Задача. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t) = H_0 — \sqrt{2gH_0}kt + \frac{gt^2}{2}k^2t^2\), где \(t\) — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0 = 20\) м — начальная высота столба воды, \(k = \frac{1}{200}\) — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а \(q\) — ускорение свободного падения (считайте \(q = 10 \, \text{м/с}^2\)). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Решение:
Начнем с уравнения для высоты столба воды \(H(t) = H_0 — \sqrt{2gH_0}kt + \frac{gt^2}{2}k^2t^2\). Нам нужно найти время \(t\), когда высота воды будет равна четверти начальной высоты, то есть \(H(t) = \frac{H_0}{4}\).
Подставим значения в уравнение.
Начальная высота \(H_0 = 20\) м, \(g = 10\) м/с\(^2\), \(k = \frac{1}{200}\). Тогда уравнение становится:
\[
\frac{20}{4} = 20 — \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} \cdot \frac{1}{200} t + \frac{10}{2} \left(\frac{1}{200}\right)^2 t^2
\]
Упростим выражение:
\[
5 = 20 — \sqrt{400} \cdot \frac{1}{200} t + 5 \cdot \left(\frac{1}{200}\right)^2 t^2
\]
\[
5 = 20 — \frac{20}{200} t + \frac{5}{40000} t^2
\]
\[
5 = 20 — 0,1 t + \frac{t^2}{8000}
\]
Переносим все в правую часть:
\[
\frac{t^2}{8000} — 0,1 t + 15 = 0
\]
Для упрощения умножим всё уравнение на 8000:
\[
t^2 — 800 t + 120000 = 0
\]
Решим квадратное уравнение \(t^2 — 800 t + 120000 = 0\) с помощью дискриминанта \(D\):
\[
D = b^2 — 4ac = 800^2 — 4 \cdot 1 \cdot 120000 = 640000 — 480000 = 160000
\]
Найдём корни уравнения:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{800 \pm \sqrt{160000}}{2} = \frac{800 \pm 400}{2}
\]
Получаем два значения:
\[
t_1 = \frac{1200}{2} = 600 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{400}{2} = 200
\]
В ответ возьмем наименьшее время \(t_2 = 200\) секунд – это время, когда в баке останется четверть первоначального объёма воды.
Ответ: 200.
