ЕНТ-2013, вариант 0005.

1. Чтобы упростить данное выражение, разложим на множители числители и знаменатели данных дробей.

 2. Вынесем у за скобки, а выражение в скобках разложим на множители по формуле разности квадратов двух выражений.

 3. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из частей в 2 раза длиннее другой. Требуется найти длину каждой части. Решаем. Обозначим меньшую часть через х. Тогда другая часть будет равна 2х. Зная, что сумма этих двух частей равна 135 м, составим уравнение: х+2х=135. Отсюда 3х=135, а х=135:3=45 (м) — длина меньшей части. Другая часть составит 45·2=90 (м).

4.  Дробь отрицательна, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель данной дроби 3x²+1>0 при любом действительном значении х, то числитель должен быть меньше нуля.

x²-5x+4<0. По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена x₁=1 и x₂=4 и разложим его на множители. Получаем: (x-1)(x-4)<0. Методом интервалов находим решение неравенства:  1<x<4. Ответ: (1; 4).

5. Упростить выражение: sin(90°-α)-cos(180°-α)+tg(180°-α)-ctg(270°+α). Применяем правило для формул приведения: 1) перед приведенной функцией ставят знак приводимой; 2) если в записи аргумента π/2 взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию. Решаем. sin(90°-α)-cos(180°-α)+tg(180°-α)-ctg(270°+α)=cosα+cosα-tgα+tgα=2cosα.

6. Применим формулу для решения простейшего уравнения sint=a:

t=(-1)ⁿ∙arcsina+πn, nєZ.  

7. Известен четвертый член геометрической прогрессии  c₄=24  и знаменатель геометрической прогрессии  q=-2. Требуется найти первый член этой геометрической прогрессии. Решаем. Применим формулу общего члена геометрической прогрессии: c_n=c₁∙q^n-1. У нас: c₄=c₁∙q³. подставляем свои данные: 24=c₁∙(-2)³; 24=c₁∙(-8) → c₁=-3.

8. Так как график данной линейной функции проходит через точку (-2; -3), то координаты этой точки удовлетворяют данному равенству: подставляем х=-2, у=-3 и находим b=-6.

9. Углы треугольника относятся, как 1:1:2. Такое возможно только в прямоугольном треугольнике (45°, 45° и 90°). Здесь частный случай треугольника. В общем случае нужно обозначить одну часть через х, выразить через х все углы, и, зная, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, составить уравнение. В нашем примере можно было записать:

х+х+2х=180°. Отсюда 4х=180°, х=45°. Углы: 45°, 45° и 90°.

10. Дано уравнение с модулем: x²-6x+|x-4|+8=0. Решаем. Нужно освободиться от знака модуля. Возможны 2 случая:

1) Если х≤4, то x²-6x-x+4+8=0 → x²-7x+12=0  → x₁=3  и x₂=4. Оба значения подходят, так как удовлетворяют условию 1): х≤4

2) Если х>4, то x²-6x+x-4+8=0 → x²-5x+4=0  → x₁=1 и x₂=4. Значение х=4 мы уже взяли, а х=1 не подходит, так как не удовлетворяет условию 2): х>4. Ответ: 3 и 4. 

11. Подставляем предложенные пары чисел вместо х и у в каждое уравнение системы. Начинаем с ответа В), так как под знаком логарифма не должно быть отрицательных чисел. Проверяем пару чисел (2; 5):

2+5=7 и lg2+lg5=lg(2·5)=lg10=1. Пара (5; 2) также подходит.

12. Решаем логарифмическое уравнение:

13. Решаем иррациональное уравнение:

14. Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=x²,  где х≥0, нужно выразить х через у, а затем, в полученном равенстве вместо х написать у, а вместо у написать х.

15. Дана функция: y=sin3x cos5x-cos3x sin5x. Преобразуем правую часть по формуле синуса разности двух углов:

sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ. Получаем у=sin(3x-5x)=sin(-2x)=-sin2x. Найдем производную y’(x)=(-sin2x)’=-2cos2x.

16. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4. Периметр треугольника равен 24 см. Найдите радиус описанной окружности.

Смотрите видео: решение задачи 16.

17. Радиус шара равен 8 см, через его середину в шаре проведено сечение. Найдите разность площадей большего и отсеченного кругов. Решаем. Находим площадь большого круга:  S=πR²=π∙8²=64π см². Радиус r отсеченного круга – катет в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 8 см (радиус шара) и вторым катетом 4 см (половина радиуса шара). По теореме Пифагора r²=8²-4²=64-16=48 см². Тогда площадь отсеченного круга s=πr²=48π см². Тогда искомая разность площадей большого и отсеченного кругов равна 64π-48π=16π (см²).

Смотрите видео: решение задачи 17.

18. Задача на призму.

19. Определить точки пересечения двух окружностей, если уравнение одной из них x²+y²=9, а центр другой, с радиусом, равным 5 см, находится в точке (4; 0). Решаем. Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид: (x-a)²+(y-b)²=R². Запишем уравнение второй окружности по этой формуле: (х-4)²+(у-0)²=5². Упростим: (х-4)²+у²=25. Так как окружности пересекаются, то нужно решить систему уравнений: x²+y²=9 и (х-4)²+у²=25. Вычтем первое уравнение из второго: (х-4)²-х²=25-9. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: х²-8х+16-х²=16, отсюда -8х=0, тогда х=0. Подставим значение х=0 в любое уравнение системы, например, в первое: x²+y²=9. Получаем: y²=9. Отсюда у=±3. Координаты точек пересечения: (0; -3) и (0; 3).

20. Освободимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное  знаменателю. Упростим полученное выражение и опять умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Дважды примененная при этом формула разности квадратов двух выражений (a-b)(a+b)=a²-b² позволяет освободиться от знака радикала в знаменателе дроби.

21. Найти значение выражения:

22. Решаем каждое неравенство системы. 1) заменим логарифм числа х по основанию 2 через у. Получаем неравенство:

y²-3y+2≤0. Корни трехчлена  y₁=1, y₂=2. Неравенство можно записать в виде: (y-1)(y-2)≤0. Решение можно найти методом интервалов:  yє[1; 2]. Возвращаемся к переменной х.

23. Решаем тригонометрическое неравенство. Представим числитель дроби в виде разности синусов, а знаменатель дроби в виде суммы синусов. Представим числитель и знаменатель дроби в виде произведения по формулам преобразования разности и суммы синусов в произведение. Упрощаем полученную дробь и получаем простейшее неравенство с тангенсом.

24. Начертим фигуру, ограниченную данными линиями.

25. Иными словами, вас спрашивают, какие из данных чисел 30, 33 и 36 являются составными. Конечно, 30 и 36. Составным называют число, имеющее более двух делителей. Простое число имеет только два делителя: единицу и само это число.