ЕНТ-2014, вариант 0003

По вашим просьбам.

6. Упростить выражение:

Так как кофункции углов, дополняющих друг друга до 90°, равны, то sin50° в числителе дроби заменим на cos40° и применим к числителю формулу синуса двойного аргумента. Получим в числителе 5sin80°. Заменим sin80° на cos10°, что позволит нам сократить дробь.

Применили формулы: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. В арифметической прогрессии, разность которой 12, а восьмой член 54, найти количество отрицательных членов.

План решения. Составим формулу общего члена данной прогрессии и узнаем, при каких значениях n будут получаться отрицательные члены. Для этого нам нужно будет найти первый член прогрессии.

Имеем d=12, a₈=54. По формуле a_n=a₁+(n-1)∙d  запишем:

a₈=a₁+7d. Подставим имеющиеся данные.  54=a₁+7∙12;

54=a₁+84;

a₁=-30. Подставим это значение в формулу a_n=a₁+(n-1)∙d

a_n=-30+(n-1)∙12 или a_n=-30+12n-12. Упрощаем:  a_n=12n-42.

Мы ищем количество отрицательных членов, поэтому, нам нужно решить неравенство:

a_n<0, т.е.  неравенство: 12n-42<0;

12n<42   ⇒  n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Найдите области значения следующей функции: y=x-|x|.

Раскроем модульные скобки. Если х≥0, то у=х-х ⇒ у=0. Графиком будет служить ось Ох справа от начала отсчета. Если х<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

 

9. Найдите площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, если его образующая равна 18 см, а площадь основания равна 36 см².

Дан конус с осевым сечением МАВ. Образующая ВМ=18, S_осн.=36π. Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: S_бок. =πRl, где l – образующая и по условию равна 18 см, R – радиус основания найдем по формуле: S_кр.= πR². У нас S_кр.= S_осн.= 36π. Отсюда πR²=36π ⇒ R=6.

Тогда S_бок. =π∙6∙18 ⇒ S_бок. =108π см².

12. Решаем логарифмическое уравнение. Дробь равна 1, если ее числитель равен знаменателю, т.е.

lg(x²+5x+4)=2lgx при lgx≠0. Применяем к правой части равенства свойство степени числа под знаком логарифма: lg(x²+5x+4)=lgx², Эти десятичные логарифмы равны, следовательно равны и числа под знаками логарифмов, поэтому:

x²+5x+4=x², отсюда 5x=-4; получаем x=-0,8. Однако, это значение брать нельзя, так как под знаком логарифма могут быть только положительные числа, поэтому данное уравнение решений не имеет. Примечание. Не стоит в начале решения находить ОДЗ (потратите время!), лучше делать проверку (как мы сейчас) в конце.

13. Найдите значение выражения (х_о – у_о), где  (х_о; у_о) – решение системы уравнений:

14. Решить уравнение:

Если вы разделите на 2 и числитель и знаменатель дроби, то узнаете формулу тангенса двойного угла. Получится простое уравнение: tg4x=1.

15. Найдите производную функции: f(x)=(6x²-4x)⁵.

Нам дана сложная функция. Определяем ее одним словом – это степень. Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции найдем производную от степени и домножим ее на производную основания этой степени по формуле:

(uⁿ)’ = n∙u^n-1 ∙ u’.

f ‘(x)= 5(6x²-4x)⁴ ∙ (6x²-4x)’ = 5(6x²-4x)⁴ ∙ (12x-4)= 5(6x²-4x)⁴ ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x²-4x)⁴.

16. Требуется найти f ‘(1), если функция

17. В равностороннем треугольнике сумма всех биссектрис равна 33√3 см. Найдите площадь треугольника.

Биссектриса равностороннего треугольника является и медианой и высотой. Таким образом, длина высоты BD данного треугольника равна

Найдем сторону АВ из прямоугольного Δ АВD. Так как sin60° = BD : AB, то AB = BD : sin60°.

18. Круг вписан в равносторонний треугольник, высота которого равна 12 см. Найдите площадь круга.

Круг (О; ОD) вписан в равносторонний Δ АВС. Высота BD также является биссектрисой и медианой, и центр окружности — точка О лежит на BD.

О – точка пересечения высот, биссектрис и медиан делит медиану BD в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, OD=(1/3)BD=12:3=4. Радиус круга R=OD=4 см. Площадь круга S=πR²=π∙4² ⇒ S=16π см².

 

19. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 9 см, а сторона основания 8 см. Найдите высоту пирамиды.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат ABCD, основанием высоты МО служит центр квадрата.

20. Упростить:

В числителе квадрат разности — свернем.

Знаменатель разложим на множители, применяя метод группировки слагаемых.

21. Вычислить:

Для того, чтобы можно было извлечь арифметический квадратный корень — подкоренное выражение должно представлять собой полный квадрат. Представим выражение под знаком корня в виде квадрата разности двух выражений по формуле:

a²-2ab+b²=(a-b)², считая что a²+b²=10.

22. Решите неравенство:

Представим левую часть неравенства в виде произведения. Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности этих углов:

Получаем:

Решим это неравенство графически. Выбираем те точки графика y=cost, которые лежат выше прямой и определяем абсциссы этих точек (показаны штриховкой).

23. Найдите все первообразные для функции:  h(x)=cos²x.

Преобразуем данную функцию, понизив ее степень с помощью формулы:

1+cos2α=2cos²α. Получаем функцию:

24. Найдите координаты вектора

25. Вставьте вместо звездочек арифметические знаки так, чтобы получилось верное равенство: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

Рассуждаем: должно получиться число 25 (31 – 6 = 25). Как же получить это число из двух «троек» и двух «четверок» с помощью знаков действий?

Конечно же это: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. Ответ Е).

Удачи!