Задача. На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Решение:
Найдем вероятность того, что с двух полок взяли блюдце и чашку одного цвета:
Вероятность того, что с двух полок взяли красное блюдце и красную чашку:
\[ \frac{16}{25} \cdot \frac{16-1}{25-1} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{12}{24} \]
Упростим:
\[ \frac{16}{25} \cdot \frac{15}{24} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{12}{24} \]
Найдем вероятность того, что с двух полок взяли блюдце и чашку одного цвета (красное блюдце и синюю чашку, синее блюдце и красную чашку):
Вероятность того, что с двух полок взяли красное блюдце и синюю чашку, синее блюдце и красную чашку будет равна:
\[ 4 \cdot \left( \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{25-1} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{12}{24} \right) \]
Упростим:
\[ 4 \cdot \left( \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{12}{24} \right) \]
Найдем сумму всех вероятностей:
\[ \frac{9}{25} \cdot \frac{8}{24} \cdot \frac{12}{25} + \frac{11}{24} + \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{12}{24} + 4 \cdot \left( \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{12}{24} \right) \]
Упростим:
\[ \frac{9}{25} \cdot \frac{8}{24} + \frac{12}{25} \cdot \frac{11}{24} + \frac{16}{25} \cdot \frac{13}{25} + \frac{12}{24} + 4 \cdot \left( \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{13}{25} \cdot \frac{12}{24} \right) = \frac{33 + 130 + 312}{25 \cdot 25 \cdot 2} = \frac{475}{50 \cdot 2} = \frac{19}{50} = 0,38 \]
Ответ: \(0{,}38\).
