Для решения этой задачи нам нужно сначала понять, как располагаются данные кривые и какие области они ограничивают. Давайте опишем каждую кривую и найдем точки пересечения.
- Гипербола \( xy = 1 \) — это кривая, которая имеет две ветви, одна в первом квадранте (где обе координаты положительны), а другая в третьем квадранте (где обе координаты отрицательны). В уравнении, если \( x \neq 0 \), то \( y = \frac{1}{x} \).
- Прямая \( y = x \) — это диагональная линия, проходящая через начало координат, угол наклона которой равен 45 градусов относительно оси x.
- Прямая \( y = 2 \) — это горизонтальная линия, которая проходит через точку \( (0, 2) \) на оси y.
Теперь найдем точки пересечения этих кривых:
- \( xy = 1 \) и \( y = x \): Подставляем \( y = x \) в уравнение \( xy = 1 \), получаем \( x^2 = 1 \). Отсюда \( x = 1 \) и \( x = -1 \), но \( x = -1 \) не подходит, так как мы работаем в первом квадранте, где \( x > 0 \) и \( y > 0 \). Так что точка пересечения — \( (1, 1) \).
- \( xy = 1 \) и \( y = 2 \): Подставляем \( y = 2 \) в уравнение \( xy = 1 \), получаем \( x \cdot 2 = 1 \), откуда \( x = \frac{1}{2} \). Так что точка пересечения — \( \left(\frac{1}{2}, 2\right) \).
- \( y = x \) и \( y = 2 \): Подставляем \( y = 2 \) в уравнение \( y = x \), получаем \( x = 2 \). Так что точка пересечения — \( (2, 2) \).
Теперь у нас есть все точки пересечения, и мы можем нарисовать область, ограниченную данными кривыми. Это область ограничена точками \( \left(\frac{1}{2}, 2\right) \), \( (1, 1) \) и \( (2, 2) \).
Для нахождения площади этой фигуры (которая представляет собой криволинейный треугольник), мы можем использовать интегрирование:
\[
S = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left(2 — \frac{1}{x}\right) dx + \int_{1}^{2} \left(2 — x\right) dx
\]
1. Первый интеграл:
\[
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \left(2 — \frac{1}{x}\right) dx = \left[2x — \ln{x}\right]_{\frac{1}{2}}^{1} = \left[2 \cdot 1 — \ln1\right] — \left[2 \cdot \frac{1}{2} — \ln{\frac{1}{2}}\right]
\]
\[
= [2 — 0] — [1 + \ln2] = 2 — 1 — \ln2 = 1 — \ln2
\]
2. Второй интеграл:
\[
\int_{1}^{2} \left(2 — x\right) dx = \left[2x — \frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = \left[2 \cdot 2 — \frac{2^2}{2}\right] — \left[2 \cdot 1 — \frac{1^2}{2}\right]
\]
\[
= [4 — 2] — [2 — \frac{1}{2}] = 2 — 1.5 = 0.5
\]
Суммируем эти два результата:
\[
S = 1 — \ln2 + 0.5 = 3/2 — \ln2
\]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, приблизительно равна \( 3/2 — \ln2 \).
Ответ: \( 3/2 — \ln2 \)
