ЕНТ-2013, вариант 0007.

Дорогие друзья, проверьте свои решения варианта 0007. Пишите свои отзывы в комментариях. Что осталось непонятным? Какие темы вас затрудняют? Решайте, готовьтесь к ЕНТ и не верьте ни в какие шпаргалки и в чудеса. Все в ваших руках, и время еще есть! Повторяйте формулы, не стесняйтесь спрашивать, что непонятно, у своих учителей. Помните: дорогу осилит идущий!

1. Вычисляем:

2. Раскрываем скобки в правой части равенства — умножаем 4 на каждое слагаемое в скобках, получаем:

3у+6=36-2у → 3у+2у=36-6 → 5у=30 → у=30:5 → у=6.

3. Целые решения неравенства 3<x<6 это числа 4 и 5. Их сумма 4+5=9.

4.  Сумма косинусов (в числителе) равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности, т.е.

cos4α+cos2α=2cos3αcosα. Сокращаем дробь на cos3α и остается 2cosα.

5. Решить уравнение: cos(-x)=1. Решаем. Косинус — функция четная, поэтому cos(-x)=cosx =1. Применим частную формулу для косинуса: cost=1 → t=2πn, nЄZ. Получаем: х=2πn, nЄZ.

6. Вычислите первые три члена последовательности, заданной формулой a_n=2n+3.

Подставляя в эту формулу поочередно вместо n  значения 1, 2 и 3, получаем первые три члена последовательности:

a₁=2∙1+3=5; a₂=2∙2+3=7; a₃=2∙3+3=9.

7. При х=-5 функция f(x)-1-x принимает значение f(-5)=1-(-5)=6.

8. Полезно помнить, что диагональ квадрата со стороной а равна а корней из двух.

9. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, есть число, равное сумме произведений соответственных координат этих векторов.

10. По основному свойству пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов) можно записать: (x+5)²=(x-5)², а это возможно лишь при условии, что х=0.

11. Сколько воды нужно добавить к 40 кг 5%-го раствора соли в воде, чтобы получить 4%-ый раствор? Решаем. Подобные задачи решают так: двумя способами находят или выражают основной продукт раствора (в данном случае это соль) или сплава, получают равенство, из которого находят значение введенной переменной. Итак, отвечаем на вопрос задачи: нужно добавить х кг к 40 кг 5%-го раствора.

В 40 кг 5%-го раствора содержится 0,05·40=2 (кг) соли (чтобы найти процент от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь и умножить эту дробь на данное число).

В (40+х) кг 4%-го раствора содержится 0,04·(40+х) (кг) соли.

Получаем равенство: 0,04·(40+х)=2;

40+х=2:0,04;

40+х=50 → х=10. Нужно добавить 10 кг воды.

12. Решить уравнение: 3^5x+2=81^x-1.

Решаем. Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 3.

3^5x+2=(3⁴)^х-1;

3^5x+2=3^4х-4; отсюда 5х+2=4х-4, получаем х=-6.

13. Решить логарифмическое уравнение:

14. Не стоит решать — подставляйте предложенный ответ (всегда начинайте анализировать с ответа А))вместо х. Сразу выясняем, что корень х=-1. 

15. При вычислениях используем формулы: arcsin(-a)=-arcsina; arctg(-a)=-arctga; arccos(-a)=π-arccosa, а также таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов.  

16. Найти производную данной функции:

17. Дана задача. В треугольниках ABD и ADC имеем: AB=AC, BD=DC, / BAC=60°. Вычислить угол DAC. Решаем.

18. Задача на конус.

19. По стороне основания, равной 5 см, и боковому ребру, равному 8 см, найдите объем правильной треугольной призмы.

20. Требуется вычислить: (36,27(3)-6,2(3)):0,2.

Существует правило перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную: бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной, числитель которой равен разности между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из девяток и нулей, причем, девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода дроби.

21. Чтобы упростить данное выражение потребуется знание формул сокращенного умножения (ФСУ):

1) a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²);  2) a²-b²=(a-b)(a+b); 3) (a-b)²=a²-2ab+b². Решаем:

22. Решим первое неравенство и найдем общее решение, удовлетворяющее и первому и второму неравенствам.

23. Решить неравенство:

Друзья, возможно, вы привыкли решать тригонометрические неравенства с помощью графиков, а не по формулам (что быстрее и удобнее!). Тогда для вас геометрическая иллюстрация этого неравенства. Но все равно, вы должны будете сделать замену переменной на t, найти решения для t, а затем, точно так же, выполнить преобразования в двойном неравенстве, чтобы «добраться» до  аргумента х.

 

24. Вычислить определенный интеграл:

Подынтегральная функция есть косинус. Интеграл от косинуса дает синус. Однако, должны совпадать аргумент косинуса и переменная интегрирования, но у нас переменная интегрирования х, а аргумент у косинуса  имеет вид: kx+b, что позволяет подвести эту линейную функцию (kx+b) под знак дифференциала.

25. Выбираем ответ С) недостаточно информации: на самом деле, не сказано —  находится  пункт В на прямой АС или нет? Возможно,точки А, В и С образуют треугольник?