тест-обучение Обучающие тесты по математике
Рубрика "ЕНТ-2013"

ЕНТ-2013, вариант 0010.

1. Для упрощения данного выражения разложим на множители числители и знаменатели данных дробей. Применим для этого: а) вынесение общего множителя за скобки; б)  формулу разности квадратов двух выражений. Запишем все под общей дробной чертой и сократим дробь на (а+1) и на (а-b).

ent10-1

2. Решаем данную систему. Разложим левую часть второго уравнения на множители по формуле разности квадратов двух чисел, получаем: (х-у)(х+у)=16. Так как первое равенство утверждает, что х-у=2, то вместо х-у во второе уравнение подставим число 2. Получаем: 2·(х+у)=16 или х+у=8. Складываем и вычитаем почленно два равенства:

х+у=8  и х-у=2;

2х=10 (сложили) и  2у=6 (вычли из первого второе). Получаем: х=5 и у=3. Смотрим ответы. Из указанных промежутков только промежуток (2; 7) (ответ В)) содержит и число 5 (х=5), и число 3 (у=3).

3. Вас спрашивают, какие числа можно брать вместо х, чтобы расстояние от этих чисел до нуля было меньше трех единичных отрезков.

хє(-3; 3). Модулем числа а (|a|) называют расстояние от начала отсчета (от нуля) до точки с координатой а.

4. Упростить выражение:

ent10-4

5. Применяем формулу приведения: 1) угол находится в IV четверти, косинус в IV четверти положителен, поэтому знак не меняем; 2) π/2 взято нечетное число раз (3π/2), поэтому функцию меняем на кофункцию (для косинуса кофункцией будет синус). Уравнение запишется в виде:

sinx-5cosx=0. Так как одновременно и синус и косинус не могут равняться нулю, то можно разделить обе части этого однородного уравнения на cosx.

tgx-5=0;

tgx=5;

x=arctg5+πk, kєZ.

6. Дана арифметическая прогрессия: 2, a2, a3, a4, a5, 17. Между числами 2 и 17 вставлены четыре числа. Требуется найти a3. Имеем: a1=2, a6=17. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии:  an=a1+(n-1)∙d. Тогда a3=a1+2d. Нужно найти d-разность арифметической прогрессии.

a6=a1+5d;  подставляем имеющиеся значения:

17=2+5d; упрощаем: 15=5d; откуда d=3. Искомое значение  a3=a1+2d; подставим значения и получим: a3=2+2∙3=8.

7. Представим данную функцию в виде произведения числового множителя  1/3 на  функцию  1/cos2x. По таблице первообразных или интегралов получаем: F(x)=(1/3)tgx+C.

8. По условию площадь второго равностороннего треугольника в 25 раз больше. Так как площади подобных фигур относятся друг к другу, как квадраты их линейных размеров, то медиана второго треугольника будет больше медианы первого треугольника в 5 раз. Медиана второго треугольника равна 16см·5=80 см.

9. Пусть точка О имеет координаты х и у: О(х; у).

ent10-9

10. Квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Здесь используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=-8).

D1=(b/2)2-ac=(-4)2-k∙k=16-k2. Cоставляем равенство: 16-k2=0. Можно разложить левую часть на множители, получаем:

(4+k)·(4-k)=0, тогда 4+k=0  или  4-k=0. Отсюда k=-4 k=4. Смотрите ответы: ±4; 0. Цените — вам не дают ошибиться! А откуда 0? На самом деле, если k=0, то уравнение примет вид: -8х=0, отсюда х=0.

11. Обозначим скорость, с которой бежал лыжник через х. Составим таблицу.

ent10-11

12. Решим уравнение:  23x+5∙53x+5=0,1.

Так как an∙bn=(ab)n,  то имеем равенство: (2∙5)3x+5=0,1; преобразуем к виду: 103x+5=10-1; Если равны степени и основания степеней, то равны и показатели этих степеней: 3x+5=-1; отсюда 3x=-6; делим обе части на 3 и получаем: x=-2.

13. Решим систему уравнений. Упростим первое уравнение системы, применив формулы: logax+logay=loga(xy)  и  logaa=1. Тогда первое уравнение примет вид: log4(xy)=log44+log49  или  log4(xy)=log436. Так как логарифмы равны, основания логарифмов равны, то и равны числа под знаками логарифмов-получаем: х·у=36. Во втором уравнении представим число 1024 в виде степени с основанием 2. Получаем: 2(x+y)/2=210. Приравниваем показатели степеней с основанием 2.

(х+у)/2=10, отсюда х+у=20.  Выразим у через х. Получаем: у=20-х. Подставим в уравнение х·у=36. Получаем:

х·(20-х)=36. Раскроем скобки:

20x-x2=36. Перенесем слагаемые в правую часть: x2-20x+36=0. Получилось приведенное квадратное уравнение, решать которое нет необходимости — ведь требуется найти x1+x2. По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, следовательно, x1+x2=20.

14. Умножим обе части равенства на арифметический квадратный корень из выражения (х-11). Получаем:

х-11=8, тогда х=8+11=19.

15. Функцию называют четной,если выполняется условие: y(-x)=y(x). Другими словами, если вы вместо х подставите (-х) и после тождественных преобразований получаете ту же функцию, то данная функция является четной. Конечно, это случай Е), так как имеются переменные только в четной степени.

16. Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной функции в этой точке:

ent10-16

17. Найдем площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника АВСК и прямоугольного треугольника СКD, в котором определим катет СК по теореме Пифагора: CK2=CD2-KD2=102-82=100-64=36, отсюда СК=6. Искомая площадь равна:

BC·CK+(CK·KD):2=8·6+(8·6):2=48+24=72.

18. Задача на пирамиду.

ent10-18-1

Смотреть видео решение 18 задачи.

19. Даны два шара, радиусы которых 3 см и 6 см.  Найдем объем каждого шара и вычтем из большего результата меньший. Объем шара вычисляется по формуле:

ent10-19

20. Это пропорция, произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, поэтому, можно записать: (x-4)2=4(x+4)2. Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

|x-4| =2∙|x+4|.  Возможны два случая: x-4=2∙(x+4)  или  x-4=-2∙(x+4).

1) x-4=2∙(x+4); x-4=2x+8;  x-2x=8+4; -x=12; x=-12.

2) x-4=-2∙(x+4); x-4=-2x-8; x+2x=-8+4; 3x=-4; x=-4/3.

21. Применим свойства степени: 1) (am)n=amn   - при возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают; 2) a0=1  - любое число или выражение в нулевой степени равно единице.

ent10-21

22. Ход решения: сделаем замену, решим квадратное неравенство относительно новой переменной, вернемся к переменной х и посчитаем количество целых чисел в найденном промежутке значений х.

ent10-22

23. Тригонометрическое неравенство с тангенсом.

ent10-23s

Смотрите видео решение 23 задания.

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 и x=y2.

Решаем. Выразим у из равенства x=y2, а затем построим графики этих функций.

ent10-24

 

25. Пусть мальчикам по х лет. Тогда папе лет. Зная, что папа сейчас старше на 24 года, составим уравнение:

4х-х=24;

3х=24  |:3;

x=8.

ЕНТ-2013, вариант 0009.

testovik2013-9Дорогие друзья, разбирая задания, не ленитесь повторять теоретический материал, используемый для решения каждого отдельного задания. Знайте: вам  никто не гарантирует на экзамене таких же заданий, но с другими числами, как некоторые думают! А что же будет на ЕНТ? Будут задания на применение тех же правил, формул, теорем, какие использованы в настоящем сборнике для подготовки к ЕНТ-2013!

1. Запишем все под одним знаком корня третьей степени. Применим формулу разности квадратов двух выражений.

ent9-1

2. Слагаемые с переменной соберем в левой части равенства, а свободные члены — в правой.

-9,5у-3у=21-16; приводим подобные слагаемые.

-12,5y=5; разделим обе части равенства на -12,5 — коэффициент при у.

Получаем у=5:(-12,5)=-0,4.

3. Нужно записать двойное неравенство -1≤x≤5 в виде числового промежутка.

Ответ: [-1; 5].

4. Решаем 1-ое неравенство: 72x>49 ⇒ 72x>72. Опускаем основания 7, знак неравенства сохраняем, получаем: 2x>2 ⇒ x>1. Учитываем 2-ое неравенство: x≤6. Ответ: (1; 6].

5. Применяем формулу синуса двойного аргумента: 2sinαcosα=sin2α. 

4sin7°30′·cos7°30′·sin75°=2·(2sin7°30′·cos7°30′)·sin75°=

=2sin15°·sin75°=2sin15°·cos15°=sin30°=1/2.

Применили формулу приведения: sin75°=sin(90°-15°)=cos15°.

6.  Упростим данное равенство, используя формулы приведения. Мнемоническое правило для формул приведения: 1) перед приведенной функцией ставят знак приводимой; 2) если в записи аргумента π/2 взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию.

ent9-6p

7. Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии находят по формуле:

ent9-7

8. Применяем формулу производной степени:  (xn)’=n∙xn-1.

ent9-8

9. Диагональ прямоугольника разделит прямой угол (90°) на два угла, один из которых равен 20° по условию, следовательно, второй угол равен 90°-20°=70°.

10. Решим данную систему уравнений методом подстановки. Выразим х через у из второго уравнения: х=у+3. Подставим в первое уравнение (у+3) вместо х. Получаем: (у+3-2)(у+1)=1. Упростим: (у+1)(у+1)=1 или (у+1)2=1. Отсюда следует, что либо у+1=-1, либо у+1=1. Тогда у1=-2, у2=0. Подставим  каждое из значений в равенство х=у+3. Получаем: x1=y1+3=-2+3=1; x2=y2+3=0+3=3. В задании требуется найти значение выражения x1∙y1+x2∙y2. Подставляем наши результаты:

x1∙y1+x2∙y2=1·(-2)+3·0=-2+0=-2.

11. В задаче спрашивается, сколько деталей по плану должны были изготовить за смену токарь и сколько его ученик. Отвечаем: х — токарь, (65-х) — ученик, так как вместе они должны были изготовить 65 деталей. Токарь перевыполнил задание  на 10%, т.е. сделал не х деталей (100%), а 1,1х деталей (110%). Ученик перевыполнил задание на 20%, т.е. сделал не (65-х) деталей (100%), а 1,2·(65-х) деталей (120%). Зная, что вместе они изготовили 74 детали, составим уравнение:

1,1х+1,2·(65-х)=74. Раскрываем скобки: 1,1х+78-1,2х=74. Слагаемые с переменной х оставим слева, а 78 перенесем с противоположным знаком в правую часть равенства:

1,1х-1,2х=74-78;

-0,1х=-4, отсюда х=-4:(-0,1)=40. Токарь должен был изготовить 40 деталей, а его ученик 65-40=25 деталей.

12. Решить уравнение:

ent9-12-1

13. Сделаем замену: lgx=y. Решим квадратное уравнение y2-2y-3=0. Это приведенное квадратное уравнение, корни находим по теореме Виета: y1=-1, y2=3 (y1+y2=2; y1∙y2=-3). Тогда: 1) lgx=-1,  отсюда x1=10-1=0,1. 2) lgx=3, тогда x2=103=1000. Требуется найти произведение корней.

x1∙x2=0,1∙1000=100.

14. Решить уравнение:

ent9-14

15.  Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел, поэтому, должно выполняться условие: 5x-6-x2>0. Умножим обе части неравенства на (-1) и получим:  x2-5x+6<0. Представляем себе параболу у=x2-5x+6, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось Ох в точках с абсциссами x1=2 и x2=3 (корни квадратного уравнения x2-5x+6=0) и принимает отрицательные значения в промежутке (2; 3).

16. Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке x0, равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику этой функции в данной точке с абсциссой x0.

Имеем равенство: k=tgα=f ‘(x0).   

ent9-16

17. Находим периметр данного треугольника: Р=3+8+7=18(см). Периметр подобного ему треугольника равен 9 см. Что это означает? Если периметр меньше в два раза (18:9=2), то и каждая сторона меньше в 2 раза. Берем меньшую сторону данного треугольника 3 см и делим ее на 2, получаем 1,5 см.

18. Прямоугольник со сторонами 4 см и 12 см свернули в цилиндр с меньшей высотой. Найдите объем полученного цилиндра. Решаем. Объем цилиндра вычисляется по формуле: Vц.=πR2H, где R — радиус основания, H — высота цилиндра.

ent9-18

Видео решение задачи 18 смотреть здесь.

19. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

ent9-19

Смотрите видео решение задачи 19.

20. Будет следующая цепочка вычислений:

ent9-20

21. Мы знаем, что для исключения иррациональности в знаменателе дроби, следует умножить знаменатель и числитель на такое выражение, чтобы  в знаменателе получилась или разность квадратов, или разность (сумма) кубов данных выражений, и, как следствие, «исчез» знак радикала.  Так как у нас в знаменателе сумма кубических корней, то, умножив ее на неполный квадрат разности этих кубических корней, мы получим сумму кубов данных кубических корней, и знаки радикалов «исчезнут»:

ent9-21

22. Решить неравенство:

ent9-22s

Смотрите видео решение 22 задания.

23. Пример на нахождение площади криволинейной трапеции.

ent9-23sait

 Смотрите видео решение 23 задания.

24. Задание на векторы.

ent9-24sait

Смотреть видео решение 24 задания.

25. Итак, a-положительное число, меньшее единицы, b-число, большее единицы. Наименьшим будет частное a:b, так как число а, которое и так является дробью  (0<a<1) еще раздробили (разделили) на b частей.

ЕНТ-2013, вариант 0008.

1.  Решаем.   Применяем формулы: 1) an:am=an-m; 2) (am)n=amn.

ent8-1

2. Решить уравнение: |x-5|=3. Решаем. Так как |-3|=3 и |3|=3, то под знаком модуля могло быть и отрицательное число и положительное число, поэтому:

х-5=-3 или х-5=3. Тогда х=2 или х=8. Ответ: 2; 8.

3. Решаем неравенство: 2x+7>0.

2x>-7. Делим обе части на коэффициент при х:

x>-3,5. Неравенство строгое, ответ хє(-3,5; +∞).

4. Дано логарифмическое неравенство: lg(x+1)>lg(5-x). Решаем. Помним, что при потенцировании у нас уже будет не одно неравенство, так как нужно будет учесть область определения логарифмической функции, а именно: под знаком логарифма могут быть только положительные числа. Потенцируем (убираем значки логарифмов слева и справа), знак неравенства сохраняем, так как логарифмическая функция с основанием 10>1 является возрастающей. Получаем:

ent8-4

5. Воспользуемся основным свойством дроби — разделим числитель и знаменатель данной дроби на cosα. Это позволит нам перейти к  tgα, а затем подставим данное значение  тангенса и произведем вычисления:

ent8-5

6. Решим уравнение: sin2x-sinx=0. Решаем. Вынесем sinx за скобки.

sinx(sinx-1)=0;

sinx=0 или sinx-1=0;

если sinx=0, то x=πn, nєZ.

если  sinx-1=0, то sinx=1, отсюда х=π/2+2πk, kєZ.

7. Дана геометрическая прогрессия с положительными членами. S2=3, S3=7. Требуется найти S7.

Решаем. Геометрическая прогрессия считается определенной, если известны первый член  b1 и знаменатель прогрессии q. Используем формулы n-го члена  и суммы n первых членов геометрической прогрессии. Тогда:

ent8-7

8. Прежде, чем находить производную, упростим данную функцию по формуле косинуса суммы двух углов.

f(x)=cos5xcos4x-sin5xsin4x=cos(5x+4x)=cos9x.

f ‘(x)=(cos9x)’=-sin9x·(9x)’=-9sin9x.

9. У прямоугольного треугольника могут быть неизвестны острые углы, но один угол точно прямой, следовательно, равен 90°.

10. Как решать такие уравнения? Разложим знаменатель каждой дроби на множители, найдем общий знаменатель для всех дробей, применим правило равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями, а затем решим полученное целое уравнение. Обязательно сделаем проверку. А зачем тогда решать, спросите вы, ведь ответы есть — делаем проверку! Да, вы правы, только начинайте подставлять предложенные ответы с А). Но, все же посмотрите решение:

ent8-10

11. Отвечаем на вопрос задачи: надо засушить х кг свежих грибов. Это 100%. Получилось 4 кг сухих грибов. Это всего 2% от того, что было, ведь при сушке грибы потеряли 98% своего веса! Записываем:

ent8-11

12. Решить показательное уравнение.

ent8-12

13. Логарифмическое уравнение.

Вы знаете, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа, следовательно, 2х-1>0 и x-9>0, отсюда получаем: x>0,5 и  x>9. Когда получают решения одного знака «больше», то общим служит решение «больше большего», т.е. x>9. А теперь смотрите ответы – А), С) и Е) сразу отпадают, так как содержат отрицательные числа. Так В) или D)? Подставляем В) х=13.

log55+log52=log510 ⇒  log5(2∙5)=log510 по формуле logax+logay=loga(xy). Ответ получен! А как надо решать такие примеры – смотрите далее.

Преобразуем левую часть равенства по формуле: logax+logay=loga(xy).

ent8-13

14. Решить уравнение.

ent8-14

15. Дана функция y=x2+x-6. Требуется найти: а)  нули функции, т.е. абсциссы точек пересечения графика с осью Ох; б) промежутки возрастания; в) наименьшее значение функции. Решаем.

Представляете себе график этой квадратичной функции? Это парабола, ветви которой направлены вверх. Нули функции:  x1=-3, x2=2 – это корни приведенного квадратного уравнения x2+x-6=0, которые мы нашли по теореме Виета (x1+x2=-1, x1∙x2=-6). Наименьшее значение будет в вершине параболы O’(m, n), где m=-b/(2a)=-1/2=-0,5;  n=y(m)=y(-0,5)=(-0,5)2-0,5-6=0,25-0,5-6=-6,25. До m=-0,5 функция убывает, а при хє[-0,5; +∞) будет возрастать. Можно было промежуток возрастания и экстремум данной функции найти с помощью производной:

ent8-15

16. Прежде, чем что-то находить, упростим данную функцию, применив основное тригонометрическое тождество:

sin2α+cos2α=1, а также значение cos(π/3)=0,5.

ent8-16

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, находят значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат этому отрезку, а затем из полученных результатов выбирают наименьшее и наибольшее значения. Найдем значения функции f(x) на концах отрезка.

ent8-16-1

Скажете, взяли бы сразу f(0).  Зачем дальше было что-то находить? Вы правы, можно было сделать такой вывод и основываясь на ответах, но учтите — функции бывают разные! И как правильно находить наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вы должны знать.

17. Задача про угол между хордой и касательной. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду. Мера центрального угла есть мера дуги, на которую опирается центральный угол. Угол АОВ — центральный, опирается на дугу АВ, градусная мера которой 126°, следовательно, и центральный угол равен 126°. Угол САВ — искомый угол между касательной АС и хордой АВ.

ent8-17

18. Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом, стороны которого перпендикулярны линии пересечения данных плоскостей.  Итак, плоскости α и β пересекаются по прямой с, и угол между ними равен 45°. Из их общей точки О проведены перпендикулярные отрезки ОА и ОВ к прямой с, причем, ОА=ОВ=m. Требуется найти длину АВ. Из построения следует, что угол АОС — линейный угол двугранного угла с общим ребром с, поэтому, угол АОС равен 45°, и задача сводится к нахождению стороны АВ треугольника АОВ. Зная две другие стороны и угол между ними, мы найдем АВ по теореме косинусов: АВ2=ОА2+ОВ2-2ОА∙ОВ∙cos45°.

ent8-18

19. Центр шара, описанного около куба лежит на середине диагонали куба. Диагональ куба — диаметр описанного шара. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров: d2=a2+b2+c2 (a, b и c — ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины). Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, поэтому: d2=3a2.

ent8-19

20. Вычислим: (6,(3)-5,(2))·2=1,(1)·2=2,(2). Здесь такое вычисление было возможным потому, что данные периодические десятичные дроби представимы в виде обыкновенных дробей с равными знаменателями. В общем случае следует перевести каждую периодическую десятичную дробь в обыкновенную, и только потом выполнять указанные действия. Существует правило перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную: бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной,  числитель которой равен разности между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из девяток и нулей, причем, девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода дроби.

21. Упростим: числитель «свернем» — это квадрат разности двух выражений, а знаменатель разложим на множители методом группировки слагаемых.

ent8-21

 22. Решение тригонометрического неравенства вида tgt<a. Короче решать по формуле:

если tgt<a, то -π/2+πn<t<arctg a+πn, nє Z.

ent8-22

23. Построим графики данных линий.

ent8-23

 24. Точки пересечения этих окружностей есть решения системы уравнений: x2+y2-14x-10y+49=0 и x2+y2+4y-21=0. Вычтем второе уравнение из первого. Получаем: -14х-14у+70=0. Делим почленно на (-14), получается: х+у-5=0. Выразим одну переменную через другую, например, у через х.

у=5-х. Подставим это значение 5-х вместо у в уравнение x2+y2+4y-21=0.

x2+(5-x)2+4∙(5-x)-21=0;

x2+25-10x+x2+20-4x-21=0;

2x2-14x+24=0  |:2;

x2-7x+12=0.    По теореме Виета находим корни приведенного квадратного уравнения: x1=3, x2=4.

Если х=3, то у=5-х=5-3=2. Получаем точку (3; 2).

Если х=4, то у=5-4=1. Вторая точка пересечения окружностей (4; 1).

25. Дом с номером 94 расположен на правой стороне улицы (четные номера домов). Задача сводится к нахождению номера n данного n-го члена арифметической прогрессии: 2, 4, 6, …, 94.

У нас a1=2, d=2, an=94. Применяем формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)∙d. Подставляем наши данные:

94=2+(n-1)∙2   ⇒  92=(n-1)∙2  ⇒  n-1=92:2; тогда n-1=46  ⇒  n=47.

ЕНТ-2013, вариант 0007.

testovik-ent-2013-7Дорогие друзья, проверьте свои решения варианта 0007. Пишите свои отзывы в комментариях. Что осталось непонятным? Какие темы вас затрудняют? Решайте, готовьтесь к ЕНТ и не верьте ни в какие шпаргалки и в чудеса. Все в ваших руках, и время еще есть! Повторяйте формулы, не стесняйтесь спрашивать, что непонятно, у своих учителей. Помните: дорогу осилит идущий!

1. Вычисляем:

ent7-1

2. Раскрываем скобки в правой части равенства — умножаем 4 на каждое слагаемое в скобках, получаем:

3у+6=36-2у → 3у+2у=36-6 → 5у=30 → у=30:5 → у=6.

3. Целые решения неравенства 3<x<6 это числа 4 и 5. Их сумма 4+5=9.

4.  Сумма косинусов (в числителе) равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности, т.е.

cos4α+cos2α=2cos3αcosα. Сокращаем дробь на cos3α и остается 2cosα.

5. Решить уравнение: cos(-x)=1. Решаем. Косинус — функция четная, поэтому cos(-x)=cosx =1. Применим частную формулу для косинуса: cost=1 → t=2πn, nЄZ. Получаем: х=2πn, nЄZ.

6. Вычислите первые три члена последовательности, заданной формулой an=2n+3.

Подставляя в эту формулу поочередно вместо n  значения 1, 2 и 3, получаем первые три члена последовательности:

a1=2∙1+3=5; a2=2∙2+3=7; a3=2∙3+3=9.

7. При х=-5 функция f(x)-1-x принимает значение f(-5)=1-(-5)=6.

8. Полезно помнить, что диагональ квадрата со стороной а равна а корней из двух.

ent7-8

9. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, есть число, равное сумме произведений соответственных координат этих векторов.

ent7-9-1

10. По основному свойству пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов) можно записать: (x+5)2=(x-5)2, а это возможно лишь при условии, что х=0.

11. Сколько воды нужно добавить к 40 кг 5%-го раствора соли в воде, чтобы получить 4%-ый раствор? Решаем. Подобные задачи решают так: двумя способами находят или выражают основной продукт раствора (в данном случае это соль) или сплава, получают равенство, из которого находят значение введенной переменной. Итак, отвечаем на вопрос задачи: нужно добавить х кг к 40 кг 5%-го раствора.

В 40 кг 5%-го раствора содержится 0,05·40=2 (кг) соли (чтобы найти процент от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь и умножить эту дробь на данное число).

В (40+х) кг 4%-го раствора содержится 0,04·(40+х) (кг) соли.

Получаем равенство: 0,04·(40+х)=2;

40+х=2:0,04;

40+х=50 → х=10. Нужно добавить 10 кг воды.

12. Решить уравнение: 35x+2=81x-1.

Решаем. Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 3.

35x+2=(34)х-1;

35x+2=34х-4; отсюда 5х+2=4х-4, получаем х=-6.

13. Решить логарифмическое уравнение:

ent7-13

14. Не стоит решать — подставляйте предложенный ответ (всегда начинайте анализировать с ответа А))вместо х. Сразу выясняем, что корень х=-1. 

15. При вычислениях используем формулы: arcsin(-a)=-arcsina; arctg(-a)=-arctga; arccos(-a)=π-arccosa, а также таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов.  

ent7-15

16. Найти производную данной функции:

ent7-16

17. Дана задача. В треугольниках ABD и ADC имеем: AB=AC, BD=DC, / BAC=60°. Вычислить угол DAC. Решаем.

ent7-17

18. Задача на конус.

ent7-18

19. По стороне основания, равной 5 см, и боковому ребру, равному 8 см, найдите объем правильной треугольной призмы.

ent7-19

20. Требуется вычислить: (36,27(3)-6,2(3)):0,2.

Существует правило перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную: бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной, числитель которой равен разности между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из девяток и нулей, причем, девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода дроби.

ent7-20

21. Чтобы упростить данное выражение потребуется знание формул сокращенного умножения (ФСУ):

1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);  2) a2-b2=(a-b)(a+b); 3) (a-b)2=a2-2ab+b2Решаем:

ent7-21

22. Решим первое неравенство и найдем общее решение, удовлетворяющее и первому и второму неравенствам.

ent7-22

23. Решить неравенство:

ent7-23

ent7-23-gДрузья, возможно, вы привыкли решать тригонометрические неравенства с помощью графиков, а не по формулам (что быстрее и удобнее!). Тогда для вас геометрическая иллюстрация этого неравенства. Но все равно, вы должны будете сделать замену переменной на t, найти решения для t, а затем, точно так же, выполнить преобразования в двойном неравенстве, чтобы «добраться» до  аргумента х.

 

24. Вычислить определенный интеграл:

ent7-24Подынтегральная функция есть косинус. Интеграл от косинуса дает синус. Однако, должны совпадать аргумент косинуса и переменная интегрирования, но у нас переменная интегрирования х, а аргумент у косинуса  имеет вид: kx+b, что позволяет подвести эту линейную функцию (kx+b) под знак дифференциала.

ent7-24-i

25. Выбираем ответ С) недостаточно информации: на самом деле, не сказано —  находится  пункт В на прямой АС или нет? Возможно,точки А, В и С образуют треугольник?

ЕНТ-2013, вариант 0006.

testovik-ent-2013-6

 

1. 541·1+459:1=1000.

2. Решить уравнение: 2,5(х-3)=0,5(х-7).

Прежде, чем раскрывать скобки, разделим обе части равенства на 0,5. Получим уравнение:

5(х-3)=х-7;

5х-15=х-7;

5х-х=-7+15;

4х=8 → х=2.

3. Разделить 80 на две части так, чтобы одна часть составляла 60% от другой. Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда другая часть будет равна 0,6х (так как составляет 60% от первой части). Зная, что сумма обеих частей должна быть равна 80, составим уравнение:

х+0,6х=80; 1,6х=80 → х=80:1,6=800:16=50. Первая часть равна 50, тогда вторая часть 80-50=30 или 0,6·50=30.

4. Решить неравенство: 4x2-12x+9≤0.

Выражение в левой части неравенства есть полный квадрат разности двух выражений, поэтому, запишем:

(2x-3)2≤0. Квадрат любого числа не может быть меньше нуля, но может быть равен нулю, если основание степени равно нулю:

2x-3=0; 2x=3 x=3:2; x=1,5.

5. Тангенс пи, деленного на четыре — это тангенс 45°, поэтому, результат равен 3·1=3.

6. Решить уравнение: sin2x=sinx. Решаем. Разложим sin2x по формуле синуса двойного аргумента: sin2α=2sinαcosα. Получим:

2sinxcosx-sinx=0; вынесем общий множитель sinx за скобки ( ни в коем случае нельзя делить на sinx, так как при этом вы потеряете корни).

sinx(2cosx-1)=0 → sinx=0 или 2cosx-1=0.

ent6-6

7. Известны первый и второй члены геометрической прогрессии, значит, мы можем найти знаменатель q геометрической прогрессии, а, зная первый член и знаменатель прогрессии, можно найти шестой член этой прогрессии по формуле общего члена геометрической прогрессии.

ent6-7

8. Дана функция f(x)=(ln5)∙5x.  Нужно найти первообразную F(x)  при условии: F(0)=2. Решаем. Находим первообразную данной функции: F(x)=5x+C. Для нахождения значения постоянной С, подставим данные: вместо х подставляем нуль, а вместо F(x) значение 2. Получаем равенство: 2=50+C; находим постоянную С.

2=1+C; C=1. Ответ: F(x)=5x+1.

9. Дан параллелограмм со стороной 12,8 см. По условию другая сторона меньше на 2,6 см, значит, будет равна 12,8-2,6=10,2 см. Требуется найти периметр параллелограмма, т.е сумму всех его сторон. Р=12,8+10,2+12,8+10,2=23+23=46 (см). Формула периметра параллелограмма: P=2(a+b).

10. Разложим знаменатели второй и третьей дроби на множители и умножим обе части равенства на НОЗ (наименьший общий знаменатель всех дробей), т. е на выражение 5(δ-1)(δ+1), считая его не равным нулю (δ≠±1). Получаем линейное уравнение, из которого находим: δ=3. Можно и не решать, а делать проверку предложенных ответов.

ent6-10

11. Решить уравнение: 4x-10∙2x-1-24=0. Решаем. Запишем уравнение в виде:

22x-10∙2x∙2-1-24=0, отсюда: 22x-5∙2x-24=0. Сделаем замену переменной. Пусть 2х=у. Тогда получим приведенное квадратное уравнение: у2-5у-24=0. По теореме Виета корни этого уравнения у1=-3 и у2=8. Возвращаемся к переменной х. 1) 2х=-3. Это невозможно, так как показательная функция (2х) может принимать только положительные значения. 2) 2х=8 → 2х=23 х=3.

12. Решить уравнение:

ent6-12

13. Решить уравнение:

ent6-13

14. Нужно по рисунку определить, какая функция соответствует данному графику. Рассуждаем. График — синусоида, проходящая через начало координат, значит, это функция вида y=Asin(kx). Наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее равно (-1), следовательно, А=1 и функция имеет вид y=sin(kx). Синус на рисунке «пробегает» все свои значения в промежутке [-3π; 3π], следовательно, период изображенной функции равен . Как находят период функции? Формула:

ent6-14

15. Данную функцию f(x)=sin3xcos3x преобразуем по формуле синуса двойного аргумента (sin2α=2sinαcosα). Получаем: f(x)=(1/2)sin6x.

Теперь берем производную f ‘(x)=(1/2)cos6x ·6=3cos6x.

16. В четырехугольнике MNKE, вписанном в окружность, угол NKM равен 56° , угол NME равен 80°. Найдите угол MKE.

ent6-16

17. Дана правильная шестиугольная пирамида. Это означает, что в основании данной пирамиды лежит правильный шестиугольник, а высота пирамиды проектируется в центр этого правильного шестиугольника. Представили себе правильный шестиугольник? Если помните, как вы его чертили, то помните, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Боковое ребро равно 20 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Это означает, что все боковые ребра этой правильной шестиугольной пирамиды наклонены к основанию под углом 30°. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Представили себе этот угол?  Нужно вычислить площадь круга, описанного около шестиугольника. Итак, нас интересует радиус R окружности, описанной около правильного шестиугольника.

ent6-17

18. Радиус шара, вписанного в куб, равен 3 см. Найти разность объемов куба и шара. Решаем. Объем шара найдем по формуле: Vш=(4/3)πR3=(4/3)π∙33=π∙27:3∙4=36π см3.

Представляете себе шар, вписанный в куб. Он касается изнутри всех граней куба. Диаметр шара равен ребру куба. Следовательно, ребро куба равно 6 см.   Объем куба Vк3=63=216 см3. Находим искомую разность объемов куба и шара.

Vк-Vш= 216 см3-36π см3=36(6-π) см3.

19. Определить координаты единичного вектора, сонаправленного с данным вектором:

ent6-19

20. Сторону квадрата увеличили на 10%. На сколько процентов увеличится периметр квадрата? Ответ: на столько же процентов. Как решать? Пусть сторона данного квадрата равна а, тогда периметр Р=4а. После увеличения стороны на 10% сторона стала равна 1,1а, периметр стал равен 4,4а. Следовательно, разница 0,4а — это 10% от 4а.

21. Две бригады должны были собрать весь урожай за 12 дней. Однако, после восьми дней совместной работы, первая бригада была переведена на другую работу, и оставшуюся часть работы вторая бригада завершила за 7 дней. За сколько дней вторая бригада в отдельности собрала бы весь урожай? Такие задачи на работу решаются так же, как задачи на движение: вводят переменную (одну или две), составляют таблицу, в которой заполняют 2 графы из 3-х, а третью графу заполняют по формуле (пути или объема работы, как здесь). Останется одно неиспользованное условие, которое используют для составления уравнения (системы уравнений).

Решаем. Пусть первая бригада собрала бы весь урожай за х дней, а вторая — за у дней. Составим таблицу:

ent6-21

22. Решить систему неравенств:

ent6-22

23. Решить неравенство: sinx+cos2x≥1. Решаем. Перенесем 1 в левую часть. sinx+cos2x-1≥0.Умножим обе части неравенства на (-1), чтобы воспользоваться формулой: 1-cos2α=2sin2α. Получаем: 1-cos2x+sinx≤0 → 2sin2x-sinx≤0. Затем сделаем замену: sinx=y. Решим квадратичное неравенство 2y2-y≤0 методом интервалов. Получим 0≤у≤0,5. Это означает, что 0≤sinx≤0,5. Покажем графически решение последнего неравенства.

ent6-23

24. Вычислим интеграл:

ent6-24

25. Так как Миша набрал в 3 раза меньше очков, чем Максим, то в предложенной нам таблице напротив Миши поставим х, а напротив Максима запишем . По условию отношение результата Коли к результату Миши прямо пропорционально отношению результата Максима к результату Саши. Получаем пропорцию:

6:х=3х:8. Отсюда 3x2=48,  разделим равенство почленно на 3 и получим: x2=16, значит, x=4. Итак, Миша набрал 4 очка, Максим набрал 12 очков. Располагаем результаты ребят в порядке возрастания: 4, 6, 8, 12.

ЕНТ-2013, вариант 0005.

1. Чтобы упростить данное выражение, разложим на множители числители и знаменатели данных дробей.

ent5-1

 2. Вынесем у за скобки, а выражение в скобках разложим на множители по формуле разности квадратов двух выражений.

ent5-2

 3. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из частей в 2 раза длиннее другой. Требуется найти длину каждой части. Решаем. Обозначим меньшую часть через х. Тогда другая часть будет равна. Зная, что сумма этих двух частей равна 135 м, составим уравнение: х+2х=135. Отсюда 3х=135, а х=135:3=45 (м) — длина меньшей части. Другая часть составит 45·2=90 (м).

4.  Дробь отрицательна, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель данной дроби 3x2+1>0 при любом действительном значении х, то числитель должен быть меньше нуля.

x2-5x+4<0. По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена x1=1 и x2=4 и разложим его на множители. Получаем: (x-1)(x-4)<0. Методом интервалов находим решение неравенства:  1<x<4. Ответ: (1; 4).

5. Упростить выражение: sin(90°-α)-cos(180°-α)+tg(180°-α)-ctg(270°+α). Применяем правило для формул приведения: 1) перед приведенной функцией ставят знак приводимой; 2) если в записи аргумента π/2 взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию. Решаем. sin(90°-α)-cos(180°-α)+tg(180°-α)-ctg(270°+α)=cosα+cosα-tgα+tgα=2cosα.

6. Применим формулу для решения простейшего уравнения sint=a:

t=(-1)n∙arcsina+πn, nєZ.  

ent5-6

7. Известен четвертый член геометрической прогрессии  c4=24  и знаменатель геометрической прогрессии  q=-2. Требуется найти первый член этой геометрической прогрессии. Решаем. Применим формулу общего члена геометрической прогрессии: cn=c1∙qn-1. У нас: c4=c1∙q3. подставляем свои данные: 24=c1∙(-2)3; 24=c1∙(-8) → c1=-3.

8. Так как график данной линейной функции проходит через точку (-2; -3), то координаты этой точки удовлетворяют данному равенству: подставляем х=-2, у=-3 и находим b=-6.

9. Углы треугольника относятся, как 1:1:2. Такое возможно только в прямоугольном треугольнике (45°, 45° и 90°). Здесь частный случай треугольника. В общем случае нужно обозначить одну часть через х, выразить через х все углы, и, зная, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, составить уравнение. В нашем примере можно было записать:

х+х+2х=180°. Отсюда 4х=180°, х=45°. Углы: 45°, 45° и 90°.

10. Дано уравнение с модулем: x2-6x+|x-4|+8=0. Решаем. Нужно освободиться от знака модуля. Возможны 2 случая:

1) Если х≤4, то x2-6x-x+4+8=0 → x2-7x+12=0  → x1=3  и x2=4. Оба значения подходят, так как удовлетворяют условию 1): х≤4

2) Если х>4, то x2-6x+x-4+8=0 → x2-5x+4=0  → x1=1 и x2=4. Значение х=4 мы уже взяли, а х=1 не подходит, так как не удовлетворяет условию 2): х>4. Ответ: 3 и 4. 

11. Подставляем предложенные пары чисел вместо х и у в каждое уравнение системы. Начинаем с ответа В), так как под знаком логарифма не должно быть отрицательных чисел. Проверяем пару чисел (2; 5):

2+5=7 и lg2+lg5=lg(2·5)=lg10=1. Пара (5; 2) также подходит.

12. Решаем логарифмическое уравнение:

ent5-12

13. Решаем иррациональное уравнение:

ent5-13

14. Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=x2,  где х≥0, нужно выразить х через у, а затем, в полученном равенстве вместо х написать у, а вместо у написать х.

ent5-14

15. Дана функция: y=sin3x cos5x-cos3x sin5x. Преобразуем правую часть по формуле синуса разности двух углов:

sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ. Получаем у=sin(3x-5x)=sin(-2x)=-sin2x. Найдем производную y’(x)=(-sin2x)’=-2cos2x.

ent5-15

16. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4. Периметр треугольника равен 24 см. Найдите радиус описанной окружности.

ent5--16

Смотрите видео: решение задачи 16.

17. Радиус шара равен 8 см, через его середину в шаре проведено сечение. Найдите разность площадей большего и отсеченного кругов. Решаем. Находим площадь большого круга:  S=πR2=π∙82=64π см2. Радиус r отсеченного круга – катет в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 8 см (радиус шара) и вторым катетом 4 см (половина радиуса шара). По теореме Пифагора r2=82-42=64-16=48 см2. Тогда площадь отсеченного круга s=πr2=48π см2. Тогда искомая разность площадей большого и отсеченного кругов равна 64π-48π=16π (см2).

Смотрите видео: решение задачи 17.

18. Задача на призму.

ent5-18

19. Определить точки пересечения двух окружностей, если уравнение одной из них x2+y2=9, а центр другой, с радиусом, равным 5 см, находится в точке (4; 0). Решаем. Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид: (x-a)2+(y-b)2=R2. Запишем уравнение второй окружности по этой формуле: (х-4)2+(у-0)2=52. Упростим: (х-4)22=25. Так как окружности пересекаются, то нужно решить систему уравнений: x2+y2=9 и (х-4)22=25. Вычтем первое уравнение из второго: (х-4)22=25-9. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: х2-8х+16-х2=16, отсюда -8х=0, тогда х=0. Подставим значение х=0 в любое уравнение системы, например, в первое: x2+y2=9. Получаем: y2=9. Отсюда у=±3. Координаты точек пересечения: (0; -3) и (0; 3).

20. Освободимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное  знаменателю. Упростим полученное выражение и опять умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Дважды примененная при этом формула разности квадратов двух выражений (a-b)(a+b)=a2-b2 позволяет освободиться от знака радикала в знаменателе дроби.

ent5-20

21. Найти значение выражения:

ent5-21

22. Решаем каждое неравенство системы. 1) заменим логарифм числа х по основанию 2 через у. Получаем неравенство:

y2-3y+2≤0. Корни трехчлена  y1=1, y2=2. Неравенство можно записать в виде: (y-1)(y-2)≤0. Решение можно найти методом интервалов:  yє[1; 2]. Возвращаемся к переменной х.

ent5-22

23. Решаем тригонометрическое неравенство. Представим числитель дроби в виде разности синусов, а знаменатель дроби в виде суммы синусов. Представим числитель и знаменатель дроби в виде произведения по формулам преобразования разности и суммы синусов в произведение. Упрощаем полученную дробь и получаем простейшее неравенство с тангенсом.

ent5-23

24. Начертим фигуру, ограниченную данными линиями.

ent5-24

25. Иными словами, вас спрашивают, какие из данных чисел 30, 33 и 36 являются составными. Конечно, 30 и 36. Составным называют число, имеющее более двух делителей. Простое число имеет только два делителя: единицу и само это число.

ЕНТ-2013, вариант 0004.

ent2013-0004

1. Представляем каждое число под знаком корня в виде произведения двух чисел, одно из которых является полным квадратом. Выносим множитель из-под знака корня и приводим подобные слагаемые.

ent4-1

2. Из первого уравнения системы выразим х.

х=у+1. Подставим это значение вместо х во второе уравнение системы и получим уравнение с одной переменной у:

(y+1)2-y=3. Раскроем скобки: y2+2y+1-y-3=0; приведем подобные слагаемые: y2+y-2=0. По теореме Виета корни полученного приведенного уравнения: y1=-2, y2=1. Если y1=-2, то x1=y1+1=-2+1=-1.  Если y2=1, то x2=y2+1=1=1=2.

Решения данной системы уравнений: (-1; -2) и (2; 1).

В задаче требуется вычислить сумму произведений: x1∙y1+x2∙y2. Подставим найденные значения и получим:

x1∙y1+x2∙y2=-1∙(-2)+2∙1=2+2=4.

3. Известно, что периметр прямоугольника равен 20 см, значит, длина плюс ширина составят 10 см. По условию площадь прямоугольника равна 24  квадратных сантиметра. А площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Ну, и много вы найдете чисел (длину и ширину), чтобы их сумма была равна 10, а произведение 24? Смотрим ответы. Подойдут только числа 6 см и 4 см. Проверка: 6+4=10, 6·4=24.

4. Наибольшее целое решение неравенства х≤-5 есть число -5, так как неравенство -5≤-5 является верным!

5. Используем основное тригонометрическое тождество:  sin2α+cos2α=1, из которого следует: 1-sin2α=cos2α. Сократим полученную дробь на cos2α и получим в ответе 1.

ent4-2

7. Знаменатель геометрической прогрессии — это число q, на которое умножают предыдущий член прогрессии bn, чтобы получить следующий bn+1. Итак, bn+1=bn∙q. Чтобы найти знаменатель q, нужно bn+1 разделить на bn. Получаем: q=bn+1:bn=3:(1/3)=3∙3=9.

8. Первообразные функции f(x)=5sinx равны F(x)=-5cosx+C, так как

F ‘(x)=(-5cosx+C)’=-5·(-sinx)=5sinx=f(x).

9. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S=(1/2)d1∙d2. По условию площадь равна 48 см2, а диагонали относятся друг к другу как 2:3. Обозначим одну часть через х. Тогда диагонали ромба будут равны и 3х. Подставим все значения в формулу площади ромба:

(1/2)·2х·3х=48 или 3x2=48, отсюда x2=16, x=4.

Меньшая диагональ равна 2х, т.е. 2·4=8 см.

10. Упростим каждое уравнение системы.

6(x+y)-y+1=0 → 6x+6y-y+1=0 → 6x+5y=-1.

7(y+4)-(y+2)=0 → 7y+28-y-2=0 → 6y=-26 → y=-26/6=-13/3.

Подставим значение у в первое уравнение и найдем х (хотя это делать вовсе не обязательно: только в ответе С) мы видим такое значение у).

ent4-3

11. Дано простейшее показательное уравнение. Представляем левую и правую части данного равенства  в виде степеней с основанием 2.

ent4-4

12. Представим логарифм по основанию 0,5 в виде логарифма по основанию 2; введем новую переменную у, решим квадратное уравнение относительно у и вернемся к переменной х.

ent4-5

 13. Проще всего «сделать проверку»: подставить предложенные ответы вместо х в данное равенство. Всегда начинайте проверку с ответа А). Ну, а уметь решать такие примеры вы, конечно, обязаны.

ent4-6

14. Область определения функции D(y) — это множество таких значений х, при которых выражение в правой части равенства имеет смысл. У нас в правой части равенства арифметический квадратный корень из выражения 3x-9.  Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то должно выполняться условие: 3x-9≥0. Отсюда  3x ≥9 или  3x≥32. Получаем х≥2. Ответ: D(y)=[2; +∞).

15. Скорость движения точки есть производная ее пути по времени: v(t)=x’(t). Находим производную x’(t) и подставляем в нее вместо t число 3.

v(t)=x’(t)=(3t3-2t2+5)’=9t2-4t. Тогда v(3)=9∙32-4∙3=9∙9-12=81-12=69. Ответ: 69 м/с.

16. У любого четырехугольника, вписанного в круг, суммы противолежащих углов равны по 180°. Напротив угла В лежит угол D, равный 84°. Следовательно, угол В=180°-84°=96°. Стало быть угол ABD, равный 52°, дан вам для «общего развития».

17. Из точки вне плоскости проведены две наклонные, одна из которых равна 20 см и наклонена под углом 30° к плоскости. Определите длину второй наклонной, если ее проекция на плоскость равна 24 см. Ваши рассуждения (без чертежа, который вы видите мысленно): перпендикуляр из данной точки на плоскость — катет, лежащий в прямоугольном треугольнике напротив угла в 30°, значит, длина перпендикуляра 20:2=10 см. Этот перпендикуляр, вторая наклонная и ее проекция образуют прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Тогда гипотенуза равна 26 см ( частые «тройки» прямоугольного треугольника: {3, 4, 5}; {5, 12, 13} и {8, 15, 17}). Эта «тройка» 10, 24 и 26 есть удвоенная «тройка» {5, 12, 13}. Если вы испытали затруднение при вышеприведенном разборе этого задания — смотрите ниже подробное решение, и пусть ваша следующая попытка решения подобной задачи будет удачнее.

ent4-7

18. Дана пирамида, площадь основания которой 48 см2. Через середину высоты пирамиды проведено сечение параллельно основанию. Требуется найти площадь полученного сечения. Отсеченная (верхняя) часть представляет собой пирамиду, подобную данной. Основания этих пирамид являются подобными многоугольниками. Площади подобных фигур относятся друг у другу, как квадраты соответствующих линейных размеров. Следовательно, S:s=H2:h2. Здесь S — площадь основания данной пирамиды, s — площадь основания новой пирамиды (искомая площадь сечения),  H — высота данной пирамиды,  h — высота новой пирамиды. Подставляем имеющиеся данные.

48:s=22:12 или 48:s=4:1 → s=48∙1:4=12(см2). Ответ: 12 см2.

19. Строим графики заданных линий и находим площадь полученного треугольника. Эта площадь равна удвоенной площади прямоугольного треугольника АОВ. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (катеты равны по 2 единицы).

ent4-8

ent4-9

21. Решить уравнение: |x+5|-|10+x|=0. 

Для того, чтобы решить это уравнение, мы должны освободиться от знака модуля. Нули модулей х=-5 и х=-10 делят числовую прямую на три области, в каждой из которых мы будем искать корни.

ent4-10

I область — это числа х<-10. Для определенности возьмем х=-20 и подставим (мысленно) в данное уравнение. Так как модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, то получаем: -х-5+10+х=0. Получаем 5=0. Ложно. Следовательно, на всей области I корней нет.

II область — это числа -10≤x≤-5. Будем вместо х подставлять, например, х=-7. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу. Получаем: -х-5-10-х=0. Тогда -2х=15, х=-7,5. Это число находится во II области, поэтому х=-7,5 — корень данного уравнения. На этом можно и остановиться, взглянув на предложенные ответы, но дорешаем.

III область — это числа х>-5. Для определенности берем х=0 и подставляя в данное равенство, раскроем знаки модулей: х+5-10-х=0. Получаем -5=0 — неверное равенство, делаем вывод: в III области корней нет.

Так, с помощью областей, решают и уравнения, и неравенства со знаками модуля.

ent4-11

23. Применим формулу синуса суммы двух углов и получим неравенство:

ent4-12

Это неравенство верно при любых значениях аргумента. Ответ(-∞; +∞).

ent4-13

25. По условию периметр прямоугольника S=2(a+b)=36 см. Тогда сумма двух сторон a+b=18 см. Так как длины сторон должны выражаться целыми числами, то они могут быть равны: 1 см и 17 см или 2 см и 16 см или 3 см и 15 см или 4 см и 14 см или 5 см и 13 см или 6 см и 12 см или 7 см и 11 см или 8 см и 10 см или 9 см и 9 см. Посчитайте — всего 9 вариантов.

ЕНТ-2013, вариант 0003.

ent2013-0003

1. Число 45 пропорционально числам 4, 5 и 6. Если в задаче есть такие слова «пропорционально числам 4, 5 и 6″, то всегда обозначают одну часть через х. Тогда число 45=4х+5х+6х. Упрощаем: 15х=45, отсюда х=3. Меньшее число содержит 4х, значит, оно равно 4·3=12. 

2. Требуется решить уравнение |4-x|=1,5. Идем от определения модуля числа:  модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, модуль отрицательного числа равен числу противоположному. Под знаком модуля могло быть как положительное число, так и отрицательное. Так и запишем:

4-х=1,5 или 4-х=-1,5;

-х=1,5-4;         -х=-1,5-4.

-х=-2,2;           -х=-5,5.

х=2,2;               х=5,5. 

3. Итак, автомобилист, выехавший из пункта А через полчаса после  мотоциклиста, догнал его. Спрашивают, на каком расстоянии от А, если скорость мотоциклиста 48,4 км/ч, а скорость автомобиля больше скорости мотоцикла в

ent3-1

4. Отметим на числовой прямой «пустыми» точками -2 и 3. Решаем неравенство методом интервалов. Проверим знак дроби при х=10, подставив значение 10.  Расставим знаки на промежутках. Так как у нас неравенство больше нуля, то выбираем промежуток знака «+».

ent3-2

5. Упростим данное выражение cos(30°+α)-cos(30°-α), используя формулу разности косинусов двух углов. Получим минус удвоенное произведение синуса полусуммы на синус полуразности: cos(30°+α)-cos(30°-α)=-2sin30°sinα=-sinα.

6. Нам дано однородное линейное уравнение. Решают его делением обеих частей равенства на косинус данного аргумента. В результате получают простейшее уравнение с тангенсом.

ent3-3

7. Известны девятый член (a9=12)  и разность (d=1,5) арифметической прогрессии.

Требуется найти первый член a1 данной арифметической прогрессии. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)d. Подставим в нее наши данные и получим: a9=a1+8d;

12=a1+8∙1,5;

12+a1=12 →  a1=0.

8.  Площадь фигуры, ограниченной данными линиями y=x2, y=0, x=2, найдем с помощью определенного интеграла. Искомая площадь будет равна определенному интегралу от нуля до двух функции икс в квадрате по дэ икс. Если вам это понятно — значит, вы представляете себе графики данных линий  и так и должно быть! Если непонятно — строим графики и вспоминаем формулу площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), а слева и справа — прямыми х=a, x=b.

ent3-4

9. По условию внешний угол при вершине А треугольника АВС в два раза больше одного из несмежных углов треугольника, а по определению, внешний  угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Получается, что эти несмежные углы равны между собой. Отсюда следует, что данный треугольник является равнобедренным с вершиной А. И если мы проведем медиану из вершины А, то она будет являться и высотой и биссектрисой.

10. Найдем корень данного уравнения и подставим его значение в выражение (-13х+2)2+х.

ent3-5

11. Дано уравнение (100x)lgx=x3. Требуется найти сумму его корней. Так как и основание и показатель степени содержат переменную, то решение уравнения начинаем с логарифмирования обеих частей равенства по основанию 10 (у нас ведь десятичный логарифм).

lg(100x)lgx=lgx3; логарифм степени равен произведению показателя этой степени на логарифм основания:

lgx∙lg(100x)=3lgx. Перенесем 3lgx в левую часть равенства и вынесем lgx за скобки: lgx∙lg(100x)-3lgx =0;

lgx∙(lg(100x)-3)=0. Каждый из множителей может быть равен нулю. Если lgx=0,  то x=100=1.  Если  lg(100x)-3=0, то lg(100x)=3, откуда 100x=103; 100x=1000; x=10. Сумма квадратов корней: 12+102=1+100=101.

12.  Упростим данную систему уравнений, освободившись от знака логарифма во 2-ом уравнении.

log5(2y+10x+3)=2 → 2y+10x+3=52 → 2y+10x+3=25;  10x+2y=22. Выразим 2х из первого уравнения: 2х=20-3у. Подставим это значение во 2-ое уравнение, имея ввиду, что 10х=5∙2х. Тогда вместо 10x+2y=22 запишем:

5∙(20-3у)+2у=22. Упростим: 100-15у+2у=22 или -13у=-78, откуда у=6. Подставляем это значение в выражение 2х=20-3у. Получаем:

2х=20-3∙6=2. Тогда х=1. Решением системы служит пара значений переменных: (1; 6).

13. Возведем обе части равенства в квадрат. Получаем: x-5=a2x=a2+5.

14. Область определения функции — это множество таких значений х, при которых выражение в правой части равенства имеет смысл. Так как у нас дробь, то знаменатель ее должен быть отличен от нуля, т.е. x+3x2≠0. Приравняем знаменатель к нулю, решим уравнение, а затем исключим корни этого уравнения.

ent3-6

15. Требуется найти производную сложной функции y=(lnx)2. Итак, мы имеем степень, значит, берем производную по формуле производной степени. Далее: основание этой степени — натуральный логарифм, — берем производную  от натурального логарифма и умножаем производную степени на производную натурального логарифма.

ent3-7

16.  Стороны треугольника ВА=14 см и ВС=17 см, а косинус угла В между ними равен (-8/17). Нужно найти площадь треугольника. Мы знаем формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: S=(1/2)ac·sinβ. Зная косинус угла В, вычислим синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество sin2β + cos2β=1, и подставим в формулу площади.

ent3-8

17. Дан равносторонний треугольник. Точка, равноудаленная от сторон треугольника на 5 см, от плоскости отстоит на 3 см. Нужно найти площадь этого треугольника.

ent3-16

Смотрите видео решение.

18. Основания призмы — правильные треугольники со стороной 6 см. Требуется найти объем призмы, если ее боковое ребро равноent3-10 Решение. Применяем формулу объема призмы: V=Sосн.∙H, где Sосн. – площадь основания призмы, значит, в нашей задаче, площадь правильного треугольника со стороной 6 см. H – высота призмы, а так как у нас призма  прямая, то в качестве высоты можно взять длину бокового ребра.

ent3-11

19. Чтобы найти координаты точек пересечения окружности x2+y2-10x-6y+9=0 с осью абсцисс, подставим у=0, так как точки, лежащие на оси Ох имеют ординату, равную нулю, и решим получившееся квадратное уравнение х2-10х+9=0. Подбираем корни по теореме Виета: х1=1, х2=9. Искомые точки пересечения: (1; 0) и (9; 0).

 20.  Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов двух выражений a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). У нас а6-64=(а2)3-43=(а2-4)(а4+4а2+16). В знаменателе первой дроби такое же выражение, как во вторых скобках разложения. Сокращаем. Остается а2-4. Преобразуем вторую дробь. Числитель второй дроби разложим по формуле разности квадратов двух выражений а2-b2=(a-b)(a+b). У нас а4-16=(а2)2-42=(а2-4)(а2+4). Сократим вторую дробь на (а2+4), останется: а2-4. Имеем: а2-4+ а2-4=2а2-8.

21. Чтобы найти значение данного выражения, выразим а из предложенного равенства (из пропорции): 3(a+b)=2(a-2b). Раскрываем скобки: 3a+3b=2a-4b → a=-7b. Теперь подставим вместо а в данное выражение значение (-7b) и упростим.

ent3-12

22. Представим единицу в правой части неравенства в виде логарифма по основанию (2х+1). При потенцировании будем учитывать, что от значения основания логарифма (2х+1) будет зависеть, возрастает функция (если 2х+1>1) или убывает (если 0<2x+1<1). Если функция возрастает, то знак неравенства сохраним, если функция убывает, то знак неравенства поменяем на противоположный. Кроме этого, учтем, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа.

ent3-13

23. Упростим предложенное неравенство: sinx+cos2x>1. Есть формула: 1-cos2α=2sin2α. Перепишем данное неравенство в виде:

sinx-(1-cos2x)>0. Применим формулу и получим: sinx-2sin2x>0. Сделаем замену переменной. Пусть sinx=y. Тогда: y-2y2>0 → y(1-2y)>0. Решим полученное неравенство методом интервалов.

ent3-14

24. Дана функция  f(x)=6x2-4x+1. Известно, что F(x) является первообразной для f(x), причем, F(-1)=2. Требуется найти F(1). Для этого запишем F(x) для данной функции, найдем значение постоянной величины С, а затем искомое значение F(1).

ent3-15

Находим значение С, используя равенство: F(-1)=2.

2=2∙(-1)3-2∙(-1)2-1+С;

2=-2-2-1+C → C=7. Тогда первообразная F(x)=2x3-2x2+x+7. Подставим вместо х число 1 и получим: F(1)=2-2+1+7=8.

25. Пусть в актовом зале х скамеек. Если на каждую скамейку посадить по 5 учеников, то четверо останутся без места, значит, всего 5х+4 учащихся. Если на каждую скамью посадить по 6 детей, то 2 места останутся свободными. Получается 6х-2 учащихся. Но учащихся определенное количество — имеем равенство: 5х+4=6х-2. Отсюда х=6. Следовательно, в зале 6 скамеек, а учеников 5·6+4=34.

ЕНТ-2013, вариант 0002.

ent2013-0002

1. Запишем все под одним корнем третьей степени и сократим дробь, а из получившейся дроби извлечем кубический корень.

ent2-1

2. Упростим уравнение, умножив обе его части на 7. Получим 7y2-9y+2=0. По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равна –b/a. Значит:

ent2-2

3. Всего 880 пассажиров. Из них 35% мужчин, значит, женщин и детей 100%-35%=65%. Найдем 65% от 880. Чтобы найти процент от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на данное число.

65%=0,65; умножаем 880 на 0,65, получаем 572. Столько женщин и детей, причем 75% от них составляют женщины, остальные 25% от 572 — это дети. Опять находим процент от числа. 25% от 572. Обращаем 25% в десятичную дробь (будет 0,25) и умножаем на 572. Считаем: 572·0,25=143. Это дети. Женщин: 572-143=429.

А короче?

25% — это четверть от 100%, поэтому, рассуждаем так: 572 делим на 4, получаем 143 (разделить на 4 проще, чем умножать на 0,25)- это дети, а женщин 75% — это три четверти, поэтому, 143 умножаем на 3 и получаем 429.

4. По условию составляем неравенство:

11x+3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:

11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:

6x<-9; делим обе части неравенства на 6:

x<-1,5. Ответ: Е).

5. 990° запишем в виде 2·360°+270°. Тогда cos 990°=cos(2·360°+270°)=cos 270°=0.

6. Применим формулу для решения простейшего уравнения tg t=a.

t=arctg a +πn, nєZ. У нас t=4x.

ent2-4

 7. Имеем: первый член арифметической прогрессии a1=25. Разность арифметической прогрессии d=a2-a1=30-25=5. Применим формулу для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии и подставим в нее наши значения a1=25, d=5 и n=22, так как требуется найти сумму 22 членов прогрессии.

ent2-5

8.Графиком данной квадратичной функции y=x2-x-6 служит парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина параболы находится в точке O’(m; n). Это самая нижняя точка графика, поэтому, свое наименьшее значение n функция будет иметь при x=m=-b/(2a)=1/2. Ответ: D).

9. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны между собой. Обозначим основание через х. Тогда каждая боковая сторона будет равна (х+3). Зная, что периметр треугольника равен 15,6 см, составим уравнение:

х+(х+3)+(х+3)=15,6;

3х=9,6 → х=3,2 — это основание треугольника, а каждая боковая сторона будет равна 3,2+3=6,2. Ответ: стороны треугольника равны 6,2 см; 6,2 см и 3,2 см.

10.  С первым неравенством системы все ясно. Решаем второе неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 4x2+5x-6 и разложим его на линейные множители.

ent2-6

11. Cправа по основному логарифмическому тождеству получается 7. Опускаем основания степеней (7) в левой и в правой частях равенства. Остается: x2=1, отсюда х=±1. Ответ: С).

12. Возведем обе части равенства в квадрат. Применив формулы логарифма степени и логарифма произведения, получим квадратное уравнение относительно логарифма числа 5 по основанию х. Введем переменную у, решим квадратное уравнение относительно у и вернемся к переменной х. Найдем значения х и проанализируем ответы.

ent2-7

13. Задание: решить систему. Не будем решать — сделаем проверку. Подставим предложенные ответы во второе уравнение системы, так как оно проще: х+у=35. Из всех предложенных пар решений системы подходит только ответ D).

8+27=35 и 27+8=35. Подставлять эти пары в первое уравнение системы не стоит, а вот если бы ко второму уравнению подошел бы еще один из ответов, то пришлось бы делать подстановку и в первое равенство системы.

14. Область определения функции — это множество значений аргумента х, при которых правая часть равенства имеет смысл. Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то должно выполняться условие: 6+2х≥0, отсюда следует, что 2х≥-6 или х≥-3. Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то запишем: х≠5. Получается, что можно брать все числа, большие или равные -3, но не равные 5. Ответ: [-3; 5)U(5; +∞).

15. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат этому отрезку, а затем из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

ent2-8

16. Рассмотрим круг, вписанный в правильный шестиугольник и вспомним, как выражается радиус вписанной окружности r через сторону правильного шестиугольника а. Найдем радиус, затем сторону и периметр шестиугольника.

ent2-9

17. Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проектируется в точку О - пересечения диагоналей прямоугольника, лежащего в основании пирамиды, ведь точка О должна быть равноудалена от всех вершин основания пирамиды.

ent2-10Находим диагональ AC прямоугольника ABCD. AC2=AD2+CD2;

AC2=322+242=1024+576=1600 → AC=40см. Тогда ОС=20см. Так как Δ МОС – прямоугольный и равнобедренный ( /  ОСМ=45°), то МО=ОС=20см. Применим формулу объема пирамиды,  подставив нужные значения.

18. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

ent2-12Пусть круг с центром в точке О1 и радиусом ОА перпендикулярен радиусу шара ОВ и проходит через его середину О1. Тогда в прямоугольном треугольнике АО1О гипотенуза ОА=10 см (радиус шара), катет ОО1=5см. По теореме Пифагора О1А2=ОА2-ОО12. Отсюда О1А2=102-52=100-25=75. Площадь сечения – это площадь нашего круга, найдем по формуле S=πr2=π∙O1A2=75π см2.

 

 19. Пусть а1 и а2 – искомые координаты вектора. Так как  векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Запишем: 1+7а2=0. Выразим а1 через а2. Тогда а1=-3,5а2. Так как длины векторов равны, то имеем равенство: а1222=22+72. Подставим в это равенство значение а1. Получаем: (3,5а2)222=4+49; упрощаем: 12,25а2222=53;

13,25а22=53, отсюда а22=53:13,25=4. Получается два значения а2=±2. Если а2=-2, то а1=-3,5∙(-2)=7. Если а2=2, то а1=-7. Искомые координаты (7; -2) или (-7; 2). Ответ: В).

20. Упростим знаменатель дроби. Для этого раскроем скобки и приведем дроби под знаком корня к общему знаменателю.

ent2-13

21. Выражение в скобках приведем к общему знаменателю. Деление заменяем умножением на дробь, обратную делителю. Применяем формулы квадрата разности двух выражений и разности квадратов двух выражений. Сократим дробь.

ent2-14

22. Чтобы решить данную систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти общее решение двух неравенств. Решаем 1-ое неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть, вынесем общий множитель за скобку.

x2∙4x-4x+1>0;

x2∙4x-4x∙4>0;

4x(x2-4)>0. Так как показательная функция при любом показателе принимает только положительные значения, то 4х>0, следовательно, и x2-4>0.

(x-2)(x+2)>0.

ent2-15

Решаем 2-ое неравенство.

0,5x≥8.

Представляем левую и правую части в виде степеней с основанием 2.

2-x≥23. Так как показательная функция с основанием большим единицы, возрастает на R, опускаем основания, сохраняя знак неравенства.

-x≥3 → x≤-3.

Находим общее решение.

ent2-16  Ответ: (-∞; -3].

23. По формуле приведения косинус преобразуется в синус . После приведения подобных слагаемых и деления обеих частей неравенства на 2, получим простейшее  неравенство вида: sin t > a. Решение этого неравенства находим по формуле:

arcsin a+2πn<t<π-arcsin a+2πn, nєZ.    У нас t=3x.

ent2-17

24. Упростим данную функцию. По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена x2-x-6 (x1=-2, x2=3),  разложим знаменатель дроби на линейные множители (х-3)(х+2) и сократим дробь на (х-3). Найдем первообразную Н(х) полученной функции 1/(х+2).

ent2-18

25. Итак, 126 игроков сыграют 63 игры, из которых 63 участника выйдут победителями во второй тур. Всего во втором туре будут сражаться 63+1=64 участника. Они сыграют 32 игры, отсюда еще 32 победителя, которые сыграют 16 игр. 16 победителей сыграют 8 игр, 8 победивших сыграют 4 игры. Четверо выигравших проведут 2 игры, и, наконец, двоим победившим нужно будет сыграть последнюю игру. Считаем матчи: 63+32+16+8+4+2+1=126.

ЕНТ-2013, вариант 0001.

Математика-2013

Математика-2013

Дорогие выпускники 2013! В новом сборнике Национального центра тестирования, который, я уверена, уже стал вашей настольной книгой, представлены ВСЕ материалы, необходимые для вашей подготовки к сдаче ЕНТ по математике. Как понять «ВСЕ материалы»? Разумеется, это не значит, что будут такие же задания, только с другими числами. Это означает, что для решения настоящих тестовых заданий на экзамене вам нужны будут только те знания (определения, формулы, теоремы), которые вы примените при решении тестов из данного сборника. Уверяю вас, что если вы решите сами (разберете, воспользовавшись помощью, и поймете) все задания из настоящего сборника — успех на тестировании вам обеспечен! Время у вас ЕЩЕ есть!  Беритесь за дело!

Решение варианта 0001.

1. Представим смешанное число в виде неправильной дроби, приведем дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю 30. Тогда получаем:ent1-1

2. 6x2+x-7=0. Требуется найти сумму корней уравнения. Конечно, вы можете продемонстрировать свое умение решать квадратные уравнения, благо, что места для этого в вашем тестовике хватит, но, думаю, никто не оценит этого! А вот если вы вспомните теорему Виета, а именно, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком… тогда – да! Вы сэкономите время и устно решите это задание. Ах, да – приведенного квадратного уравнения ( с первым коэффициентом 1), а у нас первый коэффициент равен 6. Разделим обе части равенства на 6 и получим х2+(1/6)х-(7/6)=0. Второй коэффициент этого приведенного уравнения равен (1/6), а сумма корней равна  второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, значит, х12= -(1/6). Ответ: -1/6.

3. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Если обозначим ширину через х, то длина будет (длина вдвое больше ширины), а площадь S=2х·х=2x2 . После увеличения ширины на 3 м, ширина будет  равна (х+3), а длина остается такой равной . Тогда площадь станет равной 2х·(х+3), что по условию больше на  24 м2. Составим уравнение.

2х·(х+3)=2x2 +24;

2x2 +6х=2x2 +24;

6х=24  |:6

x=4. Ширина прямоугольника 4 метра, а длина в 2 раза больше, т.е. 8 метров.

Ответ: 4 м; 8 м.

Можно и короче найти правильный ответ. Смотрим данные после задания ответы ВСЕГДА С САМОГО НАЧАЛА. Ответ А) 8 м; 4 м. Рассуждаем: площадь будет равна 8·4=32. Если ширину увеличили на 3, то она стала равной 4+3=7 м. Соответственно площадь стала 8·7=56. Посчитаем разницу: 56-32=24. Подходит? Да. Значит, ответ  А).

4. |1-x|>3. Дано неравенство с модулем. Модуль — это расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу.

Следовательно, расстояние от нуля до числа (1-х) должно быть больше, чем три единичных отрезка. Так как расстояние от нуля можно взять и влево и вправо, то подходят значения меньшие минус трех и значения, большие трех. Получаем совокупность неравенств:

ent1-2

5. Понижаем степень косинуса по формуле: 1+ cos2α=2cos2α. Учитываем, что у нас половинный аргумент.

Получается: 1+cosα-cosα=1. Ответ: 1.

6. Будем решать систему уравнений методом подстановки. Из второго уравнения выразим  переменную у через х. Получим у=2π-х. Это значение у подставим в 1-ое уравнение:

cosx+cos(2π-x)=1. Используем формулу приведения для cos(2π-x). Угол (2π-x) находится в IV четверти, косинус в IV четверти положителен, поэтому, знак не меняется. На кофункцию не меняем, так как (π/2) взято четное число раз (2π=4·(π/2)).

cosx+cosx=1;

2cosx=1;

cosx=1/2;

x= ±arccos(1/2)+2πn, nєZ;

x=±(π/3)+2πn, nєZ. Получаем: x1=-(π/3)+2πn,         x2=π/3+2πn.

Каждому значению х соответствует свое значение у.

Если x1=-(π/3)+2πn, то y1=2π -x1=2π+π/3-2πn=π/3+2π(1-n).

Если x2=π/3+2πn, то   y2=2π-x2=2π-π/3-2πn=-(π/3)+2π(1-n). Ответ: С).

7. Требуется найти первый и пятый члены геометрической прогрессии со знаменателем q=1/3 и суммой первых пяти членов прогрессии, равной 121. Используем формулы Sn - суммы первых n членов геометрической прогрессии и  bn — формулу n-го члена геометрической прогрессии.

ent1-3

8. Для решения этого задания используем формулы:

ent1-4

9. Проверка знания формулы площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними. Ответ: А). 

10. Разделим 2-ое уравнение на 1-ое:

ent1-6

11. Сделаем замену. Пусть 6x=u3y=v. Тогда получим систему двух линейных уравнений: u-2v=2  и u·v=12. Выразим u из 1-го уравнения: u=2+2v. Подставим это значение u во 2-ое уравнение.

(2+2v)·v=12;   2(1+v)·v=12. Делим обе части равенства на 2.

(1+v)·v=6;   v2+v-6=0. Находим корни по теореме Виета. v1=-3, v2=2.

Если v=-3, то u=2+2∙(-3)=-4. Если v=2, то u=2+2∙2=6. Возвращаемся к первоначальным переменным х и у. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то пара (-4; -3) не подходит. Тогда 6x=u=6, откуда х=1. 3y=v=2. Воспользуемся определением логарифма и выразим показатель у. Тогда у=log32. Ответ: (1; log32).

12. Используем определение логарифма, основное логарифмическое тождество и одну из формул перехода к новому основанию.

ent1-7

13. Возводим обе части равенства в куб:   35-x2=23;   -x2=8-35; -x2=-27; x2=27; отсюда:

ent1-8

14. Множество значений функции — это те значения, которые может принимать функция у. У нас квадратичная функция вида y=ax2+bx+c, графиком ее служит парабола, ветви которой будут направлены вверх, так как первый коэффициент а=1>0. При любом значении х функция будет принимать значения от ординаты точки — вершины параболы и до +∞. Вершина параболы О’(m, n), где m=-b/a=6:2=3,   n=y(m)=у(3)=32-6∙3+7=9-18+7=-2. Вершина параболы О’(3; -2). Область значений функции Е(у)=[-2; +∞).

15. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Найдем значения данной функции при х=-1 и при х=2, т.е. на концах отрезка.

ent1-9

16. Если вписанный угол, опирающийся на дугу сектора, равен 20°, то соответствующий этой дуге, центральный угол в 2 раза больше, т.е. равен 40°. Применим формулу площади сектора, в которую и подставим наши значения: радиуса R=18 см и центрального угла α=40°.

ent1-10

17. Пусть ABCDA1B1C1D1 – данная прямая призма, основанием которой является ромб ABCD c диагоналями AC=30 см и  BD=16 см. Объем этой призмы 4800 см2.

ent1-11Требуется найти площадь боковой поверхности призмы. Определяемся с формулами – надо знать, чего нам не хватает для нахождения искомой площади. Площадь боковой поверхности призмы находят по формуле: Sбок.=Pосн.∙H. Периметр основания мы найдем, если будем знать сторону основания, т.е сторону ромба ABCD. Можем ее найти? Да, у нас есть диагонали ромба, которые взамно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного Δ АОD по теореме Пифагора АD2=AO2+OD2;   АD2=152+82=225+64=289. Следовательно, сторона основания АD=17 см, и периметр основания Pосн=4∙ АD=4∙17=68 см. Теперь надо найти высоту призмы Н. Объем призмы нам дан. Формула объема призмы V=Sосн.∙H. Площадь основания – это площадь ромба, которую можно найти по формуле: Sp.= (1/2)∙d1∙d2. Здесь d1 и d2 – диагонали ромба. Тогда Sосн.=(1/2)∙30∙16=240 см2. Подставим в формулу объема значения объема и площади основания призмы. 4800=240∙Н, тогда Н=20 см. Искомая площадь боковой поверхности призмы Sбок.=Pосн.∙H=68∙20=1360 см2.

18. В основании правильной треугольной пирамиды MABC лежит правильный треугольник ABC, вершина которого проектируется в центр правильного треугольника — точку О. Апофема — это высота МК боковой грани МВС. Зная апофему и угол ее наклона к основанию, требуется найти сторону основания.

ent1-12

19. Такие задания многие пропускают. Напрасно! Мы сейчас подойдем к нему с двух сторон: решим быстренько, как и следует делать на экзамене, а потом рассмотрим решение подробно, чтобы вы все хорошо поняли и не боялись таких задачек.

1) Медиана делит сторону пополам, поэтому, К - середина стороны СD.

Координаты середины отрезка (точки К) находятся, как полусуммы координат концов отрезка (С(-4; -2) и D(8; -2)). Находим координаты точки К((-4+8):2; (-2-2):2)→К(2; -2). А теперь рассуждаем так:

прямая проходит через точку К, значит, координаты точки К должны удовлетворять уравнению прямой. Смотрим ответы и поочередно вместо х и у в уравнение прямой подставляем абсциссу и ординату точки К. Итак, ответ А) 2х+у-2=0. У нас х=2, у=-2 (координаты точки К). Получаем: 2·2+(-2)-2=0; 4-2-2=0. Все верно, значит, ответ А). Если бы неравенство было неверным, то мы бы координаты точки К подставили в следующий ответ В) и т.д.

Вы могли бы спросить: а почему нельзя в ответы подставлять координаты точки М? Ведь искомая прямая и через нее должна проходить, значит, координаты точки М также удовлетворяют уравнению прямой. Тогда и не нужно тратить время на нахождение координат точки К… Да,  так можно было поступить, но рискованно — вдруг, составители тестов в следующий раз ответы не наобум составят? И напишут кроме правильного ответа еще 4 уравнения прямых, проходящих через через точку М, но не проходящих через точку К?

ent1-142) Ну, а теперь поучимся решать такие задачи. Построим треугольник MDC. Координаты точки К очевидны. Но мы все же вычислим  эти координаты, так как рассматриваем  задачу  в общем (а это частный) случае.

Координаты (х; у) – середины отрезка с концами в точках (х1; у1) и (х2; у2) находят по формулам:

ent1-13

Проведем  медиану МК и составим уравнение прямой МК, применив формулу прямой, проходящей через две данные точки  (х1; у1) и (х2; у2). Эта формула имеет вид:

ent1-15

20. Сгруппируем слагаемые в знаменателе первой дроби: (ab+b)+(a2+a) и вынесем общий множитель каждой группы за скобки. Разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов двух выражений.  Затем первую дробь сократим на (а+1) и остается выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (a+b).

ent1-16

21. Для того, чтобы упростить данное выражение, разложим знаменатель каждой дроби на множители. Для этого в каждом знаменателе выносим общий множитель за скобки. Замечаем, что в скобках знаменателей первых двух дробей остается (3х — 1), а у третьей дроби (1 — 3х). Поменяем знак перед третьей дробью и в ее  знаменателе. Затем находим НОЗ получившихся знаменателей, приводим каждую из дробей к наименьшему общему знаменателю и выполняем алгебраическое сложение дробей.

ent1-17

22. Преобразуем данные в неравенстве степени к степеням со основаниями 5 и 2.

ent1-18Разделим обе части неравенства на  5 .

Вводим новую переменную у.

Получаем квадратное неравенство 2-3у-5≤0.

Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители и решаем его методом интервалов.

Находим промежуток значений у.

Определяем промежуток значений показательной функции (2/5)х.

Находим значения переменной  х.

Ответ: [-1; +∞).

Подробное решение задания 22 в этом видео.

Представьте, мне написали, что в сборнике в этом показательном неравенстве показатель не х, а 1/х, потому, мол, и ответ у вас не сходится! Чудеса! Этот же пример с показателем 1/х сложнее, смотрите его решение тут.

23. Решаем данные неравенства по отдельности, используя соответствующие формулы для решения неравенств вида sin t >a и cos t < a, где -1≤а≤1:

Если sin t > a, то arcsin a + 2πn < t < π-arcsin a + 2πn, где nєZ.

Если  cos t < a, то arccos a + 2πn < t < 2π-arccos a + 2πn, где nєZ.

1) sin x > 0,3.

arcsin 0,3 + 2πn<x<π-arcsin 0,3 +2πn, nєZ.

2) cos x < 0,3.

arccos 0,3 +2πn<x<2π-arccos 0,3 +2πn, nєZ.

Выбираем общее решение, т.е общую часть промежутков значений переменной х (берем слева больше большего, а справа -меньше меньшего)

Из значений arcsin 0,3 и arccos 0,3 выбираем большее: arccos 0,3.

Из значений π-arcsin 0,3 и  2π-arccos 0,3 выбираем меньшее: π-arcsin 0,3.

Получаем:  arccos 0,3+ 2πn<x<π-arcsin 0,3+2πn, nєZ.

Ответ: (arccos 0,3+ 2πn; π-arcsin 0,3+2πn), nєZ.

Подробное объяснение решения системы смотрите в этом видео.

24. Это задание на вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x2 и у=4-х. Нужно построить графики этих функций.

1) Графиком функции y=4x-x2 служит парабола. Запишем эту функцию в виде: у=-х2+4х. Вершина параболы y=ax2+bx+c — точка O’(m; n) определяется такent1-21

Ветви параболы направлены вниз (а=-1<0).

ent1-24Найдем нули функции, чтобы легче было строить график.

4x-x2=0;  х(4-х)=0. Отсюда х1=0, х2=4. Это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох. Проводим параболу.

2) Прямую у=4-х построим по двум точкам: ent1-22

На рисунке графики пересекаются в точках (4; 0) и (1; 3). Чтобы убедиться в этом, можно подставить эти координаты  в каждое равенство. Искомую площадь криволинейной трапеции найдем с помощью интеграла. Границы интегрирования a=1, b=4. Подынтегральная функция есть разность между уравнением верхней линии y=4x-x2 и уравнением нижней линии у=4-х.ent1-26

25. Из данного равенства  следует, что b=4a. Тогда числитель данной дроби  a2+2ab=a2+2a∙4a=a2+8a2=9a2, а знаменатель данной дроби b2+2ab=(4a)2+2a∙4a=16a2+8a2=24a2. Осталось разделить2 на 24а2. Получаем 3/8.

 

Страница 2 из 212
Архивы
Математика в видео.
Наверх