ЕНТ-2013, вариант 0015.

1. Вычисляем:

2. Вычислить:

3. Так как 0=log₂1, то, убрав значки логарифмов, получаем:

(3х-5):4=1, отсюда 3х-5=4; 3х=9; х=3.

4. Решаем каждое неравенство по отдельности:

1) 7+2x>5+x ⇒ x>-2.

2) 2-3x≥2x-8 ⇒ -5x≥-10 ⇒ x≤2. Получили -2<x≤2. Ответ: (-2; 2].

5. Найти область определения функции: y=log₅(2-3x). Областью определения функции служит множество таких значений переменной, при которых выражение в правой части функции имеет смысл. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то должно выполняться условие:

2-3x>0 ⇒ -3x>-2. Разделим обе части неравенства на (-3), изменив при этом знак неравенства на противоположный. Получаем x<2/3. Ответ: (-∞; 2/3).

6. Применим основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1, тогда:

7. Чтобы найти первые пять членов данной последовательности с общим членом b_n=4-5n, нужно в эту формулу подставлять по очереди числа 1; 2; 3; 4 и 5.

b₁=4-5∙1=4-5=-1. Уже можно было бы прекратить вычисления, так как только один ответ D) начинается с числа -1. Ну уж ладно, продолжим — сейчас то у нас времени побольше!

b₂=4-5∙2=4-10=-6;

b₃=4-5∙3=4-15=-11;

b₄=4-5∙4=4-20=-16;

b₅=4-5∙5=4-25=-21. Ответ: -1; -6; -11; -16; -21.

8. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее. Находим значения функции y(x)=sinx+x на концах отрезка [0; π].

y(0)=sin0+0=0;

y(π)=sinπ+π=0+π=π. Найдем производную y ‘(x)=(sinx+x)’=cosx+1. Находим критические точки функции:

y ‘(x)=0 ⇒ cosx+1=0 ⇒ cosx=-1 ⇒ x=π+2πn, nєZ. В данный промежуток [0; π] входит только х=π. Значение у(π) мы уже находили. Итак, наибольшее значение у_наиб.=π, наименьшее значение у_наим.=0.

9. Представили себе эти точки, подсчитали, что 5+7=12 и поняли: 12-ти частям (из 24-х) соответствует полуокружность. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 90°. Но можно, конечно,  порешать и подольше — традиционным методом.

Обозначим одну часть через х. Тогда градусные меры дуг между точками деления окружности будут равны 5х, 7х и 12х. Вся окружность составляет 360°, Получаем уравнение:

5х+7х+12х=360° ⇒ 24х=360°, делим обе части на 24 и получаем х=15°. Тогда наибольшая из дуг равна 12·15°=180°, а вписанный угол (наибольший угол треугольника), который опирается на эту дугу равен половине градусной меры дуги, т. е. равен 180°:2=90°.

10. Решите относительно х уравнение: 4+ах=3х+1. Уравнение с параметром решают так, как если  вместо параметра а было бы число. Соберем слагаемые, содержащие переменную х в левой части равенства, а свободные члены — в правой.

11. Через каждый час расстояние  между поездами становится на (70+80) км больше, поэтому, через 600:(70+80) часов, т. е. через 4 часа расстояние между ними будет равным 600 км. (70 км/ч + 80 км/ч=150 км/ч — это скорость удаления).

12. Дано уравнение: 2^2x-6∙2^x+8=0. Требуется найти сумму его корней. Решаем. Сделаем замену переменной: пусть 2^x=у. Тогда уравнение примет вид: y²-6y+8=0.  Находим корни по теореме Виета:

y₁=2, y₂=4. Возвращаемся к переменной х:

1) 2^x=2 ⇒ x=1; 2) 2^x=4 ⇒ x=2.  Сумма корней 1+2=3.

13. Возведем обе части равенства в квадрат:

x²+5=4+2x;

x²-2x+1=0 ⇒ (x-1)²=0 ⇒ x-1=0 ⇒ x=1.

14. Найдем значение выражения:

15. Чтобы выражение в правой части равенства имело смысл, должны выполняться условия:

1) х-3≥0  ⇒ х≥3 (под знаком арифметического квадратного корня может быть только неотрицательное число);

2) х+5>0  ⇒ х>-5 (под знаком логарифма могут быть только положительные числа).

Общее решение: х≥3 (выбрали «больше большего»).

Область определения данной функции есть промежуток значений [3; +∞).

 16. Требуется записать уравнение касательной к графику функции f(x)=-x²-4x+2  в точке с абсциссой x₀=-1. Решаем. Запишем уравнение касательной в общем виде:

y=f(x₀)+f ‘(x₀)∙(x-x₀). Выполним необходимые вычисления:

f(x₀)=f(-1)=-(-1)²-4∙(-1)+2=-1+4+2=5;

f ‘(x)=(-x²-4x+2)’=-2x-4;

f ‘(x₀)=f ‘(-1)=-2∙(-1)-4=2-4=-2.   Подставляем нужные значения в уравнение  касательной:

у=5-2·(х+1). Раскроем скобки и упростим:

у=5-2х-2 или у=-2х+3.

17. Известны стороны параллелограмма и угол между этими сторонами. Нужно найти диагональ, лежащую против данного угла. Любой отрезок находится из треугольника. Искомая диагональ является неизвестной стороной в треугольнике со сторонами 2 см и 3 см и углом 60° между ними. Применим теорему косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

18. Пусть дан конус с осевым сечением МАВ, радиус основания конуса АО=4 см, высота МО=8 см. Конус пересечен плоскостью (круг с центром в точке O₁ и радиусом А₁О₁), параллельной основанию и находящейся на расстоянии 5 см от его вершины (МО₁=5 см).  Требуется найти площадь сечения, т. е. нам нужно найти площадь круга с центром в точке O₁ и радиусом А₁О₁. Площадь круга находится по формуле: S=πr², где r — радиус круга. Нужно найти радиус круга r=А₁О₁.

19. В конус с высотой 15 см и радиусом 10 см вписан цилиндр с высотой 12 см. Найдите объем цилиндра.

20. Турист прошел за первый день 40% маршрута, во второй день 45% остатка, после чего ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день. Весь маршрут составляет: ОТВЕЧАЕМ — х км. Тогда в первый день он прошел 40% от х — это 0,4х км (чтобы найти проценты от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь и умножить на данное число). Остаток составит х-0,4х=0,6х (км). Во второй день  он прошел 45% от 0,6х — это 0,45·0,6х=0,27х (км). Складываем путь, пройденный за два дня: 0,4х+0,27х=0,67х (км). Туристу осталось пройти х-0,67х=0,33х (км). Зная, что ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день, составим уравнение:

0,33х-0,27х=6  ⇒ 0,06х=6  ⇒ х=6:0,06=600:6=100 (км).

Ответ: весь путь составляет 100 км.

21. Упростим выражение:

Для этого нам понадобилось знание следующих формул:

1) a³+b³=(a+b)∙(a²-ab+b²). У нас: a³+27=a³+3³=(a+3)∙(a²-3a+9).

2) a²-b²=(a+b)∙(a-b). У нас: a²-9=a²-3²=(a+3)∙(a-3).

3) ax²+bx+c=a(x-x₁)∙(x-x₂), где x₁ и x₂ - корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

4) Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0.

  Сумма корней: x₁+x₂=-p; произведение корней: x₁∙x₂=q.

У нас: x²+3x-10=0, тогда  x₁+x₂=-3; x₁∙x₂=-10. Корни: x₁=-5, x₂=2.

Разложили на множители: x²+3x-10=(x+5)(x-2).

22. Решить неравенство: sin²x-3sinxcosx+2cos²x<0. Решаем. Разделим обе части неравенства на cos²x,  (где cos²x>0).

Получаем: tg²x-3tgx+2<0. Сделаем замену: tgx=y, тогда получим неравенство: y²-3y+2<0. По теореме Виета найдем корни приведенного квадратного уравнения: y²-3y+2=0. Получаем: y₁=1, y₂=2. Тогда y²-3y+2<0 при yє(1; 2), это значит, что tgx є(1; 2).  Если tgx=1, то x=π/4+πn. Если tgx=2, то x=arctg2+πn, nєZ. Ответ: π/4+πn<x<arctg2+πn, nєZ.

23. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью Ох, сверху графиком функции y=f(x), а слева и справа прямыми х=а и х=b,  находят по формуле:  У нас a=-3, b=0, а функция y=f(x) пока не  определена. График — парабола, вершина которой находится в точке (-2; 0), следовательно, уравнение данной квадратичной функции имеет вид:

y=a(x+2)².  Подставим координаты (0; 4) в это равенство:

4=a(0+2)² ⇒ a=1.  Итак, наша функция: y=(x+2)². Находим площадь заштрихованной фигуры.

24. Прямая у=ах+b перпендикулярна прямой у=0,5х-4 и проходит через точку С(2; 6). Составьте ее уравнение. Решаем. Так как прямые взаимно перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно (-1), т. е. а·0,5=-1, отсюда а=-1:0,5=-10:5=-2. Вид нашей прямой: у=-2х+b. Чтобы определить значение b, подставим в это уравнение координаты данной точки С(2; 6).

6=-2·2+b ⇒ b=6+4=10. Получаем: у=-2х+10.

25. Так как в году 12 месяцев, то к 45 месяцам добавим еще 3 месяца — это 3·(≈4,5)≈ 27 недель. Тогда человеку 45+4=49 полных лет.