тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2013, вариант 0005.

1. Чтобы упростить данное выражение, разложим на множители числители и знаменатели данных дробей.

ent5-1

 2. Вынесем у за скобки, а выражение в скобках разложим на множители по формуле разности квадратов двух выражений.

ent5-2

 3. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из частей в 2 раза длиннее другой. Требуется найти длину каждой части. Решаем. Обозначим меньшую часть через х. Тогда другая часть будет равна. Зная, что сумма этих двух частей равна 135 м, составим уравнение: х+2х=135. Отсюда 3х=135, а х=135:3=45 (м) — длина меньшей части. Другая часть составит 45·2=90 (м).

4.  Дробь отрицательна, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель данной дроби 3x2+1>0 при любом действительном значении х, то числитель должен быть меньше нуля.

x2-5x+4<0. По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена x1=1 и x2=4 и разложим его на множители. Получаем: (x-1)(x-4)<0. Методом интервалов находим решение неравенства:  1<x<4. Ответ: (1; 4).

5. Упростить выражение: sin(90°-α)-cos(180°-α)+tg(180°-α)-ctg(270°+α). Применяем правило для формул приведения: 1) перед приведенной функцией ставят знак приводимой; 2) если в записи аргумента π/2 взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию. Решаем. sin(90°-α)-cos(180°-α)+tg(180°-α)-ctg(270°+α)=cosα+cosα-tgα+tgα=2cosα.

6. Применим формулу для решения простейшего уравнения sint=a:

t=(-1)n∙arcsina+πn, nєZ.  

ent5-6

7. Известен четвертый член геометрической прогрессии  c4=24  и знаменатель геометрической прогрессии  q=-2. Требуется найти первый член этой геометрической прогрессии. Решаем. Применим формулу общего члена геометрической прогрессии: cn=c1∙qn-1. У нас: c4=c1∙q3. подставляем свои данные: 24=c1∙(-2)3; 24=c1∙(-8) → c1=-3.

8. Так как график данной линейной функции проходит через точку (-2; -3), то координаты этой точки удовлетворяют данному равенству: подставляем х=-2, у=-3 и находим b=-6.

9. Углы треугольника относятся, как 1:1:2. Такое возможно только в прямоугольном треугольнике (45°, 45° и 90°). Здесь частный случай треугольника. В общем случае нужно обозначить одну часть через х, выразить через х все углы, и, зная, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, составить уравнение. В нашем примере можно было записать:

х+х+2х=180°. Отсюда 4х=180°, х=45°. Углы: 45°, 45° и 90°.

10. Дано уравнение с модулем: x2-6x+|x-4|+8=0. Решаем. Нужно освободиться от знака модуля. Возможны 2 случая:

1) Если х≤4, то x2-6x-x+4+8=0 → x2-7x+12=0  → x1=3  и x2=4. Оба значения подходят, так как удовлетворяют условию 1): х≤4

2) Если х>4, то x2-6x+x-4+8=0 → x2-5x+4=0  → x1=1 и x2=4. Значение х=4 мы уже взяли, а х=1 не подходит, так как не удовлетворяет условию 2): х>4. Ответ: 3 и 4. 

11. Подставляем предложенные пары чисел вместо х и у в каждое уравнение системы. Начинаем с ответа В), так как под знаком логарифма не должно быть отрицательных чисел. Проверяем пару чисел (2; 5):

2+5=7 и lg2+lg5=lg(2·5)=lg10=1. Пара (5; 2) также подходит.

12. Решаем логарифмическое уравнение:

ent5-12

13. Решаем иррациональное уравнение:

ent5-13

14. Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=x2,  где х≥0, нужно выразить х через у, а затем, в полученном равенстве вместо х написать у, а вместо у написать х.

ent5-14

15. Дана функция: y=sin3x cos5x-cos3x sin5x. Преобразуем правую часть по формуле синуса разности двух углов:

sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ. Получаем у=sin(3x-5x)=sin(-2x)=-sin2x. Найдем производную y’(x)=(-sin2x)’=-2cos2x.

ent5-15

16. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4. Периметр треугольника равен 24 см. Найдите радиус описанной окружности.

ent5--16

Смотрите видео: решение задачи 16.

17. Радиус шара равен 8 см, через его середину в шаре проведено сечение. Найдите разность площадей большего и отсеченного кругов. Решаем. Находим площадь большого круга:  S=πR2=π∙82=64π см2. Радиус r отсеченного круга – катет в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 8 см (радиус шара) и вторым катетом 4 см (половина радиуса шара). По теореме Пифагора r2=82-42=64-16=48 см2. Тогда площадь отсеченного круга s=πr2=48π см2. Тогда искомая разность площадей большого и отсеченного кругов равна 64π-48π=16π (см2).

Смотрите видео: решение задачи 17.

18. Задача на призму.

ent5-18

19. Определить точки пересечения двух окружностей, если уравнение одной из них x2+y2=9, а центр другой, с радиусом, равным 5 см, находится в точке (4; 0). Решаем. Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид: (x-a)2+(y-b)2=R2. Запишем уравнение второй окружности по этой формуле: (х-4)2+(у-0)2=52. Упростим: (х-4)22=25. Так как окружности пересекаются, то нужно решить систему уравнений: x2+y2=9 и (х-4)22=25. Вычтем первое уравнение из второго: (х-4)22=25-9. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: х2-8х+16-х2=16, отсюда -8х=0, тогда х=0. Подставим значение х=0 в любое уравнение системы, например, в первое: x2+y2=9. Получаем: y2=9. Отсюда у=±3. Координаты точек пересечения: (0; -3) и (0; 3).

20. Освободимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное  знаменателю. Упростим полученное выражение и опять умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Дважды примененная при этом формула разности квадратов двух выражений (a-b)(a+b)=a2-b2 позволяет освободиться от знака радикала в знаменателе дроби.

ent5-20

21. Найти значение выражения:

ent5-21

22. Решаем каждое неравенство системы. 1) заменим логарифм числа х по основанию 2 через у. Получаем неравенство:

y2-3y+2≤0. Корни трехчлена  y1=1, y2=2. Неравенство можно записать в виде: (y-1)(y-2)≤0. Решение можно найти методом интервалов:  yє[1; 2]. Возвращаемся к переменной х.

ent5-22

23. Решаем тригонометрическое неравенство. Представим числитель дроби в виде разности синусов, а знаменатель дроби в виде суммы синусов. Представим числитель и знаменатель дроби в виде произведения по формулам преобразования разности и суммы синусов в произведение. Упрощаем полученную дробь и получаем простейшее неравенство с тангенсом.

ent5-23

24. Начертим фигуру, ограниченную данными линиями.

ent5-24

25. Иными словами, вас спрашивают, какие из данных чисел 30, 33 и 36 являются составными. Конечно, 30 и 36. Составным называют число, имеющее более двух делителей. Простое число имеет только два делителя: единицу и само это число.

 

Навигация

Следующая статья:

К записи "ЕНТ-2013, вариант 0005." есть 1 комментарий

  1. галия:

    Спасибо большое !Жду с нетерпением следующие варианты !!!!

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх