тест-обучение

Обучающие тесты по математике

Г8.01.1. Срез знаний по геометрии на начало 8 класса.

Геометрия. 8 класс.      Тест 1. Вариант 1.

1. При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов равен 58°. Найти остальные углы.

А) 48°, 122°, 122°; B) 58°, 132°, 132°; C) 58°, 142°, 142°; D) 58°, 122°, 122°;  E) 58°, 58°, 122°.

2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 102°. Найти углы при основании этого треугольника.

A)  78°, 39°; B)  78°, 78°; C)  29°, 29°; D)  49°, 49°; E)  39°, 39°.

3. В ΔАВС  ∠А=43°, ∠В=77°. Найти внешний угол при вершине С.

A) 120°; B) 137°; C) 60°; D) 70°; E) 103°.

4. Если при пересечении прямых a и b третьей прямой с выполняется одно из трех условий: 1) внутренние накрест лежащие углы равны; 2) соответственные углы равны; 3) сумма внутренних односторонних углов составляет 180°, то это означает, что …

A)  a || c; B)  b || c; C)  a || b; D)  a || b || c; E)  a ∩ b.

5. Медиана равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 4 см. Найти гипотенузу.

A) 4 см; B) 6 см; C) 2 см; D) 10 см; E) 8 см.

6. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из его вершины, имеет длину 6 см. Найдите боковую сторону, если угол при вершине равен 120°.

A) 10 см; B) 6 см; C) 8 см; D) 12 см; E) 18 см.

7. Выберите верное высказывание. Два треугольника равны по: 1) двум сторонам; 2) двум углам; 3) стороне и двум прилежащим к ней углам; 4) стороне и прилежащему к ней углу; 5) двум сторонам и углу, заключенному между ними; 6) трем сторонам; 7) трем углам.

A) 5) и 6); B) 3), 5) и 6); C) 2), 5) и 7); D) 3), 4) и 6); E) все высказывания верны.

8. Требуется построить треугольник по трем сторонам: 1) 1 см, 2 см и 3 см; 2) 3 см, 4 см и 5 см; 3) 8 см, 15 см и 17 см; 4) 6 см, 8 см и 15 см; 5) 5 см, 8 см и 10 см. В каких случаях это невозможно выполнить?

A) 1); B) 1) и 4); C) 4); D) 1), 2)  и 4); E) 1), 4) и 5).

9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

A) 4 см; B) 12 см; C) 6 см; D) 10 см; E) 8 см.

 10. Выберите правильный ответ. Центр окружности, вписанной в любой треугольник, является точкой пересечения: 1) медиан треугольника; 2) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; 3) высот треугольника; 4) биссектрис углов треугольника; 5) биссектрисы и медианы, проведенным  к любой стороне треугольника.

A) 1); B) 5); C) 3); D) 2); E) 4).

11. Радиус окружности равен 4,5 см. Найти длину окружности.

A) 4,5π см; B) 12π см; C) 18π см; D) 45π см; E) 9π см.

12. Диаметр круга равен 10 см. Найти площадь круга.

A) 25π см2; B) 25 см2; C) 10π см2; D) 5π см2; E) 100π см2.

Сверить ответы!

 

Ответы к тестам по геометрии для 7 класса

Тест Г7.1.1. Нулевой срез знаний по геометрии. DECEABEDAEDC

Вернуться к тесту Г7.1.1.

Тест Г7.2.1. Начальные геометрические сведения. BCAEADDECBCA

Вернуться к тесту Г7.2.1.

Тест Г7.3.1. Первый признак равенства треугольников. ECAABDEDBACC

Вернуться к тесту Г7.3.1.

 

 

Ответы к тестам по алгебре для 11 класса

Тест 11.1.1. Повторение темы «Производная и ее применения».  EACBACAEECAE

Вернуться к тесту 11.1.1.

Тест 11.2.1. Первообразная. CECADABBCEDB

Вернуться к тесту 11.2.1.

Тест 11.3.1. Интеграл. ECABADBCEABC

Вернуться к тесту 11.3.1.

Тест 11.4.1. Площадь криволинейной трапеции. DEACBECDDEAB

Вернуться к тесту 11.4.1.

 

 

Ответы к тестам по алгебре для 10 класса

Тест 10.01.1. Повторение тригонометрии в 9 классе. DBACCEDCAEAD

Вернуться к тесту 10.01.1.

Тест 10.02.1. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. BECEEAABDBCD

Вернуться к тесту 10.02.1.

Тест 10.03.1. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. ACDACEEDBEAA

Вернуться к тесту 10.03.1.

Тест 10.05.1. Обратные тригонометрические функции. AEDECBBEDACA

Вернуться к тесту 10.05.1.

Тест 10.06.1. Решение простейших тригонометрических уравнений. BECDBACDEACB

Вернуться к тесту 10.06.1.

Тест 10.07.1. Решение простейших тригонометрических уравнений. Частные случаи. BABEEEDBADBE

Вернуться к тесту 10.07.1.

 

Ответы к тестам по алгебре для 9 класса.

Тест 9.1.1. Повторение алгебры за 8 класс. BABCDBBADACA

Вернуться к тесту 9.1.1.

Тест 9.2.1. Уравнения, неравенства и их системы. ACBDEEACCBEA

Вернуться к тесту 9.2.1.

Тест 9.3.1. Числовая последовательность и способы ее задания. BAADECDBEACD

Вернуться к тесту 9.3.1.

Тест 9.4.1. Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии. EDABCCBBEACA

Вернуться к тесту 9.4.1.

Тест 9.5.1. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. BCADEEACBBDA

Вернуться к тесту 9.5.1.

Тест 9.6.1. Свойства арифметической прогрессии. ECAABDCABCCE

Вернуться к тесту 9.6.1.

Тест 9.7.1. Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Свойства геометрической прогрессии. ADBCBDCCAEEE

Вернуться к тесту 9.7.1.

Тест 9.8.1. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. ECBAAEDDBCAB

Вернуться к тесту 9.8.1.

 

 

 

 

 

 

 

Ответы к тестам по алгебре для 8 класса

Тест 8.01.1. Множества чисел. BDBCCAEACBDE

Вернуться к тесту 8.01.1.

Тест 8.02.1. Арифметический квадратный корень и его свойства. BCABDECEAAAD

Вернуться к тесту 8.02.1.

Тест 8.03.1. Функция арифметического квадратного корня из икс, ее свойства и график. DACDECEABCDE

Вернуться к тесту 8.03.1.

Тест 8.05.1. Неполные квадратные уравнения. ACDECBBADEEC

Вернуться к тесту 8.05.1.

Тест 8.06.1. Решение квадратных уравнений по общей формуле. ECDBABEDCDCE

Вернуться к тесту 8.06.1.

Тест 8.07.1. Решение квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом. BAEECAACDEAC

Вернуться к тесту 8.07.1.

Тест 8.08.1. Частные случаи решения полных квадратных уравнений. Метод коэффициентов. DACEABCEDACB

Вернуться к тесту 8.08.1.

Тест 8.09.1. Решение приведённых квадратных уравнений по теореме Виета. AEEDBCDAECDD

Вернуться к тесту 8.09.1.

 

 

 

 

ЕНТ-2013, вариант 0020.

testovik-ent-2013-20Дорогие друзья! Я очень надеюсь, что смогла вам помочь разобраться в решении отдельных заданий (разумеется, в основном, вы с этими заданиями отлично справляетесь и сами!). Вы учились целых 11 лет, и вы подтвердите свои знания на экзаменах! Иначе и быть не может, не должно! Я желаю вам успешной сдачи ЕНТ, пусть вам «попадется» легкий вариант. Буду рада, если вы оставите свои комментарии на страницах моего сайта.

Андрющенко Татьяна Яковлевна.

1. Исключите иррациональность в знаменателе:

ent20-1

2. Решите уравнение:

ent20-2

3. Найти решение неравенства: 2x2+x-3<0. Решать можно как с помощью графика, так и методом интервалов. Вспомним оба способа.

а) Находим нули функции у=2x2+x-3, т.е. решаем квадратное уравнение 2x2+x-3=0. Применим метод коэффициентов, так как выполнено условие a+b+c=0 (2+1-3=0). Согласно методу коэффициентов x1=1; x2=c/a=-3/2=-1,5. Ветви параболы, пересекающей ось Ох в точках (-1,5; 0) и (1; 0) направлены вверх, значит, функция у=2x2+x-3 примет отрицательные значения в промежутке (-1,5; 1).

б) Тоже надо найти корни квадратного уравнения 2x2+x-3=0. Конечно, вы можете находить корни так, как привыкли это делать. Корни найдены. x1=1; x2=-1,5. Разложим квадратный трехчлен на линейные множители по формуле: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Получаем: 2(х-1)(х+1,5)<0.

На числовой прямой берем точки -1,5 и 1 и выясняем знаки на одном из полученных промежутков (для этого подставляем какое-либо число из выбранного промежутка в выражение 2(х-1)(х+1,5) — я подставляла 0 ). 

ent20-3

4. Решите неравенство:

ent20-4

5. Упростите выражение:

ent20-5d

6. Найдите области значения следующей функции:  y=x-|x|. Изобразим график этой функции. Для этого нужно освободиться от модульных скобок согласно определению модуля числа а:

|a|=a, при условии, что a≥0  и  |a|=-a, если a<0.

ent20-6Если x≥0, то  получаем функцию: y=x-x=0. Прямая у=0 — это ось абсцисс Ох.

Если x<0, то функция y=x- (-x)=2x.  График функции у=2х — прямая. Начертили график.  Множество значений функции ує(-∞; 0], иначе, можно записать: у≤0.

7. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn), если b1=16; q=3/4. Решаем. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

ent20-7

8. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике соответственно равны 11,2 см и 22,4 см. Определите меньший из острых углов. Мы заметили, что катет в два раза меньше гипотенузы. Делаем вывод: катет лежит против угла в 30°. Катет, противолежащий углу в 30°, в два раза меньше гипотенузы.

9. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6 см и боковое ребро 30 см.

ent20-9Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 30 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана сторона квадрата,  можно  найти диагональ квадрата, а затем из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора:

MO2=MC2-OC2.   

10. Решите уравнение:

ent20-10

11. Для облицовки стен бассейна используется белая, желтая и черная плитка в отношении 1:1,3:2,7. Взяли 150 плиток. Сколько среди них должно быть плиток белого и желтого цвета вместе? Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда взяли х штук белых плиток, 1,3х штук желтых и 2,7х — черных плиток. Зная, что всего взяли 150 штук, составим уравнение: х+1,3х+2,7х=150, считаем иксы в левой части и получаем: 5х=150, отсюда х=30. Белых и желтых плиток вместе взяли х+1,3х=2,3х. Так как х=30, то белых и желтых плиток получается 2,3·30=69 штук.

12. Требуется найти сумму корней показательного уравнения:

ent20-12

13. Чему равно выражение log5log4log381? Решаем. log5log4log381=log5log44=log51=0.

14. Найдите х/у, где (х; у) — решение системы:

ent20-14

15. Смотрим на правую часть данного тригонометрического уравнения: она отрицательна. Данное уравнение решений не имеет, так как квадрат любого числа не может быть равен отрицательному числу. Ответ: нет корней.

16. Дана функция:

ent20-16

17. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3x2 и прямой у=2х+1. Построим графики этих функций.  Найдем площадь заштрихованной фигуры.

ent20-17

18. Сколько сторон имеет правильный n-угольник, если его каждый угол равен 135°? 

Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника определяется из формулы: S=180°·(n-2), где n - количество углов (сторон) выпуклого n-угольника.  

Зная, что каждый угол данного n-угольника равен 135°, составим уравнение:

180°·(n-2)=135°·n. Раскроем скобки. 180n-360=135n ⇒ 180n-135n=360 ⇒ 45n=360, разделим обе части равенства на 45 и получаем число углов (сторон) n=8.

19. Образующая, высота и радиус большего основания усеченного конуса соответственно равны 26 см, 24 см, 22 см. Вычислите боковую поверхность этого конуса. Решаем. Боковую поверхность усеченного конуса вычисляют по формуле: S=π(R+r)l, где  R — радиус большего основания конуса (по условию R=22 см), r — радиус меньшего основания конуса (неизвестен), l — образующая конуса (по условию l=26 см). Потребуется найти радиус меньшего основания конуса. Рассмотрим усеченный конус с осевым сечением AA1B1B, образующей AA1 и высотой OO1 (по условию OO1=24 см).

ent20-19

20. Решите уравнение:

ent20-20

21. Найдите значение выражения.

ent20-21

22. Решить неравенство:  2sin2x-4sinxcosx+9cos2x>0.  Решаем. Разделим обе части неравенства на cos2x. Так как cos2x>0, то знак неравенства не изменится. Получаем:

2tg2x-4tgx+9>0;  делаем замену: пусть tgx=y. Получаем неравенство: 2y2-4y+9>0. Это неравенство будет верным при любом значении у. Убедимся — найдем дискриминант квадратного уравнения 2y2-4y+9=0.

D=b2-4ac=16-4∙2∙9=16-72=-56<0, что означает- корней нет, т. е. график уравнения (парабола) не пересечет ось Ох. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, при любом значении у мы будем получать только положительные значения f(y). Все еще сомневаетесь? Тогда найдите координаты вершины параболы O’(m; n), где m=-b/(2a)=4:4=1; n=f(m)=f(1)=2-4+9=7. O’(1; 7) — это самая нижняя точка графика. Все остальные точки лежат выше.  Итак, у -любое число. Мы делали замену tgx=y. Значит, и х может быть любым числом. Ответ: (-∞; +∞).

23. В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым членами равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

ent20-23

24. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма, построенного на векторах

ent20-24

25. У деда 9 сыновей, у каждого его сына по 4 сына, а у каждого внука деда по 3 дочери. Сколько правнучек у деда? Рассуждаем. Если у каждого сына по 4 своих сына, то у деда 9·4=36 внуков. Так как у каждого внука по 3 дочери, то правнучек у деда 36·3=108.

 

ЕНТ-2013, вариант 0019.

Дорогие выпускники! Поздравляю вас с окончанием учебного года — последнего в вашей школьной жизни! Желаю вам успешной сдачи экзаменов и поступления в выбранный вами ВУЗ! Перед вами открыты все дороги, помните, что любая из них начинается с одного шага. Сделайте правильный шаг! Я желаю вам здоровья, счастья и удачи! Татьяна Яковлевна. Порешаем?!

1. Число х увеличили на 15%, получили 34,5. Отсюда следует, что х равно: Решаем. Было число х — это 100%, увеличили на 15%, стало 115% или 1,15х. Зная, что получили 34,5, составим уравнение:

1,15х=34,5. Делим обе части на 1,15 и получаем х=34,5:1,15=3450:115=30.

2. Решите уравнение: 14(2х-3)-5(х+4)=2(3х+5)+5х. Решаем. Раскрываем скобки:

28х-42-5х-20=6х+10+5х. Слагаемые с переменной х соберем в левой части равенства, а свободные члены — в правой:

28х-5х-6х-5х=10+42+20; приводим подобные слагаемые.

12х=72. Делим обе части на 12 и получаем х=6.

3. Решите неравенство: 4x-2x2-5≥0.

Преобразуем левую часть неравенства: -2x2+4x-5≥0. Умножим на (-1) и не забудем поменять знак неравенства на противоположный: 2x2-4x+5≤0. Рассмотрим функцию у=2x2-4x+5. Имеем a=2, b=-4, c=5. Графиком этой функции будет служить парабола с вершиной в точке  O’(m; n), где m=-b/(2a)=4/4=1, n=y(m)=y(1)=2∙1-4∙1+5=2-4+5=3. Мы нашли координаты вершины параболы O’(1; 3). Ветви параболы будут направлены вверх, следовательно, парабола не пересечет ось Ох и при любом значении х точки параболы будут лежать выше оси Ох (уравнение оси Ох: у=0). Таким образом неравенство 2x2-4x+5≤0 не будет иметь решений.

4. Вычислить: cos80°·cos20°+sin80°·sin20°. Применим формулу косинуса разности двух углов. Тогда:

cos80°·cos20°+sin80°·sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=1/2.

5. Найдите область значений функции у=3-5cosx. Всегда идут от основной функции. У нас это косинус х. Что мы знаем об области значений функции y=cosx, т. е о том, какие значения может принимать у?

Для функции синуса и косинуса область значений Е(у)=[-1; 1]. Запишем это в виде двойного неравенства:

-1≤cosx≤1. Теперь «оценим» значение -cosx.

-1≤-cosx≤1. Умножаем почленно на 5.

-5≤-5cosx≤5. Ко всем частям двойного неравенства прибавим число 3.

-5+3≤3-5cosx≤5+3. Получаем: -2≤3-5cosx≤8. Таким образом, область значений данной функции Е(y)=[-2; 8].

6. Вычислите интеграл:

ent19-6

7. Если центры вписанной и описанной около треугольника окружностей совпадают, то он: конечно, правильный (равносторонний), так как только у правильного многоугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

8. Радиус основания конуса равен 2 см. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите площадь осевого сечения конуса.

ent19-8Пусть нам дан конус с осевым сечением МАВ, угол АМВ — прямой. МО — высота конуса, радиус основания конуса ОА=ОВ=2 см. Площадь прямоугольного треугольника МАВ равна половине произведения основания АВ на высоту МО.

АВ=4 см, МО=ОА=2см (медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы).

9. В круг вписан квадрат ABCD, у которого известны вершины: B(9; 9) и D(-1; 3). Найдите центр окружности. Решаем. Центр вписанного (и описанного) в круг квадрата есть точка пересечения диагоналей квадрата, в этой точке диагонали делятся пополам. Найдем координаты точки О -центра круга и середины диагонали BD. О((9-1):2; (9+3):2) (координаты середины отрезка — это полусуммы соответственных координат концов отрезка). О(4; 6).

10. Решить уравнение:

ent19-10

11. Решаем. Отвечаем на вопрос задачи: на странице х строк и в каждой строке у букв. Получается, что всего на странице ху букв. Если количество строк и количество букв в строке увеличить на 2, то всего будет (х+2)(у+2) букв. Зная, что в этом случае число букв увеличится на 150, составим первое уравнение системы: 1) (х+2)(у+2)-ху=150. Если же убавить число букв в строке на 3, а число строк на странице на 5, то на странице будет (х-5)(у-3) букв. Зная, что число всех букв в этом случае уменьшится на 280, составим второе уравнение системы: 2) ху-(х-5)(у-3)=280. Упростим каждое из уравнений системы.

1) (х+2)(у+2)-ху=150. Раскроем скобки: ху+2у+2х+4-ху=150, отсюда 2х+2у=146, разделим почленно на 2 и получим:

х+у=73. Можно здесь и остановиться. Смотрите ответы: х-это количество строк, у-количество букв в строке. В каждом из предложенных ответов по два числа, и только ответ С) 35 строк; 38 букв удовлетворяет последнему равенству х+у=73. А если решать дальше, то что будем делать? Упрощаем  уравнение 2) ху-(х-5)(у-3)=280. Получаем ху-ху+3х+5у-15=280, отсюда 3х+5у=295. Из 1) уравнения выразим у=73-х и подставим в уравнение 3х+5у=295. Получим:

3х+5(73-х)=295. Тогда зх+365-5х=295 или -2х=-70, отсюда х=35.

у=73-35=38. Ответ: 35 строк и 38 букв.

12. Решить систему уравнений:

ent19-12

Ну, а если дальше решать, то выражайте х через у, получается х=2+у и подставляйте во второе уравнение. Получится:

22+y-2y=3 ⇒ 22∙2y-2y=3 ⇒ 2y(4-1)=3 ⇒ 2y=1, отсюда y=0. Находим x=2+0=2. Ответ: (2; 0).

13. Решить уравнение:

ent19-13

14. Требуется решить иррациональное уравнение. Возведем обе части равенства в квадрат. Получим:

x-2=64-16x+x2, после упрощения: x2-17x+66=0. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета x1=6, x2=11. Анализируем ответы. Значение х=11 не подойдет, так как правая часть данного уравнения становится отрицательной, а арифметический квадратный корень не может выражаться отрицательным числом. Ответ: 6.

15. Решите уравнение: cos2x=cosx-1. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0; 2π]. Решаем. Запишем данное неравенство в виде: 1+cos2x-cosx=0 и применим формулу: 1+cos2α=2cos2α. Тогда получим:

2cos2x-cosx=0; вынесем общий множитель за скобки:

cosx(2cosx-1)=0, отсюда или  cosx=0 или 2cosx-1=0. Решим каждое из этих уравнений.

ent19-15

16. В каких точках касательная к графику функции y=f(x) образует с осю Ох угол 45°, если

ent19-16

17. Найдите первообразную для функции f(x)=cos2x. Преобразуем данную функцию, понизив ее порядок по формуле:  1+cos2α=2cos2α.

ent19-17

 18. Стороны прямоугольника пропорциональны числам 3 и 4, а его площадь равна 192 см2. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника. Решаем.

ent19-18Диаметром круга будет служить диагональ АС прямоугольника ABCD, соответственно, радиус круга ОА равен половине АС. Обозначим одну часть через х. Тогда стороны прямоугольника равны и . Зная, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S=ab (a и b — стороны прямоугольника) и равна 192 см2, составим уравнение: 3х·4х=192, тогда 12x2=192, делим на 12, получаем x2=16, отсюда x=4. Итак, одна часть равна 4 см, тогда стороны прямоугольника 3·4=12 см и 4·4=16 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора   AC2=AB2+BC2=122+162=144+256=400, отсюда АС=20 см. (Можно было найти короче и устно: 3, 4 и 5 — пифагорова «тройка» чисел, получается, что на гипотенузу приходится 5 частей, одна часть равна 4 см, значит, гипотенуза составляет 5·4=20 см.).  АС=20 см, поэтому, радиус круга ОА=10 см, и площадь круга S=πR2=π∙102=100π (см2).

19. В правильной четырехугольной пирамиде длина бокового ребра равна 25 см, а площадь основания 800 см2. Найдите высоту пирамиды.

ent19-19Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 25 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана площадь квадрата, которую можно подставить в формулу  S=(1/2)d2, где d — диагональ квадрата. Получаем равенство:  800=(1/2)d2, умножаем обе части на 2 и получаем: d2=1600, отсюда диагональ АС=d=40 см. ОС=20 см. Из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора следует: MO2=MC2-OC2; MO2=252-202=625-400=225, тогда MO=15 см.

20. Найдите значение выражения:

ent19-20

21. Упростите выражение:

ent19-21

22. Решить неравенство:

ent19-22

23. Решить неравенство:

ent19-23

24. Знаменатель геометрической прогрессии 1/3, четвертый член 1/54, а сумма всех членов 121/162. Найти число членов прогрессии. Решаем.

ent19-24

25. Имеется монета. Сколько нужно таких монет, чтобы их можно было расположить вокруг данной монеты так, чтобы все они касались данной монеты и попарно друг друга?

ent19-25Не мудрствуя лукаво, возьмем монетки одного достоинства (например, по 5 тенге) и расположим их, как сказано в условии. Их будет 6. Монетки — не калькулятор и не сотовый телефон — можно взять с собой на экзамен!

 

ЕНТ-2013, вариант 0018.

testovik-ent-2013-11Дорогие выпускники! Началась последняя неделя вашей школьной жизни, и вас закружила суматоха подготовки к Празднику Последнего Звонка! Учителя перестали задавать домашние задания… ах, как славно! НЕ РАССЛАБЛЯЙТЕСЬ — ВПЕРЕДИ ЕНТ! Давно замечено: «Забудешь математику на 2 дня — она тебя забудет на неделю, забудешь ее на неделю — она тебя «кинет» на месяц… » и т. д. Оно вам надо? НЕТ и НЕТ! Помните: чтобы решить — надо решать, и другого не дано. Поэтому — ни дня без теста! Если вы уже все перерешали — обменивайтесь тестовиками с одноклассниками и, кроме того, повторяйте материал по темам. День — тригонометрию, другой день стереометрию и т. д. Как повторять? Да просто проговорите вслух все формулы, поверьте: нужная сама «всплывет» в нужный момент! Желаю вам обрести «второе дыхание» с этой минуты и до окончания экзаменов. Я в вас верю! Татьяна Яковлевна.

P.S. Варианты 0019 и 0020 на подходе!

1. Найдите неизвестный член пропорции: -9,7:(-0,97)=х:(-0,75). Решаем. Можно, конечно, воспользоваться основным свойством пропорции: чтобы найти неизвестный средний член пропорции нужно произведение ее крайних членов разделить на известный средний член пропорции. Но, посмотрев на предложенные числа, выполним деление в левой части равенства:

970:97=х:(0,75) ⇒ 10=х:(-0,75). Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное:

х=-0,75·10  ⇒ х=-7,5.

2. Решаем систему уравнений методом сложения. Для этого второе уравнение умножаем почленно на (-7) и складываем с первым. Получаем 11у=-22, отсюда получаем у= -2 и подставляем во второе уравнение:

х-2·(-2)=5 ⇒ х=1. Ответ: (1; -2).

3. Тест включает 30 заданий: 10 — по арифметике, 15 — по алгебре, остальные по геометрии. В каком отношении находятся в тесте арифметические, алгебраические и геометрические задания? Решаем. Узнаем, сколько заданий по геометрии:

30-10-15=5 — заданий по геометрии. Теперь составляем отношение: 10:15:5. Сокращаем отношение на 5 и получаем: 2:3:1.

4. Существует определение: говорят, что a<b, если разность a-b<0. Ищем в ответах отрицательное число. Это ответ D) -5.

5. Найдите наименьшее целое решение неравенства 97-x≤27.  Решаем. Представим обе части неравенства в виде степеней числа 3. Получаем:

32(7-x)≤33. Так как показательная функция с основанием 3 является возрастающей, то, опуская основания степени, сохраним знак неравенства: 2(7-x)≤3,

раскрываем скобки: 14-2x≤3. Упрощаем: -2x≤-11 и делим обе части неравенства на (-2), при этом знак неравенства меняется на противоположный: x≥5,5. Наименьшее целое число, принадлежащее промежутку [5,5; +∞) - это число 6.

6. Вычислите: sin15°·cos15°. Применим формулу sin2α=2sinαcosα.

sin15°·cos15°=(1/2)sin30°=(1/2)·(1/2)=1/4.

7. Найдите значение производной функции y(xo), если y(x)=3lnx-x2, xo=1. Решаем. Найдем производную функции y(x) и подставим вместо х значение xo=1.

ent18-7

8. Углы параллелограмма пропорциональны числам 9 и 3. Чему равна разность двух углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма? Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда углы параллелограмма и . Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне, равна 180°, составим уравнение:

9х+3х=180, отсюда 12х=180. Делим обе части на 12 и получаем х=15. Требуется найти разность углов параллелограмма. В частях это 9х-3х=6х. Так как х=15, то искомая разность углов равна 6·15°=90°.

9. Радиусы двух шаров относятся как 2:3. Как относятся их площади поверхности? Отвечаем. 1) Все шары подобны. 2) Площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров. Площади поверхностей будут относиться как

22:32, т. е. как 4:9.

10. При каких значениях k уравнение 2x2+kx+18=0 имеет один корень? Решаем. Квадратное уравнение имеет единственный корень (два равных корня), если дискриминант D=0. Составляем выражение D=b2-4ac. Для наших значений a=2, b=k, c=18 получаем D=k2-4∙2∙18=k2-144. Так как должно выполняться условие D=0, то получим уравнение k2-144=0, отсюда k2=144, в результате k=±12.

11. Решим первое уравнение системы. Так как 25=52, то опустив основания степени и приравняв показатели, получаем равенство: |x-1|=2. Тогда либо х-1=2⇒х=3, либо х-1=-2⇒х=-1 (модули чисел 2 и (-2) равны двум). Полученные значения х подставляем во второе уравнение системы (х+у=3). Если х=3, то у=0; если х=-1, то у=4. Решением системы будут пары значений х и у: (3; 0) и (-1; 4).

12. Найдите произведение корней уравнения:

ent18-12

13. Данное уравнение не имеет корней, так как квадрат любого числа (у нас квадрат суммы синуса и косинуса) не может быть равен отрицательному числу.

14. Последовательность, заданная формулой an=5+2n, является арифметической прогрессией. Найдите сумму ее первых двенадцати членов. Решаем. Воспользуемся следующей формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии:

ent18-14

15. Найдите область определения функции:

ent18-15

16. Найдите производную функции y(x)=sinex. Решаем. Нам дан синус. Производная синуса - это косинус. Так как аргумент у синуса был сложный, то находим производную ex и умножаем на косинус. Итак, y’(x)=cosex∙(ex)’=ex∙cosex.

17. Найти площадь круга, если длина окружности равна 8π см. Решаем. Чтобы найти площадь круга по формуле S=πR2, нам нужно знать радиус круга R. Длина окружности, вычисляемая по формуле С=2πR, по условию, равна 8π. Тогда радиус круга R=8π:2π=4 (см). Искомая площадь круга S=π∙42=16π (см2).

18. Задача на пирамиду. Основание пирамиды MABCD - прямоугольник ABCD. МА перпендикулярно (АВС). Если АС=5 см, угол MDA равен 60°, то найдите МА и объем пирамиды.

ent18-18s

19. Найдите координаты точек пересечения прямой у=-х+9 и данной окружности. Решаем. Подставим значение у в уравнение окружности. (x-6)2+(-x+9-6)2=32∙5. Упростим: (x-6)2+(3-x)2=45; раскроем скобки: x2-12x+36+9-6x+x2=45; перенесем число 45 в левую часть (не забыв поменять знак) и приведем подобные слагаемые:  2x2-18x=0. Решаем полученное неполное квадратное уравнение 2x(x-9)=0. Получаем: x=0 и x=9. Тогда, подставив эти значения в уравнение прямой у=-х+9, получаем: y=9  и y=0. Точки пересечения прямой и окружности: (0; 9) и (9; 0).

20. Вычислить:

ent18-20

21. Найдите значение выражения:

ent18-21

22. Решить уравнение:

ent18-22

23. Решить уравнение: sinx+sin5x+cosx+cos5x=0. Решаем. Сгруппируем слагаемые: (sin5x+sinx)+(cos5x+cosx)=0 и применим формулы преобразования суммы синусов и суммы косинусов в произведение.

ent18-23

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3-|x-3| и прямой у=0. Решаем. Прямая у=0 - это ось Ох. Построим график функции y=3-|x-3|. Для этого нам нужно освободиться от модульных скобок, и освобождаться мы будем по определению модуля числа а|a|=a, если a≥0; |a|=-a, если a<0.

1) Если х-3≥0, т.е. если х≥3, то функция примет вид: у=3-(х-3)=3-х+3=-х+6. Следовательно, на промежутке [3; +∞) нужно строить прямую у=-х+6.

2) Если х-3<0, т.е. если x<3, то функция примет вид: у=3+(х-3)=3+х-3=х. Следовательно, на промежутке (-∞; 3] нужно строить прямую у=х.

ent18-24

25. Человек говорит: «Я прожил 50 лет, 50 месяцев, 50 недель, 50 дней и 50 часов». Сколько ему лет? Рассуждаем. Мы знаем, что год состоит из 12 месяцев, поэтому от 50 месяцев возьмем 48 месяцев = 4 года и добавим к 50 годам, получается 54 года. А сколько осталось? 2 месяца (от 50 месяцев) плюс 50 недель плюс 50 дней плюс 50 часов. Потянет это на один год? Да, так как год состоит примерно из 52 недель (52 недели умножим на 7 дней и получим 364 дня). Добавим к 54 годам еще один год. Ответ: человеку 55 лет.

ЕНТ-2013, вариант 0017.

1. Спрашивают, во сколько раз 4 кг больше, чем 200 г. Так как 4 кг=4000 г, то делим 4000 г на 200 г и получаем 20. Ответ: соотношение 4 кг к 200 г равно 20.

2. На собрании рабочих цеха присутствовало 69 человек, что составляло 92% всех рабочих цеха. Сколько рабочих присутствовало на собрании? Решаем. Найдем число по его процентам, т. е. найдем общее количество рабочих цеха, зная, что 92% всех рабочих — это число 69. Чтобы найти число по его процентам, нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное число на эту дробь. 92%=0,92.

69:0,92=6900:92=75. Всего в цехе 75 рабочих, следовательно отсутствовало 75-69=6 человек.

3. Вычислить:

ent17-3

4. Решить уравнение: logx(x2+5x-5)=2. Решаем. Запишем число 2 в виде логарифма по основанию х.

logx(x2+5x-5)=logxx2 ⇒ x2+5x-5=x2 ⇒  5x=5 ⇒ x=1. Не подойдет, так как основание логарифма не должно быть равно единице. Корней нет.

5. Решим неравенство. Умножим обе части данного неравенства на 14 — наименьший общий знаменатель данных дробей и получим неравенство:

2(7х+1)-2x>11x-3; раскроем скобки:

14x+2-2x>11x-3. Соберем слагаемые с переменной в левой, а свободные слагаемые — в правой части неравенства:

14x-2x-11x>-3-2  ⇒  x>-5.

6. Решить неравенство:

ent17-6-1

7. Понизим порядок выражения, применив формулу:  1+cos2α=2cos2α. Тогда данное выражение преобразуется к виду:

1+cosα-cosα=1.

8. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=tgx в точке xo=π/4. Решаем. Значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой xo равна тангенсу угла наклона касательной к графику данной функции в точке xo. tgα=f ‘(xo). В этом заключается геометрический смысл производной. Найдем производную данной функции, а затем подставим в нее значение xo=π/4.

ent17-8

9. Периметр трапеции равен 36, а сумма непараллельных сторон равна 12, тогда средняя линия трапеции равна:

полусумме оснований трапеции, т. е. равна (36-12):2=12.

10. Найдите значение выражения x1∙y1+x2∙y2, где (х; у) — решение системы двух уравнений:

1) (х-1)(у+10)=9  и 2) х-у=11. Решаем. Выразим х через у из 2) уравнения. Получим:

х=11+у. Подставим это значение в 1) уравнение. Получим:

(11+у-1)(у+10)=9 ⇒ (10+у)(у+10)=9 ⇒ (y+10)2=9. Это возможно, если у+10=-3 ⇒ у=-13 или если у+10=3 ⇒ у=-7. Каждое из этих значений подставим в равенство х=11+у и найдем х.

При у=-13 получаем х=11-13=-2. При у=-7 получим х=11-7=4. Решение системы: пары чисел (-2; -13) и (4; -7). Тогда

x1∙y1+x2∙y2=-2·(-13)+4·(-7)=26-28=-2.

11. Решить систему уравнений:

ent17-11

12. Решить уравнение: sin5xsin3x-sin23x=0. Решаем. Вынесем общий множитель sin3x за скобки.

ent17-12

13. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой четвертый член равен (-16), а первый член равен 2.

ent17-13

14. Найдите область определения функции y=log2(x2-x)+lgx.  Нужно найти все значения переменной х, при которых функция имеет смысл. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то необходимо, чтобы выполнялись  условия:  x>0 и x2-x>0. Решаем последнее неравенство x2-x>0. Выносим х за скобки. Получаем: х(x-1)>0. Произведение двух чисел положительно, если сомножители имеют одинаковые знаки. Так как x>0, то и второй множитель х-1>0, отсюда x>1. Общее решение: «больше большего» — это x>1. Область определения D(y)=(1; +∞).

15. Найдите производную функции:

ent17-15

16. К двум касающимся друг друга окружностям, проведена касательная прямая, с расстоянием между точками касания 20 см. Определите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 5 см.

ent17-16

17. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота равна 2 см. Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания. Решаем. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD высота МО=2 см (О — центр вписанной и описанной окружности около квадрата ABCD), сторона квадрата AD=CD=4 см. Построим угол α — наклона боковой грани (MCD) к плоскости основания (ABCD). Углом между двумя плоскостями называется угол между двумя полупрямыми, перпендикулярными линии пересечения данных плоскостей.  

ent17-17

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП). Прямая (CD), проведенная на плоскости через основание наклонной (МК) перпендикулярно ее проекции (ОК) будет перпендикулярна и самой наклонной (CD  перпендикулярна MK).

18. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания, если угол между высотой конуса и образующей равен 45°. Решаем. Дан конус с осевым сечением МАВ, МО — высота конуса. Угол ОМВ=45° — это угол между высотой конуса МО и образующей МВ.

ent17-18

19. Даны модуль суммы и модуль разности двух векторов, а также модуль одного из векторов, требуется найти модуль другого вектора.

ent17-19sait

20. Сумма 135+115 оканчивается цифрой 4. Как рассуждаем? Судим по последней цифре степеней числа 3 (3;  9; 7; 1; 3), следовательно, 135 оканчивается на «3«. Степени числа 1 оканчиваются на «1«.

21. Выполнить действия:

ent17-21

22. Требуется найти

ent17-22

23. Решить систему тригонометрических неравенств:

ent17-23

24. Найти площадь заштрихованной фигуры. Фигура ограничена параболой сверху, осью Ох снизу и прямыми х=0 и х=3 слева и справа. Найдем уравнение параболы. Вершина параболы находится в точке (1; 1), следовательно, функция имеет вид:      y=a(x-m)2+n,  где m и  n – координаты вершины O1(m; n), подставим координаты вершины и получим: y=a(x-1)2+1.  Чтобы определить значение а, подставим в последнее уравнение координаты точки графика (0; 2). Получаем:  2=a(0-1)2+1⇒ a=1 и функция задается уравнением:  y=(x-1)2+1. Раскроем скобки  y=x2-2x+1+1  или y=x2-2x+2. Площадь фигуры находим по формуле:

ent17-24

25. Ира, Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша больше, чем Витя. Кто собрал грибов больше? Рассуждаем. Наташа подходит безоговорочно. Алеша собрал больше Вити, но и Ира собрала не меньше всех (может быть, больше Алеши!). Получается, что Наташа и Ира собрали грибов больше, чем Алеша и Витя.

 

Страница 5 из 7« Первая...34567
Архивы
Математика в видео.
Мой электронный адрес: a@tayak.ru Андрющенко Татьяна Яковлевна
skype-tutor
Наверх