тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2013, вариант 0008.

1.  Решаем.   Применяем формулы: 1) an:am=an-m; 2) (am)n=amn.

ent8-1

2. Решить уравнение: |x-5|=3. Решаем. Так как |-3|=3 и |3|=3, то под знаком модуля могло быть и отрицательное число и положительное число, поэтому:

х-5=-3 или х-5=3. Тогда х=2 или х=8. Ответ: 2; 8.

3. Решаем неравенство: 2x+7>0.

2x>-7. Делим обе части на коэффициент при х:

x>-3,5. Неравенство строгое, ответ хє(-3,5; +∞).

4. Дано логарифмическое неравенство: lg(x+1)>lg(5-x). Решаем. Помним, что при потенцировании у нас уже будет не одно неравенство, так как нужно будет учесть область определения логарифмической функции, а именно: под знаком логарифма могут быть только положительные числа. Потенцируем (убираем значки логарифмов слева и справа), знак неравенства сохраняем, так как логарифмическая функция с основанием 10>1 является возрастающей. Получаем:

ent8-4

5. Воспользуемся основным свойством дроби — разделим числитель и знаменатель данной дроби на cosα. Это позволит нам перейти к  tgα, а затем подставим данное значение  тангенса и произведем вычисления:

ent8-5

6. Решим уравнение: sin2x-sinx=0. Решаем. Вынесем sinx за скобки.

sinx(sinx-1)=0;

sinx=0 или sinx-1=0;

если sinx=0, то x=πn, nєZ.

если  sinx-1=0, то sinx=1, отсюда х=π/2+2πk, kєZ.

7. Дана геометрическая прогрессия с положительными членами. S2=3, S3=7. Требуется найти S7.

Решаем. Геометрическая прогрессия считается определенной, если известны первый член  b1 и знаменатель прогрессии q. Используем формулы n-го члена  и суммы n первых членов геометрической прогрессии. Тогда:

ent8-7

8. Прежде, чем находить производную, упростим данную функцию по формуле косинуса суммы двух углов.

f(x)=cos5xcos4x-sin5xsin4x=cos(5x+4x)=cos9x.

f ‘(x)=(cos9x)’=-sin9x·(9x)’=-9sin9x.

9. У прямоугольного треугольника могут быть неизвестны острые углы, но один угол точно прямой, следовательно, равен 90°.

10. Как решать такие уравнения? Разложим знаменатель каждой дроби на множители, найдем общий знаменатель для всех дробей, применим правило равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями, а затем решим полученное целое уравнение. Обязательно сделаем проверку. А зачем тогда решать, спросите вы, ведь ответы есть — делаем проверку! Да, вы правы, только начинайте подставлять предложенные ответы с А). Но, все же посмотрите решение:

ent8-10

11. Отвечаем на вопрос задачи: надо засушить х кг свежих грибов. Это 100%. Получилось 4 кг сухих грибов. Это всего 2% от того, что было, ведь при сушке грибы потеряли 98% своего веса! Записываем:

ent8-11

12. Решить показательное уравнение.

ent8-12

13. Логарифмическое уравнение.

Вы знаете, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа, следовательно, 2х-1>0 и x-9>0, отсюда получаем: x>0,5 и  x>9. Когда получают решения одного знака «больше», то общим служит решение «больше большего», т.е. x>9. А теперь смотрите ответы – А), С) и Е) сразу отпадают, так как содержат отрицательные числа. Так В) или D)? Подставляем В) х=13.

log55+log52=log510 ⇒  log5(2∙5)=log510 по формуле logax+logay=loga(xy). Ответ получен! А как надо решать такие примеры – смотрите далее.

Преобразуем левую часть равенства по формуле: logax+logay=loga(xy).

ent8-13

14. Решить уравнение.

ent8-14

15. Дана функция y=x2+x-6. Требуется найти: а)  нули функции, т.е. абсциссы точек пересечения графика с осью Ох; б) промежутки возрастания; в) наименьшее значение функции. Решаем.

Представляете себе график этой квадратичной функции? Это парабола, ветви которой направлены вверх. Нули функции:  x1=-3, x2=2 – это корни приведенного квадратного уравнения x2+x-6=0, которые мы нашли по теореме Виета (x1+x2=-1, x1∙x2=-6). Наименьшее значение будет в вершине параболы O’(m, n), где m=-b/(2a)=-1/2=-0,5;  n=y(m)=y(-0,5)=(-0,5)2-0,5-6=0,25-0,5-6=-6,25. До m=-0,5 функция убывает, а при хє[-0,5; +∞) будет возрастать. Можно было промежуток возрастания и экстремум данной функции найти с помощью производной:

ent8-15

16. Прежде, чем что-то находить, упростим данную функцию, применив основное тригонометрическое тождество:

sin2α+cos2α=1, а также значение cos(π/3)=0,5.

ent8-16

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, находят значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат этому отрезку, а затем из полученных результатов выбирают наименьшее и наибольшее значения. Найдем значения функции f(x) на концах отрезка.

ent8-16-1

Скажете, взяли бы сразу f(0).  Зачем дальше было что-то находить? Вы правы, можно было сделать такой вывод и основываясь на ответах, но учтите — функции бывают разные! И как правильно находить наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вы должны знать.

17. Задача про угол между хордой и касательной. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду. Мера центрального угла есть мера дуги, на которую опирается центральный угол. Угол АОВ — центральный, опирается на дугу АВ, градусная мера которой 126°, следовательно, и центральный угол равен 126°. Угол САВ — искомый угол между касательной АС и хордой АВ.

ent8-17

18. Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом, стороны которого перпендикулярны линии пересечения данных плоскостей.  Итак, плоскости α и β пересекаются по прямой с, и угол между ними равен 45°. Из их общей точки О проведены перпендикулярные отрезки ОА и ОВ к прямой с, причем, ОА=ОВ=m. Требуется найти длину АВ. Из построения следует, что угол АОС — линейный угол двугранного угла с общим ребром с, поэтому, угол АОС равен 45°, и задача сводится к нахождению стороны АВ треугольника АОВ. Зная две другие стороны и угол между ними, мы найдем АВ по теореме косинусов: АВ2=ОА2+ОВ2-2ОА∙ОВ∙cos45°.

ent8-18

19. Центр шара, описанного около куба лежит на середине диагонали куба. Диагональ куба — диаметр описанного шара. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров: d2=a2+b2+c2 (a, b и c — ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины). Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, поэтому: d2=3a2.

ent8-19

20. Вычислим: (6,(3)-5,(2))·2=1,(1)·2=2,(2). Здесь такое вычисление было возможным потому, что данные периодические десятичные дроби представимы в виде обыкновенных дробей с равными знаменателями. В общем случае следует перевести каждую периодическую десятичную дробь в обыкновенную, и только потом выполнять указанные действия. Существует правило перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную: бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной,  числитель которой равен разности между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из девяток и нулей, причем, девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода дроби.

21. Упростим: числитель «свернем» — это квадрат разности двух выражений, а знаменатель разложим на множители методом группировки слагаемых.

ent8-21

 22. Решение тригонометрического неравенства вида tgt<a. Короче решать по формуле:

если tgt<a, то -π/2+πn<t<arctg a+πn, nє Z.

ent8-22

23. Построим графики данных линий.

ent8-23

 24. Точки пересечения этих окружностей есть решения системы уравнений: x2+y2-14x-10y+49=0 и x2+y2+4y-21=0. Вычтем второе уравнение из первого. Получаем: -14х-14у+70=0. Делим почленно на (-14), получается: х+у-5=0. Выразим одну переменную через другую, например, у через х.

у=5-х. Подставим это значение 5-х вместо у в уравнение x2+y2+4y-21=0.

x2+(5-x)2+4∙(5-x)-21=0;

x2+25-10x+x2+20-4x-21=0;

2x2-14x+24=0  |:2;

x2-7x+12=0.    По теореме Виета находим корни приведенного квадратного уравнения: x1=3, x2=4.

Если х=3, то у=5-х=5-3=2. Получаем точку (3; 2).

Если х=4, то у=5-4=1. Вторая точка пересечения окружностей (4; 1).

25. Дом с номером 94 расположен на правой стороне улицы (четные номера домов). Задача сводится к нахождению номера n данного n-го члена арифметической прогрессии: 2, 4, 6, …, 94.

У нас a1=2, d=2, an=94. Применяем формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)∙d. Подставляем наши данные:

94=2+(n-1)∙2   ⇒  92=(n-1)∙2  ⇒  n-1=92:2; тогда n-1=46  ⇒  n=47.

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

К записи "ЕНТ-2013, вариант 0008." оставлено 8 коммент.

  1. Ozil:

    Ура СпасИбо БольшоЕ!!!!

  2. admin:

    Друзья! Я получила письмо от подписчика своего канала на YouTube по поводу примера 22 из варианта 0001. Он посмотрел это видио http://www.youtube.com/watch?v=9VpxLSyM9nc и пишет, что показатель степени 1/х, а не х. И ответ А)указан. Я, честно говоря, ответы не всегда смотрю. У меня показатель степени х. Напишите, в ваших сборниках какой показатель степени? С уважением Татьяна Яковлевна.

  3. Яна:

    Здравствуйте. Это я написала комментарий к вашему видео. У меня действительно написана степень 1/х. Не могли бы вы показать решение именно с этой степенью? Спасибо.

  4. admin:

    Яна, я уже опубликовала ваш пример по адресу: http://www.youtube.com/watch?v=tnQRdGTQ5qw

  5. Яна:

    Спасибо, Татьяна Яковлевна))

  6. admin:

    Пожалуйста! Молодец, что разобралась! Удачи!

  7. Madina:

    Уважаемая Татьяна Яковлевна! Мне кажется, что в 8 варианте в 8 номере Вы описались, т.к. производная от косинуса это минус синус, а не минус косинус. Возможно, я ошибаюсь, если так, не могли бы Вы объяснить, как решили 8 пример 8 варианта. Заранее огромное спасибо!

    • admin:

      Ну, конечно, Мадиночка, вы абсолютно правы! Уже исправила, спасибо большое. Это счастье иметь таких внимательных и благодарных читателей!Пишите!

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх