ЕНТ-2014, вариант 0002

По вашим просьбам!

1. Требуется упростить выражение. Запишем каждый множитель данного выражения в виде степени с основанием 3.

2. Решить уравнение: 2у⁵+8у³=0.

Выносим общий множитель за скобки: 2у³(у²+4)=0. Это произведение будет равно нулю, если множитель у³=0, т.е. если у=0, так как выражение в скобках у²+4>0 при любом значении у.

3. Решить систему показательных уравнений:

5. Решить неравенство:

7. В арифметической прогрессии d=2, n=50, S_n=2650. Найдите первый и n-й члены.

Сумма nпервых членов арифметической прогрессии определяется по формуле: 

2650 = (а₁ + 49) ∙ 50, отсюда а₁ + 49 = 2650 : 50 или а₁ + 49 = 53 ⇒ а₁ = 4.Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n — 1)d. Тогда  а₅₀ = 4 +(50 – 1)∙2 = 4 + 49∙2 = 4 + 98 = 102.

8. Найдите функцию, обратную данной:

1) Выразим х через у. Для этого возведем обе части данного равенства в квадрат. Получаем у²=х-3, отсюда х=у²+3. 2) Вместо х напишем у, а вместо у напишем х. Получаем функцию, обратную данной: у=х²+3.

9. Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота 5 см. Найдите диагональ осевого сечения.

Пусть нам дан цилиндр с осевым сечением AA₁B₁B. Это сечение представляет собой прямоугольник, диагональ которого  AB₁  требуется найти. AB₁  — гипотенуза прямоугольного треугольника ABB₁, в котором известны катеты АВ = 2·6=12 см и BB₁=5 см. По теореме Пифагора получаем:

AB₁² =AB²+BB₁² ⇒ AB₁² =12²+5²=144+25=169 ⇒ AB₁=13cм.

10. Решить систему уравнений:

Необходимо избавиться от знака модуля. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Так как х=0 не является корнем первого уравнения, то возможны значения х:

1) х > 0  и  2) x < 0. Раскрываем модульные скобки в каждом из этих случаев.

11. Одно из трех чисел равно 32 и оно составляет 0,4 их суммы, а второе число составляет 0,2 суммы. Найдите второе и третье число.

Итак, пусть первое число равно 32, второе - х, а третье - у.

Зная, что число 32 составляет 0,4 от суммы всех чисел, составим первое уравнение системы: 0,4·(32+х+у)=32. (Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить эту дробь на данное число). Упростим, разделив обе части равенства на 0,4. Тогда первое уравнение примет вид: 32+х+у=80 (*). Зная, что второе число х составляет 0,2 от суммы всех чисел, составим второе уравнение системы: 0,2·(32+х+у)=х. Разделим обе части этого равенства на 0,2, получаем уравнение: 32+х+у=5х (**).  Вычтем из  (*) равенство (**). Получаем: 0=80-5х.  Отсюда х=16. Подставим это значение в любое из уравнений, например в (*). Тогда 32+16+у=80. Отсюда у=32. Ответ: 16 и 32.

13. Решить систему уравнений:

14. Решить тригонометрическое уравнение:

15. На графике функции у=х²+х-5 взята точка А. Касательная к графику, проведенная через точку А, наклонена к оси Ох под углом, тангенс которого равен 5. Найдите абсциссу точки А.

Используем геометрический смысл производной: f’(x_o)=tgα, где x_o - абсцисса точки касания (точки А). Производная данной функции y’=2x+1. По условию  tgα=5. Получаем равенство: 2х_о+1=5, отсюда х_о=2.

16. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону: x(t) = 3t² + t – 1 (см) в момент времени  t = 3 с.

Скорость – это производная пути по времени: v(t) = x’(t).

Находим скорость v(t) = x’(t) = (3t² + t – 1)’ = 6t + 1. Подставим t = 3. Получаем:

v(3) = 6 ∙ 3 + 1 = 18 + 1 = 19 (cм/с).

17. Каким должен быть радиус окружности, чтобы длина ее была в два раза больше суммы длин окружностей с радиусами 11 см и 47 см.

Длины данных окружностей с радиусами 11 см и 47 см соответственно равны 22π см и 94π см (нашли по формуле длины окружности: С=2πR). Складываем эти длины и получаем С=116π см. Длина новой окружности в два раза больше, значит равна 2·116π см. Если записать это выражение так: 2π·116 см, то становится понятным, что искомый радиус должен быть равен 116 см.

18. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон проходит через центр окружности, а две другие удалены от него на 6 см и четыре корня из трех см. Найдите площадь треугольника.

19. Площадь ромба, лежащего в основании пирамиды, равна 600 см², а площадь круга, вписанного в ромб, равна 100 см². Определите объем пирамиды, если высоты ее боковых граней равны 26 см.

Так как высоты боковых граней равны, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанного в ромб круга, так как стороны ромба должны быть равноудалены от и от центра круга. Точка О — центр круга является точкой пересечения диагоналей ромба.

20. Сократите дробь:

Можно догадаться, что в числителе дроби формула разности квадратов двух выражений: a²-b²=(a-b)(a+b). Применив эту формулу мы представим числитель в виде произведения двух множителей, причем, один из них будет таким же, как знаменатель, что позволит нам сократить дробь.

21. Разложите на множители: a²b²-4a³b⁴+ab+abc-4a²b³c+c.

Эти 6 слагаемых нужно сгруппировать так, чтобы из каждой группы можно было вынести за скобки общий множитель и при этом, в скобках должны получаться одинаковые выражения; затем это одинаковое выражение в  скобках еще раз выносят за скобки. Попробуем сгруппировать по три слагаемых:

a²b²-4a³b⁴+ab+abc-4a²b³c+c = (a²b²-4a³b⁴+ab)+(abc-4a²b³c+c). Из каждой скобки выносим общий множитель:

ab(ab-4a²b³+1)+c(ab-4a²b³+1). Вот у нас получились одинаковые выражения в скобках, т.е. одинаковые множитель, который выносим за скобки и окончательно получаем:

(ab-4a²b³+1)(ab+c).

22. Решить неравенство: 2sin²x+5cosx<4.

Так как sin²x+cos²x=1, то заменим sin²x =1 – cos²x, тогда неравенство примет вид:

2∙(1 – cos²x) + 5cosx<4. Раскроем скобки и перенесем 4 в левую часть неравенства:

2-2cos²x+5cosx-4<0.  Приведем подобные слагаемые: -2cos²x+5cosx-2<0. Умножим обе части неравенства на (-1), при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

2cos²x — 5cosx +2 > 0. Сделаем замену переменной: пусть cosx=y,  тогда получаем:

2y²-5y+2>0. Найдем корни квадратного уравнения  2y²-5y+2=0.

Дискриминант  D=b²-4ac=5²-4∙2∙2=25-16=9=3². Тогда y₁=0,5; y₂=2. Решениями неравенства 2y²-5y+2>0 будут значения у, удовлетворяющие условиям: y<0,5 или y>2.

Но так как y=cosx, а известно, что |cosx|≤1, то остается y<0,5, т.е. нам остается решить простейшее неравенство  cosx<0,5.  Изобразим графики функций у=cosx и y=0,5 и определим те значения х, при которых точки кривой  у=cosx лежат ниже прямой у=0,5.

24. Преобразуйте выражение:

Определите его значение, если углы между парами данных единичных векторов равны 60°.

Прежде всего раскроем скобки, выполнив умножение. Приведем подобные слагаемые. Используем свойства: 1) квадрат вектора равен квадрату модуля (длины) этого вектора; 2) скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними.

Решайте, готовьтесь. Желаю успехов!