тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2014, вариант 0001

Решение варианта 0001.

1. Сокращаем дробь, используя формулы разности квадратов (в числителе) и квадрата разности (в знаменателе) двух выражений.

2014-04-12_100511

2. Решить уравнение: |7+2x|=43.

Так как |43|=43  и |-43|=43, то 7+2х=43 или 7+2х=-43. В первом случае получаем: 2х=43-7, отсюда 2х=36, х=18. Во втором случае 2х=-43-7. тогда 2х=-50, отсюда х=-25.

3. Уменьшить число 72 на 12,5%.

Можно рассуждать так: число 72 составляет 100%. Если мы уменьшим его на 12,5%, то в нем останется 100%-12,5%=87,5%. Находим 87,5% от числа 72. Чтобы найти проценты от числа — проценты обращаем в дробь, а затем умножаем эту дробь на данное число. Действуем: 1) 82,5%=0,875; 2) 72·0,875=63.

Можно решать с помощью пропорции:

72 — 100%

х —  12,5%

2014-04-12_101844

Следовательно, 72 уменьшили на 9. Получаем: 72-9=63. Выбирай удобный для себя способ решения подобных задач!

4. Надеюсь, ты не собираешься решать эту систему? Ну и правильно! Подставь предложенные ответы. Начинай всегда с А).

Подставляем в первое уравнение вместо х=-1, вместо у=3. Получаем:

3-5+3 = 9 ⇒ 3-2 ≠ 9. Понимаем, что при отрицательном значении х будет получаться «тройка» в отрицательной степени, но никак не число 9. Следовательно, ответы В), С)  также не подойдут. Ответ D) даст в первом уравнении большую степень числа 3, поэтому, тоже не подойдет! Остается ответ Е). Действительно,

2014-04-12_103444

5. Решите неравенство:

0001-5n

Решаем неравенство методом интервалов. Знаем, что и частное и произведение чисел (12-х) и (х+11) будут иметь одинаковые знаки. Поэтому можно находить решение неравенства (12-х)(х+11)>0.

0001-5

Получаем: (-11; 12).

6. Решить неравенство:

2014-04-12_105649

Числитель при любом значении х будет положительным. Почему?

А представьте себе график логарифмической функции с основанием, большим единицы. Смотрите рисунок (здесь основание логарифма равно 2). При любом значении аргумента, большего 1, график располагается выше оси Ох. У нас  под знаком логарифма при любом х будет содержаться число, большее 3. Следовательно, значения логарифма будут всегда положительны. Значит, чтобы данная дробь была отрицательной, необходимо, чтобы знаменатель 4x2-16x был отрицательным.

Решаем неравенство 4x2-16x<0 методом интервалов.

4х(х-4)<0. Нули х=0 и х=4 отмечаем пустыми точками на числовой прямой и определяем знак выражения на одном из промежутков. Возьму число 5∈(4; +∞).

0001-6

Ответ: (0; 4).

7. Упростить: (sinαcosβ+cosαsinβ)2 + (cosαcosβ-sinαsinβ)2.

В скобках нам даны формулы синуса суммы — в первых скобках и косинуса суммы — во вторых скобках. Применяем эти формулы, затем основное тригонометрическое тождество и получаем:

(sinαcosβ+cosαsinβ)2 + (cosαcosβ-sinαsinβ)2 = sin2(α+β)+cos2(α+β)=1.

8. При каких значениях график функции у=3/х расположен выше оси абсцисс?

А что за функция? Обратная пропорциональность: у=k/x. Что является графиком обратной пропорциональности? Гипербола, состоящая из двух ветвей. При k>0 (у нас k=3) ветви располагаются в 1-ой и 3-ей координатных четвертях. Нам нужна та ветвь, которая выше оси Ох, т.е. в 1-ой четверти, а именно при положительных значениях х. Ответ: (0; +∞).

9. Найдите длину образующей усеченного конуса, если радиусы оснований равны 2 см и 10 см, а его высота 15 см.

0001-9Проведем B1K перпендикулярно АВ, B1K=OO1=15см, ОК=O1B1=2 см. Определим гипотенузу В1В из прямоугольного треугольника В1КВ по теореме Пифагора: В1В2 = В1К2 + ВК2.

В1В2 =152 + 82 = 225+64=289 ⇒ В1В=17 см.

 

10. Требуется решить уравнение. Конечно, мы его решать не будем. Смотрим на знаменатель. Так как на нуль делить нельзя, то значения х=1 и х=3 не подходят. Смотрим на ответы — всюду число 3. Вывод: решений нет, т.е. ответ С).

11. Найдите x2+x, где х — корень уравнения

2014-04-12_130101

Решаем.

2014-04-13_100256

Подставляем значение х в выражение  x2+x. Получаем: 22+2=4+2=6.

12. Здесь решать не нужно. Подумаем, какой из ответов подставить вместо х. Отрицательное значение (-3) брать нельзя, так как под знаком квадратного корня не может быть отрицательных чисел.  Из остальных предложенных положительных ответов надо брать такое, чтобы корень хорошо извлекался. Подходит значение 2 — ответ С).

2014-04-13_101303

13. Вычислить: sin(arcsin(sin(π/6))). Идем с конца.  sin(π/6)=1/2. Далее, arcsin(1/2) — это угол, синус которого равен 1/2, т.е. это угол π/6. И, наконец, находим sin(π/6). Ответ: 1/2.

14. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если a11=23; a21=43. Формула нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии:

2014-04-13_102217

Мы знаем только n=10 — количество членов, сумму которых требуется найти. Найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии из условия: a11=23; a21=43. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

an=a1+(n-1)d. Получим систему уравнений с двумя неизвестными a1 и d.

2014-04-13_103954

2014-04-13_104600

S10 = (2∙3 + 9∙2)∙5 = 24∙5 = 120.

15. Найдите производную функции f(x)=4e-2x.

Применим формулу (ex)’=ex, и не забудем, что у нашей функции сложный показатель (-2х). Получаем:

f’(x)=4e-2x ·(-2)=-8e-2x.

16. Найдите тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку М(0; 5), к графику функции y=x2-3x+5.

Подставляем координаты точки в данное уравнение, чтобы убедиться в том, что парабола y=x2-3x+5 пройдет через точку М. Это важно! Если бы точка не принадлежала графику данной функции, то ход решения был бы другим. Теперь вспоминаем, что  геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке. tgα=f’(xo). Находим производную данной функции и подставим в нее х=0.

y’=(x2-3x+5)’=2x-3; y’(xo)=y’(0)=2∙0-3=-3. Следовательно, tgα=-3.

17. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника делит его на два треугольника, площади которых соответственно 6 см2 и 54 см2. Найти гипотенузу треугольника.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.

По условию S1=6, S2=54. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, значит, произведение катетов — это удвоенная площадь. Имеем:

bc∙h=2S1=12; ac∙h=2S2=108. Перемножим эти равенства:

bc∙h∙ac∙h =12∙108 ⇒ h2∙ ac∙ bc=12∙108. Заменим произведение ac∙ b на  h2 . Получаем:

h2∙h2 =12∙108 ⇒ h4=(2∙6)∙(2∙6∙9) ⇒ h4=2∙2∙3∙2∙2∙3∙3∙3=24∙34 ⇒ h=2∙3=6.

Тогда из равенства bc∙h=2S1=12 получаем, что bc=12:6=2; а из равенства ac∙h=2S2=108 находим ac=108:6=18. Искомая гипотенуза c=bc+ac =2+18=20 (см).

18. В треугольнике АВС  ∠С=90°, ∠А=15°, CD — биссектриса. Найдите  AD, если

2014-04-13_115106

Нам потребуется знание теоремы синусов. В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

0001-18

Здесь по формуле приведения sin120°=sin(180°-60°)=sin60°.

19. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.

Нам дан прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат со стороной 12 см (квадратный корень из числа 144). Высота параллелепипеда 14 см. Требуется найти диагональ параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров: d2=a2+b2+c2У нас a=b=12, c=14. Подставляем данные.

d2=122+122+142;

d2=144+144+196;

d2=484;

d=22 см.

20. Вычислить:

2014-04-13_190140

Выделим из подкоренного выражения полный квадрат двучлена. Для этого представим 8 в виде суммы квадратов арифметических квадратных корней из чисел 5 и 3.

2014-04-13_191246

21. Вычислите:

2014-04-13_191801

Приведем данные степени к основанию 2 и применим свойства возведения степени в степень, умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.

2014-04-14_214755

22. Решить неравенство:

2014-04-14_215155

Так как косинус в четвертой степени положителен, а π/2 взято нечетное число раз (3 раза), то данное неравенство равносильно следующему:

2014-04-14_2205180001-22

Здесь мы нашли решение с помощью круга. В более сложных случаях при решениях тригонометрических неравенств или их систем надежнее использовать графики. Посмотрите видео «Решение тригонометрических неравенств».

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

2014-04-14_222905

Построим графики данных функций и покажем штриховкой фигуру, площадь которой требуется найти.

0001-232014-04-15_095204

2014-04-15_105416

Не секрет, что некоторые задания ЕНТ повторяются из года в год. Смотрите видео решение задания 23 здесь.

24. Даны векторы

2014-04-15_105736

Найдите значения х и у, чтобы имело место равенство:

2014-04-15_110022

Рассуждаем так: если для того, чтобы получить вектор с нужно взять разность х векторов а и у векторов b, то и для получения абсциссы вектора с нужно взять разность х абсцисс вектора а и у абсцисс вектора b; а для получения ординаты вектора с нужно взять разность х ординат вектора а и у ординат вектора b. Задача сводится к решению системы линейных уравнений:

2014-04-15_110746

Разделим обе части второго уравнения на 3 и сложим почленно оба равенства:

2014-04-15_111315

25. А, В, С — разные цифры. При этом

2014-04-15_111557

Найти А·В·С.

По сути нам предлагают извлечь арифметический квадратный корень из числа 119025, а затем перемножить цифры этого числа. На экзаменах у вас не будет калькулятора, значит, надо научиться извлекать квадратные корни вручную. Посмотрите видео — запомните алгоритм извлечения квадратного корня из любого числа!

Вы можете перейти на мой канал (нажмите на надпись YouTube). Подпишитесь, чтобы его не потерять!

Уверена, что вы поняли и уже извлекли из числа 119025 корень. Это число 345. Тогда в ответе надо записать: 3·4·5=60. Удачи!

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

К записи "ЕНТ-2014, вариант 0001" оставлено 24 коммент.

  1. Polya:

    Спасибо,Вам большое! А когда будут следующие варианты?

  2. admin:

    Похоже, что все 25 заданий в каждом варианте подряд к сроку не успеваю. Вот если бы вы — мои благодарные читатели перечислили в комментариях, какие задания из каких вариантов вам просто необходимо объяснить — дело бы продвинулось, и пользы для вас было бы больше. Согласны? Тогда пишите.

  3. Anya:

    Здравствуйте, спасибо Вам большое за помощь в ЕНТ. Многое я узнала благодаря Вам, не могли бы Вы объяснить 6,7,14 задание вариант 3 из сборника за 2014 г.?

  4. admin:

    Всегда рада помочь думающим читателям! http://test-training.ru/ent-2014/ent-2014-variant-0003.html

  5. Bauyrzhan:

    здравствуйте, спасибо вам за ваши объяснения, многое понял благодаря вам. У меня такие вопросы: №11,№20,№24(2-ой вариант). Заранее СПАСИБО ОГРОМНОЕ

  6. Айжан:

    Здравствуйте.Можете мне помочь в пятом варианте №23,№24,№25

  7. admin:

    Здравствуйте, Айжан. Пожалуйста: http://test-training.ru/ent-2014/ent-2014-variant-0005.html

  8. Айжан:

    Помогите пожалуйста решить в 6 варианте №11,№23,№24.Заранее, спасибо!!!

  9. Нурсулу:

    Здравствуйте. Пожалуйста помогите решить в седьмом варианте №5,№6,№24,№23.И мне кажется,что в №22 ошибка в ответах.
    Спасибо вам большое за вашу помощь!!!!!!

  10. Kristina Klimova:

    Помогите пожалуйста Вариант 0002 :9;17;19

  11. Айжан:

    Здравствуйте. Пожалуйста помогите мне решить №3 №8 №12 №16 №17 №18 №23 в 10 варианте. Заранее большое спасибо!!!!!

  12. Иван:

    Спасибо вам большое! Вы делаете добро, вскоре оно возвратится к вам!
    Сайт классный и удобный.
    Было бы еще лучше, если бы были решения по физике.
    Я понимаю, что там не нужно решать каждые задачи, но где-то 2-6 задачек в варианте попадаются тяжелыми. Спасибо большое!

  13. admin:

    К сожалению, Иван, по физике помочь не смогу.

  14. Юлия:

    Татьяна Яковлевна! Спасибо огромное за неоценимый труд! Разрешите мне выложить на сайте ссылку на ВАШ сайт, что бы мои дети и родители могли пользоваться Вашим материалом. За ранее благодарна! Новороссийск

  15. Юлия:

    Уважаемая, Татьяна Яковлевна! Спасибо за ваши объяснения. Все действительно ясно и понятно. У меня просьба в 001 варианте в 5 задании напишите условие задания,пожалуйста.

  16. Айгерим:

    Здравствуйте, можете мне помочь решить 2, во втором варианте .Заранее большое спасибо

  17. Айгерим:

    помогите пожалуйста решить во. 2 варианте 5 ое задание. Заранее большое спасибо!!!

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх