ЕНТ-2014, вариант 0011

По вашим просьбам!

7. Найдите наименьший положительный период функции: y=2cos(0,2x+1).

Применим правило: если функция f периодическая и имеет период Т, то функция y=Af(kx+b) где A, k и  b постоянны, а  k≠0, также периодическая, причем, ее период T_o = T : |k|. У нас Т=2π — это наименьший положительный период функции косинуса, k=0,2. Находим T_o = 2π:0,2=20π:2=10π.

9. Расстояние от точки, равноудаленной от вершин квадрата, до его плоскости, равно 9 дм. Найдите расстояние от этой точки до сторон квадрата, если сторона квадрата равна 8 дм.

10. Решите уравнение: 10=|5x+5x²|.

Так как |10|=10 и |-10|=10, то возможны 2 случая: 1) 5x²+5x=10  и 2) 5x²+5x=-10. Разделим каждое из равенств на 5 и решим  полученные квадратные уравнения:

1) x²+x-2=0, корни по теореме Виета x₁=-2, x₂=1. 2) x²+x+2=0. Дискриминант отрицателен — корней нет.

11. Решите уравнение:

К правой части равенства применяем основное логарифмическое тождество:

Получаем равенство:

Решаем квадратное уравнение x²-3x-4=0 и находим корни: x₁=-1, x₂=4.

13. Решить уравнение и найти сумму его корней на указанном промежутке.

22. Решить неравенство:

Тогда неравенство примет вид: tgt < 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.

24. Прямая y=ax+b перпендикулярна прямой у=2х+3 и проходит через точку С(4; 5). Составьте ее уравнение. Прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ взаимно перпендикулярны, если выполнено условие  k₁∙k₂=-1. Отсюда следует, что а·2=-1. Искомая прямая будет иметь вид: у=(-1/2)·х+b. Значение b мы найдем, если в уравнение нашей прямой вместо х и у подставим координаты точки С.

5=(-1/2)·4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Тогда получим уравнение: у=(-1/2)х+7.

25. Четверо рыбаков А, В, С и D хвастались своим уловом:

1. D поймал больше С;

2. Сумма улова А и В равна сумме улова С и D;

3. А и D вместе поймали меньше, чем В и С вместе. Запишите улов рыбаков в убывающем порядке.

Имеем: 1) D>C; 2) A+B=C+D; 3) A+D<B+C. Выразим А из 2-го равенства: А=С+D-B и подставим в 3-е. Получим С+D-B+D<B+C ⇒2D<2B ⇒ D<B. Выразим В из 2-го равенства и также подставим в 3-е. B=C+D-A. Тогда A+D<C+D-A+C⇒2A<2C ⇒A<C. Итак, A<C<D<B, поэтому, по убыванию улов рыбаков запишется так: B, D, C, A.