ЕНТ-2013, вариант 0016.

1. Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на линейные множители:

ax²+bx+c=a(x-x₁)∙(x-x₂), где x₁ и x₂ - корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0, а также

 теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0.

  Сумма корней: x₁+x₂=-p; произведение корней: x₁∙x₂=q.

У нас: x²+6x+8=0, тогда  x₁+x₂=-6; x₁∙x₂=8.

Корни: x₁=-4, x₂=-2. Тогда: x²+6x+8=(х+4)(х+2).

2. Решим уравнение: log₇(4x²-18x+13)-log₇(2x-8)=0. 

Перепишем равенство в виде: log₇(4x²-18x+13)=log₇(2x-8). Потенцируем ( убираем значки логарифмов), рассуждая так: логарифмы равны, основания логарифмов одинаковое, значит, и числа под знаками логарифмов будут равны. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то будем иметь в виду,

что 4x²-18x+13>0 и 2x-8>0. Теперь нужно решить уравнение:

4x²-18x+13=2x-8. Переносим слагаемые из правой части равенства в левую и приводим подобные члены.

4x²-20x+21=0. Это полное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом.

a=4; b=-20; c=21. Используем формулы решения полного квадратного уравнения для четного второго коэффициента:

Ни один из найденных корней квадратного уравнения не является корнем данного логарифмического уравнения, так как не удовлетворяет условию  2x-8>0. Ответ: корней нет. Справка: вы могли бы не решать, а делать проверку, подставляя предложенные ответы — наверняка бы заметили, что при любых предложенных значениях х выражение под знаком логарифма log₇(2x-8) будет отрицательным, что недопустимо!

3. Решить уравнение:

4. Дано неравенство: -3≤x<1,5. Ответ: [-3; 1,5). Так как значение -3 удовлетворяет неравенству, то на числовой прямой точка, соответствующая числу -3 будет закрашенной, а точка, соответствующая числу 1,5 будет пустой — не закрашенной (выколотой).

5. По синусу угла α  во второй четверти нужно найти cosα. Во второй четверти косинус имеет знак «-», поэтому:

6. Найдем q — знаменатель геометрической прогрессии, а затем четвертый член умножим на q.

7. Вспомним определение нечетной функции. Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение (-х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(- x)=- f(x). Подойдет под это определение только функция в ответе В).

8. Площадь ромба равна 8, высота 2, тогда сторона ромба равна площади ромба, деленной на высоту: а=8:2=4. (Формула площади ромба: S_p.=a∙h).

9. Помним, что если векторы складывают, то складывают и их соответственные координаты; если умножают число на вектор, то это число умножают на каждую координату вектора.

10. Будем считать, что нам даны значения корней x₁ и х₂. А по теореме Виета:

x₁+ х₂=-p; x₁· х₂=q. Считаем и получаем:

-p=6 ⇒ p=-6; q=3²-2=7. Приведенное квадратное уравнение имеет вид: x²+px+q=0, подставляем найденные значения  p и q и получаем ответ: x²-6x+7=0.

11. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определите, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что из первой трубы в час вытекает на 50% больше, чем из второй. Решаем. Пусть из второй трубы вытекает х воды в час. Это количество воды примем за 100%. Из первой трубы вытекает воды на 50% больше, чем из второй — это 150% или 1,5х в час. Две трубы за один час нальют х+1,5х=2,5х воды. Зная, что две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов, составим уравнение: 2,5х·6=1. За единицу принимаем вместимость бассейна (объем бассейна).

15х=1  ⇒  х=1:15. Это означает, что за один час через вторую трубу бассейн наполнится на 1/15 часть, т. е. за 15 часов бассейн наполнится через вторую трубу. Через первую трубу в час нальется в 1,5 раз больше, следовательно, для наполнения всего бассейна через первую трубу, потребуется в 1,5 раз меньше времени, т. е. 15:1,5=10 часов.

12. Нужно решить иррациональное уравнение. Возведем обе части равенства в квадрат, а единицу представим в виде степени:

1=2⁰. Опускаем основания степеней и приравниваем показатели:

x²-7x=0 ⇒ x(x-7)=0 ⇒ x=0 или x=7. Подходят оба эти значения.

13.  Решить иррациональное уравнение. Это уравнение решений не имеет — смотрите сами: если число 12 перенести в правую часть (получаем 15-12=3), умножаем обе части на (-1) и оказывается,что арифметический квадратный корень будет равен (-3), а это невозможно!

14. Решить уравнение: tgx·(cosx+2)=0. Решаем. Так как cosx+2≠0 ни при каком значении х (так как |cosx|≤1), то равенство будет верным, если tgx=0, отсюда х=πn, nєZ.

15. Выражение в правой части равенства будет иметь смысл, если: 1) x≠0 (знаменатель дроби отличен от нуля); 2) 7x+1≥0 ⇒ 7x≥-1  ⇒  x≥-1/7 (подкоренное выражение в числителе дроби неотрицательно). Область определения D(y)=[-1/7; 0)U(0; +∞). Ответ записан в виде Е) [-1/7; +∞), x≠0.

16. Найти производную функции: f(x)=e^3sinx.  Решаем.

f ‘(x)=(e^3sinx)’= e^3sinx∙(3sinx)’=3cosx∙ e^3sinx.

17. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его каждый угол равен 150°? Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника определяется из формулы: S=180°·(n-2), где n - количество углов (сторон) выпуклого n-угольника.  

Зная, что каждый угол данного n-угольника равен 150°, составим уравнение:

180°·(n-2)=150°·n. Раскроем скобки. 180n-360=150n ⇒ 180n-150n=360 ⇒ 30n=360, разделим обе части равенства на 30 и получаем число углов (сторон) n=12.

18. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 3см³, а высота равна 1 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Решаем. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат ABCD, а вершина пирамиды M проектируется в точку O — пересечение диагоналей квадрата (O - это центр описанной и вписанной в квадрат окружности). МО — высота пирамиды.

19. Известна площадь осевого сечения цилиндра. Требуется найти площадь его боковой поверхности. Решаем. Дан цилиндр с осевым сечением  АА₁В₁В.

 20. Выполним действия.

21.  Вычислим:

22. Решить систему логарифмических неравенств:

23. Смотрите вариант 0001 — 23. Только со скобками будьте внимательны (знак «≥» — скобка квадратная, знак «<» — скобка круглая).

24. Найти общий вид первообразных для функции:

25.  Известно, что 3a²=2b³.  Число а увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилось число b? Выясним чему равно число b — как оно зависит от а? Для этого выразим число b через а.