тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2014, вариант 0002

По вашим просьбам!

1. Требуется упростить выражение. Запишем каждый множитель данного выражения в виде степени с основанием 3.

0002-1

2. Решить уравнение: 2у5+8у3=0.

Выносим общий множитель за скобки: 2у32+4)=0. Это произведение будет равно нулю, если множитель у3=0, т.е. если у=0, так как выражение в скобках у2+4>0 при любом значении у.

3. Решить систему показательных уравнений:

0002-3

5. Решить неравенство:

0002-5

0002-5-1

7. В арифметической прогрессии d=2, n=50, Sn=2650. Найдите первый и n-й члены.

Сумма nпервых членов арифметической прогрессии определяется по формуле: 

0002-7

2650 = (а1 + 49) ∙ 50, отсюда а1 + 49 = 2650 : 50 или а1 + 49 = 53 ⇒ а1 = 4.Формула n-го члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n — 1)d. Тогда  а50 = 4 +(50 – 1)∙2 = 4 + 49∙2 = 4 + 98 = 102.

8. Найдите функцию, обратную данной:

0002-8

1) Выразим х через у. Для этого возведем обе части данного равенства в квадрат. Получаем у2=х-3, отсюда х=у2+3. 2) Вместо х напишем у, а вместо у напишем х. Получаем функцию, обратную данной: у=х2+3.

9. Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота 5 см. Найдите диагональ осевого сечения.

0002-9Пусть нам дан цилиндр с осевым сечением AA1B1B. Это сечение представляет собой прямоугольник, диагональ которого  AB1  требуется найти. AB1  — гипотенуза прямоугольного треугольника ABB1, в котором известны катеты АВ = 2·6=12 см и BB1=5 см. По теореме Пифагора получаем:

AB12 =AB2+BB12 ⇒ AB12 =122+52=144+25=169 ⇒ AB1=13cм.

10. Решить систему уравнений:

0002-10

Необходимо избавиться от знака модуля. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Так как х=0 не является корнем первого уравнения, то возможны значения х:

1) х > 0  и  2) x < 0. Раскрываем модульные скобки в каждом из этих случаев.

0002-10-1

11. Одно из трех чисел равно 32 и оно составляет 0,4 их суммы, а второе число составляет 0,2 суммы. Найдите второе и третье число.

Итак, пусть первое число равно 32, второе - х, а третье - у.

Зная, что число 32 составляет 0,4 от суммы всех чисел, составим первое уравнение системы: 0,4·(32+х+у)=32. (Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить эту дробь на данное число). Упростим, разделив обе части равенства на 0,4. Тогда первое уравнение примет вид: 32+х+у=80 (*). Зная, что второе число х составляет 0,2 от суммы всех чисел, составим второе уравнение системы: 0,2·(32+х+у)=х. Разделим обе части этого равенства на 0,2, получаем уравнение: 32+х+у=5х (**).  Вычтем из  (*) равенство (**). Получаем: 0=80-5х.  Отсюда х=16. Подставим это значение в любое из уравнений, например в (*). Тогда 32+16+у=80. Отсюда у=32. Ответ: 16 и 32.

13. Решить систему уравнений:

0002-13

14. Решить тригонометрическое уравнение:

0002-14

15. На графике функции у=х2+х-5 взята точка А. Касательная к графику, проведенная через точку А, наклонена к оси Ох под углом, тангенс которого равен 5. Найдите абсциссу точки А.

Используем геометрический смысл производной: f’(xo)=tgα, где x- абсцисса точки касания (точки А). Производная данной функции y’=2x+1. По условию  tgα=5. Получаем равенство: 2хо+1=5, отсюда хо=2.

16. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону: x(t) = 3t2 + t – 1 (см) в момент времени  t = 3 с.

Скорость – это производная пути по времени: v(t) = x’(t).

Находим скорость v(t) = x’(t) = (3t2 + t – 1)’ = 6t + 1. Подставим t = 3. Получаем:

v(3) = 6 3 + 1 = 18 + 1 = 19 (cм/с).

17. Каким должен быть радиус окружности, чтобы длина ее была в два раза больше суммы длин окружностей с радиусами 11 см и 47 см.

Длины данных окружностей с радиусами 11 см и 47 см соответственно равны 22π см и 94π см (нашли по формуле длины окружности: С=2πR). Складываем эти длины и получаем С=116π см. Длина новой окружности в два раза больше, значит равна 2·116π см. Если записать это выражение так: 2π·116 см, то становится понятным, что искомый радиус должен быть равен 116 см.

18. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон проходит через центр окружности, а две другие удалены от него на 6 см и четыре корня из трех см. Найдите площадь треугольника.

0002-18

19. Площадь ромба, лежащего в основании пирамиды, равна 600 см2, а площадь круга, вписанного в ромб, равна 100 см2. Определите объем пирамиды, если высоты ее боковых граней равны 26 см.

Так как высоты боковых граней равны, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанного в ромб круга, так как стороны ромба должны быть равноудалены от и от центра круга. Точка О — центр круга является точкой пересечения диагоналей ромба.

0002-19

20. Сократите дробь:

0002-20

Можно догадаться, что в числителе дроби формула разности квадратов двух выражений: a2-b2=(a-b)(a+b). Применив эту формулу мы представим числитель в виде произведения двух множителей, причем, один из них будет таким же, как знаменатель, что позволит нам сократить дробь.

0002-20-

21. Разложите на множители: a2b2-4a3b4+ab+abc-4a2b3c+c.

Эти 6 слагаемых нужно сгруппировать так, чтобы из каждой группы можно было вынести за скобки общий множитель и при этом, в скобках должны получаться одинаковые выражения; затем это одинаковое выражение в  скобках еще раз выносят за скобки. Попробуем сгруппировать по три слагаемых:

a2b2-4a3b4+ab+abc-4a2b3c+c = (a2b2-4a3b4+ab)+(abc-4a2b3c+c). Из каждой скобки выносим общий множитель:

ab(ab-4a2b3+1)+c(ab-4a2b3+1). Вот у нас получились одинаковые выражения в скобках, т.е. одинаковые множитель, который выносим за скобки и окончательно получаем:

(ab-4a2b3+1)(ab+c).

22. Решить неравенство: 2sin2x+5cosx<4.

Так как sin2x+cos2x=1, то заменим sin2x =1 – cos2x, тогда неравенство примет вид:

2(1 – cos2x) + 5cosx<4. Раскроем скобки и перенесем 4 в левую часть неравенства:

2-2cos2x+5cosx-4<0.  Приведем подобные слагаемые: -2cos2x+5cosx-2<0. Умножим обе части неравенства на (-1), при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

2cos2x — 5cosx +2 > 0. Сделаем замену переменной: пусть cosx=y,  тогда получаем:

2y2-5y+2>0. Найдем корни квадратного уравнения  2y2-5y+2=0.

Дискриминант  D=b2-4ac=52-4∙2∙2=25-16=9=32. Тогда y1=0,5; y2=2. Решениями неравенства 2y2-5y+2>0 будут значения у, удовлетворяющие условиям: y<0,5 или y>2.

Но так как y=cosx, а известно, что |cosx|≤1, то остается y<0,5, т.е. нам остается решить простейшее неравенство  cosx<0,5.  Изобразим графики функций у=cosx и y=0,5 и определим те значения х, при которых точки кривой  у=cosx лежат ниже прямой у=0,5.

0002-22

24. Преобразуйте выражение:

0002-24

Определите его значение, если углы между парами данных единичных векторов равны 60°.

Прежде всего раскроем скобки, выполнив умножение. Приведем подобные слагаемые. Используем свойства: 1) квадрат вектора равен квадрату модуля (длины) этого вектора; 2) скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними.

0002-24-

Решайте, готовьтесь. Желаю успехов!

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

К записи "ЕНТ-2014, вариант 0002" оставлено 25 коммент.

  1. Нурсулу:

    Здравствуйте.Помогите пожалуйста решить задание во втором варианте под №18.

  2. Айдана:

    Объясните, пожалуйста, почему в 18 номере D и F являются серединами отрезков?

    • admin:

      Айдана, через точку О — середину АС проведена OD||BC (так как и OD и BC — обе перпендикулярны одной и той же АВ), поэтому, OD — средняя линия треугольника АВС. Теорема Фалеса: АО=ОС по условию, провели параллельные прямые OD||BC, следовательно, и AD=DB.
      Аналогично и BF=FC.

  3. А можно решать остальные задания, которые касаются 10 класса?

  4. Мне очень нужны решения 1,3,8,10,14,15,21. Если есть возможность.

  5. Аян:

    почему не все задачи???

  6. Айлан:

    Здравствуйте!!!вариант 0002,задачи №10,13,14 решения пожалуйста))

  7. Айлан:

    и вариант 0002 №7

  8. Темирлан:

    Здравствуйте можно пожалуйста все задания на варианты 0002 и 0003 спасибо заранее

    • admin:

      Нет или очень не скоро, Темирлан — возможности у меня пока нет.

  9. Мариам:

    вопрос 10 вариант 0002 плиииз(

    • admin:

      Мариам, не решайте уравнения на ЕНТ — подставляйте данные ответы, т.е. делайте проверку!

    • admin:

      Мариам, не тратьте время на решение уравнений и систем уравнений, если ответы даются! Подставляйте поочередно предложенные варианты ответов, т.е. делайте проверку!

  10. Наташа:

    Здравствуйте,а когда остальные будут?!

    • admin:

      А какие остальные, Наташенька? Ты старайся и решай варианты сама. И напиши, если какое-то задание ты, как не старалась, так и не поняла. Тогда я и опубликую именно это задание. А вообще, задания этого года аналогичны заданиям 2013 года, решения к которым выложены полностью. Изучай, желаю тебе успехов.

  11. Камиля:

    Здравствуйте! Хотела поблагодарить вас за столь понятное объяснение, и хотела бы спросить: будете ли вы делать еще другие тесты ент, к примеру, ент 2012 года?

    • admin:

      Здравствуйте, Камиля. Нет, решения к тестам 2012 года я не планирую публиковать. Спасибо за комментарий.

  12. Александр:

    Татьяна Яковлевна,вы не могли дать решение на 22

  13. Ася:

    Здравствуйте. Помогите решить задание 16, 2 варианта.

  14. Ася:

    Ой, уже ненадо решила, нашла производную, подставила время. И нашла ответ.)

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх