ЕНТ-2013, вариант 0014.

1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

2. Преобразуем выражение под знаком логарифма и применим формулу логарифма частного.

3. Решить уравнение: 2∙log₉(7x-1)=3. Решаем. Разделим обе части равенства на 2.

log₉(7x-1)=1,5. По определению логарифма 7х-1=9^1,5.   Так как 9^1,5=(3²)^1,5=3³=27, то получаем равенство:

7х-1=27  ⇒ 7х=28 ⇒ х=4.

4. По определению модуля условию удовлетворяют такие значения переменной под знаком модуля (справа и слева от нуля), расстояние от которых до нуля не менее, чем значение арифметического квадратного корня из трех. Ответ: С).

5. Представим число 5 в виде логарифма по основанию 2. Получаем:

log₂x≤log₂32  (32=2⁵). Опускаем значки логарифмов, сохраняя знак неравенства (логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей). Итак, х≤32 и х>0 (под знаком логарифма могут быть только положительные числа), а также х>17 (было по условию). Общее решение системы неравенств: 17<x≤32 или xє(17; 32].

6. Применим основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1, тогда:

7.  Вместо n поочередно в данную формулу подставляем значения: 1; 2; 3; 4; 5 и выполняем действия. Ответ: 0; 0; 0; 0; 0.

8. Для нахождения функции, обратной данной, нужно: 1) выразить х через у; 2) вместо х написать у, а вместо у написать х. 1) Возведем обе части данного равенства в квадрат и выразим х.

y²=x-3 ⇒ x=y²+3.

2) y=x²+3 — функция, обратная данной.

9. Такое возможно только в прямоугольном треугольнике: углы 45°, 45° и 90°. Но если не догадались — решайте, как обычно, т. е одну часть обозначьте через х. Тогда углы в данном треугольнике будут равны х; х и 2х. Так как сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, можно составить уравнение:

х+х+2х=180 ⇒ 4х=180, а х=180:4=45. Получаем углы: 45°, 45° и 90°.

10. Решим систему методом сложения: умножим первое равенство на (-2), а второе на 3 и сложим их почленно. Получаем 11у=22, отсюда у=2. Подставляем значение у=2 в любое из уравнений, например, в уравнение 4х+7у=2 и находим х.

4х+7·2=2 ⇒ 4х=-12 ⇒ х=-3. Ответ: (-3; 2).

11. Имеется 90 г. раствора, содержащего 20% соли. Нужно получить 9%-ый раствор. Какова масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору? Решаем. В 90 граммах 20%-го раствора содержится 0,2·90=18 граммов соли. (Чтобы найти проценты от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число). Пусть х граммов — масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору, чтобы получить 9%-ый раствор. В (х+90) граммах 9%-го раствора содержится 0,09·(х+90) граммов соли. А так как соли не прибавилось и не убавилось — получаем равенство:

0,09·(х+90)=18 ⇒ х+90=18:0,09 ⇒ х+90=1800:9 ⇒ х+90=200 ⇒ х=110.

12. Складываем данные равенства почленно, получаем: 2∙3^x=54, отсюда 3^x=27, а х=3. Если в уравнение 3^x+2^y=31  подставить вместо 3^x значение 27, то получаем: 2^y=4, отсюда у=2. Решением системы является пара чисел (3; 2). В ответе требуется найти разность 3х-2у. Подставляем: 3·3-2·2=9-4=5. 

13. Найдите значение выражения х+у, где (х; у) — решение системы:

14. Решить уравнение:

15. Так как координаты точки пересечения графиков данных функций удовлетворяют каждому уравнению, то справедливо равенство: 4x²+3x+6=3x²-3x-3.  Соберем все слагаемые в левой части равенства и приведем подобные члены. Получаем:

x²+6x+9=0. Свернем полный квадрат двучлена:

(x+3)²=0 ⇒ x=-3. Подставим значение х во второе уравнение (можно было подставить и в первое уравнение) и вычислим значение y(-3)=3∙(-3)²-3∙(-3)-3=27+9-3=33.

Ответ: (-3; 33).

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

y(x)=2x²-9x+10 на отрезке  [0; 2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее. Находим значения функции на концах отрезка.

y(0)=10; y(2)=2∙2²-9∙2+10=2∙4-18+10=0. Найдем производную:

y ‘(x)=(2x²-9x+10)’=4x-9 ⇒ x=9:4=2,25 — критическая точка функции.

2,25∉[0; 2]. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции будут на концах отрезка:

у_наиб.=10, у_наим.=0.

17. Найдем сумму оснований трапеции: из периметра вычтем сумму боковых сторон. Тогда сумма оснований a+b=66-(17+19)=66-36=30. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, т. е. равна 30:2=15.

18. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1200 см³.

19. Радиус основания конуса равен 4 см. Через середину высоты проведена плоскость параллельно основанию. Найдите площадь полученного сечения. Задача аналогична задаче 17 из варианта 0012.

Радиус сечения в 2 раза меньше радиуса основания, следовательно, площадь сечения в 4 раза меньше площади основания конуса. Можно найти площадь основания конуса и разделить ее на 4.

S_осн.=πR²=π∙4²=16π (см²). Тогда S_сеч.= 16π:4=4π(см²).

20. Вы знаете, что модуль положительного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Выясняете, какой знак имеет выражение в модульных скобках, а затем действуете по правилу.

21. Решить уравнение: |x+3|+|2x-1|=8. Решаем. Так как х+3=0 при х=-3, а 2х-1=0 при х=0,5, то корни данного уравнения нужно искать на каждом из интервалов: I (x<-3); II (-3≤x<0,5); III (x≥0,5). На каждом из этих интервалов модульные скобки раскрываются по правилу, а затем решается полученное уравнение. Корень (если он будет) должен принадлежать рассматриваемому интервалу.

22. Смотрите вариант 0001, задание 23. То же самое, только там неравенства строгие были, поэтому скобки круглые, а в данной системе неравенства нестрогие, и ответ С) дан в виде закрытого числового промежутка (скобки квадратные).

23. Для функции f(x)=6x²+2 найти первообразную F(x), график которой проходит через точку М(-1; 2). Решаем. Первообразная F(x)=2x³+2x+C. (Проверим — должно выполняться равенство: F ‘(x)=f(x)). Так как график первообразной проходит через точку М, то координаты этой точки должны удовлетворять равенству:  F(x)=2x³+2x+C. Подставим значения х=-1 и у=2  в это равенство и найдем С.

2=2∙(-1)³+2∙(-1)+C. Выполним действия:

2=-2-2+C ⇒  C=6. Тогда искомое уравнение первообразной: F(x)=2x³+2x+6.

24. Даны модули двух векторов и угол между ними. Требуется найти модуль разности этих векторов. Решаем.

25. По условию, в коробку вмещается 60 красных кубиков (60k) или 72 синих кубика (72s).  Получается, что 60k=72s. Разделим почленно на 12 обе части равенства и получим: 5k=6s. Это означает: 5 красных кубиков занимают столько же места, сколько 6 синих кубиков. Возвращаемся к задаче. В коробку положили 45 красных кубиков, значит, осталось места на 15 красных кубиков. Так как 5k=6s, то 15k=3·5k=3·6s=18s. Ответ: еще поместится 18 синих кубиков.