тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2013, вариант 0011.

testovik-ent-2013-11Друзья, на экзаменах у вас не будет калькулятора. Вы умеете вручную извлекать квадратные корни? Если нет, то смотрите видео:

«Извлечение квадратного корня из целого числа».

«Извлечение квадратного корня из десятичной дроби».

1. Токарю нужно было сделать 120 деталей. Примем их за 100%. Он перевыполнил план на 10%. 10% от 120 — это 12 деталей (одна десятая всего плана), следовательно, токарь сделал 120+12=132 детали. 

Можно было составить пропорцию:

120 деталей ———100%

х деталей ———-110%

х=(120·110):100=132 (детали) — то же самое, только возни больше.

2. Решить уравнение.

ent11-2

3. Скорость велосипедиста Vв.=S:tв.=36:3=12(км/ч).  Скорость пешехода Vп.=S:tп=36:6=6(км/ч). Велосипедист и пешеход одновременно начали движение навстречу друг другу. Их скорость сближения равна (12+6=18) км/ч, значит, они встретятся через 36:18=2(часа).

4. Умножаем обе части неравенства на 6, получаем:

3·(x+1)-2·(x-1)>6x;

3x+3-2x+2>6x;

3x-2x-6x>-2-3;

-5x>-5   |:(-5)

x<1.

5. Решить неравенство: 2∙log2x<3. Применим формулу: k∙logab=logabk.

ent11-5

6. cos(π-α)=-cosα=-(-3/4)=3/4. Угол (π-α) находится во 2-й четверти, косинус во 2-й четверти имеет знак «-» (поменяли знак); в записи аргумента π/2 взято четное число раз (π=2·(π/2)), поэтому, косинус на кофункцию не поменяли.

7. Решить уравнение:

ent11-7

8. На рисунке изображен график прямой пропорциональности, которая задается формулой у=kx. Чтобы определить коэффициент k, подставим в это уравнение координаты данной точки (2; -3):

-3=k·2  ⇒ k=-3:2=-1,5.  Следовательно, функция задана равенством: у=-1,5х.

9. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, поэтому данный угол 110° может быть только при вершине данного равнобедренного треугольника. Сумма углов при основании равна 180°-110°=70°, тогда каждый из углов при основании этого равнобедренного треугольника равен 70°:2=35°.

10. Решить уравнение: |6x2+10x|=4. Решаем. Возможен любой из вариантов:

1) 6x2+10x=-4                                   2) 6x2+10x=4;

3x2+5x+2=0;                                      3x2+5x-2=0;

a=3, b=5, c=2.                                      a=3, b=5, c=-2.

Частный случай.                              Общий случай квадратного уравнения.

a-b+c=0;                                                  D=b2-4ac=52-4∙3∙(-2)=  =25+24=49=72.

x1=-1, x2=-c/a=-2/3.                      x1=(-5-7)/6=-2, x2=(-5+7)/6=1/3.

11. Вычисляем x=log749-0,5log28=2-0,5∙3=2-1,5=0,5. Тогда:

ent11-11

12. Вычислим:

ent11-12

13. Дано:  арифметическая прогрессия, в которой  a11=23, a21=43.  Требуется найти a50. Решаем. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+(n-1)∙d,  где a1 -  первый член,   d- разность арифметической прогрессии.

Тогда a50=a1+49d.  Нужно найти a и  d. У нас имеются: a11=a1+10d=23  и  a21=a1+20d=43. Вычтем из второго равенства первое. Получим: 10d=20, откуда  d=2. Подставим вместо d число 2 в равенство: a1+10d=23 и найдем a1=3. Теперь значения a и  d подставляем в выражение a50=a1+49d. Получаем: a50=3+49·2=3+98=101.

14. Дана функция котангенса: y=ctg2x. Аргументом может быть любое число, кроме чисел вида πn, так как котангенс нуля не существует, и наименьшим положительным периодом служит Т=π. Итак, 2x≠πn ⇒ x≠πn/2, nєZ. Смотрим ответы. Не подходят: x=5π/2 (n=5); x=π/2 (n=1); x=π (n=2); x=-4π (n=-8). А ответ x=-3π/4 подойдет, так как не является числом вида  x≠πn/2, nєZ.

15. Данная функция представляет собой произведение двух множителей. Найдем производную f ‘(x) по формуле: (u·v)’=u’·v+u·v’, а затем подставим в нее число 5 вместо х и вычислим  f ‘(5).

ent11-15

16. Помните, как вы строили правильный шестиугольник на уроках черчения и геометрии?  Чертили окружность, радиус которой равен стороне правильного шестиугольника (R=a), и делали засечки на окружности  тем же раствором циркуля — получалось 6 засечек. Их потом последовательно соединяли, и получался правильный шестиугольник. Этот шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.

ent11-16

17. Центр шара, описанного около куба лежит на середине диагонали куба. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов линейных размеров прямоугольного параллелепипеда (d2=a2+b2+c2). В случае куба имеем: d2=3a2, тогда диагональ куба, она же  диаметр описанного шара:

ent11-17

18. Найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания, если образующая наклонена под углом 60°. Решаем. Боковая поверхность конуса Sбок.= πrl, где r-радиус основания конуса,  l-образующая конуса. Площадь основания конуса есть площадь круга, определяемая по формуле Sкр.=πr2, r-радиус круга, лежащего в основании конуса.

ent11-18

19. Применим формулу:

ent11-19

20. Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов двух выражений:

a2-b2=(a+b)(a-b), и дробь легко сократится.

ent11-20

21. Решить уравнение: |5-x|-|x+4|=0. Чтобы решить это уравнение нужно освободиться от знаков модуля, а чтобы освободиться от знаков модуля нужно применить определение модуля числа а: |a|=a, если a≥0; |a|=-a, если a<0. Так как 5-х=0 при х=5, а х+4=0 при х=-4, то числа -4 и 5 разбивают множество всех действительных чисел на три области ( I, II и III), в каждой их которых модульные скобки раскрываются, согласно определению модуля, а затем решается полученное уравнение.

ent11-21

Что? Можно было не решать, а подставлять предложенные ответы? Да, в этом примере это было бы разумно, но, учтите, что иногда уравнение с модулями имеет ответ в виде числового промежутка (как у неравенства), так что вы должны уметь решать такие уравнения!

22. Умножим обе части равенства на 3, а затем возведем обе части в квадрат. Получаем:

9(11-x)=(2x-8)2.  Раскрываем скобки: 99-9x=4x2-32x+64. Приводим подобные слагаемые и получаем квадратное уравнение:  4x2-23x-35=0. Имеем: a=4, b=-23, c=-35. Находим дискриминант:

D=b2-4ac=(-23)2-4∙4∙(-35)=529+560=1089=332.

x1=(23-33):8=-10/8=-5/4; x2=(23+35):8=56:8=7. Значение x1=-5/4 не подойдет, так как при х=-5/4 правая часть данного равенства становится отрицательной. Ответ: 7.

23. Решить неравенство: cos2x+cosx>0. Прибавим и вычтем единицу:

1+cos2x+cosx-1>0.  Так как есть тождество: 1+cos2α=2cos2α, то  получаем:

2cos2x+cosx-1>0. Сделаем замену: cosx=y. Тогда имеем: 2y2+y-1>0. Найдем корни квадратного уравнения 2y2+y-1=0. У нас a=2, b=1, c=-1 подчиняются равенству: a-b+c=0 (частный случай), отсюдаy1=-1, y2=-c/a=1/2.

Решениями квадратного неравенства 2y2+y-1>0 будут значения yє(-∞; -1)U(1/2; +∞). Возвращаемся к переменной х. Так как cosx∉(-∞; -1), а  cosxє(1/2; +∞) означает, что cosx>1/2, то осталось решить последнее неравенство. Применим формулу для решения неравенств вида:

cost>a (-1<t<1). Формула:  -arccosa+2πn<t<arccosa+2πn, nєZ.

ent11-23

24. Проинтегрируем f(x) и найдем первообразную F(x). Так как интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых, то:

ent11-24

25. Мы видим, что каждое из чисел: 4,  2 и 3 преобразуется в куб числа:

4→64; 2→8; 3→27. Следовательно, и число х должно перейти в куб числа х. Получается, что  x3=x. А когда это возможно? Только в случае х=1. В ответе нужно указать 5х. Получаем 5·1=5.

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

К записи "ЕНТ-2013, вариант 0011." оставлено 4 коммент.

  1. Ozil:

    Спасибо, а 12 вариант скоро???

  2. Ozil:

    А 13 и 14 и…..

  3. Гульназ:

    Здравствуйте! Спасибо Вам за этот вариант! Но я не поняла 14 задание!! Объясните пожалуйста, заранее благодарю!!

  4. admin:

    Друзья мои, я работаю над 12 вариантом, все потом объясню, ладно, Гульназ? Конечно, если до этого тебе кто-нибудь не поможет. Решаем дальше.

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх