тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2014, вариант 0005

По вашим просьбам!

2. Решите систему уравнений:

0005-3

Совет: не решайте уравнения и системы уравнений, если можно подставить ответы и сделать проверку!

3. Вычислить:

0005-3-1

6. Упростить выражение:

0005-6

9. Длина трех измерений в прямоугольном параллелепипеде равна 6 см, 6 см и 7 см. Определите длину диагонали параллелепипеда.  Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров:

d2=a2+b2+c2. Подставляем наши данные: d2=62+62+72=36+36+49=121. Извлекаем арифметический квадратный корень и получаем: длина диагонали d=11.

11. На изготовление 20 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 60 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Пусть второй рабочий делает в час х деталей. Тогда первый рабочий делает в час (х+4) детали.

0005-11

Умножим обе части равенства на х(х+4)≠0 и получим равносильное уравнение:

15(х+4)-5х=2х(х+4) ⇒ 15х+60-5х=2х2+8х ⇒2х2-2х-60=0. Делим на 2.

х2-х-30=0, находим корни х1=-5 и х2=6. Отрицательное значение не подойдет по условию задачи.

Ответ: 6 деталей в час делает второй рабочий.

12. Решите уравнение: log2(22x+2x)=log4144.

Так как 4=22 и 144=122, то  log4144=log212. Данное уравнение запишется в виде:

log2(22x+2x)= log212 и будет равносильно уравнению: 22x+2x=12. Пусть 2x=y. Тогда получаем приведенное квадратное уравнение:

y2+y-12=0, корни которого y1=-4 и y2=3. Возвращаемся к переменной х. Так как 2x≠-4, то 2x=3  ⇒ x=log23.

13. Решите уравнение:

0005-13

14. Решите уравнение:

2014-10-19_210100

15. Найти производную функции:

2014-10-19_210213

16. В каких точках касательная к графику функции у = х3/3 – 3х образует с осью Ох угол, равный π/4.

Используем геометрический смысл производной: численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной в данной точке: f’(xo) = tgα. Нам нужно найти значение хо, а дано нам значение α.

2014-10-19_213254

х2 – 3 = 1 ⇒ х2 = 4 ⇒ х = ±2. Получается, что в двух точках: с абсциссой х = -2 и с абсциссой х = 2 касательная к графику образует с осью Ох нужный угол. Найдем ординату каждой из точек:

2014-10-19_213401

17. Периметр ромба равен 160 см, а радиус вписанной окружности равен 15 см. Найдите синус острого угла ромба.

0005-17Все стороны ромба равны, поэтому АВ=160:4=40 см. Диаметр вписанной окружности ромба равен высоте ромба. Так как радиус ОМ=15 см, то ВК=2·ОМ=30 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АКВ. Синус угла А есть отношение противолежащего углу катета ВК к гипотенузе АВ. Находим sinA=BK:AB=30:40=0,75.

 

18. Вычислите площадь треугольника, зная, что его стороны равны 9 см, 40 см и 41 см.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным. Всегда проверяйте, равен ли квадрат большей стороны сумме квадратов двух других сторон – этим вы можете значительно облегчить себе решение задачи. У нас: 412=92+402 (1681=1681). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S=(9∙40):2=180 (см2).

Справка. Прямоугольными являются треугольники со сторонами: 1) 3, 4, 5; 2) 5, 12, 13; 3) 8, 15, 17; 4) 7, 24, 25; 5) 9, 40, 41; 6) 20, 21, 29.

19. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость, причем концы его находятся на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

0005-19-1Пусть отрезок АВ=10 см пересекает плоскость α в точке О. При этом АА1=3 см, ВВ1=2 см – это расстояния от точек  А и В до плоскости α. ∠АОА1 – угол между прямой АВ и плоскостью α (это угол между наклонной АВ к плоскости α и ее проекцией на данную плоскость). Проведем ВС параллельно плоскости α (параллельно ОА1) до пересечения с продолжением АА1. Тогда АС= 3+2=5 см.  Замечаем, что ∠АВС=∠АОА1. В прямоугольном треугольнике АСВ катет АС, равный 5 см, в два раза меньше гипотенузы АВ, равной 10 см, следовательно, ∠АВС=30°. (Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы).

22. Решите неравенство: cos2x+5cosx+3≥0.

Применим тождество: 1+cos2α=2cos2α. Для этого перепишем данное неравенство в виде:

1+cos2x+5cosx+2≥0. Упростим: 2cos2x+5cosx+2≥0. Сделаем замену: cosx=y, тогда получим квадратичное неравенство относительно у:

2y2+5y+2≥0. Корнями  квадратного трехчлена 2y2+5y+2=0 будут значения y1=-2 и y2=-0,5. Тогда решениями неравенства  2y2+5y+2≥0 служат значения y ≤-2 и y ≥ -0,5. Так как у нас y=cosx, а по определению |cosx|≤1, то остается  лишь решить простейшее неравенство cosx≥-0,5. Можно решать его графическим способом или с помощью тригонометрического круга, но лучше всего воспользоваться формулой:

cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn < t < arccosa+2πn, nZ.

Тогда получаем: -arccos(-0,5)+2πn ≤ x ≤ arccos(-0,5)+2πn;

-(π – arccos0,5)+2πn ≤ x ≤ (π – arccos0,5)+2πn;

-(π – π/3)+2πn ≤ x ≤ (π – π/3)+2πn; окончательно:

-2π/3+2πn ≤ x ≤ 2π/3+2πn, n∈Z.

23. Найти общий вид первообразных для функции  f(x)=5cos2x +7x.

Упростим данную функцию, понизив степень косинуса по формуле: 1+cos2x=2cos2x. Тогда функция примет вид:

0005-23

Мы ищем первообразную для последней функции f(x), поэтому просто из предложенных функций (ответов А-Е) найдем такую, производная которой будет равна  нашей функции. Очевидно, что это ответ D).

Строгое же решение основано на определении неопределенного интеграла: ∫f(x)dx=F(x)+C. Вычислим неопределенный интеграл:

0005-23-

24. Вычислите длину вектора

0005-24

если даны координаты векторов

0005-24-1

Прежде всего упростим данное равенство: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

0005-24-2

Далее рассуждаем так: если для того, чтобы получить вектор а нужно взять восемь векторов  m плюс один вектор n, то и для получения абсциссы вектора а нужно взять восемь абсцисс вектора  m  плюс одну абсциссу вектора n. Аналогично, для получения  ординаты вектора а нужно взять восемь ординат вектора   плюс одну ординату вектора n.

0005-24-3

Длина  вектора, заданного своими координатами, равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.

0005-24-4

25. Сколько целых чисел, принадлежащих числовому множеству {0; 1; 2; …; 2000; 2001}, имеют сумму цифр, равную двум?

Вот если бы вас просили указать точное количество таких чисел — тогда пришлось бы повозиться, а так… попробуйте написать числа, удовлетворяющие условию. Запись таких чисел или состоит из «двоек» и «нулей» или из двух «единиц». Согласны? Например, 2; 11; 20; 101; 110; 200 и так далее. Сумма цифр каждого из данных чисел равна двум. Значит, какой ответ выбираем? Правильно: таких чисел явно более 5.

Успехов вам! Решайте больше. Что непонятно — спрашивайте!

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

К записи "ЕНТ-2014, вариант 0005" оставлено 6 коммент.

  1. Bauyrzhan:

    Здравствуйте, спасибо за раннее предоставленные решения. У меня возникли новые вопросы по следующим вариантам: вариант 8-№8,№13; вариант 4-№14;№15;№19;№21;№24. Заранее спасибо огромное!!!

  2. КРИСТИНА:

    ЗДРАВСТВУЙТЕ МОЖНО 5 И 6 ВАРИАНТ ПОЛНОСТЬЮ

  3. Алина:

    6 задание решите пожалуйста

  4. Камиля:

    пожалуйста объясните задание 16

  5. шамиль:

    спасибо большое но можно пожалуйста решить задание № 14

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх