ЕНТ-2014, вариант 0007

По вашим просьбам!

1. Исключите иррациональность в знаменателе:

3. Решите показательное уравнение:

4. Решить неравенство:

Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа и всегда выражается неотрицательным числом, поэтому, данное неравенство будет верным для всех х, удовлетворяющих условию: 2-х≥0. Отсюда получаем: х≤2. Записываем ответ в виде числового промежутка: (-∞; 2].

5. Решить неравенство: 7^x > -1.

По определению: показательной называют функцию вида y = a^x, где а >0, a≠1, x — любое число. Областью значений показательной функции служит множество всех положительных чисел, так как положительное число в любой степени будет положительным. Вот поэтому 7^x >0 при любом х, и тем более 7^x > -1 , т.е. неравенство верно при всех х ∈ (-∞; +∞).

6. Преобразовать в произведение:

Применим формулу суммы синусов: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

8. Известно, что f(x) = -15х+3. При каких значениях х,  f(x)=0?

Подставим вместо  f(x) число 0 и решаем уравнение:

-15х+3=0  ⇒  -15х=-3  ⇒  х=3:15  ⇒  х = 1/5.

11. В первом и втором сплавах медь и цинк находятся в соотношении 5:2 и 3:4. Сколько каждого сплава нужно взять, чтобы получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка.

Понимаем, что в новом сплаве будет 14 кг меди и 14 кг цинка. Подобные задачи решаются все одинаково: составляют уравнение, в левой и правой частях которого одно и то же количество вещества (возьмем медь), записанное по-разному (исходят из конкретного условия задачи). У нас 14 кг меди в новом сплаве будет составлено из меди обоих данных сплавов. Пусть масса первого сплава х кг, тогда масса второго сплава равна (28-х)кг. В первом сплаве 5 частей меди и 2 части цинка, следовательно меди будет (5/7) от х кг. Чтобы найти дробь от числа нужно эту дробь умножить на данное число. Во втором сплаве 3 части меди и 4 части цинка, т.е. меди содержится (3/7) от (28-х) кг. Итак:

12. Решите уравнение: log₂8^x = -1.

По определению логарифма:

8^х = 2^-1  ⇒  2^3х = 2^-1  ⇒   3х = -1   ⇒   х = -1/3.

15. Найдите производную функции f(x) = -ln cosx².

20. Найти значение выражения:

Модуль числа может выражаться только неотрицательным числом. Если под знаком модуля находится отрицательное выражение, то при раскрытии модульных скобок все слагаемые записывают с противоположными знаками.

22. Решите систему неравенств:

Вначале решаем каждое неравенство по отдельности.

Обратите внимание, что наименьшим общим периодом для данных функций будет 2π, поэтому и слева и справа приписали 2πn.  Ответ С).

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=3-|x-3| и прямой у=0.

График данной функции будет состоять из двух полупрямых, выходящих из одной точки. Запишем уравнения прямых. При x≥3 мы раскрываем модульные скобки и получаем: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. При x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Треугольник, ограниченный графиком функции и отрезком оси Ох — фигура, площадь которой нужно найти. Конечно, обойдемся здесь без интегралов. Найдем площадь треугольника как половину произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Основание у нас равно 6 единичным отрезкам, а высота, проведенная к этому основанию равна 3 единичным отрезкам. Площадь будет равна 9 кв. ед.

24. Найдите косинус угла А треугольника с вершинами в точках А(1; 4), В(-2; 3), С(4; 2).

Чтобы найти координаты вектора, заданного  координатами его концов нужно из координат конца вычесть координаты начала. 

Угол А образуют векторы:

25. В коробке лежат 23 шара: красные, белые и черные. Белых шаров в 11 раз больше, чем красных. Сколько черных шаров?

Пусть в коробке лежит х красных шаров. Тогда белых 11х шаров.

Красных и белых х+11х=12х шаров. Следовательно, черных шаров 23-12х. Так как это целое число шаров, то возможно лишь значение х=1. Получается: 1 красный шар, 11 белых шаров и 11 черных шаров.

Удачи!