тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2013, вариант 0015.

1. Вычисляем:

ent15-1-1

2. Вычислить:

ent15-2

3. Так как 0=log21, то, убрав значки логарифмов, получаем:

(3х-5):4=1, отсюда 3х-5=4; 3х=9; х=3.

4. Решаем каждое неравенство по отдельности:

1) 7+2x>5+x ⇒ x>-2.

2) 2-3x≥2x-8 ⇒ -5x≥-10 ⇒ x≤2. Получили -2<x≤2. Ответ: (-2; 2].

5. Найти область определения функции: y=log5(2-3x). Областью определения функции служит множество таких значений переменной, при которых выражение в правой части функции имеет смысл. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то должно выполняться условие:

2-3x>0 ⇒ -3x>-2. Разделим обе части неравенства на (-3), изменив при этом знак неравенства на противоположный. Получаем x<2/3. Ответ: (-∞; 2/3).

6. Применим основное тригонометрическое тождество: sin2α+cos2α=1, тогда:

ent15-6

7. Чтобы найти первые пять членов данной последовательности с общим членом bn=4-5n, нужно в эту формулу подставлять по очереди числа 1; 2; 3; 4 и 5.

b1=4-5∙1=4-5=-1. Уже можно было бы прекратить вычисления, так как только один ответ D) начинается с числа -1. Ну уж ладно, продолжим — сейчас то у нас времени побольше!

b2=4-5∙2=4-10=-6;

b3=4-5∙3=4-15=-11;

b4=4-5∙4=4-20=-16;

b5=4-5∙5=4-25=-21. Ответ: -1; -6; -11; -16; -21.

8. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее. Находим значения функции y(x)=sinx+x на концах отрезка [0; π].

y(0)=sin0+0=0;

y(π)=sinπ+π=0+π=π. Найдем производную y ‘(x)=(sinx+x)’=cosx+1. Находим критические точки функции:

y ‘(x)=0 ⇒ cosx+1=0 ⇒ cosx=-1 ⇒ x=π+2πn, nєZ. В данный промежуток [0; π] входит только х=π. Значение у(π) мы уже находили. Итак, наибольшее значение унаиб., наименьшее значение унаим.=0.

9. Представили себе эти точки, подсчитали, что 5+7=12 и поняли: 12-ти частям (из 24-х) соответствует полуокружность. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 90°. Но можно, конечно,  порешать и подольше — традиционным методом.

Обозначим одну часть через х. Тогда градусные меры дуг между точками деления окружности будут равны 5х, 7х и 12х. Вся окружность составляет 360°, Получаем уравнение:

5х+7х+12х=360° ⇒ 24х=360°, делим обе части на 24 и получаем х=15°. Тогда наибольшая из дуг равна 12·15°=180°, а вписанный угол (наибольший угол треугольника), который опирается на эту дугу равен половине градусной меры дуги, т. е. равен 180°:2=90°.

10. Решите относительно х уравнение: 4+ах=3х+1. Уравнение с параметром решают так, как если  вместо параметра а было бы число. Соберем слагаемые, содержащие переменную х в левой части равенства, а свободные члены — в правой.

ent15-10

11. Через каждый час расстояние  между поездами становится на (70+80) км больше, поэтому, через 600:(70+80) часов, т. е. через 4 часа расстояние между ними будет равным 600 км. (70 км/ч + 80 км/ч=150 км/ч — это скорость удаления).

12. Дано уравнение: 22x-6∙2x+8=0. Требуется найти сумму его корней. Решаем. Сделаем замену переменной: пусть 2x=у. Тогда уравнение примет вид: y2-6y+8=0.  Находим корни по теореме Виета:

y1=2, y2=4. Возвращаемся к переменной х:

1) 2x=2 ⇒ x=1; 2) 2x=4 ⇒ x=2.  Сумма корней 1+2=3.

13. Возведем обе части равенства в квадрат:

x2+5=4+2x;

x2-2x+1=0 ⇒ (x-1)2=0 ⇒ x-1=0 ⇒ x=1.

14. Найдем значение выражения:

ent15-14

15. Чтобы выражение в правой части равенства имело смысл, должны выполняться условия:

1) х-3≥0  ⇒ х≥3 (под знаком арифметического квадратного корня может быть только неотрицательное число);

2) х+5>0  ⇒ х>-5 (под знаком логарифма могут быть только положительные числа).

Общее решение: х≥3 (выбрали «больше большего»).

Область определения данной функции есть промежуток значений [3; +∞).

 16. Требуется записать уравнение касательной к графику функции f(x)=-x2-4x+2  в точке с абсциссой x0=-1. Решаем. Запишем уравнение касательной в общем виде:

y=f(x0)+f ‘(x0)∙(x-x0). Выполним необходимые вычисления:

f(x0)=f(-1)=-(-1)2-4∙(-1)+2=-1+4+2=5;

f ‘(x)=(-x2-4x+2)’=-2x-4;

f ‘(x0)=f ‘(-1)=-2∙(-1)-4=2-4=-2.   Подставляем нужные значения в уравнение  касательной:

у=5-2·(х+1). Раскроем скобки и упростим:

у=5-2х-2 или у=-2х+3.

17. Известны стороны параллелограмма и угол между этими сторонами. Нужно найти диагональ, лежащую против данного угла. Любой отрезок находится из треугольника. Искомая диагональ является неизвестной стороной в треугольнике со сторонами 2 см и 3 см и углом 60° между ними. Применим теорему косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

ent15-17

18. Пусть дан конус с осевым сечением МАВ, радиус основания конуса АО=4 см, высота МО=8 см. Конус пересечен плоскостью (круг с центром в точке O1 и радиусом А1О1), параллельной основанию и находящейся на расстоянии 5 см от его вершины (МО1=5 см).  Требуется найти площадь сечения, т. е. нам нужно найти площадь круга с центром в точке O1 и радиусом А1О1. Площадь круга находится по формуле: S=πr2, где r — радиус круга. Нужно найти радиус круга r=А1О1.

ent15-18-1

19. В конус с высотой 15 см и радиусом 10 см вписан цилиндр с высотой 12 см. Найдите объем цилиндра.

ent15-19

20. Турист прошел за первый день 40% маршрута, во второй день 45% остатка, после чего ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день. Весь маршрут составляет: ОТВЕЧАЕМх км. Тогда в первый день он прошел 40% от х — это 0,4х км (чтобы найти проценты от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь и умножить на данное число). Остаток составит х-0,4х=0,6х (км). Во второй день  он прошел 45% от 0,6х — это 0,45·0,6х=0,27х (км). Складываем путь, пройденный за два дня: 0,4х+0,27х=0,67х (км). Туристу осталось пройти х-0,67х=0,33х (км). Зная, что ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день, составим уравнение:

0,33х-0,27х=6  ⇒ 0,06х=6  ⇒ х=6:0,06=600:6=100 (км).

Ответ: весь путь составляет 100 км.

21. Упростим выражение:

ent15-21

Для этого нам понадобилось знание следующих формул:

1) a3+b3=(a+b)∙(a2-ab+b2). У нас: a3+27=a3+33=(a+3)∙(a2-3a+9).

2) a2-b2=(a+b)∙(a-b). У нас: a2-9=a2-32=(a+3)∙(a-3).

3) ax2+bx+c=a(x-x1)∙(x-x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

4) Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0.

  Сумма корней: x1+x2=-p; произведение корней: x1∙x2=q.

У нас: x2+3x-10=0, тогда  x1+x2=-3; x1∙x2=-10. Корни: x1=-5, x2=2.

Разложили на множители: x2+3x-10=(x+5)(x-2).

22. Решить неравенство: sin2x-3sinxcosx+2cos2x<0. Решаем. Разделим обе части неравенства на cos2x,  (где cos2x>0).

Получаем: tg2x-3tgx+2<0. Сделаем замену: tgx=y, тогда получим неравенство: y2-3y+2<0. По теореме Виета найдем корни приведенного квадратного уравнения: y2-3y+2=0. Получаем: y1=1, y2=2. Тогда y2-3y+2<0 при yє(1; 2), это значит, что tgx є(1; 2).  Если tgx=1, то x=π/4+πn. Если tgx=2, то x=arctg2+πn, nєZ. Ответ: π/4+πn<x<arctg2+πn, nєZ.

23. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью Ох, сверху графиком функции y=f(x), а слева и справа прямыми х=а и х=b,  находят по формуле:  ent15-23У нас a=-3, b=0, а функция y=f(x) пока не  определена. График — парабола, вершина которой находится в точке (-2; 0), следовательно, уравнение данной квадратичной функции имеет вид:

y=a(x+2)2.  Подставим координаты (0; 4) в это равенство:

4=a(0+2)2 ⇒ a=1.  Итак, наша функция: y=(x+2)2. Находим площадь заштрихованной фигуры.

ent15-23-1

24. Прямая у=ах+b перпендикулярна прямой у=0,5х-4 и проходит через точку С(2; 6). Составьте ее уравнение. Решаем. Так как прямые взаимно перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно (-1), т. е. а·0,5=-1, отсюда а=-1:0,5=-10:5=-2. Вид нашей прямой: у=-2х+b. Чтобы определить значение b, подставим в это уравнение координаты данной точки С(2; 6).

6=-2·2+b ⇒ b=6+4=10. Получаем: у=-2х+10.

25. Так как в году 12 месяцев, то к 45 месяцам добавим еще 3 месяца — это 3·(≈4,5)≈ 27 недель. Тогда человеку 45+4=49 полных лет.

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

К записи "ЕНТ-2013, вариант 0015." оставлено 2 коммент.

  1. Gulnaz:

    Здравствуйте! Спасибо за варианты! У меня не открывается 10 и 23 задание 15 варианта! Помогите!! Спасибо заранее!!)))

  2. admin:

    Здравствуй, Гульназ. В 10 и 23 заданиях само решение не открывается? А в остальных? Если проблема не разрешилась — пришли свой электронный адрес на мой почтовый адрес tayak-tz@yandex.ru — я вышлю тебе 10 и 23 задания отдельным файлом.

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх