ЕНТ-2014, вариант 0020

По вашим просьбам!

12. Решите уравнение:

13. Решите уравнение: sinx+tg(x/2)=0. Применим формулу для тангенса половинного аргумента. Тогда равенство примет вид:

Умножим обе части равенства на sinx≠0 и получаем: sin²x+1-cosx=0. Применим основное тригонометрическое тождество:

sin²x+cos²x=1, из которого следует, что sin²x=1- cos²x. Получаем равносильное уравнение:

1- cos²x+1-cosx=0, а после упрощения:

cos²x+cosx-2=0. Сделаем замену: cosx=y. Получаем приведенное квадратное уравнение относительно переменной у:

y²+y-2=0. Решаем и находим корни: y₁=-2 и y₂=1. Возвращаемся к первоначальной переменной:

1) cosx=-2. Это уравнение решений не имеет, так как  |cosx|≤1.

2) cosx=1. Это частный случай. Получаем x=2πk, k∈ Z.

20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

21. Известно, что

22. Пусть (х₁; у₁), (х₂; у₂) — решение системы:

23. Решите неравенство: sinx+cos2x≥1.  Это уравнение было и в прошлом году. Смотрите здесь тоже 23 задание.

24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро 6. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть шар с центром в точке О₁ и радиусом МО₁ описан около правильной пирамиды MABCD с высотой МО=3 и боковым ребром МА=6. Требуется найти радиус шара МО₁. Рассмотрим ΔМАМ₁, в котором сторона ММ₁ — диаметр шара. Тогда ∠МАМ₁=90°. Найдем гипотенузу ММ₁, если известны катет МА и проекция этого катета МО на гипотенузу. Помните? Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Нам в этой задаче пригодится только подчеркнутая часть правила.

Записываем равенство: МА²=МО∙ММ₁. Подставляем свои данные: 6²=3∙ ММ₁. Отсюда ММ₁=36:3=12. Мы нашли диаметр шара, следовательно, радиус МО₁=6.

25. Петя старше Коли, который старше Миши, Маша старше Коли, а Даша младше Пети, но старше Маши. Кто третий по возрасту?

Будем считать: старше — это больше. Петя старше Коли, который старше Миши запишем так: Петя>Коля>Миша. Даша младше Пети, но старше Маши запишем так: Маша<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Даша>Маша. Так как Маша старше Коли, то получаем:  Петя>Даша>Маша>Коля. И окончательно:  Петя>Даша>Маша>Коля>Миша. Таким образом, третий по возрасту — Маша.

Желаю успешной подготовки к ЕНТ!