ЕНТ-2014, вариант 0017

По вашим просьбам!

5. Решите неравенство:

6. Упростить выражение: cos(π/2-α)+sin(π-α). По формулам приведения

cos(π/2-α)=sinα, sin(π-α)=sinα. Тогда:

cos(π/2-α)+sin(π-α)=sinα+sinα=2sinα.

7. Найти область определения функции:

9. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой 16 см²  и 4 см², а высота равна 3 см.

Здесь нам нужна лишь формула объема усеченной пирамиды:

11. Лодка за одно и то же время может проплыть 36 км по течению реки или 20 км против течения реки. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначим собственную скорость лодки через х и составим таблицу.

Уравнение представляет собой пропорцию, по основному свойству которой произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции. Отсюда:

36·(х-2)=20·(х+2)  ⇒ 36х-72=20х+40 ⇒ 36х-20х=40+72  ⇒ 16х=112 ⇒ х=112:16 ⇒ х=7.

Собственная скорость лодки 7 км/ч.

14. В геометрической прогрессии (u_n):  u₁=1/9; u₇=81. Найдите (u₄)²+u₃.

Найдем  знаменатель q данной геометрической прогрессии. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: u_n=u₁∙q^n-1.  Тогда u₇=u₁∙q⁶. Подставим наши данные:

81=(1/9)∙q⁶ ⇒ q⁶=81∙9 ⇒ q⁶=3⁴∙3² ⇒ q⁶=3⁶. Отсюда q=3. Найдем u₄ и u₃. по формуле n-го члена геометрической прогрессии:

u₄=u₁∙q³=(1/9)∙3³=(1/9)∙27=3; u₃=u₁∙q²=(1/9)∙3²=1. Искомое значение выражения (u₄)²+u₃=3²+1=9+1=10.

19. Найдите длину диагонали прямоугольника ABCD  с вершинами А(0; 1), В(4; 3), С(5; 1) и D(1; -1).

Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD равны между собой. Найдем длину диагонали АС. Применим формулу расстояния между двумя точками А(0; 1) и С(5; 1):

20. Найдите log₇63, если  log₇3=a.

Представим 63 в виде произведения 7·9 или 7∙3².

Тогда log₇63=log₇(7∙3²)=log₇7+log₇3²=1+2log₇3=1+2a.   Мы применили формулы:

log_a(xy)=log_ax+log_ay,  log_aa=1, log_ab^k=k∙log_ab.

22. Пусть (a_o; b_o) — решение системы

Теперь подставим значение b=-2 в равенство x² + b_ox – 3 = 0. Получаем:

x² - 2x – 3 = 0. Корни этого приведенного квадратного уравнения x₁=-1; x₂=3. Больший корень х=3 будет принадлежать промежутку (-3; 5).

25. a, b, c и d — разные числа, принадлежащие промежутку [0; +∞). При этом: a-b=d и a·b·c=0. Какое из чисел равно нулю?

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Рассуждаем: так как a·b·c=0, то либо a=0, либо b=0, либо c=0. Если a=0, то равенство a-b=d примет вид: -b=d, т.е. числа b и d должны быть противоположными, а это невозможно, так как  по условию все числа неотрицательны. Значит, a≠0. Если b=0, то равенство  a-b=d примет вид: a=d, что также невозможно — ведь все числа по условию разные! Поэтому b≠0. Остается только c=0.