тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2013, вариант 0001.

Математика-2013

Математика-2013

Дорогие выпускники 2013! В новом сборнике Национального центра тестирования, который, я уверена, уже стал вашей настольной книгой, представлены ВСЕ материалы, необходимые для вашей подготовки к сдаче ЕНТ по математике. Как понять «ВСЕ материалы»? Разумеется, это не значит, что будут такие же задания, только с другими числами. Это означает, что для решения настоящих тестовых заданий на экзамене вам нужны будут только те знания (определения, формулы, теоремы), которые вы примените при решении тестов из данного сборника. Уверяю вас, что если вы решите сами (разберете, воспользовавшись помощью, и поймете) все задания из настоящего сборника — успех на тестировании вам обеспечен! Время у вас ЕЩЕ есть!  Беритесь за дело!

Решение варианта 0001.

1. Представим смешанное число в виде неправильной дроби, приведем дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю 30. Тогда получаем:ent1-1

2. 6x2+x-7=0. Требуется найти сумму корней уравнения. Конечно, вы можете продемонстрировать свое умение решать квадратные уравнения, благо, что места для этого в вашем тестовике хватит, но, думаю, никто не оценит этого! А вот если вы вспомните теорему Виета, а именно, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком… тогда – да! Вы сэкономите время и устно решите это задание. Ах, да – приведенного квадратного уравнения ( с первым коэффициентом 1), а у нас первый коэффициент равен 6. Разделим обе части равенства на 6 и получим х2+(1/6)х-(7/6)=0. Второй коэффициент этого приведенного уравнения равен (1/6), а сумма корней равна  второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, значит, х12= -(1/6). Ответ: -1/6.

3. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Если обозначим ширину через х, то длина будет (длина вдвое больше ширины), а площадь S=2х·х=2x2 . После увеличения ширины на 3 м, ширина будет  равна (х+3), а длина остается такой равной . Тогда площадь станет равной 2х·(х+3), что по условию больше на  24 м2. Составим уравнение.

2х·(х+3)=2x2 +24;

2x2 +6х=2x2 +24;

6х=24  |:6

x=4. Ширина прямоугольника 4 метра, а длина в 2 раза больше, т.е. 8 метров.

Ответ: 4 м; 8 м.

Можно и короче найти правильный ответ. Смотрим данные после задания ответы ВСЕГДА С САМОГО НАЧАЛА. Ответ А) 8 м; 4 м. Рассуждаем: площадь будет равна 8·4=32. Если ширину увеличили на 3, то она стала равной 4+3=7 м. Соответственно площадь стала 8·7=56. Посчитаем разницу: 56-32=24. Подходит? Да. Значит, ответ  А).

4. |1-x|>3. Дано неравенство с модулем. Модуль — это расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу.

Следовательно, расстояние от нуля до числа (1-х) должно быть больше, чем три единичных отрезка. Так как расстояние от нуля можно взять и влево и вправо, то подходят значения меньшие минус трех и значения, большие трех. Получаем совокупность неравенств:

ent1-2

5. Понижаем степень косинуса по формуле: 1+ cos2α=2cos2α. Учитываем, что у нас половинный аргумент.

Получается: 1+cosα-cosα=1. Ответ: 1.

6. Будем решать систему уравнений методом подстановки. Из второго уравнения выразим  переменную у через х. Получим у=2π-х. Это значение у подставим в 1-ое уравнение:

cosx+cos(2π-x)=1. Используем формулу приведения для cos(2π-x). Угол (2π-x) находится в IV четверти, косинус в IV четверти положителен, поэтому, знак не меняется. На кофункцию не меняем, так как (π/2) взято четное число раз (2π=4·(π/2)).

cosx+cosx=1;

2cosx=1;

cosx=1/2;

x= ±arccos(1/2)+2πn, nєZ;

x=±(π/3)+2πn, nєZ. Получаем: x1=-(π/3)+2πn,         x2=π/3+2πn.

Каждому значению х соответствует свое значение у.

Если x1=-(π/3)+2πn, то y1=2π -x1=2π+π/3-2πn=π/3+2π(1-n).

Если x2=π/3+2πn, то   y2=2π-x2=2π-π/3-2πn=-(π/3)+2π(1-n). Ответ: С).

7. Требуется найти первый и пятый члены геометрической прогрессии со знаменателем q=1/3 и суммой первых пяти членов прогрессии, равной 121. Используем формулы Sn - суммы первых n членов геометрической прогрессии и  bn — формулу n-го члена геометрической прогрессии.

ent1-3

8. Для решения этого задания используем формулы:

ent1-4

9. Проверка знания формулы площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними. Ответ: А). 

10. Разделим 2-ое уравнение на 1-ое:

ent1-6

11. Сделаем замену. Пусть 6x=u3y=v. Тогда получим систему двух линейных уравнений: u-2v=2  и u·v=12. Выразим u из 1-го уравнения: u=2+2v. Подставим это значение u во 2-ое уравнение.

(2+2v)·v=12;   2(1+v)·v=12. Делим обе части равенства на 2.

(1+v)·v=6;   v2+v-6=0. Находим корни по теореме Виета. v1=-3, v2=2.

Если v=-3, то u=2+2∙(-3)=-4. Если v=2, то u=2+2∙2=6. Возвращаемся к первоначальным переменным х и у. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то пара (-4; -3) не подходит. Тогда 6x=u=6, откуда х=1. 3y=v=2. Воспользуемся определением логарифма и выразим показатель у. Тогда у=log32. Ответ: (1; log32).

12. Используем определение логарифма, основное логарифмическое тождество и одну из формул перехода к новому основанию.

ent1-7

13. Возводим обе части равенства в куб:   35-x2=23;   -x2=8-35; -x2=-27; x2=27; отсюда:

ent1-8

14. Множество значений функции — это те значения, которые может принимать функция у. У нас квадратичная функция вида y=ax2+bx+c, графиком ее служит парабола, ветви которой будут направлены вверх, так как первый коэффициент а=1>0. При любом значении х функция будет принимать значения от ординаты точки — вершины параболы и до +∞. Вершина параболы О’(m, n), где m=-b/a=6:2=3,   n=y(m)=у(3)=32-6∙3+7=9-18+7=-2. Вершина параболы О’(3; -2). Область значений функции Е(у)=[-2; +∞).

15. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Найдем значения данной функции при х=-1 и при х=2, т.е. на концах отрезка.

ent1-9

16. Если вписанный угол, опирающийся на дугу сектора, равен 20°, то соответствующий этой дуге, центральный угол в 2 раза больше, т.е. равен 40°. Применим формулу площади сектора, в которую и подставим наши значения: радиуса R=18 см и центрального угла α=40°.

ent1-10

17. Пусть ABCDA1B1C1D1 – данная прямая призма, основанием которой является ромб ABCD c диагоналями AC=30 см и  BD=16 см. Объем этой призмы 4800 см2.

ent1-11Требуется найти площадь боковой поверхности призмы. Определяемся с формулами – надо знать, чего нам не хватает для нахождения искомой площади. Площадь боковой поверхности призмы находят по формуле: Sбок.=Pосн.∙H. Периметр основания мы найдем, если будем знать сторону основания, т.е сторону ромба ABCD. Можем ее найти? Да, у нас есть диагонали ромба, которые взамно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного Δ АОD по теореме Пифагора АD2=AO2+OD2;   АD2=152+82=225+64=289. Следовательно, сторона основания АD=17 см, и периметр основания Pосн=4∙ АD=4∙17=68 см. Теперь надо найти высоту призмы Н. Объем призмы нам дан. Формула объема призмы V=Sосн.∙H. Площадь основания – это площадь ромба, которую можно найти по формуле: Sp.= (1/2)∙d1∙d2. Здесь d1 и d2 – диагонали ромба. Тогда Sосн.=(1/2)∙30∙16=240 см2. Подставим в формулу объема значения объема и площади основания призмы. 4800=240∙Н, тогда Н=20 см. Искомая площадь боковой поверхности призмы Sбок.=Pосн.∙H=68∙20=1360 см2.

18. В основании правильной треугольной пирамиды MABC лежит правильный треугольник ABC, вершина которого проектируется в центр правильного треугольника — точку О. Апофема — это высота МК боковой грани МВС. Зная апофему и угол ее наклона к основанию, требуется найти сторону основания.

ent1-12

19. Такие задания многие пропускают. Напрасно! Мы сейчас подойдем к нему с двух сторон: решим быстренько, как и следует делать на экзамене, а потом рассмотрим решение подробно, чтобы вы все хорошо поняли и не боялись таких задачек.

1) Медиана делит сторону пополам, поэтому, К - середина стороны СD.

Координаты середины отрезка (точки К) находятся, как полусуммы координат концов отрезка (С(-4; -2) и D(8; -2)). Находим координаты точки К((-4+8):2; (-2-2):2)→К(2; -2). А теперь рассуждаем так:

прямая проходит через точку К, значит, координаты точки К должны удовлетворять уравнению прямой. Смотрим ответы и поочередно вместо х и у в уравнение прямой подставляем абсциссу и ординату точки К. Итак, ответ А) 2х+у-2=0. У нас х=2, у=-2 (координаты точки К). Получаем: 2·2+(-2)-2=0; 4-2-2=0. Все верно, значит, ответ А). Если бы неравенство было неверным, то мы бы координаты точки К подставили в следующий ответ В) и т.д.

Вы могли бы спросить: а почему нельзя в ответы подставлять координаты точки М? Ведь искомая прямая и через нее должна проходить, значит, координаты точки М также удовлетворяют уравнению прямой. Тогда и не нужно тратить время на нахождение координат точки К… Да,  так можно было поступить, но рискованно — вдруг, составители тестов в следующий раз ответы не наобум составят? И напишут кроме правильного ответа еще 4 уравнения прямых, проходящих через через точку М, но не проходящих через точку К?

ent1-142) Ну, а теперь поучимся решать такие задачи. Построим треугольник MDC. Координаты точки К очевидны. Но мы все же вычислим  эти координаты, так как рассматриваем  задачу  в общем (а это частный) случае.

Координаты (х; у) – середины отрезка с концами в точках (х1; у1) и (х2; у2) находят по формулам:

ent1-13

Проведем  медиану МК и составим уравнение прямой МК, применив формулу прямой, проходящей через две данные точки  (х1; у1) и (х2; у2). Эта формула имеет вид:

ent1-15

20. Сгруппируем слагаемые в знаменателе первой дроби: (ab+b)+(a2+a) и вынесем общий множитель каждой группы за скобки. Разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов двух выражений.  Затем первую дробь сократим на (а+1) и остается выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (a+b).

ent1-16

21. Для того, чтобы упростить данное выражение, разложим знаменатель каждой дроби на множители. Для этого в каждом знаменателе выносим общий множитель за скобки. Замечаем, что в скобках знаменателей первых двух дробей остается (3х — 1), а у третьей дроби (1 — 3х). Поменяем знак перед третьей дробью и в ее  знаменателе. Затем находим НОЗ получившихся знаменателей, приводим каждую из дробей к наименьшему общему знаменателю и выполняем алгебраическое сложение дробей.

ent1-17

22. Преобразуем данные в неравенстве степени к степеням со основаниями 5 и 2.

ent1-18Разделим обе части неравенства на  5 .

Вводим новую переменную у.

Получаем квадратное неравенство 2-3у-5≤0.

Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители и решаем его методом интервалов.

Находим промежуток значений у.

Определяем промежуток значений показательной функции (2/5)х.

Находим значения переменной  х.

Ответ: [-1; +∞).

Подробное решение задания 22 в этом видео.

Представьте, мне написали, что в сборнике в этом показательном неравенстве показатель не х, а 1/х, потому, мол, и ответ у вас не сходится! Чудеса! Этот же пример с показателем 1/х сложнее, смотрите его решение тут.

23. Решаем данные неравенства по отдельности, используя соответствующие формулы для решения неравенств вида sin t >a и cos t < a, где -1≤а≤1:

Если sin t > a, то arcsin a + 2πn < t < π-arcsin a + 2πn, где nєZ.

Если  cos t < a, то arccos a + 2πn < t < 2π-arccos a + 2πn, где nєZ.

1) sin x > 0,3.

arcsin 0,3 + 2πn<x<π-arcsin 0,3 +2πn, nєZ.

2) cos x < 0,3.

arccos 0,3 +2πn<x<2π-arccos 0,3 +2πn, nєZ.

Выбираем общее решение, т.е общую часть промежутков значений переменной х (берем слева больше большего, а справа -меньше меньшего)

Из значений arcsin 0,3 и arccos 0,3 выбираем большее: arccos 0,3.

Из значений π-arcsin 0,3 и  2π-arccos 0,3 выбираем меньшее: π-arcsin 0,3.

Получаем:  arccos 0,3+ 2πn<x<π-arcsin 0,3+2πn, nєZ.

Ответ: (arccos 0,3+ 2πn; π-arcsin 0,3+2πn), nєZ.

Подробное объяснение решения системы смотрите в этом видео.

24. Это задание на вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x2 и у=4-х. Нужно построить графики этих функций.

1) Графиком функции y=4x-x2 служит парабола. Запишем эту функцию в виде: у=-х2+4х. Вершина параболы y=ax2+bx+c — точка O’(m; n) определяется такent1-21

Ветви параболы направлены вниз (а=-1<0).

ent1-24Найдем нули функции, чтобы легче было строить график.

4x-x2=0;  х(4-х)=0. Отсюда х1=0, х2=4. Это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох. Проводим параболу.

2) Прямую у=4-х построим по двум точкам: ent1-22

На рисунке графики пересекаются в точках (4; 0) и (1; 3). Чтобы убедиться в этом, можно подставить эти координаты  в каждое равенство. Искомую площадь криволинейной трапеции найдем с помощью интеграла. Границы интегрирования a=1, b=4. Подынтегральная функция есть разность между уравнением верхней линии y=4x-x2 и уравнением нижней линии у=4-х.ent1-26

25. Из данного равенства  следует, что b=4a. Тогда числитель данной дроби  a2+2ab=a2+2a∙4a=a2+8a2=9a2, а знаменатель данной дроби b2+2ab=(4a)2+2a∙4a=16a2+8a2=24a2. Осталось разделить2 на 24а2. Получаем 3/8.

 

 

К записи "ЕНТ-2013, вариант 0001." оставлено 8 коммент.

  1. спасибо большое! жду следующие варианты

    • admin:

      Хорошо, будут вопросы — пишите!

      • Юлия:

        Огромное вам спасибо!!!

      • Олжас:

        где можно купить эту книгу

        • admin:

          Олжас, можно скачать эту книгу на сайтах с тематикой ент. Их довольно много. У нас в городе эта книга продавалась в центрах тестирования учащихся, в книжных магазинах. Совет: поспрашивайте у выпускников — им книжка, как правило, уже не нужна, и они, возможно, вам просто ее подарят! Удачи!

    • Руслан:

      Спасибо что есть решение хоть немного теперь понятно как вообще решать уменя будет КТА здавать и очень хочу поступить на грант вам большая благодарность за ваши готовые решения и буду рекомендовать всем просматривать вашу страницу

  2. тони:

    а вы не даете телефонных концультаций

  3. admin:

    Я буду очень рада, Руслан. Пиши в комментариях, если что-то окажется непонятным. А формулы у тебя есть? Зайди на Главную страницу, если нужны ВСЕ формулы. С уважением Татьяна Яковлевна.

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх