ЕНТ-2013, вариант 0006.

 

1. 541·1+459:1=1000.

2. Решить уравнение: 2,5(х-3)=0,5(х-7).

Прежде, чем раскрывать скобки, разделим обе части равенства на 0,5. Получим уравнение:

5(х-3)=х-7;

5х-15=х-7;

5х-х=-7+15;

4х=8 → х=2.

3. Разделить 80 на две части так, чтобы одна часть составляла 60% от другой. Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда другая часть будет равна 0,6х (так как составляет 60% от первой части). Зная, что сумма обеих частей должна быть равна 80, составим уравнение:

х+0,6х=80; 1,6х=80 → х=80:1,6=800:16=50. Первая часть равна 50, тогда вторая часть 80-50=30 или 0,6·50=30.

4. Решить неравенство: 4x²-12x+9≤0.

Выражение в левой части неравенства есть полный квадрат разности двух выражений, поэтому, запишем:

(2x-3)²≤0. Квадрат любого числа не может быть меньше нуля, но может быть равен нулю, если основание степени равно нулю:

2x-3=0; 2x=3 x=3:2; x=1,5.

5. Тангенс пи, деленного на четыре — это тангенс 45°, поэтому, результат равен 3·1=3.

6. Решить уравнение: sin2x=sinx. Решаем. Разложим sin2x по формуле синуса двойного аргумента: sin2α=2sinαcosα. Получим:

2sinxcosx-sinx=0; вынесем общий множитель sinx за скобки ( ни в коем случае нельзя делить на sinx, так как при этом вы потеряете корни).

sinx(2cosx-1)=0 → sinx=0 или 2cosx-1=0.

7. Известны первый и второй члены геометрической прогрессии, значит, мы можем найти знаменатель q геометрической прогрессии, а, зная первый член и знаменатель прогрессии, можно найти шестой член этой прогрессии по формуле общего члена геометрической прогрессии.

8. Дана функция f(x)=(ln5)∙5^x.  Нужно найти первообразную F(x)  при условии: F(0)=2. Решаем. Находим первообразную данной функции: F(x)=5^x+C. Для нахождения значения постоянной С, подставим данные: вместо х подставляем нуль, а вместо F(x) значение 2. Получаем равенство: 2=5⁰+C; находим постоянную С.

2=1+C; C=1. Ответ: F(x)=5^x+1.

9. Дан параллелограмм со стороной 12,8 см. По условию другая сторона меньше на 2,6 см, значит, будет равна 12,8-2,6=10,2 см. Требуется найти периметр параллелограмма, т.е сумму всех его сторон. Р=12,8+10,2+12,8+10,2=23+23=46 (см). Формула периметра параллелограмма: P=2(a+b).

10. Разложим знаменатели второй и третьей дроби на множители и умножим обе части равенства на НОЗ (наименьший общий знаменатель всех дробей), т. е на выражение 5(δ-1)(δ+1), считая его не равным нулю (δ≠±1). Получаем линейное уравнение, из которого находим: δ=3. Можно и не решать, а делать проверку предложенных ответов.

11. Решить уравнение: 4^x-10∙2^x-1-24=0. Решаем. Запишем уравнение в виде:

2^2x-10∙2^x∙2^-1-24=0, отсюда: 2^2x-5∙2^x-24=0. Сделаем замену переменной. Пусть 2^х=у. Тогда получим приведенное квадратное уравнение: у²-5у-24=0. По теореме Виета корни этого уравнения у₁=-3 и у₂=8. Возвращаемся к переменной х. 1) 2^х=-3. Это невозможно, так как показательная функция (2^х) может принимать только положительные значения. 2) 2^х=8 → 2^х=2³ → х=3.

12. Решить уравнение:

13. Решить уравнение:

14. Нужно по рисунку определить, какая функция соответствует данному графику. Рассуждаем. График — синусоида, проходящая через начало координат, значит, это функция вида y=Asin(kx). Наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее равно (-1), следовательно, А=1 и функция имеет вид y=sin(kx). Синус на рисунке «пробегает» все свои значения в промежутке [-3π; 3π], следовательно, период изображенной функции равен 6π. Как находят период функции? Формула:

15. Данную функцию f(x)=sin3xcos3x преобразуем по формуле синуса двойного аргумента (sin2α=2sinαcosα). Получаем: f(x)=(1/2)sin6x.

Теперь берем производную f ‘(x)=(1/2)cos6x ·6=3cos6x.

16. В четырехугольнике MNKE, вписанном в окружность, угол NKM равен 56° , угол NME равен 80°. Найдите угол MKE.

17. Дана правильная шестиугольная пирамида. Это означает, что в основании данной пирамиды лежит правильный шестиугольник, а высота пирамиды проектируется в центр этого правильного шестиугольника. Представили себе правильный шестиугольник? Если помните, как вы его чертили, то помните, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Боковое ребро равно 20 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Это означает, что все боковые ребра этой правильной шестиугольной пирамиды наклонены к основанию под углом 30°. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Представили себе этот угол?  Нужно вычислить площадь круга, описанного около шестиугольника. Итак, нас интересует радиус R окружности, описанной около правильного шестиугольника.

18. Радиус шара, вписанного в куб, равен 3 см. Найти разность объемов куба и шара. Решаем. Объем шара найдем по формуле: V_ш=(4/3)πR³=(4/3)π∙3³=π∙27:3∙4=36π см³.

Представляете себе шар, вписанный в куб. Он касается изнутри всех граней куба. Диаметр шара равен ребру куба. Следовательно, ребро куба равно 6 см.   Объем куба V_к=а³=6³=216 см³. Находим искомую разность объемов куба и шара.

V_к-V_ш= 216 см³-36π см³=36(6-π) см³.

19. Определить координаты единичного вектора, сонаправленного с данным вектором:

20. Сторону квадрата увеличили на 10%. На сколько процентов увеличится периметр квадрата? Ответ: на столько же процентов. Как решать? Пусть сторона данного квадрата равна а, тогда периметр Р=4а. После увеличения стороны на 10% сторона стала равна 1,1а, периметр стал равен 4,4а. Следовательно, разница 0,4а — это 10% от 4а.

21. Две бригады должны были собрать весь урожай за 12 дней. Однако, после восьми дней совместной работы, первая бригада была переведена на другую работу, и оставшуюся часть работы вторая бригада завершила за 7 дней. За сколько дней вторая бригада в отдельности собрала бы весь урожай? Такие задачи на работу решаются так же, как задачи на движение: вводят переменную (одну или две), составляют таблицу, в которой заполняют 2 графы из 3-х, а третью графу заполняют по формуле (пути или объема работы, как здесь). Останется одно неиспользованное условие, которое используют для составления уравнения (системы уравнений).

Решаем. Пусть первая бригада собрала бы весь урожай за х дней, а вторая — за у дней. Составим таблицу:

22. Решить систему неравенств:

23. Решить неравенство: sinx+cos2x≥1. Решаем. Перенесем 1 в левую часть. sinx+cos2x-1≥0.Умножим обе части неравенства на (-1), чтобы воспользоваться формулой: 1-cos2α=2sin²α. Получаем: 1-cos2x+sinx≤0 → 2sin²x-sinx≤0. Затем сделаем замену: sinx=y. Решим квадратичное неравенство 2y²-y≤0 методом интервалов. Получим 0≤у≤0,5. Это означает, что 0≤sinx≤0,5. Покажем графически решение последнего неравенства.

24. Вычислим интеграл:

25. Так как Миша набрал в 3 раза меньше очков, чем Максим, то в предложенной нам таблице напротив Миши поставим х, а напротив Максима запишем 3х. По условию отношение результата Коли к результату Миши прямо пропорционально отношению результата Максима к результату Саши. Получаем пропорцию:

6:х=3х:8. Отсюда 3x²=48,  разделим равенство почленно на 3 и получим: x²=16, значит, x=4. Итак, Миша набрал 4 очка, Максим набрал 12 очков. Располагаем результаты ребят в порядке возрастания: 4, 6, 8, 12.