ЕНТ-2013, вариант 0017.

1. Спрашивают, во сколько раз 4 кг больше, чем 200 г. Так как 4 кг=4000 г, то делим 4000 г на 200 г и получаем 20. Ответ: соотношение 4 кг к 200 г равно 20.

2. На собрании рабочих цеха присутствовало 69 человек, что составляло 92% всех рабочих цеха. Сколько рабочих присутствовало на собрании? Решаем. Найдем число по его процентам, т. е. найдем общее количество рабочих цеха, зная, что 92% всех рабочих — это число 69. Чтобы найти число по его процентам, нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное число на эту дробь. 92%=0,92.

69:0,92=6900:92=75. Всего в цехе 75 рабочих, следовательно отсутствовало 75-69=6 человек.

3. Вычислить:

4. Решить уравнение: log_x(x²+5x-5)=2. Решаем. Запишем число 2 в виде логарифма по основанию х.

log_x(x²+5x-5)=log_xx² ⇒ x²+5x-5=x² ⇒  5x=5 ⇒ x=1. Не подойдет, так как основание логарифма не должно быть равно единице. Корней нет.

5. Решим неравенство. Умножим обе части данного неравенства на 14 — наименьший общий знаменатель данных дробей и получим неравенство:

2(7х+1)-2x>11x-3; раскроем скобки:

14x+2-2x>11x-3. Соберем слагаемые с переменной в левой, а свободные слагаемые — в правой части неравенства:

14x-2x-11x>-3-2  ⇒  x>-5.

6. Решить неравенство:

7. Понизим порядок выражения, применив формулу:  1+cos2α=2cos²α. Тогда данное выражение преобразуется к виду:

1+cosα-cosα=1.

8. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=tgx в точке x_o=π/4. Решаем. Значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x_o равна тангенсу угла наклона касательной к графику данной функции в точке x_o. tgα=f ‘(x_o). В этом заключается геометрический смысл производной. Найдем производную данной функции, а затем подставим в нее значение x_o=π/4.

9. Периметр трапеции равен 36, а сумма непараллельных сторон равна 12, тогда средняя линия трапеции равна:

полусумме оснований трапеции, т. е. равна (36-12):2=12.

10. Найдите значение выражения x₁∙y₁+x₂∙y₂, где (х; у) — решение системы двух уравнений:

1) (х-1)(у+10)=9  и 2) х-у=11. Решаем. Выразим х через у из 2) уравнения. Получим:

х=11+у. Подставим это значение в 1) уравнение. Получим:

(11+у-1)(у+10)=9 ⇒ (10+у)(у+10)=9 ⇒ (y+10)²=9. Это возможно, если у+10=-3 ⇒ у=-13 или если у+10=3 ⇒ у=-7. Каждое из этих значений подставим в равенство х=11+у и найдем х.

При у=-13 получаем х=11-13=-2. При у=-7 получим х=11-7=4. Решение системы: пары чисел (-2; -13) и (4; -7). Тогда

x₁∙y₁+x₂∙y₂=-2·(-13)+4·(-7)=26-28=-2.

11. Решить систему уравнений:

12. Решить уравнение: sin5xsin3x-sin²3x=0. Решаем. Вынесем общий множитель sin3x за скобки.

13. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой четвертый член равен (-16), а первый член равен 2.

14. Найдите область определения функции y=log₂(x²-x)+lgx.  Нужно найти все значения переменной х, при которых функция имеет смысл. Так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, то необходимо, чтобы выполнялись  условия:  x>0 и x²-x>0. Решаем последнее неравенство x²-x>0. Выносим х за скобки. Получаем: х(x-1)>0. Произведение двух чисел положительно, если сомножители имеют одинаковые знаки. Так как x>0, то и второй множитель х-1>0, отсюда x>1. Общее решение: «больше большего» — это x>1. Область определения D(y)=(1; +∞).

15. Найдите производную функции:

16. К двум касающимся друг друга окружностям, проведена касательная прямая, с расстоянием между точками касания 20 см. Определите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 5 см.

17. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота равна 2 см. Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания. Решаем. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD высота МО=2 см (О — центр вписанной и описанной окружности около квадрата ABCD), сторона квадрата AD=CD=4 см. Построим угол α — наклона боковой грани (MCD) к плоскости основания (ABCD). Углом между двумя плоскостями называется угол между двумя полупрямыми, перпендикулярными линии пересечения данных плоскостей.  

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП). Прямая (CD), проведенная на плоскости через основание наклонной (МК) перпендикулярно ее проекции (ОК) будет перпендикулярна и самой наклонной (CD  перпендикулярна MK).

18. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания, если угол между высотой конуса и образующей равен 45°. Решаем. Дан конус с осевым сечением МАВ, МО — высота конуса. Угол ОМВ=45° — это угол между высотой конуса МО и образующей МВ.

19. Даны модуль суммы и модуль разности двух векторов, а также модуль одного из векторов, требуется найти модуль другого вектора.

20. Сумма 13⁵+11⁵ оканчивается цифрой 4. Как рассуждаем? Судим по последней цифре степеней числа 3 (3;  9; 7; 1; 3), следовательно, 13⁵ оканчивается на «3«. Степени числа 1 оканчиваются на «1«.

21. Выполнить действия:

22. Требуется найти

23. Решить систему тригонометрических неравенств:

24. Найти площадь заштрихованной фигуры. Фигура ограничена параболой сверху, осью Ох снизу и прямыми х=0 и х=3 слева и справа. Найдем уравнение параболы. Вершина параболы находится в точке (1; 1), следовательно, функция имеет вид:      y=a(x-m)²+n,  где m и  n – координаты вершины O₁(m; n), подставим координаты вершины и получим: y=a(x-1)²+1.  Чтобы определить значение а, подставим в последнее уравнение координаты точки графика (0; 2). Получаем:  2=a(0-1)²+1⇒ a=1 и функция задается уравнением:  y=(x-1)²+1. Раскроем скобки  y=x²-2x+1+1  или y=x²-2x+2. Площадь фигуры находим по формуле:

25. Ира, Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша больше, чем Витя. Кто собрал грибов больше? Рассуждаем. Наташа подходит безоговорочно. Алеша собрал больше Вити, но и Ира собрала не меньше всех (может быть, больше Алеши!). Получается, что Наташа и Ира собрали грибов больше, чем Алеша и Витя.