ЕНТ-2013, вариант 0004.
1. Представляем каждое число под знаком корня в виде произведения двух чисел, одно из которых является полным квадратом. Выносим множитель из-под знака корня и приводим подобные слагаемые.
2. Из первого уравнения системы выразим х.
х=у+1. Подставим это значение вместо х во второе уравнение системы и получим уравнение с одной переменной у:
(y+1)2-y=3. Раскроем скобки: y2+2y+1-y-3=0; приведем подобные слагаемые: y2+y-2=0. По теореме Виета корни полученного приведенного уравнения: y1=-2, y2=1. Если y1=-2, то x1=y1+1=-2+1=-1. Если y2=1, то x2=y2+1=1=1=2.
Решения данной системы уравнений: (-1; -2) и (2; 1).
В задаче требуется вычислить сумму произведений: x1∙y1+x2∙y2. Подставим найденные значения и получим:
x1∙y1+x2∙y2=-1∙(-2)+2∙1=2+2=4.
3. Известно, что периметр прямоугольника равен 20 см, значит, длина плюс ширина составят 10 см. По условию площадь прямоугольника равна 24 квадратных сантиметра. А площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Ну, и много вы найдете чисел (длину и ширину), чтобы их сумма была равна 10, а произведение 24? Смотрим ответы. Подойдут только числа 6 см и 4 см. Проверка: 6+4=10, 6·4=24.
4. Наибольшее целое решение неравенства х≤-5 есть число -5, так как неравенство -5≤-5 является верным!
5. Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α+cos2α=1, из которого следует: 1-sin2α=cos2α. Сократим полученную дробь на cos2α и получим в ответе 1.
7. Знаменатель геометрической прогрессии — это число q, на которое умножают предыдущий член прогрессии bn, чтобы получить следующий bn+1. Итак, bn+1=bn∙q. Чтобы найти знаменатель q, нужно bn+1 разделить на bn. Получаем: q=bn+1:bn=3:(1/3)=3∙3=9.
8. Первообразные функции f(x)=5sinx равны F(x)=-5cosx+C, так как
F ‘(x)=(-5cosx+C)’=-5·(-sinx)=5sinx=f(x).
9. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S=(1/2)d1∙d2. По условию площадь равна 48 см2, а диагонали относятся друг к другу как 2:3. Обозначим одну часть через х. Тогда диагонали ромба будут равны 2х и 3х. Подставим все значения в формулу площади ромба:
(1/2)·2х·3х=48 или 3x2=48, отсюда x2=16, x=4.
Меньшая диагональ равна 2х, т.е. 2·4=8 см.
10. Упростим каждое уравнение системы.
6(x+y)-y+1=0 → 6x+6y-y+1=0 → 6x+5y=-1.
7(y+4)-(y+2)=0 → 7y+28-y-2=0 → 6y=-26 → y=-26/6=-13/3.
Подставим значение у в первое уравнение и найдем х (хотя это делать вовсе не обязательно: только в ответе С) мы видим такое значение у).
11. Дано простейшее показательное уравнение. Представляем левую и правую части данного равенства в виде степеней с основанием 2.
12. Представим логарифм по основанию 0,5 в виде логарифма по основанию 2; введем новую переменную у, решим квадратное уравнение относительно у и вернемся к переменной х.
13. Проще всего «сделать проверку»: подставить предложенные ответы вместо х в данное равенство. Всегда начинайте проверку с ответа А). Ну, а уметь решать такие примеры вы, конечно, обязаны.
14. Область определения функции D(y) — это множество таких значений х, при которых выражение в правой части равенства имеет смысл. У нас в правой части равенства арифметический квадратный корень из выражения 3x-9. Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то должно выполняться условие: 3x-9≥0. Отсюда 3x ≥9 или 3x≥32. Получаем х≥2. Ответ: D(y)=[2; +∞).
15. Скорость движения точки есть производная ее пути по времени: v(t)=x’(t). Находим производную x’(t) и подставляем в нее вместо t число 3.
v(t)=x’(t)=(3t3-2t2+5)’=9t2-4t. Тогда v(3)=9∙32-4∙3=9∙9-12=81-12=69. Ответ: 69 м/с.
16. У любого четырехугольника, вписанного в круг, суммы противолежащих углов равны по 180°. Напротив угла В лежит угол D, равный 84°. Следовательно, угол В=180°-84°=96°. Стало быть угол ABD, равный 52°, дан вам для «общего развития».
17. Из точки вне плоскости проведены две наклонные, одна из которых равна 20 см и наклонена под углом 30° к плоскости. Определите длину второй наклонной, если ее проекция на плоскость равна 24 см. Ваши рассуждения (без чертежа, который вы видите мысленно): перпендикуляр из данной точки на плоскость — катет, лежащий в прямоугольном треугольнике напротив угла в 30°, значит, длина перпендикуляра 20:2=10 см. Этот перпендикуляр, вторая наклонная и ее проекция образуют прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Тогда гипотенуза равна 26 см ( частые «тройки» прямоугольного треугольника: {3, 4, 5}; {5, 12, 13} и {8, 15, 17}). Эта «тройка» 10, 24 и 26 есть удвоенная «тройка» {5, 12, 13}. Если вы испытали затруднение при вышеприведенном разборе этого задания — смотрите ниже подробное решение, и пусть ваша следующая попытка решения подобной задачи будет удачнее.
18. Дана пирамида, площадь основания которой 48 см2. Через середину высоты пирамиды проведено сечение параллельно основанию. Требуется найти площадь полученного сечения. Отсеченная (верхняя) часть представляет собой пирамиду, подобную данной. Основания этих пирамид являются подобными многоугольниками. Площади подобных фигур относятся друг у другу, как квадраты соответствующих линейных размеров. Следовательно, S:s=H2:h2. Здесь S — площадь основания данной пирамиды, s — площадь основания новой пирамиды (искомая площадь сечения), H — высота данной пирамиды, h — высота новой пирамиды. Подставляем имеющиеся данные.
48:s=22:12 или 48:s=4:1 → s=48∙1:4=12(см2). Ответ: 12 см2.
19. Строим графики заданных линий и находим площадь полученного треугольника. Эта площадь равна удвоенной площади прямоугольного треугольника АОВ. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (катеты равны по 2 единицы).
21. Решить уравнение: |x+5|-|10+x|=0.
Для того, чтобы решить это уравнение, мы должны освободиться от знака модуля. Нули модулей х=-5 и х=-10 делят числовую прямую на три области, в каждой из которых мы будем искать корни.
I область — это числа х<-10. Для определенности возьмем х=-20 и подставим (мысленно) в данное уравнение. Так как модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, то получаем: -х-5+10+х=0. Получаем 5=0. Ложно. Следовательно, на всей области I корней нет.
II область — это числа -10≤x≤-5. Будем вместо х подставлять, например, х=-7. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу. Получаем: -х-5-10-х=0. Тогда -2х=15, х=-7,5. Это число находится во II области, поэтому х=-7,5 — корень данного уравнения. На этом можно и остановиться, взглянув на предложенные ответы, но дорешаем.
III область — это числа х>-5. Для определенности берем х=0 и подставляя в данное равенство, раскроем знаки модулей: х+5-10-х=0. Получаем -5=0 — неверное равенство, делаем вывод: в III области корней нет.
Так, с помощью областей, решают и уравнения, и неравенства со знаками модуля.
23. Применим формулу синуса суммы двух углов и получим неравенство:
Это неравенство верно при любых значениях аргумента. Ответ(-∞; +∞).
25. По условию периметр прямоугольника S=2(a+b)=36 см. Тогда сумма двух сторон a+b=18 см. Так как длины сторон должны выражаться целыми числами, то они могут быть равны: 1 см и 17 см или 2 см и 16 см или 3 см и 15 см или 4 см и 14 см или 5 см и 13 см или 6 см и 12 см или 7 см и 11 см или 8 см и 10 см или 9 см и 9 см. Посчитайте — всего 9 вариантов.
Большое спасибо!!!!Очень помогли.Объяснили лучше учителя))