + 49 = 53 ⇒ а1 = 4.Формула n-го члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n — 1)d. Тогда  а50 = 4 +(50 – 1)∙2 = 4 + 49∙2 = 4 + 98 = 102.

8. Найдите функцию, обратную данной:

0002-8

1) Выразим х через у. Для этого возведем обе части данного равенства в квадрат. Получаем у2=х-3, отсюда х=у2+3. 2) Вместо х напишем у, а вместо у напишем х. Получаем функцию, обратную данной: у=х2+3.

9. Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота 5 см. Найдите диагональ осевого сечения.

0002-9Пусть нам дан цилиндр с осевым сечением AA1B1B. Это сечение представляет собой прямоугольник, диагональ которого  AB1  требуется найти. AB1  — гипотенуза прямоугольного треугольника ABB1, в котором известны катеты АВ = 2·6=12 см и BB1=5 см. По теореме Пифагора получаем:

AB12 =AB2+BB12 ⇒ AB12 =122+52=144+25=169 ⇒ AB1=13cм.

10. Решить систему уравнений:

0002-10

Необходимо избавиться от знака модуля. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Так как х=0 не является корнем первого уравнения, то возможны значения х:

1) х > 0  и  2) x < 0. Раскрываем модульные скобки в каждом из этих случаев.

0002-10-1

11. Одно из трех чисел равно 32 и оно составляет 0,4 их суммы, а второе число составляет 0,2 суммы. Найдите второе и третье число.

Итак, пусть первое число равно 32, второе - х, а третье - у.

Зная, что число 32 составляет 0,4 от суммы всех чисел, составим первое уравнение системы: 0,4·(32+х+у)=32. (Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить эту дробь на данное число). Упростим, разделив обе части равенства на 0,4. Тогда первое уравнение примет вид: 32+х+у=80 (*). Зная, что второе число х составляет 0,2 от суммы всех чисел, составим второе уравнение системы: 0,2·(32+х+у)=х. Разделим обе части этого равенства на 0,2, получаем уравнение: 32+х+у=5х (**).  Вычтем из  (*) равенство (**). Получаем: 0=80-5х.  Отсюда х=16. Подставим это значение в любое из уравнений, например в (*). Тогда 32+16+у=80. Отсюда у=32. Ответ: 16 и 32.

13. Решить систему уравнений:

0002-13

14. Решить тригонометрическое уравнение:

0002-14

15. На графике функции у=х2+х-5 взята точка А. Касательная к графику, проведенная через точку А, наклонена к оси Ох под углом, тангенс которого равен 5. Найдите абсциссу точки А.

Используем геометрический смысл производной: f’(xo)=tgα, где x- абсцисса точки касания (точки А). Производная данной функции y’=2x+1. По условию  tgα=5. Получаем равенство: 2хо+1=5, отсюда хо=2.

16. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону: x(t) = 3t2 + t – 1 (см) в момент времени  t = 3 с.

Скорость – это производная пути по времени: v(t) = x’(t).

Находим скорость v(t) = x’(t) = (3t2 + t – 1)’ = 6t + 1. Подставим t = 3. Получаем:

v(3) = 6 3 + 1 = 18 + 1 = 19 (cм/с).

17. Каким должен быть радиус окружности, чтобы длина ее была в два раза больше суммы длин окружностей с радиусами 11 см и 47 см.

Длины данных окружностей с радиусами 11 см и 47 см соответственно равны 22π см и 94π см (нашли по формуле длины окружности: С=2πR). Складываем эти длины и получаем С=116π см. Длина новой окружности в два раза больше, значит равна 2·116π см. Если записать это выражение так: 2π·116 см, то становится понятным, что искомый радиус должен быть равен 116 см.

18. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон проходит через центр окружности, а две другие удалены от него на 6 см и четыре корня из трех см. Найдите площадь треугольника.

0002-18

19. Площадь ромба, лежащего в основании пирамиды, равна 600 см2, а площадь круга, вписанного в ромб, равна 100 см2. Определите объем пирамиды, если высоты ее боковых граней равны 26 см.

Так как высоты боковых граней равны, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанного в ромб круга, так как стороны ромба должны быть равноудалены от и от центра круга. Точка О — центр круга является точкой пересечения диагоналей ромба.

0002-19

20. Сократите дробь:

0002-20

Можно догадаться, что в числителе дроби формула разности квадратов двух выражений: a2-b2=(a-b)(a+b). Применив эту формулу мы представим числитель в виде произведения двух множителей, причем, один из них будет таким же, как знаменатель, что позволит нам сократить дробь.

0002-20-

21. Разложите на множители: a2b2-4a3b4+ab+abc-4a2b3c+c.

Эти 6 слагаемых нужно сгруппировать так, чтобы из каждой группы можно было вынести за скобки общий множитель и при этом, в скобках должны получаться одинаковые выражения; затем это одинаковое выражение в  скобках еще раз выносят за скобки. Попробуем сгруппировать по три слагаемых:

a2b2-4a3b4+ab+abc-4a2b3c+c = (a2b2-4a3b4+ab)+(abc-4a2b3c+c). Из каждой скобки выносим общий множитель:

ab(ab-4a2b3+1)+c(ab-4a2b3+1). Вот у нас получились одинаковые выражения в скобках, т.е. одинаковые множитель, который выносим за скобки и окончательно получаем:

(ab-4a2b3+1)(ab+c).

22. Решить неравенство: 2sin2x+5cosx<4.

Так как sin2x+cos2x=1, то заменим sin2x =1 – cos2x, тогда неравенство примет вид:

2(1 – cos2x) + 5cosx<4. Раскроем скобки и перенесем 4 в левую часть неравенства:

2-2cos2x+5cosx-4<0.  Приведем подобные слагаемые: -2cos2x+5cosx-2<0. Умножим обе части неравенства на (-1), при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

2cos2x — 5cosx +2 > 0. Сделаем замену переменной: пусть cosx=y,  тогда получаем:

2y2-5y+2>0. Найдем корни квадратного уравнения  2y2-5y+2=0.

Дискриминант  D=b2-4ac=52-4∙2∙2=25-16=9=32. Тогда y1=0,5; y2=2. Решениями неравенства 2y2-5y+2>0 будут значения у, удовлетворяющие условиям: y<0,5 или y>2.

Но так как y=cosx, а известно, что |cosx|≤1, то остается y<0,5, т.е. нам остается решить простейшее неравенство  cosx<0,5.  Изобразим графики функций у=cosx и y=0,5 и определим те значения х, при которых точки кривой  у=cosx лежат ниже прямой у=0,5.

0002-22

24. Преобразуйте выражение:

0002-24

Определите его значение, если углы между парами данных единичных векторов равны 60°.

Прежде всего раскроем скобки, выполнив умножение. Приведем подобные слагаемые. Используем свойства: 1) квадрат вектора равен квадрату модуля (длины) этого вектора; 2) скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними.

0002-24-

Решайте, готовьтесь. Желаю успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0003

По вашим просьбам.

6. Упростить выражение:

2014-04-22_220013

Так как кофункции углов, дополняющих друг друга до 90°, равны, то sin50° в числителе дроби заменим на cos40° и применим к числителю формулу синуса двойного аргумента. Получим в числителе 5sin80°. Заменим sin80° на cos10°, что позволит нам сократить дробь.

0003-6

Применили формулы: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. В арифметической прогрессии, разность которой 12, а восьмой член 54, найти количество отрицательных членов.

План решения. Составим формулу общего члена данной прогрессии и узнаем, при каких значениях n будут получаться отрицательные члены. Для этого нам нужно будет найти первый член прогрессии.

Имеем d=12, a8=54. По формуле an=a1+(n-1)∙d  запишем:

a8=a1+7d. Подставим имеющиеся данные.  54=a1+7∙12;

54=a1+84;

a1=-30. Подставим это значение в формулу an=a1+(n-1)∙d

an=-30+(n-1)∙12 или an=-30+12n-12. Упрощаем:  an=12n-42.

Мы ищем количество отрицательных членов, поэтому, нам нужно решить неравенство:

an<0, т.е.  неравенство: 12n-42<0;

12n<42   ⇒  n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Найдите области значения следующей функции: y=x-|x|.

0003-8Раскроем модульные скобки. Если х≥0, то у=х-х ⇒ у=0. Графиком будет служить ось Ох справа от начала отсчета. Если х<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

 

9. Найдите площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, если его образующая равна 18 см, а площадь основания равна 36 см2.

0003-9Дан конус с осевым сечением МАВ. Образующая ВМ=18, Sосн.=36π. Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: Sбок. =πRl, где l – образующая и по условию равна 18 см, R – радиус основания найдем по формуле: Sкр.= πR2. У нас Sкр.= Sосн.= 36π. Отсюда πR2=36π ⇒ R=6.

Тогда Sбок. =π∙6∙18 ⇒ Sбок. =108π см2.

12. Решаем логарифмическое уравнение. Дробь равна 1, если ее числитель равен знаменателю, т.е.

lg(x2+5x+4)=2lgx при lgx≠0. Применяем к правой части равенства свойство степени числа под знаком логарифма: lg(x2+5x+4)=lgx2, Эти десятичные логарифмы равны, следовательно равны и числа под знаками логарифмов, поэтому:

x2+5x+4=x2, отсюда 5x=-4; получаем x=-0,8. Однако, это значение брать нельзя, так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, поэтому данное уравнение решений не имеет. Примечание. Не стоит в начале решения находить ОДЗ (потратите время!), лучше делать проверку (как мы сейчас) в конце.

13. Найдите значение выражения (хо – уо), где  (хо; уо) – решение системы уравнений:

0003-13

14. Решить уравнение:

0003-14

Если вы разделите на 2 и числитель и знаменатель дроби, то узнаете формулу тангенса двойного угла. Получится простое уравнение: tg4x=1.

0003-14-

15. Найдите производную функции: f(x)=(6x2-4x)5.

Нам дана сложная функция. Определяем ее одним словом – это степень. Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции найдем производную от степени и домножим ее на производную основания этой степени по формуле:

(un)’ = nun-1 u’.

f ‘(x)= 5(6x2-4x)4 (6x2-4x)’ = 5(6x2-4x)4 (12x-4)= 5(6x2-4x)4 4(3x-1)=20(3x-1)(6x2-4x)4.

16. Требуется найти f ‘(1), если функция

0003-16

17. В равностороннем треугольнике сумма всех биссектрис равна 33√3 см. Найдите площадь треугольника.

0003-17Биссектриса равностороннего треугольника является и медианой и высотой. Таким образом, длина высоты BD данного треугольника равна

2014-10-18_201649

Найдем сторону АВ из прямоугольного Δ АВD. Так как sin60° = BD : AB, то AB = BD : sin60°.

2014-10-18_201845

18. Круг вписан в равносторонний треугольник, высота которого равна 12 см. Найдите площадь круга.

0003-18Круг (О; ОD) вписан в равносторонний Δ АВС. Высота BD также является биссектрисой и медианой, и центр окружности — точка О лежит на BD.

О – точка пересечения высот, биссектрис и медиан делит медиану BD в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, OD=(1/3)BD=12:3=4. Радиус круга R=OD=4 см. Площадь круга S=πR2=π∙42 ⇒ S=16π см2.

 

19. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 9 см, а сторона основания 8 см. Найдите высоту пирамиды.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат ABCD, основанием высоты МО служит центр квадрата.

0003-19

20. Упростить:

0003-20

В числителе квадрат разности — свернем.

Знаменатель разложим на множители, применяя метод группировки слагаемых.

0003-20-1

21. Вычислить:

0003-21

Для того, чтобы можно было извлечь арифметический квадратный корень — подкоренное выражение должно представлять собой полный квадрат. Представим выражение под знаком корня в виде квадрата разности двух выражений по формуле:

a2-2ab+b2=(a-b)2, считая что a2+b2=10.

0003-21-1

22. Решите неравенство:

0003-22-

Представим левую часть неравенства в виде произведения. Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности этих углов:

0003-22-1

Получаем:

0003-22-2

Решим это неравенство графически. Выбираем те точки графика y=cost, которые лежат выше прямой и определяем абсциссы этих точек (показаны штриховкой).

0003-22-3

23. Найдите все первообразные для функции:  h(x)=cos2x.

Преобразуем данную функцию, понизив ее степень с помощью формулы:

1+cos2α=2cos2α. Получаем функцию:

0003-23

24. Найдите координаты вектора

0003-24

25. Вставьте вместо звездочек арифметические знаки так, чтобы получилось верное равенство: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

Рассуждаем: должно получиться число 25 (31 – 6 = 25). Как же получить это число из двух «троек» и двух «четверок» с помощью знаков действий?

Конечно же это: 3 3 + 4 4 = 9 + 16 = 25. Ответ Е).

Удачи!  

ЕНТ-2014, вариант 0001

Решение варианта 0001.

1. Сокращаем дробь, используя формулы разности квадратов (в числителе) и квадрата разности (в знаменателе) двух выражений.

2014-04-12_100511

2. Решить уравнение: |7+2x|=43.

Так как |43|=43  и |-43|=43, то 7+2х=43 или 7+2х=-43. В первом случае получаем: 2х=43-7, отсюда 2х=36, х=18. Во втором случае 2х=-43-7. тогда 2х=-50, отсюда х=-25.

3. Уменьшить число 72 на 12,5%.

Можно рассуждать так: число 72 составляет 100%. Если мы уменьшим его на 12,5%, то в нем останется 100%-12,5%=87,5%. Находим 87,5% от числа 72. Чтобы найти проценты от числа — проценты обращаем в дробь, а затем умножаем эту дробь на данное число. Действуем: 1) 82,5%=0,875; 2) 72·0,875=63.

Можно решать с помощью пропорции:

72 — 100%

х —  12,5%

2014-04-12_101844

Следовательно, 72 уменьшили на 9. Получаем: 72-9=63. Выбирай удобный для себя способ решения подобных задач!

4. Надеюсь, ты не собираешься решать эту систему? Ну и правильно! Подставь предложенные ответы. Начинай всегда с А).

Подставляем в первое уравнение вместо х=-1, вместо у=3. Получаем:

3-5+3 = 9 ⇒ 3-2 ≠ 9. Понимаем, что при отрицательном значении х будет получаться «тройка» в отрицательной степени, но никак не число 9. Следовательно, ответы В), С)  также не подойдут. Ответ D) даст в первом уравнении большую степень числа 3, поэтому, тоже не подойдет! Остается ответ Е). Действительно,

2014-04-12_103444

5. Решите неравенство:

0001-5n

Решаем неравенство методом интервалов. Знаем, что и частное и произведение чисел (12-х) и (х+11) будут иметь одинаковые знаки. Поэтому можно находить решение неравенства (12-х)(х+11)>0.

0001-5

Получаем: (-11; 12).

6. Решить неравенство:

2014-04-12_105649

Числитель при любом значении х будет положительным. Почему?

А представьте себе график логарифмической функции с основанием, большим единицы. Смотрите рисунок (здесь основание логарифма равно 2). При любом значении аргумента, большего 1, график располагается выше оси Ох. У нас  под знаком логарифма при любом х будет содержаться число, большее 3. Следовательно, значения логарифма будут всегда положительны. Значит, чтобы данная дробь была отрицательной, необходимо, чтобы знаменатель 4x2-16x был отрицательным.

Решаем неравенство 4x2-16x<0 методом интервалов.

4х(х-4)<0. Нули х=0 и х=4 отмечаем пустыми точками на числовой прямой и определяем знак выражения на одном из промежутков. Возьму число 5∈(4; +∞).

0001-6

Ответ: (0; 4).

7. Упростить: (sinαcosβ+cosαsinβ)2 + (cosαcosβ-sinαsinβ)2.

В скобках нам даны формулы синуса суммы — в первых скобках и косинуса суммы — во вторых скобках. Применяем эти формулы, затем основное тригонометрическое тождество и получаем:

(sinαcosβ+cosαsinβ)2 + (cosαcosβ-sinαsinβ)2 = sin2(α+β)+cos2(α+β)=1.

8. При каких значениях график функции у=3/х расположен выше оси абсцисс?

А что за функция? Обратная пропорциональность: у=k/x. Что является графиком обратной пропорциональности? Гипербола, состоящая из двух ветвей. При k>0 (у нас k=3) ветви располагаются в 1-ой и 3-ей координатных четвертях. Нам нужна та ветвь, которая выше оси Ох, т.е. в 1-ой четверти, а именно при положительных значениях х. Ответ: (0; +∞).

9. Найдите длину образующей усеченного конуса, если радиусы оснований равны 2 см и 10 см, а его высота 15 см.

0001-9Проведем B1K перпендикулярно АВ, B1K=OO1=15см, ОК=O1B1=2 см. Определим гипотенузу В1В из прямоугольного треугольника В1КВ по теореме Пифагора: В1В2 = В1К2 + ВК2.

В1В2 =152 + 82 = 225+64=289 ⇒ В1В=17 см.

 

10. Требуется решить уравнение. Конечно, мы его решать не будем. Смотрим на знаменатель. Так как на нуль делить нельзя, то значения х=1 и х=3 не подходят. Смотрим на ответы — всюду число 3. Вывод: решений нет, т.е. ответ С).

11. Найдите x2+x, где х — корень уравнения

2014-04-12_130101

Решаем.

2014-04-13_100256

Подставляем значение х в выражение  x2+x. Получаем: 22+2=4+2=6.

12. Здесь решать не нужно. Подумаем, какой из ответов подставить вместо х. Отрицательное значение (-3) брать нельзя, так как под знаком квадратного корня не может быть отрицательных чисел.  Из остальных предложенных положительных ответов надо брать такое, чтобы корень хорошо извлекался. Подходит значение 2 — ответ С).

2014-04-13_101303

13. Вычислить: sin(arcsin(sin(π/6))). Идем с конца.  sin(π/6)=1/2. Далее, arcsin(1/2) — это угол, синус которого равен 1/2, т.е. это угол π/6. И, наконец, находим sin(π/6). Ответ: 1/2.

14. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если a11=23; a21=43. Формула нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии:

2014-04-13_102217

Мы знаем только n=10 — количество членов, сумму которых требуется найти. Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии из условия: a11=23; a21=43. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

an=a1+(n-1)d. Получим систему уравнений с двумя неизвестными a1 и d.

2014-04-13_103954

2014-04-13_104600

S10 = (2∙3 + 9∙2)∙5 = 24∙5 = 120.

15. Найдите производную функции f(x)=4e-2x.

Применим формулу (ex)’=ex, и не забудем, что у нашей функции сложный показатель (-2х). Получаем:

f’(x)=4e-2x ·(-2)=-8e-2x.

16. Найдите тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку М(0; 5), к графику функции y=x2-3x+5.

Подставляем координаты точки в данное уравнение, чтобы убедиться в том, что парабола y=x2-3x+5 пройдет через точку М. Это важно! Если бы точка не принадлежала графику данной функции, то ход решения был бы другим. Теперь вспоминаем, что  геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке. tgα=f’(xo). Находим производную данной функции и подставим в нее х=0.

y’=(x2-3x+5)’=2x-3; y’(xo)=y’(0)=2∙0-3=-3. Следовательно, tgα=-3.

17. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника делит его на два треугольника, площади которых соответственно 6 см2 и 54 см2. Найти гипотенузу треугольника.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.

По условию S1=6, S2=54. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, значит, произведение катетов — это удвоенная площадь. Имеем:

bc∙h=2S1=12; ac∙h=2S2=108. Перемножим эти равенства:

bc∙h∙ac∙h =12∙108 ⇒ h2∙ ac∙ bc=12∙108. Заменим произведение ac∙ b на  h2 . Получаем:

h2∙h2 =12∙108 ⇒ h4=(2∙6)∙(2∙6∙9) ⇒ h4=2∙2∙3∙2∙2∙3∙3∙3=24∙34 ⇒ h=2∙3=6.

Тогда из равенства bc∙h=2S1=12 получаем, что bc=12:6=2; а из равенства ac∙h=2S2=108 находим ac=108:6=18. Искомая гипотенуза c=bc+ac =2+18=20 (см).

18. В треугольнике АВС  ∠С=90°, ∠А=15°, CD — биссектриса. Найдите  AD, если

2014-04-13_115106

Нам потребуется знание теоремы синусов. В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

0001-18

Здесь по формуле приведения sin120°=sin(180°-60°)=sin60°.

19. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.

Нам дан прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат со стороной 12 см (квадратный корень из числа 144). Высота параллелепипеда 14 см. Требуется найти диагональ параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров: d2=a2+b2+c2У нас a=b=12, c=14. Подставляем данные.

d2=122+122+142;

d2=144+144+196;

d2=484;

d=22 см.

20. Вычислить:

2014-04-13_190140

Выделим из подкоренного выражения полный квадрат двучлена. Для этого представим 8 в виде суммы квадратов арифметических квадратных корней из чисел 5 и 3.

2014-04-13_191246

21. Вычислите:

2014-04-13_191801

Приведем данные степени к основанию 2 и применим свойства возведения степени в степень, умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.

2014-04-14_214755

22. Решить неравенство:

2014-04-14_215155

Так как косинус в четвертой степени положителен, а π/2 взято нечетное число раз (3 раза), то данное неравенство равносильно следующему:

2014-04-14_2205180001-22

Здесь мы нашли решение с помощью круга. В более сложных случаях при решениях тригонометрических неравенств или их систем надежнее использовать графики. Посмотрите видео «Решение тригонометрических неравенств».

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

2014-04-14_222905

Построим графики данных функций и покажем штриховкой фигуру, площадь которой требуется найти.

0001-232014-04-15_095204

2014-04-15_105416

Не секрет, что некоторые задания ЕНТ повторяются из года в год. Смотрите видео решение задания 23 здесь.

24. Даны векторы

2014-04-15_105736

Найдите значения х и у, чтобы имело место равенство:

2014-04-15_110022

Рассуждаем так: если для того, чтобы получить вектор с нужно взять разность х векторов а и у векторов b, то и для получения абсциссы вектора с нужно взять разность х абсцисс вектора а и у абсцисс вектора b; а для получения ординаты вектора с нужно взять разность х ординат вектора а и у ординат вектора b. Задача сводится к решению системы линейных уравнений:

2014-04-15_110746

Разделим обе части второго уравнения на 3 и сложим почленно оба равенства:

2014-04-15_111315

25. А, В, С — разные цифры. При этом

2014-04-15_111557

Найти А·В·С.

По сути нам предлагают извлечь арифметический квадратный корень из числа 119025, а затем перемножить цифры этого числа. На экзаменах у вас не будет калькулятора, значит, надо научиться извлекать квадратные корни вручную. Посмотрите видео — запомните алгоритм извлечения квадратного корня из любого числа!

Вы можете перейти на мой канал (нажмите на надпись YouTube). Подпишитесь, чтобы его не потерять!

Уверена, что вы поняли и уже извлекли из числа 119025 корень. Это число 345. Тогда в ответе надо записать: 3·4·5=60. Удачи!

Страница 3 из 3123
Архивы
Математика в видео.
Наверх