тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2013, вариант 0013.

testovik-ent-2013-131. Данный одночлен требуется привести к стандартному виду, т.е. записать выражение в виде произведения числового множителя на буквенные (с их степенями), записанными в алфавитном порядке.

ent13-1

2. Вычислим: log2log2log2216=log2log216=log24=2.

3. Решить уравнение:

ent13-2

4. Данное неравенство верно при любых допустимых значениях переменной х, т.е. при хє[0; +∞). Арифметический квадратный корень - это неотрицательное число.

5. Заменяем косинус и синус данных углов их числовыми значениями и получаем: 0-(-1)=1.

6. Поставим в формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеющиеся данные. У нас S=0,5; q=0,25.

ent13-6

7. Вычислим определенный интеграл:

ent13-7

8. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата. Представили себе вписанную в квадрат окружность, которая касается всех сторон квадрата, диаметр окружности равен стороне квадрата. По условию сторона квадрата равна 12 см, значит, радиус вписанной окружности r=12:2=6(см).

9. При умножении вектора на скаляр (на число), мы каждую координату вектора умножаем на это число.

ent13-9

10. Не решайте такие системы, а подставляйте предложенные ответы (начиная с ответа А)) в то уравнение, которое проще. В данном случае, пары значений х и у лучше подставлять во 2-ое уравнение.  Так как х+у=5, то подойдут лишь пары значений (3; 2) и (2; 3) (ответ D)).

11. Обозначим первоначальную стоимость товара через х. Это 100%. После первого снижения на 20%, осталось 80% первоначальной стоимости, это 0,8х. После второго снижения на 25% товар стал стоить 75% от последней цены, т. е. 0,75·0,8х=0,6х. Сравниваем: было х, стало 0,6х, т. е. было 100%, остал0сь  60%. Вывод: первоначальную цену товара снизили на 40%.

12. Смотрим ответы. Так как под знаком логарифма могут быть лишь положительные числа, то ответы В), D) и Е) сразу отпадают. Выбирать придется между ответами А) и С). Первому уравнению системы удовлетворяют и пары (1; 4), (4; 1) (ответ А)) и пары (2; 3), (3; 2) (ответ С)). Подставляем пару (1; 4) во 2-ое уравнение системы. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, а логарифм четырех по основанию шесть не равен единице. Это означает, что ответ А) не подходит. Ответ: С).

13. А вот здесь уже придется решать данную систему уравнений.

ent13-13

14. Решим уравнение: sin2x=-cos2x. Разделим обе части равенства на cos2x, получаем tg2x=-1. Применяем формулу для решения уравнений вида tgt=-a (a>0). t=-arctga+πn, nєZ.

2x=-arctg1+πn, nєZ;

2x=-π/4+πn, nєZ; разделим обе части равенства на 2.

x=-π/8+(πn)/2,  nєZ.

15. Нам дана функция y=4x-x2.  Можно записать ее в виде: y=-x2+4x. Это квадратичная функция, ее графиком служит парабола, ветви которой направлены вниз. Какая парабола наша: В) или Е). Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение: -x2+4x=0   ⇒   –x(x-4)=0. Отсюда получаем: х=0 и х=4. Ответ: Е).

16. Если производная функции положительна в некотором промежутке, то функция возрастает на всем этом промежутке. Найдем производную данной функции.

f '(x)=-3x2+3x=-3x(x-1). Методом интервалов определяем, что f '(x)>0 на промежутке  [0; 1], следовательно, данная функция возрастает на все этом промежутке.

17. Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию: S=(a·h)/2. Отсюда следует: a·h=2S. Равные основания данных треугольников обозначим через а, высоту меньшего — через h, тогда высота другого треугольника будет равна h+5. Площади этих треугольников известны. Составим равенства:

a·h=2·120    и   a·(h+5)=2·180. Разделим второе равенство на первое. Получаем: (h+5):h=3:2. Произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов.

Отсюда 3h=2h+10 ⇒ h=10.

18. Можно бы и начертить эту пирамиду, вот только мы не знаем, в какую точку проектировать вершину пирамиды. Обычно, нам говорят, например, что вершина проектируется в точку пересечения диагоналей основания или, что из какой-т0 вершины основания проведена высота пирамиды… А, вообще говоря, нужен ли нам этот чертеж? Мы знаем формулу объема пирамиды: Vпир.=(1/3)Sосн.∙H. Здесь площадь основания — это площадь параллелограмма, которую можно найти как половину произведения диагоналей параллелограмма на синус угла между диагоналями. Высота пирамиды равна меньшей стороне параллелограмма. Рассмотрим параллелограмм ABCD — основание данной пирамиды.

ent13-18

19. Задача. Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник с диагональю 4 см и углом 60° между диагоналями. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объем пирамиды.

Решаем. Условие: «боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°» означает, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания (точку, равноудаленную от вершин основания), т. е. в точку пересечения диагоналей прямоугольника.

ent13-19s

Смотреть видео решение 19 задания. Задача на пирамиду.

20. Найдем значение выражения:

ent13-20

21. Решить уравнение:  |4-x|+|x-2|=2. 

ent13-21

22. Имеем произведение двух множителей. Второй множитель представляет собой арифметический квадратный корень, значит, всегда неотрицателен, если существует. Если подкоренное выражение 9-x2>0, то арифметический квадратный корень существует и положителен при хє(-3; 3) (нашли, решив неравенство (3-x)(3+x)>0). Следовательно, должно выполняться условие sinx>0 (оба множителя должны иметь одинаковые знаки), отсюда получаем хє(0; π).  Находим пересечение промежутков (-3; 3) и (0; π).

Ответ: (0; 3).

23. Решим тригонометрическое неравенство: синус заменим на косинус по формуле приведения.

ent13-23

24.  Подведем переменную 2t под знак дифференциала и вычислим определенный интеграл:

ent13-24

25. В шахматном кружке занимаются 20 мальчиков и 15 девочек. Каждую неделю в группу приходят два новых мальчика и три новых девочки. Выберите верное утверждение. Смотрим на ответы: разброс от 2 недель до 6 недель. Составим таблицу, чтобы было понятно, как меняется количество мальчиков и девочек каждую неделю.

ent13-25

Теперь очевидно, что подходит ответ Е), а именно: через 5 недель количество мальчиков и девочек сравняется.

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

Комментирование закрыто.

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх