ЕНТ-2013, вариант 0002.

1. Запишем все под одним корнем третьей степени и сократим дробь, а из получившейся дроби извлечем кубический корень.

2. Упростим уравнение, умножив обе его части на 7. Получим 7y²-9y+2=0. По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 равна –b/a. Значит:

3. Всего 880 пассажиров. Из них 35% мужчин, значит, женщин и детей 100%-35%=65%. Найдем 65% от 880. Чтобы найти процент от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на данное число.

65%=0,65; умножаем 880 на 0,65, получаем 572. Столько женщин и детей, причем 75% от них составляют женщины, остальные 25% от 572 — это дети. Опять находим процент от числа. 25% от 572. Обращаем 25% в десятичную дробь (будет 0,25) и умножаем на 572. Считаем: 572·0,25=143. Это дети. Женщин: 572-143=429.

А короче?

25% — это четверть от 100%, поэтому, рассуждаем так: 572 делим на 4, получаем 143 (разделить на 4 проще, чем умножать на 0,25)- это дети, а женщин 75% — это три четверти, поэтому, 143 умножаем на 3 и получаем 429.

4. По условию составляем неравенство:

11x+3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:

11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:

6x<-9; делим обе части неравенства на 6:

x<-1,5. Ответ: Е).

5. 990° запишем в виде 2·360°+270°. Тогда cos 990°=cos(2·360°+270°)=cos 270°=0.

6. Применим формулу для решения простейшего уравнения tg t=a.

t=arctg a +πn, nєZ. У нас t=4x.

 7. Имеем: первый член арифметической прогрессии a₁=25. Разность арифметической прогрессии d=a₂-a₁=30-25=5. Применим формулу для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии и подставим в нее наши значения a₁=25, d=5 и n=22, так как требуется найти сумму 22 членов прогрессии.

8.Графиком данной квадратичной функции y=x²-x-6 служит парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина параболы находится в точке O’(m; n). Это самая нижняя точка графика, поэтому, свое наименьшее значение n функция будет иметь при x=m=-b/(2a)=1/2. Ответ: D).

9. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны между собой. Обозначим основание через х. Тогда каждая боковая сторона будет равна (х+3). Зная, что периметр треугольника равен 15,6 см, составим уравнение:

х+(х+3)+(х+3)=15,6;

3х=9,6 → х=3,2 — это основание треугольника, а каждая боковая сторона будет равна 3,2+3=6,2. Ответ: стороны треугольника равны 6,2 см; 6,2 см и 3,2 см.

10.  С первым неравенством системы все ясно. Решаем второе неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 4x²+5x-6 и разложим его на линейные множители.

11. Cправа по основному логарифмическому тождеству получается 7. Опускаем основания степеней (7) в левой и в правой частях равенства. Остается: x²=1, отсюда х=±1. Ответ: С).

12. Возведем обе части равенства в квадрат. Применив формулы логарифма степени и логарифма произведения, получим квадратное уравнение относительно логарифма числа 5 по основанию х. Введем переменную у, решим квадратное уравнение относительно у и вернемся к переменной х. Найдем значения х и проанализируем ответы.

13. Задание: решить систему. Не будем решать — сделаем проверку. Подставим предложенные ответы во второе уравнение системы, так как оно проще: х+у=35. Из всех предложенных пар решений системы подходит только ответ D).

8+27=35 и 27+8=35. Подставлять эти пары в первое уравнение системы не стоит, а вот если бы ко второму уравнению подошел бы еще один из ответов, то пришлось бы делать подстановку и в первое равенство системы.

14. Область определения функции — это множество значений аргумента х, при которых правая часть равенства имеет смысл. Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то должно выполняться условие: 6+2х≥0, отсюда следует, что 2х≥-6 или х≥-3. Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то запишем: х≠5. Получается, что можно брать все числа, большие или равные -3, но не равные 5. Ответ: [-3; 5)U(5; +∞).

15. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат этому отрезку, а затем из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

16. Рассмотрим круг, вписанный в правильный шестиугольник и вспомним, как выражается радиус вписанной окружности r через сторону правильного шестиугольника а. Найдем радиус, затем сторону и периметр шестиугольника.

17. Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проектируется в точку О - пересечения диагоналей прямоугольника, лежащего в основании пирамиды, ведь точка О должна быть равноудалена от всех вершин основания пирамиды.

Находим диагональ AC прямоугольника ABCD. AC²=AD²+CD²;

AC²=32²+24²=1024+576=1600 → AC=40см. Тогда ОС=20см. Так как Δ МОС – прямоугольный и равнобедренный ( /  ОСМ=45°), то МО=ОС=20см. Применим формулу объема пирамиды,  подставив нужные значения.

18. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

Пусть круг с центром в точке О₁ и радиусом ОА перпендикулярен радиусу шара ОВ и проходит через его середину О₁. Тогда в прямоугольном треугольнике АО₁О гипотенуза ОА=10 см (радиус шара), катет ОО₁=5см. По теореме Пифагора О₁А²=ОА²-ОО₁². Отсюда О₁А²=10²-5²=100-25=75. Площадь сечения – это площадь нашего круга, найдем по формуле S=πr²=π∙O₁A²=75π см².

 

 19. Пусть а₁ и а₂ – искомые координаты вектора. Так как  векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Запишем: 2а₁+7а₂=0. Выразим а₁ через а₂. Тогда а₁=-3,5а₂. Так как длины векторов равны, то имеем равенство: а₁²+а₂²=2²+7². Подставим в это равенство значение а₁. Получаем: (3,5а₂)²+а₂²=4+49; упрощаем: 12,25а₂²+а₂²=53;

13,25а₂²=53, отсюда а₂²=53:13,25=4. Получается два значения а₂=±2. Если а₂=-2, то а₁=-3,5∙(-2)=7. Если а₂=2, то а₁=-7. Искомые координаты (7; -2) или (-7; 2). Ответ: В).

20. Упростим знаменатель дроби. Для этого раскроем скобки и приведем дроби под знаком корня к общему знаменателю.

21. Выражение в скобках приведем к общему знаменателю. Деление заменяем умножением на дробь, обратную делителю. Применяем формулы квадрата разности двух выражений и разности квадратов двух выражений. Сократим дробь.

22. Чтобы решить данную систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти общее решение двух неравенств. Решаем 1-ое неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть, вынесем общий множитель за скобку.

x²∙4^x-4^x+1>0;

x²∙4^x-4^x∙4>0;

4^x(x²-4)>0. Так как показательная функция при любом показателе принимает только положительные значения, то 4^х>0, следовательно, и x²-4>0.

(x-2)(x+2)>0.

Решаем 2-ое неравенство.

0,5^x≥8.

Представляем левую и правую части в виде степеней с основанием 2.

2^-x≥2³. Так как показательная функция с основанием большим единицы, возрастает на R, опускаем основания, сохраняя знак неравенства.

-x≥3 → x≤-3.

Находим общее решение.

  Ответ: (-∞; -3].

23. По формуле приведения косинус преобразуется в синус 3х. После приведения подобных слагаемых и деления обеих частей неравенства на 2, получим простейшее  неравенство вида: sin t > a. Решение этого неравенства находим по формуле:

arcsin a+2πn<t<π-arcsin a+2πn, nєZ.    У нас t=3x.

24. Упростим данную функцию. По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена x²-x-6 (x₁=-2, x₂=3),  разложим знаменатель дроби на линейные множители (х-3)(х+2) и сократим дробь на (х-3). Найдем первообразную Н(х) полученной функции 1/(х+2).

25. Итак, 126 игроков сыграют 63 игры, из которых 63 участника выйдут победителями во второй тур. Всего во втором туре будут сражаться 63+1=64 участника. Они сыграют 32 игры, отсюда еще 32 победителя, которые сыграют 16 игр. 16 победителей сыграют 8 игр, 8 победивших сыграют 4 игры. Четверо выигравших проведут 2 игры, и, наконец, двоим победившим нужно будет сыграть последнюю игру. Считаем матчи: 63+32+16+8+4+2+1=126.