Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Прямые АВ и СD пересекаются в точке К, ВК = 18, DК = 9, ВС = 16. Найдите АD.
Решение:
Угол К является общим для треугольников ΔКАD и ΔКBC.
Кроме того, так как четырёхугольник АВСD вписан в окружность, то сумма противоположных вписанных углов дополняют друг друга и равны половине всей окружности в градусном измерении, то есть равны 180°:
∠ABC + ∠ADC = 180°
∠ABC = 180° – ∠ADC
Углы ∠ADC и ∠ADK смежные, и их сумма также равна 180°:
∠ADC + ∠ADK = 180°
∠ADK = 180° – ∠ADC
Из этих двух равенств следует:
∠ABC = ∠ADK
Таким образом, треугольники ΔКАD и ΔКBC подобны по двум равным углам. Их соответствующие стороны пропорциональны. Можем составить пропорцию:
KA/KC = KD/KB = AD/CB
Используя данную пропорцию, получаем:
9/18 = AD/16
1/2=AD/16
Далее, умножая на 16, получаем:
AD = (1/2) * 16 = 8
Таким образом, ответ равен 8.
Ответ: 8.
