тест-обучение

Обучающие тесты по математике

ЕНТ-2014, вариант 0018

По вашим просьбам!

5. Найдите наибольшее целое решение неравенства 0,53x+2>8.

Представим левую и правую части неравенства в виде степени с основанием 2.

2-3x-2>23. Так как показательная функция с основанием 2  является возрастающей, то опуская основания степеней, знак неравенства сохраним. Получаем:

-3х-2>3  ⇒ -3x>3+2  ⇒ -3x>5 ⇒ x<-5:3.

0018-5

x=-2 есть наибольшее целое решение данного неравенства.

9. Отрезок АВ пересекает плоскость в точке М и делится ею пропорционально числам 8:5. Найдите длины АМ и МВ, если длина проекции отрезка на плоскость равна 52 см, а точка А отстоит от плоскости на расстоянии, равном 24 см.

0018-9

Итак, АМ:ВМ=8:5. Это означает, что отрезок АМ содержит 8 частей, а отрезок ВМ содержит 5 таких же частей. Проекция отрезка АВ на плоскость α есть сумма проекций отрезков АМ и МВ на эту плоскость, т.е отрезок B1A1=52 см по условию. Если мы проведем ВК параллельно B1Aдо пересечения с продолжением АA1, то очевидно, что ВК=B1A1=52 см. Так как точка А отстоит от плоскости на расстоянии 24 см, то длина отрезка АA1=24 см.

Пусть A1К=х. Из подобия треугольников АВК и АМA1 следует:

АК:АA1=АВ:АМ ⇒(24+х):24=(8+5):8 ⇒ (24+х):24=13:8. По основному свойству пропорций:

(24+х)·8=24·13. Разделим обе части равенства на 8. Получим:

24+х=3·13, отсюда х=39-24=15. Так как A1К=х=15 см, то АК=24 см+15 см=39 см. Из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора  AB2 =AK2+BK2. Подставляем значения АК=39 и ВК=52. Получаем:

AB2=392+522=(13∙3)2+(13∙4)2=132∙32+132∙42=132∙(32+42)=132∙(9+16)= 132∙25=132∙52. Отсюда АВ=13·5=65 (см). Так как на весь отрезок АВ приходится 13 частей (по условию АМ:МВ=8:5), то на одну часть приходится 65 см:13=5 см.

Тогда длина отрезка АМ=8·5 см=40 см, а длина отрезка МВ=5·5 см=25 см.

11. Даны 3 последовательных натуральных числа. Произведение этих чисел в 2 раза больше третьего числа. Найдите эти числа.

Если мы обозначим через х первое из трех натуральных последовательных чисел, то каждое следующее будет на 1 больше, т.е. второе число будет равно (х+1),

а третье (х+2). Зная, что произведение всех трех чисел в 2 раза больше третьего числа, составим уравнение:

х·(х+1)·(х+2)=2(х+2). Можно разделить обе части равенства на (х+2), так как это число (третье искомое число) точно не равно нулю. Получим равенство: х·(х+1)=2. Можно, конечно, раскрыть скобки и перенести все слагаемые в левую часть, а затем решить квадратное уравнение, но подумайте: произведение каких двух натуральных последовательных чисел равно двум? Ну, разумеется: 1 и 2.

Тогда искомые числа: 1, 2 и 3.

12. Решите уравнение:

0018-12

16. Производная функции:

0018-16

17. Составьте уравнение касательной к графику функции у=cos2x в точке xo= π/4.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой xo имеет вид: y=f(xo)+f’(xo)∙(x-xo).  Находим f(xo)=f(π/4)=cos(π/2)=0. Находим производную данной функции: f ‘(x)= -2sin2x. Тогда f’(xo)=f’(π/4)=-2sin(π/2)=-2·1=-2. Полученные значения f(xo) и f’(xo) подставляем в уравнение касательной.

у=0-2·(х-π/4) ⇒ у=-2х+π/2.

23. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна

0018-23

0018-23-1

24. Даны векторы

0018-24

В последнее равенство подставим абсциссы всех данных векторов и получим первое уравнение системы: 7=-2х-4у или 2х+4у=-7. Теперь подставим соответствующие ординаты данных векторов и получим второе уравнение системы: 2=2х+у или 2х+у=2. Из 1-го уравнения 2х+4у=-7 вычтем 2-ое уравнение 2х+у=2. Получаем уравнение: 3у=-9, отсюда у=-3. Подставим значение у=-3 в уравнение 2х+у=2. Получаем 2х=5, отсюда х=2,5.

25. Эта задача была и в прошлом году. Смотрите здесь! Это тоже 25 задание.

ЕНТ-2014, вариант 0017

По вашим просьбам!

5. Решите неравенство:

0017-5

6. Упростить выражение: cos(π/2-α)+sin(π-α). По формулам приведения

cos(π/2-α)=sinα, sin(π-α)=sinα. Тогда:

cos(π/2-α)+sin(π-α)=sinα+sinα=2sinα.

7. Найти область определения функции:

0017-7

9. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой 16 см2  и 4 см2, а высота равна 3 см.

Здесь нам нужна лишь формула объема усеченной пирамиды:

0017-9-1

11. Лодка за одно и то же время может проплыть 36 км по течению реки или 20 км против течения реки. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначим собственную скорость лодки через х и составим таблицу.

0017-11

Уравнение представляет собой пропорцию, по основному свойству которой произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции. Отсюда:

36·(х-2)=20·(х+2)  ⇒ 36х-72=20х+40 ⇒ 36х-20х=40+72  ⇒ 16х=112 ⇒ х=112:16 ⇒ х=7.

Собственная скорость лодки 7 км/ч.

14. В геометрической прогрессии (un):  u1=1/9; u7=81. Найдите (u4)2+u3.

Найдем  знаменатель q данной геометрической прогрессии. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: un=u1∙qn-1.  Тогда u7=u1∙q6. Подставим наши данные:

81=(1/9)∙q6 ⇒ q6=81∙9 ⇒ q6=34∙32 ⇒ q6=36. Отсюда q=3. Найдем uи u3. по формуле n-го члена геометрической прогрессии:

u4=u1∙q3=(1/9)∙33=(1/9)∙27=3; u3=u1∙q2=(1/9)∙32=1. Искомое значение выражения (u4)2+u3=32+1=9+1=10.

19. Найдите длину диагонали прямоугольника ABCD  с вершинами А(0; 1), В(4; 3), С(5; 1) и D(1; -1).

Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD равны между собой. Найдем длину диагонали АС. Применим формулу расстояния между двумя точками А(0; 1) и С(5; 1):

0017-19

20. Найдите log763, если  log73=a.

Представим 63 в виде произведения 7·9 или 7∙32.

Тогда log763=log7(7∙32)=log77+log732=1+2log73=1+2a.   Мы применили формулы:

loga(xy)=logax+logay,  logaa=1, logabk=k∙logab.

22. Пусть (ao; bo) — решение системы

0017-22-1

Теперь подставим значение b=-2 в равенство x2 + box – 3 = 0. Получаем:

x2 - 2x – 3 = 0. Корни этого приведенного квадратного уравнения x1=-1; x2=3. Больший корень х=3 будет принадлежать промежутку (-3; 5).

25. a, b, c и d — разные числа, принадлежащие промежутку [0; +∞). При этом: a-b=d и a·b·c=0. Какое из чисел равно нулю?

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Рассуждаем: так как a·b·c=0, то либо a=0, либо b=0, либо c=0. Если a=0, то равенство a-b=d примет вид: -b=d, т.е. числа b и d должны быть противоположными, а это невозможно, так как  по условию все числа неотрицательны. Значит, a≠0. Если b=0, то равенство  a-b=d примет вид: a=d, что также невозможно — ведь все числа по условию разные! Поэтому b≠0. Остается только c=0.

ЕНТ-2014, вариант 0016

По вашим просьбам!

6. Найти tgα, если sinα=-4/5, 180°<α<270°.

Зная sinα,  применим основное тригонометрическое тождество и найдем cosα. Так как угол α находится в третьей четверти, то cosα будет отрицательным числом.

0016-6

9. Диаметры основания усеченного конуса 3 м, 6 м, а высота 4 м. Определите образующую усеченного конуса.

Пусть нам дан конус с осевым сечением AA1B1B и высотой OO1=4 м. Диаметры оснований A1B1=3 м, AB=6 м. Требуется найти образующую BB1. Проведем из точки B1 перпендикуляр к АВ. Точку пересечения перпендикуляра с АВ обозначим через К.

0016-9

11. В первый день туристы прошли 30% всего пути, а во второй — на 4 км больше, чем в первый. Сколько процентов пути осталось пройти туристам, если весь путь равен 20 км?

Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь, а затем эту дробь умножить на данное число.

В первый день туристы прошли 30% от 20 км — это 0,3·20=6 (км). Во второй день туристы прошли на 4 км больше, т.е. 6+4=10 (км). Туристам осталось пройти 20-(6+10)=4 (км). Требуется узнать, сколько процентов осталось пройти туристам, иначе говоря, требуется узнать, сколько процентов составляют 4 км от 20 км. Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно первое число разделить на другое и результат умножить на 100%.

(4:20)·100%=0,2·100%=20%.

12. Найдите наименьший целый корень уравнения: log6(x2-2x)=1-log62.

1) Представим единицу в правой части равенства в виде логарифма по основанию 6. 2) Применим формулу логарифма частного к правой части. 3) Потенцируем, т.е. опускаем значки логарифма и решаем получившееся квадратное уравнение. Смотрим этот план решения по шагам:

1) log6(x2-2x)=log66-log62;

2) log6(x2-2x)=log6(6:2)  ⇒ log6(x2-2x)=log63;

3) x2-2x=3  ⇒ x2-2x-3 =0  ⇒ x1=-1, x2=3. Наименьший корень х=-1.

18. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а площадь 120cм2.  Найдите меньший катет.

Классическое решение этой задачи: обозначаем катеты через х и у и составляем систему уравнений. Так как гипотенуза равна 26 см, то на основании теоремы Пифагора получаем первое уравнение системы: x2+y2=262. Зная, что площадь прямоугольного треугольника (равна половине произведения катетов) равна 120 cм2, составляем второе уравнение системы: (1/2)ху=120 или ху=240. Далее, выражают одну переменную через другую из второго уравнения, значение этой переменной подставляют в первое уравнение, из решения которого и находят одну переменную, а затем по ней и другую переменную. Это долго и не нужно! Почему?  ВАМ СЛЕДУЕТ ЗНАТЬ: в подобных задачах на прямоугольный треугольник возможны лишь несколько значений катетов и гипотенузы: 1) 3, 4, 5; 2) 5, 12, 13; 3) 8, 15, 17; 4) 7, 24, 25; 5) 20, 21, 29. Понятно, что, например, в группе 1) будет не только треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5, но и треугольники со сторонами в 2 раза больше ( 6, 8, 10), или в 3 раза  больше (9, 12, 15) и т.д. Поэтому, смотрим на значение гипотенузы в условии задачи. Значение 26=2·13 и относится к группе 2) 5, 12 и 13. Следовательно, катеты у такого треугольника с гипотенузой 26 должны быть: 2·5=10 (см) и 2·12=24 (см). Вот вам и вся задача! В ответе указываем меньший катет, т.е. 10 см.

19. Если точки А(2; 0) и В(-2; 6) являются концами диаметра окружности, то ее уравнение имеет вид:

Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид:

 (x-a)2+(y-b)2=R2. Координаты центра окружности — это координаты середины отрезка АВ, которые находятся, как полусумма соответственных координат концов отрезка АВ. Тогда а=(2-2):2=0 и b=(0+6):2=3. Теперь уравнение окружности запишется в виде:

(x-0)2+(y-3)2=R2 или x2+(y-3)2=R2. Остается найти радиус R. Зная, что окружность проходит через точку А(2; 0) — подставим ее координаты в последнее уравнение:

22+(0-3)2=R2, отсюда 4+9=R2, т.е. R2=13.

Окончательно, искомое уравнение имеет вид: x2+(y-3)2=13.

20. Пирожные разложили по трем коробкам. Количество всех пирожных больше 25, но меньше 45. Количество пирожных в каждой коробке выражается простым числом. Причем, в одной коробке на 2 пирожных больше, а в другой на 6 пирожных больше, чем в коробке с наименьшим количеством пирожных. Сколько пирожных во всех коробках?

 Простым называют число, которое делится только на единицу и на само себя. Мы все же привыкли к задачам с переменной, поэтому, обозначим наименьшее количество пирожных в первой, например, коробке через х. Тогда в другой коробке будет (х+2) пирожных, а в третьей (х+6) пирожных.

Во всех трех коробках будет х+(х+2)+(х+6) или (3х+8) пирожных. По условию это число больше 25, но меньше 45. Запишем двойное неравенство:

25<3x+8<45; вычитаем из всех частей неравенства число 8.

17<3x<37. Помним, что х — простое число. Подбирайте х.

Если х=7, то 17<21<37, но  х+2=9 — не простое число. Вывод: не подойдет.

Если х=11, то 17<33<37 и х+2=13 — простое число, х+6=17 — простое число. Вывод: подходит. Общее количество пирожных составит: 11+13+17=41.

21. Цинк составляет 70% сплава, остальное олово. Цинка в сплаве на 220 грамм больше, чем олова. Найти массу сплава.

Пусть масса сплава х граммов. Тогда цинка в сплаве 70% от х или 0,7х. Остальное — олово. Значит, олова х-0,7х=0,3х граммов. Зная, что цинка в сплаве на 220 грамм больше, составим уравнение: 0,7х-0,3х=220. Отсюда 0,4х=220. Находим х=220:0,4=2200:4=550. Ответ: масса сплава 550 г.

23. Решить систему неравенств:

ent17-23

24. Высота правильного тетраэдра равна 6. Вычислите полную поверхность тетраэдра. Тетраэдром называют правильную треугольную пирамиду, все ребра которой равны между собой. Нам дан тетраэдр МАВС, высота которого МО=6.

0016-24

25. В коробку вмещается 40 больших кубиков или 65 маленьких кубиков. Если в эту коробку положить 24 больших кубика, то сколько маленьких кубиков еще поместится в коробку?

Так как  40 больших кубиков занимают столько же места, сколько 65 маленьких, то 8 больших кубиков (40:5=8) займут столько же места, сколько 13 маленьких кубиков (65:5=13). Соответственно, 24 больших кубика (24=8·3) займут столько же места, сколько  13·3=39 маленьких кубиков, следовательно, раз в коробку вмещается 65 кубиков, то еще поместятся 65-39=26 маленьких кубиков.

Желаю успехов в подготовке к ЕНТ!

ЕНТ-2014, вариант 0015

По вашим просьбам!

4. Найти наибольшее целое решение неравенства:

0015-4

Умножим обе части неравенства на 15 — наименьший общий знаменатель данных дробей. Получаем равносильное неравенство:

3·(x-2)-5·(2x+3)>15. Раскрываем скобки: 3x-6-10x-15>15 и упрощаем:

3x-10x>15+6+15. Получаем -7x>36. Делим обе части неравенство на отрицательный коэффициент при х, поэтому знак неравенства меняем на противоположный:

x<-36/7. Выделим целую часть и покажем решения неравенства на числовой прямой.

0015-4-1

Наибольшее целое число из заштрихованного промежутка — это число -6.

5. Определите верное решение неравенства: log2(x-4)≤3.

Представим число 3 в виде логарифма с основанием 2.

log2(x-4)≤ log223 ; отсюда  log2(x-4)≤log28. Так как логарифмическая функция по основанию 2 является возрастающей на множестве всех положительных чисел, то последнее неравенство будет выполняться при условии, что х-4≤8, но в то же время: х-4>0. Из первого условия следует: х≤12, а из второго, что х>4. Общим будет значение х∈(4; 12].

7. Укажите функцию, график которой изображен на рисунке.

На рисунке мы видим параболу, которую можно задать уравнением вида: y=a(x-m)2+n, где (m; n) — координаты вершины параболы. На рисунке вершина параболы — точка (2; 1). Следовательно, m=2; n=1. А что по поводу значения коэффициента а? Смотрим на ответы: везде коэффициент перед скобкой равен единице. Ну и прекрасно — меньше забот! Получили формулу: y=(x-2)2+1.

11. Длина прямоугольного участка 120 м, а ширина составляет 75% длины. Вспахано 35% этого участка, тогда не вспахано:

По условию ширина составляет 75% от 120 метров — длины участка. Это 3/4 от длины, т.е. 120:4·3=90 метров. Площадь прямоугольного участка равна произведению длины участка на его ширину, значит, составляет 120 м·90 м= 10800 м2. Вспахано 35%, следовательно не вспахано 100%-35%=65%. Нам осталось найти 65% от 10800. Обращаем проценты в десятичную дробь: 65%=0,65 и умножаем эту дробь на 10800.

0,65·10800=7020. Отвечаем на вопрос задачи: не вспахано 7020 м2.

12. Решите уравнение:

0015-12

К правой части равенства применим основное логарифмическое тождество:

0015-12-1

Мы получили равные степени по основанию 2, следовательно, и показатели этих степеней будут равны. Получается квадратное уравнение: x2+x=2 или  x2+x-2=0. По теореме Виета подбираем корни: x1=-2; x2=1.

14. Решите уравнение: sin2x-cos2x=cos(x/2).

По формуле косинуса двойного угла: cos2α=cos2α-sin2α, тогда данное равенство преобразуется к виду:

-cos2х=cos(x/2) ⇒ -cos2х-cos(x/2)=0  ⇒ cos2х+cos(x/2)=0. Сумму косинусов преобразуем в произведение, используя формулу:

0015-14

17. Найдите сумму ординат точек экстремума функции f(x)=x3/(x2-3).

Вы, конечно, знаете, что экстремумы — это минимумы и максимумы функции, возможные только в критических точках. Классическое решение этого задания: 1) найти производную данной функции; 2) найти критические точки и отметить их на числовой прямой; 3) определить знаки производной на промежутках, определенных критическими точками; 4) выяснить, какие из критических точек являются точками минимума и какие точками максимума; 5) найти значения самой функции в этих точках минимума и максимума — это и будут ординаты точек экстремума; 6) сложить эти значения ординат. Но в этом конкретном задании все гораздо проще! Функция нам дана нечетная, т.е. для всех возможных значений х выполняется равенство: f(-x)=f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Что это значит, и чем это нам поможет? Рассуждаем: если эта функция имеет максимум в точке с абсциссой а, то в симметричной ей точке с абсциссой (-а) она будет иметь минимум. Опять же значения функции в этих точках а и также будут являться противоположными числами. А чему равна сумма противоположных чисел? Правильно: нулю. Вывод: если вам нужно найти сумму ординат точек экстремума нечетной функции, то ответ: 0.

21. Найдите сумму корней уравнения: x-2-16x-1-80=0.

Сделаем замену: x-1=y. Получим уравнение: y2-16y-80=0. Находим корни: y1=-4 и y2=20.

Тогда  x-1=-4  или   x-1=20.

0015-21

22. Решить систему неравенств:

0015-22

В одной системе координат построим графики функций y=sinx, y=cosx и y= 1/6. Определим промежуток значений х, при которых график синуса лежит выше, а график косинуса ниже прямой y= 1/6.

0015-22-1

24. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если А(5; 4), В(0; 3), С(4; 7), D(9; 8).

Площадь параллелограмма найдем по формуле: S=absinA, где a=АD и b=AB — стороны параллелограмма, А — угол между этими сторонами. Используем векторы: найдем координаты и модули векторов, выражающих стороны АD и AB параллелограмма, косинус угла между этими векторами. Затем найдем синус этого угла, и в формулу площади параллелограмма подставим все нужные значения.

0015-24

25. Электронные часы показывают время в часах и минутах (от 00:00 до 23:59). Сколько раз за сутки можно увидеть на табло 4 цифры 2, 0, 1, 9 (в любом порядке). Так как нет, например 91 минуты или 29 часов, то комбинаторика нам не поможет. Просто будем перечислять все возможные в реальности показания времени.

1) 01:29; 2) 02:19; 3) 09:12; 4) 09:21; 5) 10:29; 6) 12:09; 7) 19:02; 8) 19:20; 9) 20:19; 10) 21:09. Других значений из этих 4-х цифр быть не может.

Друзья, повторяйте формулы. Желаю успехов!

ЕНТ-2014, вариант 0014

По вашим просьбам!

6. Вычислите значение выражения: sin930°.

Зная, что наименьший положительный период синуса равен 2π (или 360°), преобразуем данное выражение:

sin930° = sin(360° ∙ 2 + 210°) = sin210°. Заменим 210° на сумму (180°+30°) и применим формулу приведения: sin(180°+α)=-sinα. 

Получаем: sin210°= sin(180°+30°)=-sin30° = -1/2.

10. Найдите значение выражения х+у, где (х; у) — решение системы в целых числах:

0014-10

Из второго уравнения выразим х и подставим это значение в первое уравнение системы. Решим полученное уравнение с переменной у. Это уравнение — квадратное, имеет два решения у — дробное и целое. Берем целое, подставляем его вместо у во второе уравнение данной системы и получаем тоже целое решение для х. Вот как это запишется:

0014-10-1

11. Имеется 50 г раствора, содержащего 8% соли. Надо получить 5%-й раствор. Масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору, равна:

х г — отвечаем мы на вопрос задачи. В 50 г раствора содержалось  8% от 50 г или 0,08·50=4 грамма соли. В новом 5%-ном растворе массой (50+х) г содержится 0,05·(50+х) граммов соли. Но так как при добавлении пресной воды соли не прибавилось и не убавилось, то получаем равенство: 0,05·(50+х)=4. Делим обе части на 0,05.

50+х=4:0,05  ⇒ 50+х=400:5 ⇒ 50+х=80 ⇒ х=30. Нужно добавить 30 г пресной воды.

12. Решить уравнение:

0014-12

13. Решите уравнение:

0014-13

Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу: (a+b)2=a2+2ab+b2 .

0014-13-2

14. Решить уравнение: cos22x=1.

Понизим степень косинуса, применив формулу: 1+cos2α=2cos2α.

Для удобства умножим обе части данного равенства на 2.

2cos22x=2  ⇒ 1+cos4x=2 ⇒ cos4x=1.

Применим частную формулу для решения простейшего уравнения cost=1.

Отсюда t=2πn, nZ. В нашем примере 4х=2πn ⇒ х= πn/2, где n∈Z.

15. Найдите пятый член геометрической прогрессии, в которой b3+b4=36, b2+b3=18.

Используем формулу общего члена геометрической прогрессии:  bn=b1∙qn-1 .

Тогда b2=b1∙q; b3=b1∙q2; b4=b1∙q3. Получаем равенства:

b1∙q2+b1∙q3=36 и b1∙q+b1∙q2=18. В каждом равенстве вынесем за скобки общий множитель:

b1∙q2(1+q)=36 и b1∙q(1+q)=18. Разделим первое равенство на второе. Получим:

q=2. Подставим это значение в любое из уравнений, например, во второе и найдем b1.

b1∙2(1+2)=18 ⇒ b1∙6=18 ⇒ b1=3. Тогда b5=b1∙q4=3∙24=3∙16=48.

16. Найдите  f ‘(x), если f(x)=ln(tgx).

0014-16

17. Требуется узнать, в какой момент времени остановится материальная точка, движущаяся прямолинейно по закону:

0014-17-

В тот момент времени, когда точка остановится, ее скорость станет равной нулю. А скорость движения материальной точки есть производная ее пути по времени, т.е. v(t)=S’(t). Упростим данную функцию, затем найдем ее производную и приравняем к нулю. Из получившегося уравнения найдем значение t.

0014-17-1

18. Найдите множество первообразных для функции:

0014-18

0014-18-1

20. Найдите значение выражения: (36,27(3)-6,2(3)):0,2. Этот пример был и в прошлом году. Решение смотрите здесь.

Желаю успехов в учебе!

ЕНТ-2014, вариант 0013

По вашим просьбам!

7. Укажите функцию, которая определена на всей числовой прямой.

Из предложенных ответов выбираем ту функцию, которая существует всегда, т.е. можно вместо х подставить любое число, и выражение в правой части равенства не потеряет смысла. Этому условию удовлетворяет только функция А) — можно брать любое число из промежутка (-∞; +∞), и выражение (3х2+4) всегда будет иметь смысл.

Все остальные ответы не подойдут. Смотрите сами: в ответе В) нельзя брать отрицательные числа — корень не извлечешь; в ответе С) нельзя брать х=-5 — знаменатель обратится в нуль, а на нуль делить нельзя; в ответе D) не подойдет х=0 — тоже знаменатель обратится в нуль; в ответе Е) нельзя брать отрицательные числа, так как под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

8. Одна сторона прямоугольника на 42% больше другой. Площадь прямоугольника 568 см2. Найдите меньшую из сторон. Если в процентах, то меньшая из сторон составляет 100%, а большая 142%. Обозначим меньшую из сторон через х. Тогда большая 1,42х. (Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь, а затем умножить эту дробь на данное число. Так 142%=1,42 и умножая 1,42 на х мы получили 1,42х.) Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину: S=ab. Получаем равенство:

568=х·1,42х ⇒ 1,42х2=568 ⇒х2=56800:142⇒ х2=400⇒х=20 см — меньшая сторона прямоугольника.

10. Найти число (-13х+2)2+х, где х — корень уравнения (7х-5)/(х-1)=2.

Умножаем обе части равенства на (х-1), учитывая, что х≠1. Получаем:

7х-5=2(х-1) ⇒ 7х-5=2х-2 ⇒ 7х-2х=-2+5 ⇒ 5х=3 ⇒ х=3:5=0,6. Теперь значение х=0,6 подставим в выражение (-13х+2)2+х. Получаем: (-13·0,6+2)2+0,6=(-7,8+2)2+0,6=(-5,8)2+0,6=33,64+0,6=34,24.

11. Длина прямоугольника 40 дм, площадь 200 дм2. Сколько процентов составляет ширина от длины?

Найдем ширину прямоугольника. Так как площадь прямоугольника S=ab, где a — длина, b — ширина, то ширина  b=S:a=200:40=5 (дм). Требуется найти, сколько процентов составляет ширина от длины, т.е. сколько процентов составляет число 5 от числа 40. Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого нужно первое число разделить на другое и результат умножить на 100%. Выполняем действия: (5:40)·100%=0,125·100%=12,5%.

15. Задана функция f(x) = (x2 – x) cos2x. Найдите f ‘(0).

Применим правило дифференцирования произведения: (u v)’ = u’ v + u v’  и формулы: 1) x’ = 1; 2) (xn)’ = nxn-1; 3) (cosx)’ = -sinx. Заметим, что функция cos2x – сложная.

Определяем ее одним словом – это степень. Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции найдем производную от степени и домножим ее на производную основания этой степени по формуле:

(un)’ = nun-1 u’.

Решение. f ‘(x) = (x2 – x)’ cos2x + (x2 – x) (cos2x)’ =

= (2x -1) cos2x + (x2 – x) 2cosx (-sinx)= (2x -1) cos2x – (x2 – x) sin2x.

Находим f ‘(0) = (0 – 1) cos20 – 0 = -1 1 = -1.

16. Из предложенных ответов выбери наибольшее и наименьшее значения для функции

0013-16

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a; b], нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, который принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

0013-16-1

Итак, мы нашли всего два значения: 0 и 9.  Из них и выбираем: max=9, min=0.

17. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x2+x+6 и осью Ох.

0013-17-

Смотрите видео решение задания 17.  Чтобы видимость была четче — установите знак шестеренки на отметке 360.

21. Какое целое число заключено между числами

0013-21

22. Решите уравнение:

0013-22

Возведем обе части равенства в четвертую степень, чтобы избавиться от радикала.

xlgx+7 = (10lgx+1)4 ⇒ xlgx+7 = 104lgx+4. Заметили, что переменная находится и в основании и в показателе степени? Такие уравнения называются показательно-логарифмическими. Для решения показательно-логарифмических уравнений данного вида логарифмируют обе части равенства по любому основанию. Так как у нас имеется десятичный логарифм, то прологарифмируем последнее равенство по основанию 10. Как это сделать? Просто перед левой и правой частью уравнения xlgx+7 = 104lgx+4  припишем знак десятичного логарифма lg.

lgxlgx+7 = lg104lgx+4. По свойству логарифма степени получаем:

(lgx+7)∙lgx = (4lgx+4)∙lg10 ⇒ (lgx+7)∙lgx = (4lgx+4)∙1. Раскроем скобки и упростим равенство, приравняв все к нулю.

lg2x+7lgx=4lgx+4 ⇒ lg2x+7lgx-4lgx-4=0 ⇒ lg2x+3lgx-4=0. Сделаем замену:

lgx=y ⇒  y2+3y-4=0. Находим корни квадратного уравнения: y1=-4, y2=1. Тогда, если lgx=-4, то  x=10-4, если lgx=1, то x=10.

23. Решите уравнение: sinx+sin5x+cosx+cos5x=0.

Сумму синусов представим в виде удвоенного произведения синуса полусуммы на косинус полуразности, а сумму косинусов — в виде удвоенного произведения косинуса полусуммы на косинус полуразности углов х и . Получаем:

2sin3xcos2x+2cos3xcos2x=0  ⇒  2cos2x(sin3x+cos3x)=0. Отсюда следует, что или cos2x=0 или sin3x+cos3x=0. Решим каждое из уравнений.

1) cos2x=0 ⇒ 2x=π/2+πk  ⇒ x=π/4+πk/2, k∈Z.

2) sin3x+cos3x=0 ⇒ sin3x=-cos3x. Разделим обе части равенства на cos3x≠0, получим:

tg3x=-1 ⇒ 3x=-π/4+πn ⇒ x=-π/12+πn/3, n∈Z.

Для решения простейших тригонометрических уравнений применили формулы:

1) cost=0 ⇒ t=π/2+πk, k∈Z. 2) tgt=-a ⇒ t=-arctga+πn, n∈Z. 3) tg(π/4)=1.

24 Высота конуса равна √3 см, образующая равна 2 см. Найдите радиус описанного шара.

0013-24

25. В 2008 году в феврале было 29 дней. Известно, что такое явление бывает один раз в 4 года (високосный год). Найдите количество високосных годов с 2001 года по 2065 год. Год будет високосным, если двузначное число, записанное двумя последними цифрами в записи года делится на 4.

Первый високосный год в заданном промежутке с 2001 года по 2065 год случился в 2004 году, а последний был в 2064 году. На языке математики нас просят найти число членов арифметической прогрессии: 2004, 2008, 2012,…, 2064. Первый член прогрессии a1=2004, знаменатель d=4, n-й член an=2064. По формуле n-го члена арифметической прогрессии an= a1+(n-1)d, подставив данные получаем:

2064=2004+(n-1)·4  ⇒ (n-1)·4 = 2064-2004 ⇒ (n-1)·4 =60 ⇒ n-1 = 15, отсюда n=16. Следовательно, количество високосных годов равно 16.

Желаю вам успешной подготовки к ЕНТ.

ЕНТ-2014, вариант 0012

По вашим просьбам!

2. При сушке свежие грибы теряют 96% веса. Сколько свежих грибов нужно засушить, чтобы получилось 5 кг сушеных грибов? Из условия следует, что 5 кг составляют 100%-96%=4% первоначального веса. Первоначальный вес 100% больше, чем 4 % в 25 раз, следовательно, нужно и 5 кг умножить на 25 и получится 125 кг свежих грибов нужно было засушить. Можно было решать пропорцией, записав:

5 кг   —  4%

х кг   —  100%  ⇒  х=(5·100):4=125 (кг).

12. Решите уравнение: 1+cosx=sinx+sinx·cosx. Перенесем члены из правой части в левую и сгруппируем слагаемые:

(1+cosx)-(sinx+sinx·cosx)=0;

(1+cosx)-sinx(1+cosx)=0;

(1+cosx)(1-sinx)=0 ⇒ 1+cosx=0 или 1-sinx=0. Решаем каждое уравнение отдельно.

1) 1+cosx=0  ⇒ cosx=-1  ⇒ х=π+2πn, n∈Z.

2) 1-sinx=0 ⇒ sinx=1 ⇒ x=π/2+2πk, k∈Z.

14. Найдите значение производной f’(x) при

0012-14

16. Вычислить интеграл:

0012-16

17. В параллелограмме ABCD проведен отрезок СК из вершины острого угла С так, что отсекает на большей стороне ВА отрезок, равный меньшей стороне ВС и образует угол КСD, равный 20°. Найдите углы параллелограмма.

0012-17ΔВСК — равнобедренный по построению — по условию ВК=ВС, следовательно,  углы при основании этого равнобедренного треугольника будут равны, т.е. ∠СКВ=∠ВСК=20°. Далее, ∠КСD=∠СКВ=20°, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей СК. Получается, что ∠КСD=∠ВСК, т.е. СК — биссектриса угла С, ∠С=40°, ∠В=180°-40°=140°. Углы параллелограмма, прилежащие к одной его стороне в сумме составляют 180°.

18. К двум, касающимся друг друга окружностям, проведена касательная, с расстоянием между точками касания 4 корень из 5 см. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 4 см. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

0012-18

19. Даны векторы:

0012-19

20. Исключите иррациональность в знаменателе дроби:

0012-20

Приведем дроби к общему знаменателю и упростим получившееся выражение.

0012-20-1

21. Выполнить действия:

0012-21

22. Решите уравнение:

0012-22

24. Апофема правильной треугольной пирамиды равна m и образует с плоскостью основания угол α. Найти объем пирамиды.

0012-24

25. В ящике 10 красных шаров и 10 белых. Сколько шаров надо вынуть из ящика наугад, чтобы среди них были два шара одного цвета?

Заметим, что вероятности вынуть красный шар и белый шар, равны, так как равны количества этих шаров в ящике. Вытащим два шара. Какими они могут быть? 1) красный и красный; 2) красный и белый; 3) белый и белый. Достаем третий шар и в любом случае получаем два шара из трех одного цвета (а может и все три). Ответ: 3 шара надо вынуть, чтобы среди них были два шара одного цвета.

Удачи, успехов!  

ЕНТ-2014, вариант 0011

По вашим просьбам!

7. Найдите наименьший положительный период функции: y=2cos(0,2x+1).

Применим правило: если функция f периодическая и имеет период Т, то функция y=Af(kx+b) где A, k и  b постоянны, а  k≠0, также периодическая, причем, ее период To = T : |k|. У нас Т=2π — это наименьший положительный период функции косинуса, k=0,2. Находим To = 2π:0,2=20π:2=10π.

9. Расстояние от точки, равноудаленной от вершин квадрата, до его плоскости, равно 9 дм. Найдите расстояние от этой точки до сторон квадрата, если сторона квадрата равна 8 дм.

0011-9

10. Решите уравнение: 10=|5x+5x2|.

Так как |10|=10 и |-10|=10, то возможны 2 случая: 1) 5x2+5x=10  и 2) 5x2+5x=-10. Разделим каждое из равенств на 5 и решим  полученные квадратные уравнения:

1) x2+x-2=0, корни по теореме Виета x1=-2, x2=1. 2) x2+x+2=0. Дискриминант отрицателен — корней нет.

11. Решите уравнение:

0011-11

К правой части равенства применяем основное логарифмическое тождество:

0011-11-1

Получаем равенство:

0011-11-2

Решаем квадратное уравнение x2-3x-4=0 и находим корни: x1=-1, x2=4.

13. Решить уравнение и найти сумму его корней на указанном промежутке.

0011-13

22. Решить неравенство:

0011-22-

Тогда неравенство примет вид: tgt < 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.

0011-22-1

24. Прямая y=ax+b перпендикулярна прямой у=2х+3 и проходит через точку С(4; 5). Составьте ее уравнение. Прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2 взаимно перпендикулярны, если выполнено условие  k1∙k2=-1. Отсюда следует, что а·2=-1. Искомая прямая будет иметь вид: у=(-1/2)·х+b. Значение b мы найдем, если в уравнение нашей прямой вместо х и у подставим координаты точки С.

5=(-1/2)·4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Тогда получим уравнение: у=(-1/2)х+7.

25. Четверо рыбаков А, В, С и D хвастались своим уловом:

1. D поймал больше С;

2. Сумма улова А и В равна сумме улова С и D;

3. А и D вместе поймали меньше, чем В и С вместе. Запишите улов рыбаков в убывающем порядке.

Имеем: 1) D>C; 2) A+B=C+D; 3) A+D<B+C. Выразим А из 2-го равенства: А=С+D-B и подставим в 3-е. Получим С+D-B+D<B+C ⇒2D<2B ⇒ D<B. Выразим В из 2-го равенства и также подставим в 3-е. B=C+D-A. Тогда A+D<C+D-A+C⇒2A<2C ⇒A<C. Итак, A<C<D<B, поэтому, по убыванию улов рыбаков запишется так: B, D, C, A.

ЕНТ-2014, вариант 0010

По вашим просьбам!

3. Найти множество значений функции:

0010-3

8. Укажите функцию, график которой изображен на рисунке. Прямая задается уравнением вида: y=kx+b, где b — ордината точки пересечения прямой с осью Оу, следовательно, b=-3. Уравнение принимает вид: y=kx-3.Чтобы найти угловой коэффициент k — подставим в последнее равенство координаты точки графика (-3; 0). Получаем: 0=k·(-3)-3, отсюда 3k=-3, k=-1. Искомое уравнение: у=-х-3.

12. Найдите произведение корней уравнения:

0010-12

15. Прямая у=х-2 касается графика функции y=f(x) в точке x0=-1. Найдите f(-1).

Точка касания принадлежит и касательной у=х-2, и графику функции y=f(x). Абсцисса точки касания равна -1, а ординату найдем, подставив значение х=-1 в уравнение касательной.

у=-1-2 и получаем у=-3.

16. Найдите угол между касательной к графику функции y=sin2x+cos2x в точке (0; 0) и осью Ох.

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в точке xo

равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой xo . Поэтому запишем равенство:

tgα=f’(xo). Найдем производную данной функции: y’=2cos2x-2sin2x.

f’(xo)=2cos0-2sin0=2. Следовательно, tgα=2, отсюда α=arctg2.

17. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его стороны равны 16 см, 17 см, 17 см. Делаем вывод, что основанием равнобедренного треугольника является сторона, равная 16 см. Найдем высоту, проведенную к этой стороне, а затем и искомую площадь треугольника.

0010-17

18. Найдите периметр треугольника, если две его стороны равны 6 и 3 корня из двух, а угол между ними равен 45°.

0010-18

23. При каких а верно неравенство:

0010-23

25. В коробке лежат 4 цветных карандаша и 10 простых. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее трех простых?

Так как мы  можем взять подряд 4 карандаша, и все они могут оказаться цветными, то нужно взять еще 3 карандаша, которые, уж наверняка, окажутся простыми. Следовательно, всего придется взять 7 карандашей, чтобы среди них оказалось не менее трех простых карандашей.

Успешной вам подготовки, друзья!

ЕНТ-2014, вариант 0009

По вашим просьбам!

8. Найдите наименьшее целое число, входящее в область определения функции:

0009-8

11. Два экскаватора, работая одновременно, вырыли котлован за 24 дня. Первый экскаватор, работая один, мог бы выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее, чем второй. За сколько дней первый экскаватор мог выполнить эту работу? Задачи на работу решаются так же, как задачи на движение. Так же составляется таблица, в которой три графы: скорость (выполнения работы), время и весь объем работ (эквивалент графы расстояние в задачах на движение). Обозначим всю работу за единицу и ответим на вопрос задачи: первый экскаватор может выполнить эту работу за х дней. Дальнейшие рассуждения удобно показать в таблице.

0009-11

12. Найдите (х12 + х22), где х1 и х2 – корни уравнения: log0,25(x2 – 3x) = -1.

По определению логарифма: x2 – 3x = 0,25-1 ⇒ x2 – 3x =4 или x2 – 3x – 4 = 0.

Корни: x1 =-1, x2 = 4. Тогда  х12 + х22 = (-1)2 + 42 = 1 + 16 = 17.

13. Найти значение выражения (xo+yo), где (xo; yo) — решение системы уравнений:

0009-13

В первом уравнении разложим (х-у) на множители как разность квадратов по формуле a2-b2=(a-b)(a+b), а затем разделим первое уравнение на второе. Полученную более простую систему уравнений решим способом сложения.

0009-13-1

Находим сумму xo+yo = 49+9=58.

14. Решите уравнение: sinx∙sin7x=sin3x∙sin5x. Используем формулу:

0009-14

18. Касательная к окружности удалена от концов диаметра на расстоянии 3 см и 15 см. Найдите площадь круга.

0009-18Нам дан круг с центром в точке О и радиусом ОА. Прямая DC касается окружности в точке К. Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной. ОК – является радиусом окружности. Отрезки АD, OK и BC перпендикулярны касательной DC. По условию АD=3 см, BC=15 см. ОК – средняя линия трапеции АВСD, OK=(AD+BC):2=(3+15):2=9 (см). Мы нашли радиус круга R=OK=9 см. Площадь круга найдем по формуле: S=πR2.

S=π∙92 ⇒ S=81π см2.

0009-19Из прямоугольного треугольника СВD катет ВС=ВD∙tg60°. DC – наклонная к плоскости АВС, ВС – проекция этой наклонной. По условию АС перпендикуляр к DC (∠ACD=90°), тогда на основании ТТП (теоремы о трех перпендикулярах) АС будет перпендикулярно ВС, т.е. треугольник АВС – прямоугольный, и в задаче требуется найти его гипотенузу АВ. По теореме Пифагора: АВ2=АС2+ВС2.

20. 12 портных при пошиве школьной формы израсходовали 460,8 метров ткани, выполнив задание на 320%. На сколько метров ткани больше израсходовала каждая портниха. Предполагается, что все они израсходовали одинаковое количество лишних метров с точностью до 1 см, что не факт! Обозначим плановое количество ткани через х метров. Это соответствует 100 процентам, а израсходованные 460,8 метров соответствуют 320 процентам. Записываем обычно так:

0009-20

Рассуждаем: нужно было израсходовать 144 метра, а израсходовали 460,8 метров. Перерасход составляет 460,8-144=316,8 метров на 12 портных. Следовательно, перерасход каждой портнихи составил 316,8:12=26,4 метров.

22. Решить тригонометрическое неравенство:

0009-22-1

Но можно (после упрощений) решать и графическим способом.

0009-22

23. Вычислите интеграл:

0009-23

24. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки (6; 0) и (0; 8).

0009-24Изобразите эту окружность в прямоугольной системе координат, и вы поймете, что она проходит через вершины прямоугольного треугольника АОВ. Следовательно, центр окружности – середина гипотенузы АВ. У нас катеты 6 и 8, значит, гипотенуза равна 10 (можете воспользоваться теоремой Пифагора), отсюда радиус окружности АС=5.

Координаты точки С(3; 4), так как перпендикуляры из этой точки, проведенные к осям являются средними линиями треугольника и равны  половинам противолежащих катетов. Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид:

 (x-a)2+(y-b)2=R2. Подставляем полученные данные:

(х-3)2+(у-4)2=52 или (х-3)2+(у-4)2=25.

Успехов вам! 

Страница 2 из 712345...Последняя »
Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: a@tayak.ru Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
Наверх