Задача. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 120 литров она заполняет на 2 минуты быстрее, чем первая труба?
Решение:
Пусть пропускная способность второй трубы \( x \) литров в минуту, тогда первой \( x — 2 \) литров в минуту. Время заполнения резервуара первой трубой равно \( \frac{120}{x-2} \) минут, а второй трубой \( \frac{120}{x} \) минут. Зная, что вторая труба наполняет резервуар на 2 минуты быстрее, составим уравнение:
\[
\frac{120}{x-2} — \frac{120}{x} = 2
\]
Умножим обе стороны на \( x(x-2) \):
\[
120x — 120(x-2) = 2x(x-2)
\]
Раскроем скобки:
\[
120x — 120x + 240 = 2x^2 — 4x
\]
Приведём к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
2x^2 — 4x — 240 = 0
\]
Упростим уравнение, разделив на 2:
\[
x^2 — 2x — 120 = 0
\]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D \):
\[
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484
\]
Найдём корни уравнения:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 22}{2}
\]
Получаем два корня:
\[
x_1 = \frac{2 + 22}{2} = 12 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 — 22}{2} = -10
\]
Так как скорость не может быть отрицательной, оставляем положительный корень:
\[
x = 12
\]
Ответ: 12.
