тест-обучение Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2014, вариант 0013

По вашим просьбам!

7. Укажите функцию, которая определена на всей числовой прямой.

Из предложенных ответов выбираем ту функцию, которая существует всегда, т.е. можно вместо х подставить любое число, и выражение в правой части равенства не потеряет смысла. Этому условию удовлетворяет только функция А) — можно брать любое число из промежутка (-∞; +∞), и выражение (3х2+4) всегда будет иметь смысл.

Все остальные ответы не подойдут. Смотрите сами: в ответе В) нельзя брать отрицательные числа — корень не извлечешь; в ответе С) нельзя брать х=-5 — знаменатель обратится в нуль, а на нуль делить нельзя; в ответе D) не подойдет х=0 — тоже знаменатель обратится в нуль; в ответе Е) нельзя брать отрицательные числа, так как под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

8. Одна сторона прямоугольника на 42% больше другой. Площадь прямоугольника 568 см2. Найдите меньшую из сторон. Если в процентах, то меньшая из сторон составляет 100%, а большая 142%. Обозначим меньшую из сторон через х. Тогда большая 1,42х. (Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь, а затем умножить эту дробь на данное число. Так 142%=1,42 и умножая 1,42 на х мы получили 1,42х.) Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину: S=ab. Получаем равенство:

568=х·1,42х ⇒ 1,42х2=568 ⇒х2=56800:142⇒ х2=400⇒х=20 см — меньшая сторона прямоугольника.

10. Найти число (-13х+2)2+х, где х — корень уравнения (7х-5)/(х-1)=2.

Умножаем обе части равенства на (х-1), учитывая, что х≠1. Получаем:

7х-5=2(х-1) ⇒ 7х-5=2х-2 ⇒ 7х-2х=-2+5 ⇒ 5х=3 ⇒ х=3:5=0,6. Теперь значение х=0,6 подставим в выражение (-13х+2)2+х. Получаем: (-13·0,6+2)2+0,6=(-7,8+2)2+0,6=(-5,8)2+0,6=33,64+0,6=34,24.

11. Длина прямоугольника 40 дм, площадь 200 дм2. Сколько процентов составляет ширина от длины?

Найдем ширину прямоугольника. Так как площадь прямоугольника S=ab, где a — длина, b — ширина, то ширина  b=S:a=200:40=5 (дм). Требуется найти, сколько процентов составляет ширина от длины, т.е. сколько процентов составляет число 5 от числа 40. Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого нужно первое число разделить на другое и результат умножить на 100%. Выполняем действия: (5:40)·100%=0,125·100%=12,5%.

15. Задана функция f(x) = (x2 – x) cos2x. Найдите f ‘(0).

Применим правило дифференцирования произведения: (u v)’ = u’ v + u v’  и формулы: 1) x’ = 1; 2) (xn)’ = nxn-1; 3) (cosx)’ = -sinx. Заметим, что функция cos2x – сложная.

Определяем ее одним словом – это степень. Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции найдем производную от степени и домножим ее на производную основания этой степени по формуле:

(un)’ = nun-1 u’.

Решение. f ‘(x) = (x2 – x)’ cos2x + (x2 – x) (cos2x)’ =

= (2x -1) cos2x + (x2 – x) 2cosx (-sinx)= (2x -1) cos2x – (x2 – x) sin2x.

Находим f ‘(0) = (0 – 1) cos20 – 0 = -1 1 = -1.

16. Из предложенных ответов выбери наибольшее и наименьшее значения для функции

0013-16

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a; b], нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, который принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

0013-16-1

Итак, мы нашли всего два значения: 0 и 9.  Из них и выбираем: max=9, min=0.

17. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x2+x+6 и осью Ох.

0013-17-

Смотрите видео решение задания 17.  Чтобы видимость была четче — установите знак шестеренки на отметке 360.

21. Какое целое число заключено между числами

0013-21

22. Решите уравнение:

0013-22

Возведем обе части равенства в четвертую степень, чтобы избавиться от радикала.

xlgx+7 = (10lgx+1)4 ⇒ xlgx+7 = 104lgx+4. Заметили, что переменная находится и в основании и в показателе степени? Такие уравнения называются показательно-логарифмическими. Для решения показательно-логарифмических уравнений данного вида логарифмируют обе части равенства по любому основанию. Так как у нас имеется десятичный логарифм, то прологарифмируем последнее равенство по основанию 10. Как это сделать? Просто перед левой и правой частью уравнения xlgx+7 = 104lgx+4  припишем знак десятичного логарифма lg.

lgxlgx+7 = lg104lgx+4. По свойству логарифма степени получаем:

(lgx+7)∙lgx = (4lgx+4)∙lg10 ⇒ (lgx+7)∙lgx = (4lgx+4)∙1. Раскроем скобки и упростим равенство, приравняв все к нулю.

lg2x+7lgx=4lgx+4 ⇒ lg2x+7lgx-4lgx-4=0 ⇒ lg2x+3lgx-4=0. Сделаем замену:

lgx=y ⇒  y2+3y-4=0. Находим корни квадратного уравнения: y1=-4, y2=1. Тогда, если lgx=-4, то  x=10-4, если lgx=1, то x=10.

23. Решите уравнение: sinx+sin5x+cosx+cos5x=0.

Сумму синусов представим в виде удвоенного произведения синуса полусуммы на косинус полуразности, а сумму косинусов — в виде удвоенного произведения косинуса полусуммы на косинус полуразности углов х и . Получаем:

2sin3xcos2x+2cos3xcos2x=0  ⇒  2cos2x(sin3x+cos3x)=0. Отсюда следует, что или cos2x=0 или sin3x+cos3x=0. Решим каждое из уравнений.

1) cos2x=0 ⇒ 2x=π/2+πk  ⇒ x=π/4+πk/2, k∈Z.

2) sin3x+cos3x=0 ⇒ sin3x=-cos3x. Разделим обе части равенства на cos3x≠0, получим:

tg3x=-1 ⇒ 3x=-π/4+πn ⇒ x=-π/12+πn/3, n∈Z.

Для решения простейших тригонометрических уравнений применили формулы:

1) cost=0 ⇒ t=π/2+πk, k∈Z. 2) tgt=-a ⇒ t=-arctga+πn, n∈Z. 3) tg(π/4)=1.

24 Высота конуса равна √3 см, образующая равна 2 см. Найдите радиус описанного шара.

0013-24

25. В 2008 году в феврале было 29 дней. Известно, что такое явление бывает один раз в 4 года (високосный год). Найдите количество високосных годов с 2001 года по 2065 год. Год будет високосным, если двузначное число, записанное двумя последними цифрами в записи года делится на 4.

Первый високосный год в заданном промежутке с 2001 года по 2065 год случился в 2004 году, а последний был в 2064 году. На языке математики нас просят найти число членов арифметической прогрессии: 2004, 2008, 2012,…, 2064. Первый член прогрессии a1=2004, знаменатель d=4, n-й член an=2064. По формуле n-го члена арифметической прогрессии an= a1+(n-1)d, подставив данные получаем:

2064=2004+(n-1)·4  ⇒ (n-1)·4 = 2064-2004 ⇒ (n-1)·4 =60 ⇒ n-1 = 15, отсюда n=16. Следовательно, количество високосных годов равно 16.

Желаю вам успешной подготовки к ЕНТ.

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

К записи "ЕНТ-2014, вариант 0013" оставлено 12 коммент.

  1. Карина:

    а можно 14 вариант весь и с 13 варианта с 1 по задания?)заранее спасибо

    • admin:

      Нет, Кариночка, не получится, поэтому, выбери самые-самые для тебя проблемные задания и сообщи их номера.

  2. Карина:

    ну тогда из 13 варианта 7)а из 14 варианта 18,17,16,15,13,12 спасибо огромноевы так помогаете)

  3. Саша:

    Спасибо огромное за подробное объяснение заданий,очень помогает.помогите пожалуйста 8в #14,11,21,23,25.спасибо

    • admin:

      Саша, в варианте 0008 уже были опубликованы задания 11, 23 и 25. А с 14-ым и 21-ым помогу.

  4. Саша:

    Пожалуйста номер 17 из 13 варианта

  5. Саша:

    13в номер 21 ,спасибо заранее:)

  6. 0001 вариант 18 задание помгите )спасибо зарание

  7. вариант 0002 18 19 17 задание помгите )спасибо зарание, ещё вариант 0003 задание 9 19 18 вариант 0004 задание 17 19 вариант 0005 17 18 19 )зарание спасибо

Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: at@mathematics-repetition.com Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
ЕНТ в картинках!
Instagram
ОГЭ-ЕГЭ в картинках!
Instagram
Наверх