ЕНТ-2014, вариант 0025

По вашим просьбам!

3. Вычислить:

4. Решить неравенство: (x-1)²(x-24)<0.

Решаем методом интервалов. На числовой прямой отмечаем нули функции у=(x-1)²(x-24). Это значения х=1 и х=24, причем, х=1 — корень четной кратности, поэтому при определении знаков функции на промежутках, в точке х=1 знак менять не будем.

х∈(-∞; 1)U(1; 24).

 

 

8. Найти сторону треугольника, лежащую против угла 135°, если две другие стороны равны 3 см и 

По теореме косинусов квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Формула:  a²=b²+c²-2bc∙cosA.

У нас cosA=cos135°=cos(180°-45°)=-cos45°.

14.  Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если ее второй член равен 6, а знаменатель равен (-2).

Формула суммы nпервых членов геометрической прогрессии:

19. При каком значении m векторы

20. Упростите выражение:

22. Требуется найти 1,5x_o – 2,3y_o, если (x_o; y_o) — решение системы:

Смотрим на второе уравнение. Произведение этих двух множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Предположим, что x² – 49 = 0. Тогда под корнем окажется выражение  (-4y²) и извлечь арифметический квадратный корень получится только если у=0, а иначе под корнем будет отрицательное число. Таким образом, y_o =0. Из равенства x² – 49 = 0 следует, что x_o=-7 или x_o=7. Подставив значение y_o =0 в первое уравнение, убеждаемся, что x_o=7. Решение данной системы: (7; 0). Находим значение выражения 1,5x_o – 2,3y_o. Получаем:

1,5·7-2,3·0=10,5.

23. Решите неравенство: cos²x-0,5sinx>1

Запишем данное неравенство в виде: 1-cos²x+0,5sinx<0. Применим основное тригонометрическое тождество и получаем равносильное неравенство:

sin²x+0,5sinx<0. Сделаем замену: sinx=z. Неравенство  z²+0,5z<0 решаете или с помощью параболы или методом интервалов, разложив на множители:  z(z+0,5)<0. Получаем:  -0,5<z<0. Возвращаемся к первоначальной переменной:

-0,5<sinx<0. Покажем решение с помощью графиков:  y=sinx, y=-0,5 и y=0 (ось Ох). Выберем те значения х, при которых точки синусоиды будут заключены между прямыми y=-0,5 и y=0.

24. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно 14. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и середину бокового ребра, не проходящего через данную сторону.

Пусть дана правильная призма  ABCA₁B₁C₁, каждое ребро которой равно 14. К — середина ребра AA₁, не проходящего через сторону ВС нижнего основания призмы. Требуется найти площадь треугольника ВКС — сечения призмы. В треугольнике АВС проведем высоту АD (она же медиана) и точку D соединим с точкой К.  На основании ТТП (теоремы о трех перпендикулярах) КD будет перпендикулярна ВС. Следовательно, KD является высотой треугольника ВКС. Площадь этого треугольника равна половине произведения основания ВС на высоту KD. Нам известно, что ВС=14. Длину  KD найдем из прямоугольного треугольника КАD по теореме Пифагора У нас катет АК=7 — половина ребра AA₁, второй катет АD =AB·sin60°.

25. Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Каков возраст отца и сына?

Понятно, что отец старше сына на 25 лет. Пусть сыну х лет. Тогда отцу (х+25) лет. Зная, что вместе им 65 лет, составим уравнение:

х+х+25=65 ⇒ 2х=40 ⇒ х=20. Возраст сына 20 лет, а отца 20+25=45 лет.

Желаю вам, дорогие выпускники, всяческих успехов!