ЕНТ-2014, вариант 0016

По вашим просьбам!

6. Найти tgα, если sinα=-4/5, 180°<α<270°.

Зная sinα,  применим основное тригонометрическое тождество и найдем cosα. Так как угол α находится в третьей четверти, то cosα будет отрицательным числом.

9. Диаметры основания усеченного конуса 3 м, 6 м, а высота 4 м. Определите образующую усеченного конуса.

Пусть нам дан конус с осевым сечением AA₁B₁B и высотой OO₁=4 м. Диаметры оснований A₁B₁=3 м, AB=6 м. Требуется найти образующую BB₁. Проведем из точки B₁ перпендикуляр к АВ. Точку пересечения перпендикуляра с АВ обозначим через К.

11. В первый день туристы прошли 30% всего пути, а во второй — на 4 км больше, чем в первый. Сколько процентов пути осталось пройти туристам, если весь путь равен 20 км?

Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь, а затем эту дробь умножить на данное число.

В первый день туристы прошли 30% от 20 км — это 0,3·20=6 (км). Во второй день туристы прошли на 4 км больше, т.е. 6+4=10 (км). Туристам осталось пройти 20-(6+10)=4 (км). Требуется узнать, сколько процентов осталось пройти туристам, иначе говоря, требуется узнать, сколько процентов составляют 4 км от 20 км. Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно первое число разделить на другое и результат умножить на 100%.

(4:20)·100%=0,2·100%=20%.

12. Найдите наименьший целый корень уравнения: log₆(x²-2x)=1-log₆2.

1) Представим единицу в правой части равенства в виде логарифма по основанию 6. 2) Применим формулу логарифма частного к правой части. 3) Потенцируем, т.е. опускаем значки логарифма и решаем получившееся квадратное уравнение. Смотрим этот план решения по шагам:

1) log₆(x²-2x)=log₆6-log₆2;

2) log₆(x²-2x)=log₆(6:2)  ⇒ log₆(x²-2x)=log₆3;

3) x²-2x=3  ⇒ x²-2x-3 =0  ⇒ x₁=-1, x₂=3. Наименьший корень х=-1.

18. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а площадь 120cм².  Найдите меньший катет.

Классическое решение этой задачи: обозначаем катеты через х и у и составляем систему уравнений. Так как гипотенуза равна 26 см, то на основании теоремы Пифагора получаем первое уравнение системы: x²+y²=26². Зная, что площадь прямоугольного треугольника (равна половине произведения катетов) равна 120 cм², составляем второе уравнение системы: (1/2)ху=120 или ху=240. Далее, выражают одну переменную через другую из второго уравнения, значение этой переменной подставляют в первое уравнение, из решения которого и находят одну переменную, а затем по ней и другую переменную. Это долго и не нужно! Почему?  ВАМ СЛЕДУЕТ ЗНАТЬ: в подобных задачах на прямоугольный треугольник возможны лишь несколько значений катетов и гипотенузы: 1) 3, 4, 5; 2) 5, 12, 13; 3) 8, 15, 17; 4) 7, 24, 25; 5) 20, 21, 29. Понятно, что, например, в группе 1) будет не только треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5, но и треугольники со сторонами в 2 раза больше ( 6, 8, 10), или в 3 раза  больше (9, 12, 15) и т.д. Поэтому, смотрим на значение гипотенузы в условии задачи. Значение 26=2·13 и относится к группе 2) 5, 12 и 13. Следовательно, катеты у такого треугольника с гипотенузой 26 должны быть: 2·5=10 (см) и 2·12=24 (см). Вот вам и вся задача! В ответе указываем меньший катет, т.е. 10 см.

19. Если точки А(2; 0) и В(-2; 6) являются концами диаметра окружности, то ее уравнение имеет вид:

Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид:

 (x-a)²+(y-b)²=R². Координаты центра окружности — это координаты середины отрезка АВ, которые находятся, как полусумма соответственных координат концов отрезка АВ. Тогда а=(2-2):2=0 и b=(0+6):2=3. Теперь уравнение окружности запишется в виде:

(x-0)²+(y-3)²=R² или x²+(y-3)²=R². Остается найти радиус R. Зная, что окружность проходит через точку А(2; 0) — подставим ее координаты в последнее уравнение:

2²+(0-3)²=R², отсюда 4+9=R², т.е. R²=13.

Окончательно, искомое уравнение имеет вид: x²+(y-3)²=13.

20. Пирожные разложили по трем коробкам. Количество всех пирожных больше 25, но меньше 45. Количество пирожных в каждой коробке выражается простым числом. Причем, в одной коробке на 2 пирожных больше, а в другой на 6 пирожных больше, чем в коробке с наименьшим количеством пирожных. Сколько пирожных во всех коробках?

 Простым называют число, которое делится только на единицу и на само себя. Мы все же привыкли к задачам с переменной, поэтому, обозначим наименьшее количество пирожных в первой, например, коробке через х. Тогда в другой коробке будет (х+2) пирожных, а в третьей (х+6) пирожных.

Во всех трех коробках будет х+(х+2)+(х+6) или (3х+8) пирожных. По условию это число больше 25, но меньше 45. Запишем двойное неравенство:

25<3x+8<45; вычитаем из всех частей неравенства число 8.

17<3x<37. Помним, что х — простое число. Подбирайте х.

Если х=7, то 17<21<37, но  х+2=9 — не простое число. Вывод: не подойдет.

Если х=11, то 17<33<37 и х+2=13 — простое число, х+6=17 — простое число. Вывод: подходит. Общее количество пирожных составит: 11+13+17=41.

21. Цинк составляет 70% сплава, остальное олово. Цинка в сплаве на 220 грамм больше, чем олова. Найти массу сплава.

Пусть масса сплава х граммов. Тогда цинка в сплаве 70% от х или 0,7х. Остальное — олово. Значит, олова х-0,7х=0,3х граммов. Зная, что цинка в сплаве на 220 грамм больше, составим уравнение: 0,7х-0,3х=220. Отсюда 0,4х=220. Находим х=220:0,4=2200:4=550. Ответ: масса сплава 550 г.

23. Решить систему неравенств:

24. Высота правильного тетраэдра равна 6. Вычислите полную поверхность тетраэдра. Тетраэдром называют правильную треугольную пирамиду, все ребра которой равны между собой. Нам дан тетраэдр МАВС, высота которого МО=6.

25. В коробку вмещается 40 больших кубиков или 65 маленьких кубиков. Если в эту коробку положить 24 больших кубика, то сколько маленьких кубиков еще поместится в коробку?

Так как  40 больших кубиков занимают столько же места, сколько 65 маленьких, то 8 больших кубиков (40:5=8) займут столько же места, сколько 13 маленьких кубиков (65:5=13). Соответственно, 24 больших кубика (24=8·3) займут столько же места, сколько  13·3=39 маленьких кубиков, следовательно, раз в коробку вмещается 65 кубиков, то еще поместятся 65-39=26 маленьких кубиков.

Желаю успехов в подготовке к ЕНТ!