ЕНТ-2013, вариант 0011.

Друзья, на экзаменах у вас не будет калькулятора. Вы умеете вручную извлекать квадратные корни? Если нет, то смотрите видео:

«Извлечение квадратного корня из целого числа».

«Извлечение квадратного корня из десятичной дроби».

1. Токарю нужно было сделать 120 деталей. Примем их за 100%. Он перевыполнил план на 10%. 10% от 120 — это 12 деталей (одна десятая всего плана), следовательно, токарь сделал 120+12=132 детали. 

Можно было составить пропорцию:

120 деталей ———100%

х деталей ———-110%

х=(120·110):100=132 (детали) — то же самое, только возни больше.

2. Решить уравнение.

3. Скорость велосипедиста V_в.=S:t_в.=36:3=12(км/ч).  Скорость пешехода V_п.=S:t_п=36:6=6(км/ч). Велосипедист и пешеход одновременно начали движение навстречу друг другу. Их скорость сближения равна (12+6=18) км/ч, значит, они встретятся через 36:18=2(часа).

4. Умножаем обе части неравенства на 6, получаем:

3·(x+1)-2·(x-1)>6x;

3x+3-2x+2>6x;

3x-2x-6x>-2-3;

-5x>-5   |:(-5)

x<1.

5. Решить неравенство: 2∙log₂x<3. Применим формулу: k∙log_ab=log_ab^k.

6. cos(π-α)=-cosα=-(-3/4)=3/4. Угол (π-α) находится во 2-й четверти, косинус во 2-й четверти имеет знак «-» (поменяли знак); в записи аргумента π/2 взято четное число раз (π=2·(π/2)), поэтому, косинус на кофункцию не поменяли.

7. Решить уравнение:

8. На рисунке изображен график прямой пропорциональности, которая задается формулой у=kx. Чтобы определить коэффициент k, подставим в это уравнение координаты данной точки (2; -3):

-3=k·2  ⇒ k=-3:2=-1,5.  Следовательно, функция задана равенством: у=-1,5х.

9. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, поэтому данный угол 110° может быть только при вершине данного равнобедренного треугольника. Сумма углов при основании равна 180°-110°=70°, тогда каждый из углов при основании этого равнобедренного треугольника равен 70°:2=35°.

10. Решить уравнение: |6x²+10x|=4. Решаем. Возможен любой из вариантов:

1) 6x²+10x=-4                                   2) 6x²+10x=4;

3x²+5x+2=0;                                      3x²+5x-2=0;

a=3, b=5, c=2.                                      a=3, b=5, c=-2.

Частный случай.                              Общий случай квадратного уравнения.

a-b+c=0;                                                  D=b²-4ac=5²-4∙3∙(-2)=  =25+24=49=7².

x₁=-1, x₂=-c/a=-2/3.                      x₁=(-5-7)/6=-2, x₂=(-5+7)/6=1/3.

11. Вычисляем x=log₇49-0,5log₂8=2-0,5∙3=2-1,5=0,5. Тогда:

12. Вычислим:

13. Дано:  арифметическая прогрессия, в которой  a₁₁=23, a₂₁=43.  Требуется найти a₅₀. Решаем. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

a_n=a₁+(n-1)∙d,  где a₁ -  первый член,   d- разность арифметической прогрессии.

Тогда a₅₀=a₁+49d.  Нужно найти a₁  и  d. У нас имеются: a₁₁=a₁+10d=23  и  a₂₁=a₁+20d=43. Вычтем из второго равенства первое. Получим: 10d=20, откуда  d=2. Подставим вместо d число 2 в равенство: a₁+10d=23 и найдем a₁=3. Теперь значения a₁  и  d подставляем в выражение a₅₀=a₁+49d. Получаем: a₅₀=3+49·2=3+98=101.

14. Дана функция котангенса: y=ctg2x. Аргументом может быть любое число, кроме чисел вида πn, так как котангенс нуля не существует, и наименьшим положительным периодом служит Т=π. Итак, 2x≠πn ⇒ x≠πn/2, nєZ. Смотрим ответы. Не подходят: x=5π/2 (n=5); x=π/2 (n=1); x=π (n=2); x=-4π (n=-8). А ответ x=-3π/4 подойдет, так как не является числом вида  x≠πn/2, nєZ.

15. Данная функция представляет собой произведение двух множителей. Найдем производную f ‘(x) по формуле: (u·v)’=u’·v+u·v’, а затем подставим в нее число 5 вместо х и вычислим  f ‘(5).

16. Помните, как вы строили правильный шестиугольник на уроках черчения и геометрии?  Чертили окружность, радиус которой равен стороне правильного шестиугольника (R=a), и делали засечки на окружности  тем же раствором циркуля — получалось 6 засечек. Их потом последовательно соединяли, и получался правильный шестиугольник. Этот шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.

17. Центр шара, описанного около куба лежит на середине диагонали куба. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов линейных размеров прямоугольного параллелепипеда (d²=a²+b²+c²). В случае куба имеем: d²=3a², тогда диагональ куба, она же  диаметр описанного шара:

18. Найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания, если образующая наклонена под углом 60°. Решаем. Боковая поверхность конуса S_бок.= πrl, где r-радиус основания конуса,  l-образующая конуса. Площадь основания конуса есть площадь круга, определяемая по формуле S_кр.=πr², r-радиус круга, лежащего в основании конуса.

19. Применим формулу:

20. Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов двух выражений:

a²-b²=(a+b)(a-b), и дробь легко сократится.

21. Решить уравнение: |5-x|-|x+4|=0. Чтобы решить это уравнение нужно освободиться от знаков модуля, а чтобы освободиться от знаков модуля нужно применить определение модуля числа а: |a|=a, если a≥0; |a|=-a, если a<0. Так как 5-х=0 при х=5, а х+4=0 при х=-4, то числа -4 и 5 разбивают множество всех действительных чисел на три области ( I, II и III), в каждой их которых модульные скобки раскрываются, согласно определению модуля, а затем решается полученное уравнение.

Что? Можно было не решать, а подставлять предложенные ответы? Да, в этом примере это было бы разумно, но, учтите, что иногда уравнение с модулями имеет ответ в виде числового промежутка (как у неравенства), так что вы должны уметь решать такие уравнения!

22. Умножим обе части равенства на 3, а затем возведем обе части в квадрат. Получаем:

9(11-x)=(2x-8)².  Раскрываем скобки: 99-9x=4x²-32x+64. Приводим подобные слагаемые и получаем квадратное уравнение:  4x²-23x-35=0. Имеем: a=4, b=-23, c=-35. Находим дискриминант:

D=b²-4ac=(-23)²-4∙4∙(-35)=529+560=1089=33².

x₁=(23-33):8=-10/8=-5/4; x₂=(23+35):8=56:8=7. Значение x₁=-5/4 не подойдет, так как при х=-5/4 правая часть данного равенства становится отрицательной. Ответ: 7.

23. Решить неравенство: cos2x+cosx>0. Прибавим и вычтем единицу:

1+cos2x+cosx-1>0.  Так как есть тождество: 1+cos2α=2cos²α, то  получаем:

2cos²x+cosx-1>0. Сделаем замену: cosx=y. Тогда имеем: 2y²+y-1>0. Найдем корни квадратного уравнения 2y²+y-1=0. У нас a=2, b=1, c=-1 подчиняются равенству: a-b+c=0 (частный случай), отсюдаy₁=-1, y₂=-c/a=1/2.

Решениями квадратного неравенства 2y²+y-1>0 будут значения yє(-∞; -1)U(1/2; +∞). Возвращаемся к переменной х. Так как cosx∉(-∞; -1), а  cosxє(1/2; +∞) означает, что cosx>1/2, то осталось решить последнее неравенство. Применим формулу для решения неравенств вида:

cost>a (-1<t<1). Формула:  -arccosa+2πn<t<arccosa+2πn, nєZ.

24. Проинтегрируем f(x) и найдем первообразную F(x). Так как интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых, то:

25. Мы видим, что каждое из чисел: 4,  2 и 3 преобразуется в куб числа:

4→64; 2→8; 3→27. Следовательно, и число х должно перейти в куб числа х. Получается, что  x³=x. А когда это возможно? Только в случае х=1. В ответе нужно указать 5х. Получаем 5·1=5.