Решите неравенство \( \frac{2}{5^x-1} + \frac{5^{x}-2}{5^{x}-3} \geq 2 \)

Решите неравенство \( \frac{2}{5^x-1} + \frac{5^{x}-2}{5^{x}-3} \geq 2 \)

Решение

Для решения данного неравенства начнем с упрощения выражения. Обозначим \( y = 5^x \). Тогда неравенство примет вид:
\[ \frac{2}{y-1} + \frac{y-2}{y-3} \geq 2 \]

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы упростить дальнейшие преобразования:
\[ \frac{2}{y-1} + \frac{y-2}{y-3} — 2 \geq 0 \]

Приведем выражение к общему знаменателю:
\[ \frac{2(y-3) + (y-2)(y-1) — 2(y-1)(y-3)}{(y-1)(y-3)} \geq 0 \]

Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{2y — 6 + y^2 — 3y + 2 — 2y^2 + 8y — 6}{(y-1)(y-3)} \geq 0 \] \[ \frac{-y^2 + 7y — 10}{(y-1)(y-3)} \geq 0 \]

Упростим выражение:
\[ \frac{-(y^2 — 7y + 10)}{(y-1)(y-3)} \geq 0 \]

Разложим квадратный трехчлен на множители:
\[ y^2 — 7y + 10 = (y-5)(y-2) \]

Тогда неравенство примет вид:
\[ \frac{-(y-5)(y-2)}{(y-1)(y-3)} \geq 0 \]

Или:
\[ \frac{(y-5)(y-2)}{(y-1)(y-3)} \leq 0 \]

Для решения данного рационального неравенства рассмотрим знаки выражения на интервалах, разделенных нулями числителя и знаменателя:
\[ y = 2, \, y = 5, \, y = 1, \, y = 3 \]

Определим знаки на каждом интервале:
1. \( (-\infty, 1) \) — положительно (числитель и знаменатель отрицательны),
2. \( (1, 2) \) — отрицательно (числитель положителен, знаменатель отрицателен),
3. \( (2, 3) \) — положительно (числитель и знаменатель положительны),
4. \( (3, 5) \) — отрицательно (числитель положителен, знаменатель отрицателен),
5. \( (5, +\infty) \) — положительно (числитель и знаменатель положительны).

Теперь ищем интервалы, где функция \( \leq 0 \):
— \( (1, 2] \)
— \( (3, 5) \)

Однако, так как \( y = 5^x \), \( y \) всегда положительно и \( y \neq 1, 3 \), исключаем \( y = 1 \) и \( y = 3 \). Таким образом, возможные значения \( y \):
— \( (1, 2] \) соответствует \( 1 < 5^x \leq 2 \),
— \( (3, 5) \) соответствует \( 3 < 5^x < 5 \).

Теперь переведем это обратно в \( x \):
1. \( 1 < 5^x \leq 2 \) переводится в \( 0 < x \leq \log_5(2) \),
2. \( 3 < 5^x < 5 \) переводится в \( \log_5(3) < x < 1 \).

И

так, решением неравенства будет:
\[ 0 < x \leq \log_5(2) \quad \cup \quad \log_5(3) < x < 1 \]

Татьяна Яковлевна Андрющенко

Андрющенко Татьяна Яковлевна - отличник образования, учитель математики высшей категории.
Страница автора.

Оцените автора
Обучение математике
5 1 голос
Рейтинг статьи
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии