тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2013, вариант 0003.

ent2013-0003

1. Число 45 пропорционально числам 4, 5 и 6. Если в задаче есть такие слова «пропорционально числам 4, 5 и 6″, то всегда обозначают одну часть через х. Тогда число 45=4х+5х+6х. Упрощаем: 15х=45, отсюда х=3. Меньшее число содержит 4х, значит, оно равно 4·3=12. 

2. Требуется решить уравнение |4-x|=1,5. Идем от определения модуля числа:  модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, модуль отрицательного числа равен числу противоположному. Под знаком модуля могло быть как положительное число, так и отрицательное. Так и запишем:

4-х=1,5 или 4-х=-1,5;

-х=1,5-4;         -х=-1,5-4.

-х=-2,2;           -х=-5,5.

х=2,2;               х=5,5. 

3. Итак, автомобилист, выехавший из пункта А через полчаса после  мотоциклиста, догнал его. Спрашивают, на каком расстоянии от А, если скорость мотоциклиста 48,4 км/ч, а скорость автомобиля больше скорости мотоцикла в

ent3-1

4. Отметим на числовой прямой «пустыми» точками -2 и 3. Решаем неравенство методом интервалов. Проверим знак дроби при х=10, подставив значение 10.  Расставим знаки на промежутках. Так как у нас неравенство больше нуля, то выбираем промежуток знака «+».

ent3-2

5. Упростим данное выражение cos(30°+α)-cos(30°-α), используя формулу разности косинусов двух углов. Получим минус удвоенное произведение синуса полусуммы на синус полуразности: cos(30°+α)-cos(30°-α)=-2sin30°sinα=-sinα.

6. Нам дано однородное линейное уравнение. Решают его делением обеих частей равенства на косинус данного аргумента. В результате получают простейшее уравнение с тангенсом.

ent3-3

7. Известны девятый член (a9=12)  и разность (d=1,5) арифметической прогрессии.

Требуется найти первый член a1 данной арифметической прогрессии. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)d. Подставим в нее наши данные и получим: a9=a1+8d;

12=a1+8∙1,5;

12+a1=12 →  a1=0.

8.  Площадь фигуры, ограниченной данными линиями y=x2, y=0, x=2, найдем с помощью определенного интеграла. Искомая площадь будет равна определенному интегралу от нуля до двух функции икс в квадрате по дэ икс. Если вам это понятно — значит, вы представляете себе графики данных линий  и так и должно быть! Если непонятно — строим графики и вспоминаем формулу площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), а слева и справа — прямыми х=a, x=b.

ent3-4

9. По условию внешний угол при вершине А треугольника АВС в два раза больше одного из несмежных углов треугольника, а по определению, внешний  угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Получается, что эти несмежные углы равны между собой. Отсюда следует, что данный треугольник является равнобедренным с вершиной А. И если мы проведем медиану из вершины А, то она будет являться и высотой и биссектрисой.

10. Найдем корень данного уравнения и подставим его значение в выражение (-13х+2)2+х.

ent3-5

11. Дано уравнение (100x)lgx=x3. Требуется найти сумму его корней. Так как и основание и показатель степени содержат переменную, то решение уравнения начинаем с логарифмирования обеих частей равенства по основанию 10 (у нас ведь десятичный логарифм).

lg(100x)lgx=lgx3; логарифм степени равен произведению показателя этой степени на логарифм основания:

lgx∙lg(100x)=3lgx. Перенесем 3lgx в левую часть равенства и вынесем lgx за скобки: lgx∙lg(100x)-3lgx =0;

lgx∙(lg(100x)-3)=0. Каждый из множителей может быть равен нулю. Если lgx=0,  то x=100=1.  Если  lg(100x)-3=0, то lg(100x)=3, откуда 100x=103; 100x=1000; x=10. Сумма квадратов корней: 12+102=1+100=101.

12.  Упростим данную систему уравнений, освободившись от знака логарифма во 2-ом уравнении.

log5(2y+10x+3)=2 → 2y+10x+3=52 → 2y+10x+3=25;  10x+2y=22. Выразим 2х из первого уравнения: 2х=20-3у. Подставим это значение во 2-ое уравнение, имея ввиду, что 10х=5∙2х. Тогда вместо 10x+2y=22 запишем:

5∙(20-3у)+2у=22. Упростим: 100-15у+2у=22 или -13у=-78, откуда у=6. Подставляем это значение в выражение 2х=20-3у. Получаем:

2х=20-3∙6=2. Тогда х=1. Решением системы служит пара значений переменных: (1; 6).

13. Возведем обе части равенства в квадрат. Получаем: x-5=a2x=a2+5.

14. Область определения функции — это множество таких значений х, при которых выражение в правой части равенства имеет смысл. Так как у нас дробь, то знаменатель ее должен быть отличен от нуля, т.е. x+3x2≠0. Приравняем знаменатель к нулю, решим уравнение, а затем исключим корни этого уравнения.

ent3-6

15. Требуется найти производную сложной функции y=(lnx)2. Итак, мы имеем степень, значит, берем производную по формуле производной степени. Далее: основание этой степени — натуральный логарифм, — берем производную  от натурального логарифма и умножаем производную степени на производную натурального логарифма.

ent3-7

16.  Стороны треугольника ВА=14 см и ВС=17 см, а косинус угла В между ними равен (-8/17). Нужно найти площадь треугольника. Мы знаем формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: S=(1/2)ac·sinβ. Зная косинус угла В, вычислим синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество sin2β + cos2β=1, и подставим в формулу площади.

ent3-8

17. Дан равносторонний треугольник. Точка, равноудаленная от сторон треугольника на 5 см, от плоскости отстоит на 3 см. Нужно найти площадь этого треугольника.

ent3-16

Смотрите видео решение.

18. Основания призмы — правильные треугольники со стороной 6 см. Требуется найти объем призмы, если ее боковое ребро равноent3-10 Решение. Применяем формулу объема призмы: V=Sосн.∙H, где Sосн. – площадь основания призмы, значит, в нашей задаче, площадь правильного треугольника со стороной 6 см. H – высота призмы, а так как у нас призма  прямая, то в качестве высоты можно взять длину бокового ребра.

ent3-11

19. Чтобы найти координаты точек пересечения окружности x2+y2-10x-6y+9=0 с осью абсцисс, подставим у=0, так как точки, лежащие на оси Ох имеют ординату, равную нулю, и решим получившееся квадратное уравнение х2-10х+9=0. Подбираем корни по теореме Виета: х1=1, х2=9. Искомые точки пересечения: (1; 0) и (9; 0).

 20.  Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов двух выражений a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). У нас а6-64=(а2)3-43=(а2-4)(а4+4а2+16). В знаменателе первой дроби такое же выражение, как во вторых скобках разложения. Сокращаем. Остается а2-4. Преобразуем вторую дробь. Числитель второй дроби разложим по формуле разности квадратов двух выражений а2-b2=(a-b)(a+b). У нас а4-16=(а2)2-42=(а2-4)(а2+4). Сократим вторую дробь на (а2+4), останется: а2-4. Имеем: а2-4+ а2-4=2а2-8.

21. Чтобы найти значение данного выражения, выразим а из предложенного равенства (из пропорции): 3(a+b)=2(a-2b). Раскрываем скобки: 3a+3b=2a-4b → a=-7b. Теперь подставим вместо а в данное выражение значение (-7b) и упростим.

ent3-12

22. Представим единицу в правой части неравенства в виде логарифма по основанию (2х+1). При потенцировании будем учитывать, что от значения основания логарифма (2х+1) будет зависеть, возрастает функция (если 2х+1>1) или убывает (если 0<2x+1<1). Если функция возрастает, то знак неравенства сохраним, если функция убывает, то знак неравенства поменяем на противоположный. Кроме этого, учтем, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа.

ent3-13

23. Упростим предложенное неравенство: sinx+cos2x>1. Есть формула: 1-cos2α=2sin2α. Перепишем данное неравенство в виде:

sinx-(1-cos2x)>0. Применим формулу и получим: sinx-2sin2x>0. Сделаем замену переменной. Пусть sinx=y. Тогда: y-2y2>0 → y(1-2y)>0. Решим полученное неравенство методом интервалов.

ent3-14

24. Дана функция  f(x)=6x2-4x+1. Известно, что F(x) является первообразной для f(x), причем, F(-1)=2. Требуется найти F(1). Для этого запишем F(x) для данной функции, найдем значение постоянной величины С, а затем искомое значение F(1).

ent3-15

Находим значение С, используя равенство: F(-1)=2.

2=2∙(-1)3-2∙(-1)2-1+С;

2=-2-2-1+C → C=7. Тогда первообразная F(x)=2x3-2x2+x+7. Подставим вместо х число 1 и получим: F(1)=2-2+1+7=8.

25. Пусть в актовом зале х скамеек. Если на каждую скамейку посадить по 5 учеников, то четверо останутся без места, значит, всего 5х+4 учащихся. Если на каждую скамью посадить по 6 детей, то 2 места останутся свободными. Получается 6х-2 учащихся. Но учащихся определенное количество — имеем равенство: 5х+4=6х-2. Отсюда х=6. Следовательно, в зале 6 скамеек, а учеников 5·6+4=34.

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

Комментирование закрыто.

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх