ЕНТ-2013, вариант 0020.

Дорогие друзья! Я очень надеюсь, что смогла вам помочь разобраться в решении отдельных заданий (разумеется, в основном, вы с этими заданиями отлично справляетесь и сами!). Вы учились целых 11 лет, и вы подтвердите свои знания на экзаменах! Иначе и быть не может, не должно! Я желаю вам успешной сдачи ЕНТ, пусть вам «попадется» легкий вариант. Буду рада, если вы оставите свои комментарии на страницах моего сайта.

Андрющенко Татьяна Яковлевна.

1. Исключите иррациональность в знаменателе:

2. Решите уравнение:

3. Найти решение неравенства: 2x²+x-3<0. Решать можно как с помощью графика, так и методом интервалов. Вспомним оба способа.

а) Находим нули функции у=2x²+x-3, т.е. решаем квадратное уравнение 2x²+x-3=0. Применим метод коэффициентов, так как выполнено условие a+b+c=0 (2+1-3=0). Согласно методу коэффициентов x₁=1; x₂=c/a=-3/2=-1,5. Ветви параболы, пересекающей ось Ох в точках (-1,5; 0) и (1; 0) направлены вверх, значит, функция у=2x²+x-3 примет отрицательные значения в промежутке (-1,5; 1).

б) Тоже надо найти корни квадратного уравнения 2x²+x-3=0. Конечно, вы можете находить корни так, как привыкли это делать. Корни найдены. x₁=1; x₂=-1,5. Разложим квадратный трехчлен на линейные множители по формуле: ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), где x₁, x₂ — корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0. Получаем: 2(х-1)(х+1,5)<0.

На числовой прямой берем точки -1,5 и 1 и выясняем знаки на одном из полученных промежутков (для этого подставляем какое-либо число из выбранного промежутка в выражение 2(х-1)(х+1,5) — я подставляла 0 ). 

4. Решите неравенство:

5. Упростите выражение:

6. Найдите области значения следующей функции:  y=x-|x|. Изобразим график этой функции. Для этого нужно освободиться от модульных скобок согласно определению модуля числа а:

|a|=a, при условии, что a≥0  и  |a|=-a, если a<0.

Если x≥0, то  получаем функцию: y=x-x=0. Прямая у=0 — это ось абсцисс Ох.

Если x<0, то функция y=x- (-x)=2x.  График функции у=2х — прямая. Начертили график.  Множество значений функции ує(-∞; 0], иначе, можно записать: у≤0.

7. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b_n), если b₁=16; q=3/4. Решаем. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

8. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике соответственно равны 11,2 см и 22,4 см. Определите меньший из острых углов. Мы заметили, что катет в два раза меньше гипотенузы. Делаем вывод: катет лежит против угла в 30°. Катет, противолежащий углу в 30°, в два раза меньше гипотенузы.

9. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6 см и боковое ребро 30 см.

Решение сводится к нахождению катета МО прямоугольного треугольника МОС. Гипотенуза МС = 30 см, ОС- половина диагонали AC квадрата ABCD. Нам дана сторона квадрата,  можно  найти диагональ квадрата, а затем из прямоугольного треугольника МОС  по теореме Пифагора:

MO²=MC²-OC².   

10. Решите уравнение:

11. Для облицовки стен бассейна используется белая, желтая и черная плитка в отношении 1:1,3:2,7. Взяли 150 плиток. Сколько среди них должно быть плиток белого и желтого цвета вместе? Решаем. Обозначим одну часть через х. Тогда взяли х штук белых плиток, 1,3х штук желтых и 2,7х — черных плиток. Зная, что всего взяли 150 штук, составим уравнение: х+1,3х+2,7х=150, считаем иксы в левой части и получаем: 5х=150, отсюда х=30. Белых и желтых плиток вместе взяли х+1,3х=2,3х. Так как х=30, то белых и желтых плиток получается 2,3·30=69 штук.

12. Требуется найти сумму корней показательного уравнения:

13. Чему равно выражение log₅log₄log₃81? Решаем. log₅log₄log₃81=log₅log₄4=log₅1=0.

14. Найдите х/у, где (х; у) — решение системы:

15. Смотрим на правую часть данного тригонометрического уравнения: она отрицательна. Данное уравнение решений не имеет, так как квадрат любого числа не может быть равен отрицательному числу. Ответ: нет корней.

16. Дана функция:

17. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3x² и прямой у=2х+1. Построим графики этих функций.  Найдем площадь заштрихованной фигуры.

18. Сколько сторон имеет правильный n-угольник, если его каждый угол равен 135°? 

Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника определяется из формулы: S=180°·(n-2), где n - количество углов (сторон) выпуклого n-угольника.  

Зная, что каждый угол данного n-угольника равен 135°, составим уравнение:

180°·(n-2)=135°·n. Раскроем скобки. 180n-360=135n ⇒ 180n-135n=360 ⇒ 45n=360, разделим обе части равенства на 45 и получаем число углов (сторон) n=8.

19. Образующая, высота и радиус большего основания усеченного конуса соответственно равны 26 см, 24 см, 22 см. Вычислите боковую поверхность этого конуса. Решаем. Боковую поверхность усеченного конуса вычисляют по формуле: S=π(R+r)l, где  R — радиус большего основания конуса (по условию R=22 см), r — радиус меньшего основания конуса (неизвестен), l — образующая конуса (по условию l=26 см). Потребуется найти радиус меньшего основания конуса. Рассмотрим усеченный конус с осевым сечением AA₁B₁B, образующей AA₁ и высотой OO₁ (по условию OO₁=24 см).

20. Решите уравнение:

21. Найдите значение выражения.

22. Решить неравенство:  2sin²x-4sinxcosx+9cos²x>0.  Решаем. Разделим обе части неравенства на cos²x. Так как cos²x>0, то знак неравенства не изменится. Получаем:

2tg²x-4tgx+9>0;  делаем замену: пусть tgx=y. Получаем неравенство: 2y²-4y+9>0. Это неравенство будет верным при любом значении у. Убедимся — найдем дискриминант квадратного уравнения 2y²-4y+9=0.

D=b²-4ac=16-4∙2∙9=16-72=-56<0, что означает- корней нет, т. е. график уравнения (парабола) не пересечет ось Ох. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, при любом значении у мы будем получать только положительные значения f(y). Все еще сомневаетесь? Тогда найдите координаты вершины параболы O’(m; n), где m=-b/(2a)=4:4=1; n=f(m)=f(1)=2-4+9=7. O’(1; 7) — это самая нижняя точка графика. Все остальные точки лежат выше.  Итак, у -любое число. Мы делали замену tgx=y. Значит, и х может быть любым числом. Ответ: (-∞; +∞).

23. В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым членами равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

24. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма, построенного на векторах

25. У деда 9 сыновей, у каждого его сына по 4 сына, а у каждого внука деда по 3 дочери. Сколько правнучек у деда? Рассуждаем. Если у каждого сына по 4 своих сына, то у деда 9·4=36 внуков. Так как у каждого внука по 3 дочери, то правнучек у деда 36·3=108.