ЕНТ-2014, вариант 0025
По вашим просьбам!
3. Вычислить:
4. Решить неравенство: (x-1)2(x-24)<0.
Решаем методом интервалов. На числовой прямой отмечаем нули функции у=(x-1)2(x-24). Это значения х=1 и х=24, причем, х=1 — корень четной кратности, поэтому при определении знаков функции на промежутках, в точке х=1 знак менять не будем.
х∈(-∞; 1)U(1; 24).
8. Найти сторону треугольника, лежащую против угла 135°, если две другие стороны равны 3 см и 
По теореме косинусов квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Формула: a2=b2+c2-2bc∙cosA.
У нас cosA=cos135°=cos(180°-45°)=-cos45°.
14. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если ее второй член равен 6, а знаменатель равен (-2).
Формула суммы nпервых членов геометрической прогрессии:
19. При каком значении m векторы
20. Упростите выражение:
22. Требуется найти 1,5xo – 2,3yo, если (xo; yo) — решение системы:
Смотрим на второе уравнение. Произведение этих двух множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Предположим, что x2 – 49 = 0. Тогда под корнем окажется выражение (-4y2) и извлечь арифметический квадратный корень получится только если у=0, а иначе под корнем будет отрицательное число. Таким образом, yo =0. Из равенства x2 – 49 = 0 следует, что xo=-7 или xo=7. Подставив значение yo =0 в первое уравнение, убеждаемся, что xo=7. Решение данной системы: (7; 0). Находим значение выражения 1,5xo – 2,3yo. Получаем:
1,5·7-2,3·0=10,5.
23. Решите неравенство: cos2x-0,5sinx>1
Запишем данное неравенство в виде: 1-cos2x+0,5sinx<0. Применим основное тригонометрическое тождество и получаем равносильное неравенство:
sin2x+0,5sinx<0. Сделаем замену: sinx=z. Неравенство z2+0,5z<0 решаете или с помощью параболы или методом интервалов, разложив на множители: z(z+0,5)<0. Получаем: -0,5<z<0. Возвращаемся к первоначальной переменной:
-0,5<sinx<0. Покажем решение с помощью графиков: y=sinx, y=-0,5 и y=0 (ось Ох). Выберем те значения х, при которых точки синусоиды будут заключены между прямыми y=-0,5 и y=0.
24. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно 14. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и середину бокового ребра, не проходящего через данную сторону.
Пусть дана правильная призма ABCA1B1C1, каждое ребро которой равно 14. К — середина ребра AA1, не проходящего через сторону ВС нижнего основания призмы. Требуется найти площадь треугольника ВКС — сечения призмы. В треугольнике АВС проведем высоту АD (она же медиана) и точку D соединим с точкой К. На основании ТТП (теоремы о трех перпендикулярах) КD будет перпендикулярна ВС. Следовательно, KD является высотой треугольника ВКС. Площадь этого треугольника равна половине произведения основания ВС на высоту KD. Нам известно, что ВС=14. Длину KD найдем из прямоугольного треугольника КАD по теореме Пифагора У нас катет АК=7 — половина ребра AA1, второй катет АD =AB·sin60°.
25. Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Каков возраст отца и сына?
Понятно, что отец старше сына на 25 лет. Пусть сыну х лет. Тогда отцу (х+25) лет. Зная, что вместе им 65 лет, составим уравнение:
х+х+25=65 ⇒ 2х=40 ⇒ х=20. Возраст сына 20 лет, а отца 20+25=45 лет.
Желаю вам, дорогие выпускники, всяческих успехов!
ЕНТ-2014, вариант 0010
По вашим просьбам!
3. Найти множество значений функции:
8. Укажите функцию, график которой изображен на рисунке. Прямая задается уравнением вида: y=kx+b, где b — ордината точки пересечения прямой с осью Оу, следовательно, b=-3. Уравнение принимает вид: y=kx-3.Чтобы найти угловой коэффициент k — подставим в последнее равенство координаты точки графика (-3; 0). Получаем: 0=k·(-3)-3, отсюда 3k=-3, k=-1. Искомое уравнение: у=-х-3.
12. Найдите произведение корней уравнения:
15. Прямая у=х-2 касается графика функции y=f(x) в точке x0=-1. Найдите f(-1).
Точка касания принадлежит и касательной у=х-2, и графику функции y=f(x). Абсцисса точки касания равна -1, а ординату найдем, подставив значение х=-1 в уравнение касательной.
у=-1-2 и получаем у=-3.
16. Найдите угол между касательной к графику функции y=sin2x+cos2x в точке (0; 0) и осью Ох.
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в точке xo
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой xo . Поэтому запишем равенство:
tgα=f’(xo). Найдем производную данной функции: y’=2cos2x-2sin2x.
f’(xo)=2cos0-2sin0=2. Следовательно, tgα=2, отсюда α=arctg2.
17. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его стороны равны 16 см, 17 см, 17 см. Делаем вывод, что основанием равнобедренного треугольника является сторона, равная 16 см. Найдем высоту, проведенную к этой стороне, а затем и искомую площадь треугольника.
18. Найдите периметр треугольника, если две его стороны равны 6 и 3 корня из двух, а угол между ними равен 45°.
23. При каких а верно неравенство:
25. В коробке лежат 4 цветных карандаша и 10 простых. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее трех простых?
Так как мы можем взять подряд 4 карандаша, и все они могут оказаться цветными, то нужно взять еще 3 карандаша, которые, уж наверняка, окажутся простыми. Следовательно, всего придется взять 7 карандашей, чтобы среди них оказалось не менее трех простых карандашей.
Успешной вам подготовки, друзья!