ЕНТ-2013, вариант 0010.
1. Для упрощения данного выражения разложим на множители числители и знаменатели данных дробей. Применим для этого: а) вынесение общего множителя за скобки; б) формулу разности квадратов двух выражений. Запишем все под общей дробной чертой и сократим дробь на (а+1) и на (а-b).
2. Решаем данную систему. Разложим левую часть второго уравнения на множители по формуле разности квадратов двух чисел, получаем: (х-у)(х+у)=16. Так как первое равенство утверждает, что х-у=2, то вместо х-у во второе уравнение подставим число 2. Получаем: 2·(х+у)=16 или х+у=8. Складываем и вычитаем почленно два равенства:
х+у=8 и х-у=2;
2х=10 (сложили) и 2у=6 (вычли из первого второе). Получаем: х=5 и у=3. Смотрим ответы. Из указанных промежутков только промежуток (2; 7) (ответ В)) содержит и число 5 (х=5), и число 3 (у=3).
3. Вас спрашивают, какие числа можно брать вместо х, чтобы расстояние от этих чисел до нуля было меньше трех единичных отрезков.
хє(-3; 3). Модулем числа а (|a|) называют расстояние от начала отсчета (от нуля) до точки с координатой а.
4. Упростить выражение:
5. Применяем формулу приведения: 1) угол находится в IV четверти, косинус в IV четверти положителен, поэтому знак не меняем; 2) π/2 взято нечетное число раз (3π/2), поэтому функцию меняем на кофункцию (для косинуса кофункцией будет синус). Уравнение запишется в виде:
sinx-5cosx=0. Так как одновременно и синус и косинус не могут равняться нулю, то можно разделить обе части этого однородного уравнения на cosx.
tgx-5=0;
tgx=5;
x=arctg5+πk, kєZ.
6. Дана арифметическая прогрессия: 2, a2, a3, a4, a5, 17. Между числами 2 и 17 вставлены четыре числа. Требуется найти a3. Имеем: a1=2, a6=17. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)∙d. Тогда a3=a1+2d. Нужно найти d-разность арифметической прогрессии.
a6=a1+5d; подставляем имеющиеся значения:
17=2+5d; упрощаем: 15=5d; откуда d=3. Искомое значение a3=a1+2d; подставим значения и получим: a3=2+2∙3=8.
7. Представим данную функцию в виде произведения числового множителя 1/3 на функцию 1/cos2x. По таблице первообразных или интегралов получаем: F(x)=(1/3)tgx+C.
8. По условию площадь второго равностороннего треугольника в 25 раз больше. Так как площади подобных фигур относятся друг к другу, как квадраты их линейных размеров, то медиана второго треугольника будет больше медианы первого треугольника в 5 раз. Медиана второго треугольника равна 16см·5=80 см.
9. Пусть точка О имеет координаты х и у: О(х; у).
10. Квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Здесь используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=-8).
D1=(b/2)2-ac=(-4)2-k∙k=16-k2. Cоставляем равенство: 16-k2=0. Можно разложить левую часть на множители, получаем:
(4+k)·(4-k)=0, тогда 4+k=0 или 4-k=0. Отсюда k=-4 k=4. Смотрите ответы: ±4; 0. Цените — вам не дают ошибиться! А откуда 0? На самом деле, если k=0, то уравнение примет вид: -8х=0, отсюда х=0.
11. Обозначим скорость, с которой бежал лыжник через х. Составим таблицу.
12. Решим уравнение: 23x+5∙53x+5=0,1.
Так как an∙bn=(ab)n, то имеем равенство: (2∙5)3x+5=0,1; преобразуем к виду: 103x+5=10-1; Если равны степени и основания степеней, то равны и показатели этих степеней: 3x+5=-1; отсюда 3x=-6; делим обе части на 3 и получаем: x=-2.
13. Решим систему уравнений. Упростим первое уравнение системы, применив формулы: logax+logay=loga(xy) и logaa=1. Тогда первое уравнение примет вид: log4(xy)=log44+log49 или log4(xy)=log436. Так как логарифмы равны, основания логарифмов равны, то и равны числа под знаками логарифмов-получаем: х·у=36. Во втором уравнении представим число 1024 в виде степени с основанием 2. Получаем: 2(x+y)/2=210. Приравниваем показатели степеней с основанием 2.
(х+у)/2=10, отсюда х+у=20. Выразим у через х. Получаем: у=20-х. Подставим в уравнение х·у=36. Получаем:
х·(20-х)=36. Раскроем скобки:
20x-x2=36. Перенесем слагаемые в правую часть: x2-20x+36=0. Получилось приведенное квадратное уравнение, решать которое нет необходимости — ведь требуется найти x1+x2. По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, следовательно, x1+x2=20.
14. Умножим обе части равенства на арифметический квадратный корень из выражения (х-11). Получаем:
х-11=8, тогда х=8+11=19.
15. Функцию называют четной,если выполняется условие: y(-x)=y(x). Другими словами, если вы вместо х подставите (-х) и после тождественных преобразований получаете ту же функцию, то данная функция является четной. Конечно, это случай Е), так как имеются переменные только в четной степени.
16. Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной функции в этой точке:
17. Найдем площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника АВСК и прямоугольного треугольника СКD, в котором определим катет СК по теореме Пифагора: CK2=CD2-KD2=102-82=100-64=36, отсюда СК=6. Искомая площадь равна:
BC·CK+(CK·KD):2=8·6+(8·6):2=48+24=72.
18. Задача на пирамиду.
Смотреть видео решение 18 задачи.
19. Даны два шара, радиусы которых 3 см и 6 см. Найдем объем каждого шара и вычтем из большего результата меньший. Объем шара вычисляется по формуле:
20. Это пропорция, произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, поэтому, можно записать: (x-4)2=4(x+4)2. Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:
|x-4| =2∙|x+4|. Возможны два случая: x-4=2∙(x+4) или x-4=-2∙(x+4).
1) x-4=2∙(x+4); x-4=2x+8; x-2x=8+4; -x=12; x=-12.
2) x-4=-2∙(x+4); x-4=-2x-8; x+2x=-8+4; 3x=-4; x=-4/3.
21. Применим свойства степени: 1) (am)n=amn - при возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают; 2) a0=1 - любое число или выражение в нулевой степени равно единице.
22. Ход решения: сделаем замену, решим квадратное неравенство относительно новой переменной, вернемся к переменной х и посчитаем количество целых чисел в найденном промежутке значений х.
23. Тригонометрическое неравенство с тангенсом.
Смотрите видео решение 23 задания.
24. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 и x=y2.
Решаем. Выразим у из равенства x=y2, а затем построим графики этих функций.
25. Пусть мальчикам по х лет. Тогда папе 4х лет. Зная, что папа сейчас старше на 24 года, составим уравнение:
4х-х=24;
3х=24 |:3;
x=8.
спасибо большое вам
Пожалуйста! Желаю успехов! Татьяна Яковлевна.
Здравствуйте через сколько дней будет 11 вариант
Работаю над ним, но точно не скажу…