ЕНТ-2013, вариант 0012.

1. К произведению степеней применяем формулу: a^m∙aⁿ=a^m+n. Скобки в показателях степеней открываем по формулам:

(a+b)²=a²+2ab+b² и (a-b)²=a²-2ab+b².

2. Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час.

48 деталей ———— х%

240 деталей ——— 100%. Зависимость прямая, поэтому, х=(48·100):240=20%.

3. Решить уравнение: log₃(log₅x)=0. Решаем.

log₃(log₅x)=log₃1. Потенцируем:

log₅x=1. По определению логарифма: x=5¹, тогда x=5.

4. Решим неравенство с модулем: |3x-1|<2. Рассуждаем: модуль числа 3х-1 — это  длина отрезка  от нуля до числа 3х-1, по условию  меньше двух единичных отрезков (<2), причем этот отрезок можно отложить как вправо, так  и влево от нуля. Следовательно, само число 3х-1 должно удовлетворять условию:

-2<3x-1<2. Прибавим ко всем частям двойного неравенства 1. Получаем:

-1<3x<3. Делим все части неравенства на 3.

-1/3<x<1   или   (-1/3; 1).

5. Решить неравенство: log₅(x+1)≤2. Решаем. Представим правую часть (число 2) в виде логарифма по основанию 5. Получаем:

log₅(x+1)≤log₅5²   или  log₅(x+1)≤log₅25. Логарифмическая функция с основанием 2>1 является возрастающей, поэтому, опускаем значки логарифмов и сохраняем знак неравенства:

x+1≤25, учитываем, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа, значит:

x+1>0. Решаем каждое неравенство и получаем:

x≤24  и x>-1. Ответ: (-1; 24].

6. Применим тождество: 1-cos2α=2sin²α.

7. Мы просто решим данное уравнение вида cost=a. Формула: t=±arccosa+2πn, nєZ. Будем подставлять вместо n такие целые значения, чтобы tє[700°; 1050°], а затем из всех подходящих значений выберем наибольшее.

8. Скорость есть производная пути по времени: v(t)=S’(t).

9. Представим себе эти квадраты (или начертим), и нам станет ясно, что искомая диагональ будет в 2 раза больше стороны данного квадрата и, значит, будет равна 2 метрам.

10. Решим данную систему уравнений.

11. Решим уравнение: 5^x-4,8=0,2^x.

12. Вычислить:

13. По условию: a₄-a₁=6  и a₅+a₇=30. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: a_n=a₁+(n-1)∙d.

Тогда a₄-a₁=a₁+3d-a₁=3d=6, отсюда находим d=2.

a₅+a₇=a₁+4d+a₁+6d=2a₁+10d=2a₁+10∙2=2a₁+20=30,  тогда a₁=10:2=5. Искомую сумму первых десяти членов данной прогрессии (a_n) найдем по формуле:

14. Найдем промежутки возрастания функции:

y=x²-2x+3. Найдем производную данной функции: y’=2x-2=2∙(x-1). Критическая точка:

Так как y’>0 на промежутке [1; +∞), то данная функция возрастает на всем этом промежутке.

 

15. Любые исследования функции следует начинать с нахождения области определения функции. Областью определения данной функции служит множество всех действительных чисел, кроме нуля. Найдем производную и критические точки функции.

16. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Так как тупой угол по условию равен 135°, то острый угол равен 180°-135°=45°, а если мы проведем высоту из вершины тупого угла, то получим равнобедренный прямоугольный треугольник (острые углы по 45°). Обозначим высоту трапеции через х. Тогда большее основание будет равно 3х, а меньшее основание равно х.

17. Так как секущая плоскость проведена через середину высоты конуса параллельно его основанию, то диаметр круга, получившегося в сечении, является средней линией осевого сечения конуса и равен половине диаметра основания конуса, а радиус сечения r равен половине радиуса основания конуса, т.е. равен 5 см. Тогда площадь сечения S=πr²=π∙5²=25π (см²).

18. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех его линейных размеров. Формула: V=abc, где a — длина, b — ширина, c — высота прямоугольного параллелепипеда. По условию высота с=13 см, ширина на 5 см меньше длины, значит, b=a-5. Получается равенство: 1092=a·(a-5)·13. Делим обе части равенства на 13 и получим:

84=а·(а-5). Раскроем скобки и перенесем все в левую часть, получим квадратное уравнение:

a²-5a-84=0. По теореме Виета находим корни a₁=-7, a₂=12. Длина параллелепипеда равна a=12 см, тогда ширина b=12-5=7 см. Получается, что наименьшей из сторон будет ширина b=7 см.

19. Потребуется знание двух способов сложения двух векторов на плоскости: 1) сумма двух векторов на плоскости, имеющих общее начало, есть вектор, имеющий то же начало и совпадающий по длине с диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах, как на сторонах. Вторая диагональ параллелограмма — вектор, равный разности данных векторов. 2) чтобы сложить два вектора на плоскости по правилу треугольника, нужно отложить первый вектор, а из его конца отложить второй вектор, результат (сумма этих двух векторов) — это вектор с началом в начале первого вектора и концом — в конце второго вектора.

20. Купив 9 рыбок по х тенге, Бауыржан потратил 9х тенге. Цена одной рыбки снижается на 25%, т.е будет стоить 75% от х. Это 0,75х тенге за одну рыбку. Бауыржан купит 9х:0,75х=900:75=12 (рыбок).

21. Вы видите, что  в числителях и знаменателях дробей повторяется одно и то же выражение x²-x. Сделаем замену: пусть x²-x=у. Решим получившееся уравнение:

22. Решаем систему методом сложения.

23. Решить неравенство:

24. Площадь заштрихованной фигуры найдем как сумму площадей двух прямоугольных треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. У верхнего треугольника катеты 1 и 1, а у нижнего треугольника катеты равны 1 и 2.

25. Так как количество дырок удваивается с каждым сложением листа, то их будет 2·2·2=8. (складывали три раза).