ЕНТ-2013, вариант 0010.

1. Для упрощения данного выражения разложим на множители числители и знаменатели данных дробей. Применим для этого: а) вынесение общего множителя за скобки; б)  формулу разности квадратов двух выражений. Запишем все под общей дробной чертой и сократим дробь на (а+1) и на (а-b).

2. Решаем данную систему. Разложим левую часть второго уравнения на множители по формуле разности квадратов двух чисел, получаем: (х-у)(х+у)=16. Так как первое равенство утверждает, что х-у=2, то вместо х-у во второе уравнение подставим число 2. Получаем: 2·(х+у)=16 или х+у=8. Складываем и вычитаем почленно два равенства:

х+у=8  и х-у=2;

2х=10 (сложили) и  2у=6 (вычли из первого второе). Получаем: х=5 и у=3. Смотрим ответы. Из указанных промежутков только промежуток (2; 7) (ответ В)) содержит и число 5 (х=5), и число 3 (у=3).

3. Вас спрашивают, какие числа можно брать вместо х, чтобы расстояние от этих чисел до нуля было меньше трех единичных отрезков.

хє(-3; 3). Модулем числа а (|a|) называют расстояние от начала отсчета (от нуля) до точки с координатой а.

4. Упростить выражение:

5. Применяем формулу приведения: 1) угол находится в IV четверти, косинус в IV четверти положителен, поэтому знак не меняем; 2) π/2 взято нечетное число раз (3π/2), поэтому функцию меняем на кофункцию (для косинуса кофункцией будет синус). Уравнение запишется в виде:

sinx-5cosx=0. Так как одновременно и синус и косинус не могут равняться нулю, то можно разделить обе части этого однородного уравнения на cosx.

tgx-5=0;

tgx=5;

x=arctg5+πk, kєZ.

6. Дана арифметическая прогрессия: 2, a₂, a₃, a₄, a₅, 17. Между числами 2 и 17 вставлены четыре числа. Требуется найти a_3. Имеем: a₁=2, a₆=17. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии:  a_n=a₁+(n-1)∙d. Тогда a₃=a₁+2d. Нужно найти d-разность арифметической прогрессии.

a₆=a₁+5d;  подставляем имеющиеся значения:

17=2+5d; упрощаем: 15=5d; откуда d=3. Искомое значение  a₃=a₁+2d; подставим значения и получим: a₃=2+2∙3=8.

7. Представим данную функцию в виде произведения числового множителя  1/3 на  функцию  1/cos²x. По таблице первообразных или интегралов получаем: F(x)=(1/3)tgx+C.

8. По условию площадь второго равностороннего треугольника в 25 раз больше. Так как площади подобных фигур относятся друг к другу, как квадраты их линейных размеров, то медиана второго треугольника будет больше медианы первого треугольника в 5 раз. Медиана второго треугольника равна 16см·5=80 см.

9. Пусть точка О имеет координаты х и у: О(х; у).

10. Квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Здесь используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=-8).

D₁=(b/2)²-ac=(-4)²-k∙k=16-k². Cоставляем равенство: 16-k²=0. Можно разложить левую часть на множители, получаем:

(4+k)·(4-k)=0, тогда 4+k=0  или  4-k=0. Отсюда k=-4 k=4. Смотрите ответы: ±4; 0. Цените — вам не дают ошибиться! А откуда 0? На самом деле, если k=0, то уравнение примет вид: -8х=0, отсюда х=0.

11. Обозначим скорость, с которой бежал лыжник через х. Составим таблицу.

12. Решим уравнение:  2^3x+5∙5^3x+5=0,1.

Так как aⁿ∙bⁿ=(ab)ⁿ,  то имеем равенство: (2∙5)^3x+5=0,1; преобразуем к виду: 10^3x+5=10^-1; Если равны степени и основания степеней, то равны и показатели этих степеней: 3x+5=-1; отсюда 3x=-6; делим обе части на 3 и получаем: x=-2.

13. Решим систему уравнений. Упростим первое уравнение системы, применив формулы: log_ax+log_ay=log_a(xy)  и  log_aa=1. Тогда первое уравнение примет вид: log₄(xy)=log₄4+log₄9  или  log₄(xy)=log₄36. Так как логарифмы равны, основания логарифмов равны, то и равны числа под знаками логарифмов-получаем: х·у=36. Во втором уравнении представим число 1024 в виде степени с основанием 2. Получаем: 2^(x+y)/2=2¹⁰. Приравниваем показатели степеней с основанием 2.

(х+у)/2=10, отсюда х+у=20.  Выразим у через х. Получаем: у=20-х. Подставим в уравнение х·у=36. Получаем:

х·(20-х)=36. Раскроем скобки:

20x-x²=36. Перенесем слагаемые в правую часть: x²-20x+36=0. Получилось приведенное квадратное уравнение, решать которое нет необходимости — ведь требуется найти x₁+x₂. По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, следовательно, x₁+x₂=20.

14. Умножим обе части равенства на арифметический квадратный корень из выражения (х-11). Получаем:

х-11=8, тогда х=8+11=19.

15. Функцию называют четной,если выполняется условие: y(-x)=y(x). Другими словами, если вы вместо х подставите (-х) и после тождественных преобразований получаете ту же функцию, то данная функция является четной. Конечно, это случай Е), так как имеются переменные только в четной степени.

16. Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной функции в этой точке:

17. Найдем площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника АВСК и прямоугольного треугольника СКD, в котором определим катет СК по теореме Пифагора: CK²=CD²-KD²=10²-8²=100-64=36, отсюда СК=6. Искомая площадь равна:

BC·CK+(CK·KD):2=8·6+(8·6):2=48+24=72.

18. Задача на пирамиду.

Смотреть видео решение 18 задачи.

19. Даны два шара, радиусы которых 3 см и 6 см.  Найдем объем каждого шара и вычтем из большего результата меньший. Объем шара вычисляется по формуле:

20. Это пропорция, произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, поэтому, можно записать: (x-4)²=4(x+4)². Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

|x-4| =2∙|x+4|.  Возможны два случая: x-4=2∙(x+4)  или  x-4=-2∙(x+4).

1) x-4=2∙(x+4); x-4=2x+8;  x-2x=8+4; -x=12; x=-12.

2) x-4=-2∙(x+4); x-4=-2x-8; x+2x=-8+4; 3x=-4; x=-4/3.

21. Применим свойства степени: 1) (a^m)ⁿ=a^mn   - при возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают; 2) a⁰=1  - любое число или выражение в нулевой степени равно единице.

22. Ход решения: сделаем замену, решим квадратное неравенство относительно новой переменной, вернемся к переменной х и посчитаем количество целых чисел в найденном промежутке значений х.

23. Тригонометрическое неравенство с тангенсом.

Смотрите видео решение 23 задания.

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x² и x=y².

Решаем. Выразим у из равенства x=y², а затем построим графики этих функций.

 

25. Пусть мальчикам по х лет. Тогда папе 4х лет. Зная, что папа сейчас старше на 24 года, составим уравнение:

4х-х=24;

3х=24  |:3;

x=8.